TS Physique Histoire de noyaux Exercice résolu

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TS Physique
Histoire de noyaux
Exercice résolu
Enoncé
Remarque : les deux premières parties sont indépendantes.
A. Première partie : temps de demi-vie
Le thorium 230Th est utilisé dans la datation des coraux et concrétions carbonatées ainsi que
dans la datation des sédiments marins et lacustres. Dans un échantillon de « thorium 230 », on
appelle N(t) le nombre de noyaux de thorium présents à chaque date t et N0 celui des noyaux
N(t)
présents à la date t0 = 0 an. On a représenté ci-dessous la courbe donnant le rapport
en
N0
N(t)du temps :
fonction
N0
N(t)
N0
1. Le noyau 230Th est un émetteur α et se désintègre pour donner du 88Ra. Indiquer ce que
représente α et écrire l’équation de la réaction nucléaire correspondante, en précisant les lois
utilisées (le noyau de radium est obtenu dans un état non excité).
2. Donner la définition du temps de demi-vie t1/2 et vérifiez graphiquement que sa valeur est de
7,5 × 104 années.
3. Donner l’expression mathématique de la loi de décroissance radioactive et calculer la
constante radioactive λ en année–1.
4. Parmi ces grandeurs :
- l’âge de l’échantillon de noyaux,
- la quantité initiale de noyaux,
- la température,
- la nature des noyaux,
…quelle est la seule grandeur qui fait varier le temps de demi-vie ?
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5. Le thorium 230Th fait partie de la famille radioactive de l’uranium 238U. Une famille
radioactive est composée d’un ensemble de noyaux radioactifs, tous issus d’un noyau initial
instable qui, de père en fils, par désintégrations successives conduisent à un noyau stable, ici le
« plomb 206 ». L’ « uranium 238 », dissous à l’état de traces dans l’eau de mer, produit des
atomes de « thorium 230 » suivant les réactions nucléaires suivantes :
238
92
U→
234
90
Th →
234
91
Pa →
234
Z4
U→
230
Z5
Th
Donner les valeurs de Z4 et Z5 et indiquez le type de radioactivité pour les deux premières
transformations.
6. Au début de leur formation, les concrétions carbonatées des coraux contiennent de
l’ « uranium 238 » et pas de « thorium 230 ». La méthode de datation de ces carbonates repose
N( 230Th)
sur le rapport des nombres de noyaux :
. Ce rapport augmente au cours du temps jusqu’à
N( 238U)
« l’équilibre séculaire ». Celui-ci correspond à l’état où les deux populations des noyaux
d’ « uranium 238 » et de « thorium 230 » ont même activité.
dN(t)
a) L’activité A(t) d’une population de noyaux identiques est définie ici par : A(t) = −
.
dt
Montrer que, pour une population de noyaux donnée, A(t) = λ.N(t).
N( 230Th)
b) En déduire qu’à l’équilibre séculaire le rapport
est constant.
N( 238U)
B. Deuxième partie : temps de demi-réaction
On étudie maintenant la décomposition chimique au cours du temps, en présence d’un catalyseur,
d’une solution aqueuse de peroxyde d’hydrogène ou eau oxygénée, de concentration molaire
initiale
[H2O2]0 = 9,0 × 10–2 mol.L–1 en soluté apporté. Le peroxyde d’hydrogène se décompose
à température ambiante suivant la réaction d’équation : 2 H2O2 (aq) = O2 (g) + 2 H2O
La courbe 1 de l’annexe n°1 donne l’évolution de la concentration de la solution aqueuse d’eau
oxygénée en fonction du temps.
1. L’eau oxygénée est le réducteur du couple O2 (g)/H2O2 (aq).
En utilisant l’équation associée à la réaction précédente, donner le second couple auquel
appartient l’eau oxygénée, en précisant le rôle de celle-ci.
2. Justifier, en exploitant la courbe et sans calcul, le fait que l’on peut considérer la
décomposition du peroxyde d’hydrogène comme une transformation chimique lente et totale.
3. Définir le temps de demi-réaction t1/2. Déterminer sa valeur approximative à partir de la
courbe 1.
4. Effet de la concentration initiale
La courbe 2 en annexe n°1 donne l’évolution de la concentration de la solution d’eau oxygénée en
fonction du temps, avec [H2O2]0 = 1,8 × 10–1 mol.L-1.
En utilisant les courbes 1 et 2, dire quelle est l’influence de la concentration molaire initiale sur
le temps de demi-réaction ?
5. Effet de la température
Sur la figure en annexe tracer l’allure de la courbe donnant, pour une température plus faible,
l’évolution de la concentration de la solution d’eau oxygénée en fonction du temps, avec [H2O2]0 =
9,0 × 10–2 mol.L-1.
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C. Troisième partie : Conclusion
N(t)
et [H2O2](t) évoluent dans le temps suivant la même loi mathématique (résultat obtenu dans
N0
le cas de la réaction étudiée et non généralisable à toute transformation chimique).
Quelle(s) analogie(s) et quelle(s) différence(s) peut-on constater en ce qui concerne les facteurs
qui influencent le temps de demi-vie et le temps de demi-réaction dans les exemples étudiés ?
Répondre à cette question en complétant le tableau de l’annexe n°2 par OUI ou NON dans chaque
case (ne pas justifier).
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Annexe
Annexe n°1
–1
[H2O2] (mol.L )
18×10–2
Courbe 2
10×10–2
Courbe 1
1,0×10–2
t (min)
0
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10
50
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Annexe n°2
FACTEURS
Age de
l'échantillon
Quantité
initiale de
noyaux ou de
réactifs
Température
du milieu
Nature du
noyau ou du
réactif
Temps de demi-vie
Temps de demi-réaction
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Corrigé
A. Première partie : temps de demi-vie
1. Le noyau 230Th est un émetteur α et se désintègre pour donner du 88Ra. Indiquez ce que représente α et
écrivez l’équation de la réaction nucléaire correspondante, en précisant les lois utilisées (le noyau de radium est
obtenu dans un état non excité).
α est un noyau d'hélium.
On applique les lois de conservation de Soddy. On trouve : A = 226 et Z = 90.
On obtient l'équation suivante :
230 Th
90
4 He
2
+
226 Ra
88
2. Donnez la définition du temps de demi-vie t1/2 et vérifiez graphiquement que sa valeur est de 7,5 × 104 années.
Le temps de demi-vie t1/2 est la durée au bout de laquelle la moitié des noyaux radioactifs
initialement présents dans un échantillon s’est désintégrée.
N(t1 / 2 )
N
1
Donc à t = t1/2, on a N(t1/2) = 0 =>
= .
2
N0
2
Graphiquement, pour
N(t1 / 2 )
N0
=
1
on trouve : t1/2 = 7,5 × 104 années.
2
3. Donnez l’expression mathématique de la loi de décroissance radioactive et calculez la constante radioactive λ en
année–1.
Loi de décroissance radioactive : N(t) = N0. e−λ .t
λ=
Ln2
t1 / 2
soit λ =
avec λ : constante radioactive
Ln2
= 9,2 × 10–6 année–1
7, 5 × 104
4. Parmi ces grandeurs : l’âge de l’échantillon de noyaux, la quantité initiale de noyaux, la température, la nature
des noyaux…quelle est la seule grandeur qui fait varier le temps de demi-vie ?
Le temps de demi-vie est caractéristique de la nature des noyaux et est indépendant des autres
paramètres.
5. L’ « uranium 238 », dissous à l’état de traces dans l’eau de mer, produit des atomes de « thorium 230 »
238
234
234
234
230
suivant les réactions nucléaires suivantes :
U → 90Th → 91 Pa → Z U → Z Th
92
Donnez les valeurs de Z4 et Z5 et indiquez le type de radioactivité pour les deux premières transformations.
4
5
On applique les lois de conservation de Soddy:
- 1ère transformation :
238 U 234 Th + A X
92
90
Z
A X est donc un noyau
Z
: A = 4 et Z = 2
d'hélium 42 He : la première désintégration est de type α.
- 2nde transformation :
234 Th 234 Pa + A X : A = 0 et Z =
90
91
Z
A X est un électron 0 e : la seconde
Z
−1
-1
désintégration est du type β–.
- Valeurs de Z4 et Z5 :
Un élément chimique est caractérisé par le nombre de charge Z.
Le noyau 234
Z U appartient à l'élément uranium, donc Z4 =92.
Le noyau
4
230 Th
Z5
Histoire de noyaux
appartient à l'élément thorium, donc Z5 = 90.
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6. a) Montrez que, pour une population de noyaux donnée, A(t) = λ.N(t).
dN(t)
avec N(t) = N0. e−λ .t
dt
On dérive la fonction N(t) par rapport à la variable t :
−λ .t
d(e−λ.t )
dN(t) d(N0 .e )
= N0 .
=
= -λ.N0. e−λ .t => A(t) = λ.N(t)
dt
dt
dt
A(t) = −
b) En déduire qu’à l’équilibre séculaire le rapport
N(
N(
230
Th)
238
est constant.
U)
- Soit λ1 la constante radioactive du noyau
230 Th
- Soit λ2 la constante radioactive du noyau
238 U
: A(t) = λ1.N( 230 Th).
: A(t) = λ2.N( 238 U).
A « l’équilibre séculaire », les deux populations des noyaux d’ « uranium 238 » et de « thorium
λ
N( 230Th)
230 » ont même activité : λ1.N( 230 Th) = λ2.N ( 238 U) =>
= 2 .
238
λ1
N( U)
Comme λ1 et λ2 sont des constantes, alors le rapport
N( 230Th)
est constant.
N( 238U)
B. Deuxième partie : temps de demi-réaction
1. L’eau oxygénée est le réducteur du couple O2 (g)/H2O2 (aq).
En utilisant l’équation associée à la réaction précédente, donnez le second couple auquel appartient l’eau oxygénée,
en précisant le rôle de celle-ci.
L'équation d'une réaction d'oxydo-réduction s'obtient par l'addition de deux demi-équations.
La première, pour le couple indiqué O2 / H2O2, est l’oxydation de l'eau oxygénée qui joue alors le
rôle de réducteur : H2O2 = O2 + 2 e– + 2 H+ (1)
La deuxième, pour le couple H2O2 / H2O recherché, est la réduction de l'eau oxygénée qui joue
alors le rôle d'oxydant : H2O2 (aq) + 2 e– + 2 H+(aq) = 2 H2O(aq) (2)
En faisant (1) +(2), on retrouve bien : 2 H2O2 (aq) = O2 (g) + 2H2O
2. Justifiez en exploitant la courbe, sans calcul, le fait que l’on peut considérer la décomposition du peroxyde
d’hydrogène comme une transformation chimique lente et totale.
Transformation chimique lente car elle dure environ 1h.
Transformation chimique totale car en fin de transformation [H2O2] = 0 mol.L–1 : le seul réactif
(donc limitant) est totalement consommé.
3. Définissez le temps de demi-réaction t1/2. Déterminez sa valeur approximative à partir de la courbe 1 en
annexe.
Le temps de demi-réaction est la durée nécessaire pour que l'avancement x atteigne la moitié de
sa valeur finale.
x
Ici la transformation est totale, soit xfinal = xmax et, pour t = t1/2, on a : x = max .
2
xmax
n(H2 O2 )0 −
x
2
Donc : [H2O2] t1/2 =
où encore : [H2O2] t1/2 = [H2O2]0 – max
2V
V
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avec :
- V : volume réactionnel,
- n(H2O2)0 : quantité de matière initialement présente de peroxyde d'hydrogène.
L'eau oxygénée est totalement consommée, donc : n(H2O2)0 – xmax = 0
soit xmax = n(H2O2)0
donc xmax = [H2O2]0.V
[H2 O2 ]0
[H O ]
=> [H2O2] t1/2 = [H2O2]0 –
et [H2O2] t1/2 = 2 2 0
2
2
Graphiquement on trouve : [H2O2] t1/2 =
9, 0 × 10−2
= 4,5 x 10-2 mol.L-1 pour t = t1/2 = 5,0 min.
2
4. En utilisant les courbes 1 et 2, dites quelle est l’influence de la concentration molaire initiale sur le temps de
demi-réaction ?
Pour [H2O2]0 = 1,8 ×10–1 mol.L–1, la courbe 2 permet de déterminer t1/2 = 5,5 min
Il semble que la concentration molaire initiale n'ait que peu ou pas d'influence sur la valeur du
temps de demi-réaction.
5. Sur la figure en annexe tracez l’allure de la courbe donnant, pour une température plus faible, l’évolution de la
concentration de la solution d’eau oxygénée en fonction du temps, avec [H2O2]0 = 9,0 × 10–2 mol.L-1.
Si la température est plus faible, la réaction est plus lente mais sa limite est la même. L’allure de
la courbe est donc la même mais le temps de demi-réaction est plus élevé et la concentration
[H2O2] = 0 mol.L-1 est atteinte après une durée plus importante.
C. Troisième partie : conclusion
Quelle(s) analogie(s) et quelle(s) différence(s) peut-on constater en ce qui concerne les facteurs qui influencent le
temps de demi-vie et le temps de demi-réaction dans les exemples étudiés ? Répondez à cette question en
complétant le tableau ci-dessous par OUI ou NON dans chaque case :
FACTEURS
Age de
l'échantillon
Quantité
initiale de
noyaux ou de
réactifs
Temps de demi-vie
NON
NON
Temps de demi-réaction
NON
Histoire de noyaux
NON
(dans cet exercice)
Température
du milieu
Nature du
noyau ou du
réactif
NON
OUI
OUI
OUI
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