Suites - Ceremade
Transcription
Suites - Ceremade
CS2 Denis Pasquignon Suites Résumé du cours : 1. Convergence des suites réelles ou complexes • Définition de la convergence On dit qu’une suite (un ) est convergente s’il existe un réel ou un complexe l tel que : ∀ > 0, ∃no ∈ N tel que ∀n ≥ no |un − l| < . l s’appelle la limite de la suite et l’on note l = lim un . n→+∞ • Unicité de la limite • Toute suite convergente est bornée. La réciproque est fausse. • Opérations algébriques. • Théorème d’encadrement 2. Suites adjacentes • Théorème de convergence monotone • Définition : Deux suites u et v sont adjacentes si – u est croissante et v est décroissante, – lim un − vn = 0. n→+∞ • Propriété Soit u et v deux suites adjacentes, on a – ∀n ∈ N un ≤ vn , – u et v convergent vers la même limite. 3. Equivalent • Définition : Soit deux suites u et v, on dit qu’au voisinage de +∞ – u est négligeable devant v, notée un = o(vn ), si il existe une suite n convergeant vers 0 telle que à partir d’un certain rang un = vn n , – u est équivalente à v, notée un ∼ vn , si il existe une suite n convergeant vers 0 telle que à partir d’un certain rang un = vn (1 + n ). • remarques : – une suite équivalente à la suite nulle est par définition la suite identiquement nulle ! – le signe de deux équivalents. • Equivalents usuels : soit xn une suite qui converge vers 0 – – – – Ln(1 + xn ) ∼ xn et exn − 1 ∼ xn , (1 + xn )α − 1 ∼ αxn pour tout réel α, sin(xn ) ∼ xn , tan(xn ) ∼ xn , cos(xn ) − 1 ∼ −x2n /2, si p(x) = ak xk + · · · a0 , alors P (n) ∼ ak nk 1 4. Suites classiques • Suite arithmétique et Suite géométrique. Pour tout q 6= 1 , si m et n sont deux entiers tels m < n, q m + q m+1 + ... + q n = q m S1 = n X k= k=1 S2 = n X k2 = k=1 S3 = n X k=1 1 − q n+1−m . 1−q n(n + 1) , 2 n(n + 1)(2n + 1) , 6 k3 = ( n(n + 1) 2 ) . 2 • Suite arithmético-géométrique • Suite récurrente linéaire d’ordre 2 Soit (a, b) ∈ C 2 (resp. R2 ) avec b 6= 0, on dit que u est une suite complexe (resp. réelle) récurrente linéaire d’ordre 2 si elle vérifie la relation (I) : ∀n ∈ N, un+2 = aun+1 + bun (I). L’ensemble E2 des suites complexes (respectivement réelles) vérifiant la relation (I) est un sous-espace vectoriel de S(C) (resp. de S(R)) de dimension 2. L’équation (E) : r2 − ar − b = 0 s’appelle équation caractéristique de la suite. – Suites complexes : ∗ (E) admet deux racines distinctes z1 et z2 , alors toute suite de E2 est de la forme : un = λz1n + µz2n avec λ et µ complexes. ∗ (E) admet une racine double zo , alors toute suite de E2 est de la forme : un = (λ + nµ)zon avec λ et µ complexes. – Suites réelles : (a, b) ∈ R2 . Soit ∆ le discriminant de l’équation (E) . ∗ Si ∆ > 0, (E) admet deux racines réelles distinctes x1 et x2 et toute suite de E2 est de la forme : un = λxn1 + µxn2 avec λ et µ réels. ∗ Si ∆ = 0, (E) admet une racine double xo et toute suite de E2 est de la forme : un = (λ + nµ)xno avec λ et µ réels. ∗ Si ∆ < 0, (E) admet deux racines complexes (conjuguées) z1 et z2 . On écrit alors z1 sous la forme exponentielle : z1 = ρeiθ et toute suite de E2 est de la forme un = ρn (λsinnθ + µcosnθ) (λ et µ réels.) Dans tous les cas, λ et µ sont déterminés par la donnée de uo et de u1 . • Les suites un+1 = f (un ) Si la suite un converge vers l et que f est continue en l alors f (l) = l. 2 1. Soit (un ) une suite strictement positive, on suppose que : un+1 = l avec l < 1. n→+∞ un lim (a) Montrer que la suite est décroissante à partir d’un certain rang. (b) Montrer que la suite (un ) converge vers 0. (c) En déduire la convergence et la limite de la suite (un (x)) définie par un (x) = réel) . xn n! (x 2. Soit (un ) et (vn ) les suites définies par un = 1 + 1 1 1 1 + + ... + et vn = un + . 1! 2! n! n.n! Montrer que ces deux suites sont adjacentes. On admet que leur limite commune est e. De la double inégalité un < e < vn , déduire que pour tout n de N ∗ , il existe θn réel unique vérifiant 0 < θn < 1 tel que : e = un + θn . n.n! En déduire que e n’est pas rationnel. 3. Trouver un équivalent en +∞ du terme général des suites suivantes : √ √ n+1− n 1 , b)un = (n + 1)1/n − (n − 1)1/n , c)un = (1 + )1/n , n n 2 x2 (n + 1) d)un = nx ln(n + 1). , (x ∈ R∗ ), e)un = ln(n) − n2 (e − 1)(e(n+1)x − 1) a)un = 4. Soit n ∈ N , a et b deux réels non nuls. Trouver un équivalent en ∞ de un = sin(nπ + na ), √ puis de vn = sin(π n2 + 2n + 2). 5. (Oral HEC) Soit n ≥ 3 et l’équation En : nln(x) = x. (a) Montrer que (En ) admet deux racines. Soit un la plus petite d’entre elles. (b) i. Etudier la monotonie de la suite (un )n≥3 . ii. Etudier la convergence de la suite (un )n≥3 et déterminer l = lim un . n→+∞ (c) Montrer que un − l ∼ 1 n . 6. Etudier la convergence de la suite (un ) par : uo = 1/2 , u1 = 1 et ∀n ∈ N ∗ , un+1 = √ un un−1 . 7. Soit E l’ensemble des suites (un ) vérifiant (1): ∀n ∈ N 3un+2 − 7un+1 + 2un = −4. (a) Déterminer toutes les suites (un ) vérifiant : (1) ∀n ∈ N , 3un+2 − 7un+1 + 2un = 0. (b) Déterminer les suites constantes de E, on notera (cn ) une telle suite. (c) Etablir qu’une suite (un ) appartient à E si et seulement si la suite (vn ) définie par : vn = un − cn vérifie (1). (d) Déterminer toutes les suites de E. (e) Trouver toutes les suites (un ) de E vérifiant uo = 2 et admettant une limite finie. 8. On demande pour les suites suivantes de calculer un en fonction de n : (a) (b) (c) (d) (e) uo = 4 et ∀n ∈ N , un+1 + 13 un = 4. uo = 2 et ∀n ∈ N 5un+1 − 2un = 5. (uo , u1 ) ∈ R2 et ∀n ∈ N , un+1 = 3un − 2un−1 . uo = 0 , u1 = 1 et ∀n ∈ N , un+2 = un+1 − un . (uo , u1 ) ∈ R2 et ∀n ∈ N , un+1 = 2un − un−1 . 3