Chapitre - Les régularités en mathématiques

Transcription

LES RÉGULARITÉS EN
MATHÉMATIQUES
Date d’achèvement prévue
Septembre Octobre Novembre Décembre Janvier
Février
Mars
Avril
Mai
Juin
LES RÉGULARITÉS EN MATHÉMATIQUES
76
PROGRAMME DE MATHEMATIQUES 4e ANNEE – VERSION PROVISOIRE
Aperçu du chapitre
Introduction
Les mathématiques sont souvent décrites comme la science des
régularités. Des régularités, qui existent à la fois dans la nature et
les créations humaines, se rencontrent dans les contextes
quotidiens des élèves. Lors de l’apprentissage des mathématiques,
les élèves doivent être en mesure de reconnaître, de décrire et de
prolonger les régularités et de s’en servir pour résoudre les
problèmes. La capacité de discerner et d’utiliser les régularités
efficacement favorise le développement du raisonnement
algébrique. Les élèves de 4e année commencent à représenter le
raisonnement algébrique avec des expressions algébriques. Les
diverses représentations des régularités, y compris l’usage de
symboles et de variables, fournissent des outils précieux pour faire
des généralisations des relations mathématiques. Les régularités
imprègnent chaque concept mathématique.
Les régularités sont omniprésentes dans notre monde. Le
programme des mathématiques pourrait aider à sensibiliser les
élèves aux régularités qu’ils observent chaque jour et aux
descriptions mathématiques ou modèles de ces régularités et aux
relations (NCMT, Curriculum and Évaluation Standards for
School Mathematics, 1989, p. 100-101 corriger le format de
référence).
Les élèves de 4e année élargiront leurs connaissances antérieures
des régularités et relations lorsqu’ils exploreront les différents
types de régularités, découvriront les règles de régularité,
traduiront les représentations concrètes et imagées des régularités
en tables ou tableaux, détermineront les égalités et examineront
comment les régularités à base de symboles et de variables sont
utilisées mathématiquement pour décrire le changement et
modéliser les relations quantitatives.
Processus
mathématiques
[C]
[L]
[RP]
[V]
Communication
[CE] Calcul mental et estimation
Liens
[R] Raisonnement
Résolution de problèmes [T] Technologie
Visualisation
77
Domaine : Régularités et relations
Résultats d’apprentissage
spécifiques
L’élève doit pouvoir :
4RR1 Identifier et décrire des
régularités dans des tables
et des tableaux, y compris
une table de multiplication.
[C, L, RP, V]
* enseigné dans l’unité sur les
tables de multiplication et de
division
Indicateur de rendement :
4RR1.4 Décrire la régularité dans
une table ou un tableau donné.
Stratégies d’enseignement et d’apprentissage
Bien que le chapitre sur les opérations de multiplication et de division
ne commence que vers Noël, on recommande d’incorporer tôt dans le
programme quotidien, de 5 à 10 minutes en matinée, les opérations
avec des produits allant jusqu’à 45.
Les élèves de 4e année continueront d’étudier et de développer les
nombreuses régularités dans différents tableaux et grilles. Dans
Premiers pas et dans la leçon 1, on met l’accent sur les régularités
dans une grille de cent et dans une table d’addition. Cette matière est
traitée en détail en 2e et 3e année. Il est donc recommandé aux
enseignants de faire preuve de beaucoup de discernement à l’égard de
cette matière, car elle ne reflète pas les régularités au niveau de la
4e année. Ne choisissez qu’un ou deux exercices pratiques.
Observez les nombreuses régularités dans la grille de cent. Par
exemple :
Choisissez quatre nombres qui forment un carré. Additionnez
les deux nombres placés en diagonale tels que 59 + 68 et
58 + 69. Les sommes sont identiques.
127
58
59
68
69
127
Complétez plusieurs grilles de cent, de façon que les élèves
puissent explorer de 1 à 100, de 101 à 200 et jusqu’à 999. Sur
ces grilles, utilisez des jetons de couleur pour recouvrir les
nombres formant une régularité et encouragez les élèves à
observer la valeur de position des nombres recouverts.
Observez les régularités dans une table d’addition, telles que :
• seuls les nombres pairs sont situés sur la diagonale principale (du
haut à gauche vers le bas à droite), de sorte que la somme d’un
nombre avec lui-même est toujours paire.
• les nombres augmentent d’une unité à la fois sur toute une
rangée, étant donné qu’il s’en ajoute une à chaque mouvement
vers la droite.
• tous les 8 sont en diagonale, car chaque fois que le second terme
de l’addition augmente de un, le premier terme diminue de un.
• il y a trois 2, quatre 3, cinq 4, etc.
• les diagonales de n’importe quels quatre nombres qui forment un
carré auront la même somme.
Les élèves ont déjà vu les tables de multiplication allant jusqu’à 45,
mais ils n'ont pas travaillé beaucoup avec une grille de multiplication.
Un traitement plus approfondi des régularités dans les grilles de
multiplication suivra au chapitre 6.
78
Résultat d’apprentissage général :
Décrire le monde à l’aide de régularités pour résoudre des problèmes
Stratégies d’évaluation
Ressources/Notes
Papier-crayon
4RR1 À l’aide d’une grille de cent, demandez aux élèves de trouver
tous les multiples de 2 et de les colorier. Demandez-leur de décrire les
régularités. Répétez l’exercice pour des multiples de 3, 4, 5, 6, 7, 8 et
de 9. Demandez aux élèves de décrire les changements qu’ils
observent à mesure que les nombres augmentent. Quand vous
observerez le travail des élèves, remarquez dans quelle mesure :
• ils les trouvent tous;
• ils trouvent (certains ou aucun) des multiples du nombre
donné;
• ils peuvent prédire et prolonger la régularité des multiples;
• ils peuvent décrire la régularité (clairement, en partie,
difficilement) en la rapprochant des dessins semblables dans
le monde réel.
Ressources autorisées
Papier-crayon
4RR1.1 Demandez à un élève d’insérer les nombres manquants, tout
en expliquant la raison de chaque choix :
4, 8, ___ , 16, 20, __
5, ___ , 15, ___ , 25
3, ___ , ___ , 12, 15
Compas Mathématique 4 *
Chapitre 1:
Les régularités en mathématiques
Présentation du chapitre
GE p. 7
ME p. 1
Premiers pas:
Comparer des régularités
GE p. 9 - 10
ME p. 2-3
Leçon 1:
Les régularités dans une table
d’addition
RR1 (1.2/ 1.4)
GE p. 11-14
ME p. 4-6
CA, p. 1
Portfolio
4RR 1.1 Les enseignants peuvent demander aux élèves de décrire par
écrit les régularités qu’ils trouvent dans une grille donnée. Invitez les
élèves à réfléchir à la façon dont leur travail prouve qu’ils sont de
bons mathématiciens (c.-à-d. en cherchant des régularités, en
employant un vocabulaire mathématique pour décrire leur
raisonnement, en persévérant malgré les difficultés, en relevant les
défis et en posant les bonnes questions.)
Papier-crayon
4RR1.2 Remettez aux élèves une grille à laquelle il manque des
nombres et demandez-leur de trouver les nombres manquants, tout en
expliquant leur raisonnement.
* Légende
GE: Guide d’enseignement
ME: Manuel de l’élève
CA : Cahier d’activités
79
spécifiques
une table de
multiplication. (Suite)
[C, L, RP, V]
* enseigné dans l’unité sur les
faits de multiplication et de
division
Indicateurs de rendement :
4RR1.2 Déterminer les éléments
manquants dans une table ou un
tableau.
4RR3 Représenter, décrire et
prolonger des régularités
et des relations à l’aide de
représentations
graphiques et de tableaux
pour résoudre des
problèmes.
[C, L, R, RP, V]
4RR3.1 Transposer l’information
fournie dans un problème donné
dans une table ou un tableau.
4RR3.2 Identifier et prolonger la
régularité dans une table ou un
tableau pour résoudre un
problème donné.
80
4RR2 La grille de cent est un modèle utile aux élèves pour trouver et
décrire un certain nombre de régularités. Encouragez les élèves à
discuter des règles de régularité comme moyen de les aider à
déterminer les éléments manquants.
Demandez aux élèves de décrire une régularité pour consolider leur
compréhension. Cette description est appelée une règle de régularité.
Les élèves doivent utiliser des termes comme verticale,
horizontale, diagonale, rangée, colonne, règle de régularité, point
de départ et régularité croissante, décroissante et répétitive pour
aider à décrire les régularités.
4RR3 Les régularités croissantes comprennent également une
composante numérique, par exemple, le nombre d’objets à chaque
étape. Une grille ou un tableau peut être créé pour représenter une
régularité. Les objets de manipulation peuvent devenir superflus une
fois qu’une table est utilisée pour la régularité croissante. Les élèves
doivent alors comprendre qu’ils peuvent prolonger une régularité sans
avoir à bâtir un modèle à chaque fois. Cela nous mène également à
l’étape suivante, qui consiste à prédire ce qui se passera à une étape
en particulier (Van de Walle et Lovin 2006, p. 293-294).
Demandez aux élèves non seulement de s’exercer à prolonger les
régularités à l’aide de matériel de manipulation et de dessins, mais
encore et surtout de convertir les régularités d’un moyen d’expression
à un autre. Par exemple, si une régularité est créée à l’aide de blocs
rouges et bleus, les élèves doivent savoir que ces blocs peuvent aussi
être représentés à l’aide de lettres. Échangez avec les élèves pour
expliquer en quoi ces régularités sont semblables.
Ressources/Notes
Exécution
À l’aide d’une grille de cent, placez un jeton de couleur sur les
nombres 21, 28, 36 et 45. Utilisez l’addition et la soustraction pour
prolonger la régularité dans les deux directions. Continuez d’utiliser
les jetons pour compléter la grille de cent.
Expliquez la régularité à l’aide d’images, de nombres et de mots.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99 100
Compas Mathématique 4
Leçon 1:
Les régularités en mathématiques
(Suite)
GE p. 11-14
ME p. 4-6
CA, p. 2
Jeu de math: Les régularités dans
les grilles
4RR1 (1.4) 4RR2 (2.1)
GE p. 15-16
ME p. 7
Exécution
4RR1.2/1.4 En utilisant cette régularité numérique, demandez aux
élèves de prolonger la régularité et d’expliquer :
• comment ils ont déterminé la régularité et ses éléments
manquants
• quelle situation du monde réel pourrait décrire cette
régularité.
A
1
2
3
4
B
2
4
8
Demandez aux élèves d’utiliser du matériel de manipulation pour
illustrer cette régularité. Demandez-leur de décrire comment leur
présentation démontre cette régularité.
Leçon 2:
Prolonger des régularités à l’aide
de tableaux
RR1 (1.2/ 1.4) RR3 (3.1/ 3.2)
GE p.17-20
ME p.8-11
CA, p. 2
Cette leçon est fortement liée au
4RR3.
81
spécifiques
représentations
pour résoudre des
problèmes. (suite)
[C, L, R, RP, V]
Quand ils commencent à étudier le concept des relations, les élèves
ont besoin d’utiliser concrètement du matériel de manipulation, soit
des grilles et des tableaux utilisés dans des contextes qui sont
attrayants et signifiants pour eux. Ils ont besoin également de
nombreuses occasions de relier les régularités aux idées de nombre.
Une fois le tableau ou la grille remplie, les élèves ont deux
représentations d’une régularité : celle créée par le dessin ou le
matériel et la version numérique, qui est dans le tableau ou la grille.
Quand ils cherchent des régularités, certains élèves se concentreront
sur le tableau, tandis que d’autres mettront l’accent sur la régularité
physique. Il est important que les élèves comprennent que les mêmes
régularités observées peuvent prendre plusieurs formes.
Quand ils ont trouvé une régularité dans un tableau, mettez les élèves
au défi de voir comment cette régularité est représentée à l’aide de
matériel concret. (Van de Walle et Lovin 2006, p. 295).
4RR2 Transposer, d’une
représentation à une
autre, une régularité
observée dans un tableau,
dans une représentation
graphique ou concrète.
[C, L, V]
4RR2.1 Créer une représentation
concrète d’une régularité donnée
dans une table ou un tableau.
4RR1.3 Identifier l’erreur ou les
erreurs dans une table ou un
tableau.
82
Étape
1
2
3
4
5
…
10
Nbre de
carrés
2
6
12
20
?
…
?
4RR2.1 Quand on leur soumet une régularité représentée dans une
grille ou un tableau, les élèves doivent la reproduire à l’aide de
matériel concret. Inversement, ils doivent créer une table ou un
tableau quand on leur présente une régularité faite à l’aide de matériel
concret.
Les élèves doivent avoir tout le loisir de construire des régularités
croissantes à l’aide de matériel concret (cure-dents, dessins, cubes
emboîtables, etc.) et de créer une table ou un tableau représentant la
régularité. Il faut les inviter à décrire ce qui se passe à mesure que la
régularité croît et à expliquer comment la nouvelle étape est reliée à la
précédente.
Les élèves trouveront utile de penser à une règle de régularité et de
l’expliquer quand ils cherchent des erreurs dans les tables ou les
tableaux.
Ressources/Notes
4RR2.2 Exécution
Présentez aux élèves une régularité de formes géométriques et
demandez-leur de la prolonger et de créer un tableau correspondant.
Demandez-leur ce que serait la 10e étape, la 12e ou la 20e. Par
exemple :
Leçon 2:
Prolonger des régularités à l’aide
de tableaux (Suite)
Exécution
4RR2.1 Présentez une table comprenant une opération mathématique
dans la régularité. Expliquez ce que les données pourraient
représenter, complétez la table et créez une représentation concrète à
l’aide de cubes emboîtables.
1
3
2
6
3
9
4
12
5
?
6
?
7
?
8
?
9
?
Exécution
4RR2 Soumettez aux élèves un problème qui présente une régularité
et demandez-leur de représenter cette régularité d’au moins de deux
façons et d’expliquer leur raisonnement.
Journal
4RR1.3 Donnez aux élèves un tableau comme celui-ci :
1
4
2
8
3
12
4
18
5
20
6
22
7
28
8
32
9
36
Leçon 3:
4RR1 (1.3) 4RR2 (2.2) 4RR3
(3.2)
GE pp.21-24
ME pp.12-14
CA, p. 3
Bien que des élèves peuvent
répondre aux questions posées
sans avoir besoin de représenter
les régularités à l’aide de tableaux
ou de tables, il est recommandé
d'insister qu'ils le fassent quand
même au moins d’une façon pour
mieux répondre au RR3.
Curiosités mathématiques: Les
bandes numériques
4RR1 (1.2/ 1.4)
GE p. 14
ME p. 15
Cette activité correspond bien aux
résultats d’apprentissage mais
demeure facultative.
Révision
4RR1 (1.2/ 1.4) 4RR2 (2.1) 4RR3
(3.1/ 3.2)
GE p. 26-28
ME p. 16-17
À faire si nécessaire. Par contre,
prenez soin de bien couvrir la
Demandez aux élèves de trouver les erreurs et de le noter dans leur matière découlant des leçons 2 et
3.
journal de mathématiques et de l’expliquer.
83
spécifiques
une table de
multiplication. (Suite)
[C, L, RP, V]
représentations
pour résoudre des
problèmes. (suite)
[C, L, R, RP, V]
4RR3.2 Identifier et prolonger la
régularité dans une table ou un
tableau pour résoudre un
problème donné.
4RR3 À mesure que les élèves développent leur aptitude à reconnaître
et à créer des régularités, ils apprennent à utiliser leurs connaissances.
Leur capacité de résoudre les problèmes s’accroît par l’avec
l’exercice répétée de régularités diverses. Ils passent d’une
reconnaissance de base des régularités à une utilisation plus subtile de
ces régularités comme stratégie de résolution de problèmes.
4RR3.2 La résolution de problème devrait permettre aux élèves
d’établir des liens entre les régularités physiques et l’information
représentée sur une table ou un tableau.
Des situations réelles signifiantes doivent être évoquées régulièrement
pour s’assurer que les élèves ont suffisamment de pratique pour
prolonger les régularités observées dans une table, de façon à
résoudre un problème donné. Par exemple :
David tentait de se qualifier pour faire partie de l’équipe de natation.
Il devait effectuer 30 longueurs avant la fin de la deuxième semaine.
Il ne pouvait pas nager les fins de semaine. La première journée, il a
parcouru une longueur, la deuxième, cinq longueurs, la troisième neuf
longueurs et ainsi de suite. David a-t-il fait suffisamment de
longueurs à la fin de la deuxième semaine pour se qualifier dans
l’équipe?
Jour
Lundi
Mardi
Mercredi
Jeudi
84
Nombre de longueurs
1
5
9
13
Ressources/Notes
Exécution
4RR3.1 Demandez aux élèves de résoudre le problème suivant :
Jean assemble des trains à l’aide de cubes emboîtables.
Leçon 4 :
Résoudre des problèmes à l’aide
de régularités
4RR1 (1.4) 4RR3 (3.2)
GE pp.29-31
ME pp.18-19
CA, p. 4
Des exercices supplémentaires
peuvent être nécessaires.
S’il continue d’assembler des trains de cette façon, combien
de cubes lui faudra-t-il pour le 7e train?
Demandez à l’élève de chercher une régularité et de créer un tableau
pour afficher l’information et résoudre le problème.
Train
Nombre de blocs
1
1
2
5
3
9
4
5
6
7
Papier-crayon
4RR3.2 Emma accepte de promener les chiens de Katie pendant que
celle-ci sera partie en vacances. Voici le tableau représentant l’offre
de Katie :
Jour
1
2
3
4
…
21
Dollars
2
4
6
8
…
?
Emma : « Je te propose une autre offre. » :
Jour
Dollars
1
2
2
4
3
8
4
16
…
…
21
?
Demandez aux élèves : Si vous étiez Katie, quelle offre choisiriez
vous? Expliquez votre choix.
85
spécifiques
4RR5 Exprimer un problème
donné sous la forme d’une
équation dans laquelle un
nombre inconnu est
représenté par un
symbole.
[L, R, RP]
4RR5.1 Expliquer le rôle du
symbole, tel qu’un triangle ou un
cercle, qui apparaît dans une
équation d’addition, dans une
équation de soustraction, dans une
équation de multiplication ou dans
une équation de division à une
inconnue donnée, ex : 36 ÷ = 6.
En 3e année, les élèves ont appris les équations où les nombres
inconnus sont représentés par des symboles. On s’attend à ce que les
élèves de 4e année soient en mesure de créer et de résoudre des
équations à une inconnue à l’aide de l’une ou l’autre des quatre
opérations. À ce stade, les élèves utiliseront des opérations d’addition
et de soustraction et, au chapitre 6, les équations de multiplication et
de division à une inconnue seront couvertes en profondeur.
Exemples : 28 – 9 = 
 = 17 – 8
4+5= +2
50 = 20 + ∆
Une équation est une phrase mathématique avec un signe égal (=) et
est employée pour exprimer des relations entre deux quantités. Pour
certains élèves, le signe égal présentera une difficulté. Bien qu’ils
soient à l’aise avec, par exemple, la phrase 4 + 5 = , ils interprètent
le signe égal comme voulant dire « trouver la réponse ». Par
conséquent, en présence de la phrase □ – 4 = 5, ces élèves
s’imagineront que la réponse est déjà là. De même, les élèves
pourront répondre 4 + □ = 5 en additionnant 4 et 5 pour « trouver la
réponse ». La notion d’une équation comme expression d’un équilibre
leur échappe.
Il est important que les élèves reconnaissent que le signe égal est une
façon d’indiquer que le même nombre porte deux noms différents, de
part et d’autre du signe égal. (Marian Small, 2008, p. 586).
Le signe égal est « un symbole d’équivalence et d’équilibre » (NCTM
2000, p. 39).
Les élèves doivent pouvoir utiliser facilement divers symboles pour
représenter une inconnue, par exemple, un carré, un cercle ou un
triangle.
29 + ∆ = 56
ou
29 + ∆ = 56
Affichez un certain nombre de balances comme il est illustré plus bas.
Rappelez aux élèves que la balance étant équilibrée, une équation
peut être écrite pour représenter la situation illustrée. Demandez aux
élèves d’écrire une équation pour chaque balance et de la résoudre
ensuite. Par exemple
8+
20
8 + = 20, donc = 12.
-8
4
- 8 = 4, donc = 12
Donnez des exemples, à divers degrés de difficulté, d’utilisation de
symboles pour représenter les inconnues. La diversité des formats
renforcera la compréhension qu’on les élèves de l’égalité.
86
Ressources/Notes
Dialogue élève-enseignant
4RR5.1 Résolvez l’équation suivante et expliquez votre
raisonnement.
∆ – 13 = 20
4RR5.1 Lori dit que le carré dans l’équation suivante représente plus
d’un nombre. Lori a-t-elle raison? Pourquoi ou pourquoi pas?
6+8=+4
Expliquez comment trouver le nombre manquant dans :
25 + ∆ = 100
Leçon 5:
Résoudre des équations
4RR5 (5.2/ 5.2) 4RR6 (6.1/ 6.3)
GE p. 32-35
ME p. 20-23
CA, p. 5
Encouragez les élèves à écrire une
équation pour chaque problème,
car il est possible de résoudre
chaque problème sans s’appuyer
sur la notion d’équilibre.
Dialogue élève- enseignant
Expliquez à quoi sert le carré dans l’équation suivante :
15 -  = 8
Dialogue élève- enseignant
Deux enfants ont une collection de cartes de hockey. Alex en a cinq
de plus que Josie. S’ils ont 25 cartes en tout, combien en ont-ils
chacun? (Proulx 2006)
Alex
Josie
+5
total number of hockey cards
25
Exécution
Demandez aux élèves d’écrire des équations avec une inconnue dans
des situations de problème comportant des mesures. Par exemple :
Le périmètre d’un triangle est de 12 cm. Un côté mesure 3 cm et un
autre 4. Quelle est la longueur du troisième côté?
des problèmes contextuels avec des données comme :
Le bibliothécaire veut savoir quel type de livres acheter pour la
bibliothèque.
Vingt-trois élèves ont choisi des livres scientifiques et certains ont
choisi des livres d’images.
Quarante-huit élèves ont choisi des livres scientifiques ou des livres
d’images. Combien d’élèves ont choisi des livres d’images?
des situations de problème avec des figures géométriques comme :
Gina forme des pentagones avec des cure-dents. Elle dispose de
30 cure-dents. Combien de pentagones peut-elle former?
87
spécifiques
nombre inconnu est
représenté par un
symbole. (Suite)
[L, R, RP]
4RR5.2 Remettez aux élèves diverses représentations comme des
diagrammes, des droites numériques et du matériel concret qui
peuvent s’agencer comme des équations. Exemples :
4RR5.2 Exprimer une
représentation concrète ou imagée
d’une équation sous la forme
d’une équation à une inconnue en
utilisant un symbole pour
représenter l’inconnue.
4RR6 Résoudre des équations à
une étape dans lesquelles
un nombre inconnu est
représenté par un
symbole.
[C, L, R, RP, V]
4RR6.1 Résoudre une équation à
une étape donnée à l’aide de
matériel de manipulation.
4RR6.3 Décrire oralement la
signification d’une équation à une
inconnue et à une étape donnée.
36 -  = 32
29
30
31
32
33
34
35
=
36
+
Ce résultat d’apprentissage est une continuation de RR5, où la
résolution de l’équation constitue l’étape suivante.
L’aspect de multiplication et de division de ce résultat est abordé plus
tard au chapitre 6, Les opérations de multiplication et de division.
Exemples d’équations comportant une addition et une soustraction :
Si Yolanda a 18 cartes et Jean cinq. Écrivez une équation qui
indique combien de cartes de plus a Yolanda. Résolvez
l’équation :
18 - 5 = 
5 + = 18
Vous avez 24 billes et votre ami vous en donne davantage.
Vous avez maintenant 32 billes en tout. Combien de billes
votre ami vous a-t-il données?
a. Écrivez une équation montrant ce qui se passe dans ce
problème.
b. Résolvez le problème. Expliquez votre raisonnement.
À mesure qu’ils auront l’occasion d’expliquer leurs solutions et de
réagir à celles des autres, les élèves développeront leurs compétences
en communication des mathématiques.
88
Exécution
4RR5.2 Modélisez à l’aide de matériel de manipulation et écrivez
l’équation sous forme symbolique :
• Modélisez 4 groupes de 5 jetons et écrivez l’équation
correspondante.
Les réponses possibles sont 5 + 5 + 5 + 5 = ∆
ou 4 x 5 = 20
Ressources/Notes
Leçon 5 (Suite):
Résoudre des équations
GE pp.32-35
ME pp.20-23
CA, p. 5
Encouragez les élèves à écrire une
équation pour chaque problème
car il est possible de résoudre
chaque problème sans consolider
la notion d’équilibre.
89
spécifiques
nombre inconnu est
représenté par un
symbole. (Suite)
[L, R, RP]
4RR5.3 Identifier la valeur
inconnue dans l’énoncé d’un
problème, représenter le problème
sous la forme d’une équation, puis
résoudre le problème, de façon
concrète, imagée ou symbolique.
4RR5.3 Faites constamment des liens entre les représentations
concrètes, imagées et symboliques et les équations afin que les élèves
élargissent leur compréhension des équations.
Donnez aux élèves divers problèmes tirés de la vie courante et
demandez-leur d’écrire les équations appropriées pour représenter ces
situations.
Par exemple :
• Vous avez trois boîtes de crayons avec le même nombre de
crayons dans chaque boîte. Il y a en tout 36 crayons.
•
Un ruban rouge fait 36 cm de longueur et un ruban bleu
63 cm. De combien le ruban bleu est-il plus long que le
rouge?
4RR5.4 Créer un problème
4RR5.4 Situez vos problèmes dans des contextes de tous les jours afin
contextualisé qui correspond à une que les élèves puissent comprendre quand ils convertissent le sens du
équation à une inconnue donnée.
problème par une équation appropriée en utilisant le symbole pour
représenter le nombre inconnu. Encouragez-les à créer des problèmes
dont la solution exige différentes opérations : + - x ÷
90
Exécution
4RR5.3 En vous servant d’un problème tiré de la vie quotidienne,
demandez aux élèves d’écrire une équation correspondante au
problème (par ex. il y a quatre sandwiches sur un plateau; il y en avait
13 au départ; il en manque un certain nombre). Les élèves créent une
équation correspondante (par ex. 4+=13).
Exécution
4RR5.3 Remettez aux élèves des cubes emboîtables – blancs, rouges
et bleus (ou deux autres couleurs de votre choix). Posez le problème
suivant :
« Gregory a 13 billes rouges et 22 bleues. « Combien de
billes bleues de plus que de billes rouges Gregory a-t-il? »
Demandez aux élèves de modéliser cette situation en construisant
deux colonnes à l’aide de cubes, l’une représentant les billes rouges et
l’autre les bleues. Pour trouver la différence entre les deux colonnes,
des cubes blancs sont ajoutés à la colonne rouge pour représenter la
différence entre les deux quantités. Demandez aux élèves de dessiner
un diagramme pour représenter la situation.
Ressources/Notes
Leçon 6:
d’équations
4RR5 (5.3/ 5.4)
4RR6 (6.1/ 6.2/ 6.3/ 6.4)
GE pp.36-39
ME pp.24-26
CA, p. 6
Portfolio
4RR5.3 Après avoir résolu une équation, demandez aux élèves de
noter dans leur journal de math à l’aide des incitatifs suivants :
• Je sais que j’ai raison parce que _______.
• Parmi les stratégies que j’ai utilisées pour résoudre le
problème figurait _______.
• J’ai appris notamment que : _______.
• Un défi que j’ai eu à relever fut _______.
Exécution
En se servant d’une équation comme 14 +  = 21 ou 5 x  =15, les
élèves créent et résolvent un problème de la vie de tous les jours.
Rappelez-vous d’inclure des équations avec +, -, x, ÷. Observez dans
quelle mesure ils peuvent :
• créer un contexte qui corresponde à l’équation;
• expliquer la signification de la variable inconnue;
• résoudre le problème d’une façon ou plus.
Exécution
Dessinez un diagramme qui représente cette équation.
∆ + 23 = 48
Résolvez l’équation.
Écrivez une autre équation qui est équivalente à ∆ + 23 = 48.
91
spécifiques
représenté par un
symbole. (Suite)
[C, L, R, RP, V]
4RR6.2 Résoudre une équation à
une étape donnée en procédant
par tâtonnement.
Modélisez le processus « par tâtonnement » pour trouver la valeur de
l’inconnue qui équilibrera les deux membres de l’équation.
Pour cette stratégie, un élève tente de deviner une réponse et fait
l’essai de sa supposition pour voir s’il a deviné juste. Si non, l’élève
révise sa supposition à la lumière de ce qu’il a appris et essaie de
nouveau. Ce processus répétitif se poursuit jusqu’à ce que l’on trouve
la bonne réponse.
Certains élèves sont capables d’entrevoir la solution d’un simple coup
d’œil alors que d’autres doivent procéder une étape à la fois. Bien que
nous pensions souvent qu’il est incorrect de deviner, une telle
stratégie valorise la prise de risques et l’apprentissage d’après
l’information recueillie. (Small 2008, p. 44).
Exemple : Il y a huit filles de plus que de garçons dans une pièce. Au
total il y a 24 personnes. Combien y a-t-il de garçons?
Solution possible :
Un enfant pourrait commencer par penser ainsi :
5 garçons et 13 filles font 18 personnes (pas assez de personnes)
10 garçons et 18 filles font 28 personnes (trop de personnes)
8 garçons et 16 filles font 24 personnes (il y a 8 garçons).
4RR6.4 Résoudre une équation
donnée dans laquelle l’inconnue
apparaît dans le membre de
gauche ou dans le membre de
droite.
92
Les élèves doivent avoir des occasions d’écrire des équations où le
nombre manquant se trouve à divers endroits.
Par exemple : 15 + = 275
260 + 15 = 
Journal
4N6 Soumettez aux élèves le problème suivant :
Vous savez que + 24 = 35.
 peut-il représenter 10?
Utilisez des mots, des images ou des symboles pour montrer comment
vous le savez.
La question est suffisamment ouverte pour que certains élèves
puissent choisir de dessiner une balance… d’autres d’utiliser des
modèles de base dix. D’autres pourront écrire 10 + 24 = 34, non 35…
et ainsi de suite.
Papier-crayon
Invitez les élèves à écrire autant d’équations différentes que possible,
en utilisant des symboles pour représenter cette situation.
Demandez-leur d’échanger leurs équations et de s’assurer qu’un
grand nombre d’équations sont incluses.
Par exemple :
15 +  = 24
◊ + 15 = 24
24 = 15 + ∆
24 =  + 15
24 – ⌂ = 15
24 – 15 = 
15 = 24 – ∆
 = 24 – 15
Ressources/Notes
Leçon 6 (Suite):
d’équations
GE p. 36-39
ME p. 24-26
Leçon 7: Résoudre des équations
tirées d’un récit
4RR5 (5..3/ 5.4)
4RR6 (6.1/ 6.2/ 6.4)
GE pp.40-42
ME p.27
CA, p. 7
Si vous choisissez d’enseigner la
leçon 7, il est important que vous
choisissiez soigneusement les
exercices de la leçon 6, étant
donné que les leçons 5, 6 et 7
visent toutes le même résultat.
Exécution
Demandez aux élèves, par la discussion, de verbaliser diverses façons
d’écrire des équations pour représenter la situation. Encouragez-les à
utiliser différents symboles. Assurez-vous qu’ils incluent des
équations où le symbole représentant l’inconnue est situé à gauche et
d’autres équations où il est situé à droite.
48 +  = 100
∆ + 48 = 100
100 = ◊ + 48
100 = 48 + ⌂
100 – 48 = 
∆ = 100 – 48
100 – ◊ = 48
48 = 100 – 
Exécution
Que vaut le ∆ dans les phrases d’addition et de soustraction
suivantes?
∆-7=6
9 + ∆ = 17
Placez les nombres manquants dans les symboles pour former une
vraie phrase d’addition ou de soustraction.
93
spécifiques
représenté par un
symbole. (Suite)
[C, L, R, RP, V]
4RR6.5 Représenter et résoudre
un problème d’addition ou de
soustraction donné, comprenant
un contexte partie-partie-tout ou
un contexte de comparaison, à
l’aide d’un symbole pour
représenter l’inconnue.
94
Soumettez aux élèves des problèmes comprenant un contexte partie–
partie–tout et un contexte de comparaison et demandez-leur
d’explorer l’idée d’un symbole représentant une quantité inconnue
précise quand ils convertissent ces problèmes en équations écrites.
Réexaminez la signification du signe = comme symbole
d’équivalence ou d’équilibre de deux quantités de part et d’autre de
l’équation. Exemples de problèmes :
Partie–partie–tout
Tout : inconnue
Connie a 15 billes rouges et 28 bleues. Combien de billes a-t-elle?
Partie : inconnue
Connie a 43 billes. Quinze sont rouges et les autres bleues. Combien
de billes bleues a Connie?
Comparaison
Différence : inconnue
Connie a 15 billes rouges et 28 bleues. Combien de billes bleues de
plus que de billes rouges a Connie? (Comparez)
Grande quantité : inconnue
Connie a 15 billes rouges et des billes bleues. Elle a 13 billes bleues
de plus que de rouges. Combien de billes bleues a Connie?
Petite quantité : inconnue
Connie a 28 billes bleues. Elle a 13 billes bleues de plus que de
rouges. Combien de billes rouges Connie a-t-elle?
Groupez les élèves par deux et soumettez leur le problème suivant :
Stéphane a 15 ans. Il a un frère plus jeune. La somme de leurs âges
est 25. Écrivez une phrase de nombres qui vous aidera à résoudre ce
problème. Modélisez l’écriture d’une phrase de nombres pour la
situation du problème. Utilisez une stratégie de « raisonnement à voix
haute » pour aider les élèves à comprendre comment aborder la tâche.
Demandez :
• De quelle information disposons-nous au sujet de ce problème?
(Stéphane a 15 ans; lorsque vous additionnez son âge à celui de
son frère, vous obtenez 25)
• Quelle information nous manque-t-il? (L’âge du frère
• Quelles opérations pouvons-nous utiliser pour résoudre ce
problème?
Expliquez aux élèves qu’ils peuvent substituer un symbole au nombre
inconnu. Écrivez l’équation « 15 +  = 25 » au tableau ou sur du
papier graphique. Demandez aux élèves ce que signifie  dans ce
problème. Demandez-leur de déterminer la valeur de . Remettez
aux élèves des jetons comme stratégie pour modéliser et résoudre le
problème. Permettez aux élèves de travailler en groupe de deux pour
trouver la solution de . Demandez à des élèves de partager leur
réponse et d’expliquer leur stratégie. Modélisez le problème à l’aide
des jetons et de l’équation. Placez 15 jetons sur le rétroprojecteur.
Ajoutez des jetons jusqu’à ce qu’il y en ait 25. Demandez aux élèves
combien de jetons ont été ajoutés.
Ressources/Notes
Exécution
Demandez aux élèves de représenter et de résoudre ces problèmes
écrits :
Jackie est la sœur aînée de Sophie. La différence d’âge entre elles est
de 21 ans. Sophie a maintenant 37 ans. Quel âge a Jackie?
Mme Dupont a permis à sept élèves d’aller à la toilette.
Il reste 15 élèves dans la salle. Combien d’élèves y a-t-il dans la
classe?
Écrivez autant de phrases de nombres que possible pour vérifier ce
que sont :
∆=8
(Les réponses peuvent être 20 - ∆ = 12
ou ∆ + 30 = 38)
Révision du chapitre
4RR1 (1.2/ 1.3/ 1.4) 4RR2 (2.1)
4RR3 (3.1/ 3.2)
4RR5 (5.1/ 5.2/ 5.3/ 5.4) 4RR6
GE p. 43-46
ME p. 28-30
Tâche du chapitre
4RR1 (1.1/ 1.4) 4RR2 (2.1)
4RR3 (3.1/ 3.2)
GE p. 47-49
ME p. 1
Exerce-toi!
CA p. 8
Test du chapitre 1
GE p. 63-64
95
96

Chapitre - Les régularités en mathématiques

Transcription

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