Le temps d`attente X `a une station de taxi, exprimé - maths

Devoir no 12
TES
durée 60mn-20 points
( 5 points )
Exercice 1
Le temps d’attente X à une station de taxi, exprimé en minutes, suit une loi uniforme sur l’intervalle [1; 11].
1. Donner la fonction f de densité de probabilité de X.
* Solution:
f est définie sur [1; 11] par f (x) =
1
1
=
= 0, 1
11 − 1
10
f (x) = 0, 1 sur [1; 11]
Remarque :
x
F définie par F (x) =
est une primitive de f sur [1; 11].
10
R 11
11
1
On a alors 1 f (x)dx = F (11) − F (1) =
−
=1
10 10
2. Déterminer la probabilité que le temps d’attente soit compris entre 3 et 5 mn.
* Solution:
On veut 3 ≤ X ≤ 5.
5−3
= 0, 2
p(3 ≤ X ≤ 5) =
11 − 1
La probabilité que le temps d’attente soit compris entre 3mn et 5mn est 0,2.
Remarque
Avec les notations de la remarque de la question 1 :
R5
5
3
2
p(3 ≤ X ≤ 5) = 3 f (x)dx = F (5) − F (3) =
−
=
10 10
10
3. Calculer l’espérance de X et en donner une interprétation.
* Solution:
1 + 11
E(x) =
=6
2
E(X) = 6
Le temps moyen d’attente est donc de 6mn.
Remarque
x
x2
, G(x) =
est une primitive de g sur [1; 11].
10
20
2
R 11
11
12
120
E(X) = 1 xf (x)dx = G(11) − G(1) =
−
=
=6
20
20
20
Si on pose g(x) = xf (x) =
1
( 5 points )
Exercice 2
Un site de vente en ligne propose deux options de livraison à ses clients.
La livraison ”express” et la livraison ”classique”.
1. On a enregistré 600 commandes en une journée et on note X la variable aléatoire donnant le nombre de
commandes avec l’option ”livraison express” parmi les 600 commandes enregistrées.
Quelle est la loi de probabilité de X ?
* Solution:
• On considère l’épreuve de Bernouilli consistant à prendre un client au hasard parmi les clients de
la journée ayant les issues possibles S : ”le client a choisi la livraison express” et E : ”le client a
choisi la livraison classique”.
• On répète successivement 600 fois et de manière indépendante (chaque client est indépendant des
autres) cette épreuve de Bernouilli.
• La variable aléatoire donnant le nombre de clients ayant choisi la livraison ”express” parmi les 600
suit donc une loi binomiale de paramètres n = 600 et p = p(S)
2. On admet que la loi de probabilité de X peut-être approchée par la loi normale d’espérance µ = 240 et
d’écart type σ.
Déterminer σ, arrondi à l’unité, pour que la probabilité que le nombre de commandes soit compris entre
230 et 250 soit égale à 0,95.
X − 240
On pourra poser Y =
.
σ
* Solution:
X − 240
, Y suit la loi normale centrée réduite N (0; 1).
σ
On veut 230 ≤ X ≤ 250.
230 ≤ X ≤ 250 ⇐⇒ −10 ≤ X − 240 ≤ 10
−10
X − 240
10
⇐⇒
≤
≤
σ
σ
σ
10
−10
≤Y ≤
⇐⇒
σ
σ
On cherche donc k tel que p(−k ≤ Y ≤ k) = 0, 95
Menu STAT puis DIST puis Norm puis InvN
Si on pose Y =
2
On obtient donc k ≈ 1, 96
−10
−10
et
= k ⇐⇒ σ =
σ
k
donc σ ≈ 5 en arrondissant à l’unité.
Remarque
On peut aussi utiliser le résultat du cours donnant p(µ − 2σ ≤ X ≤ µ + 2σ) ≈ 0, 95
donc ici on veut µ + 2σ = 240 + 2σ = 250
250 − 240
soit σ ≈
=5
2
Remarque
Si on veut un intervalle plus précis, on peut faire le calcul :
( 10 points )
Exercice 3
1. Compléter l’algorithme ci-dessous afin qu’il affiche l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de
confiance de 995%.
* Solution:
"
#
p
p
p(1 − p)
p(1 − p)
√
√
Rappel : IF = p − 1, 96
; p + 1, 96
n
n
donc il faut compléter avec la valeur 1, 96 .
2. Que va afficher cet algorithme si l’utilisateur saisi les valeurs n = 40 et p = 0, 898 ? (justifier la réponse)
* Solution:
si on saisit n = 40 et p = 0, 898, on a alors q = 1 − 0, 898 = 0, 102
La première condition est n ≥ 30 est vérifiée.
3
La seconde condition est np ≥ 5 or ici np = 40 × 0, 898 = 35, 92 donc np ≥ 5 est vérifiée.
La troisième condition est n(1 − p) ≥ 5 or ici n(1 − p) = 40 × 0, 102 = 4, 08 donc np ≥ 5 n’est pas
vérifiée.
On ne rentre donc pas dans l’instruction ”alors”.
On a rentre alors dans ”sinon” : ”on ne peut donner l’intervalle de fluctuation”
Il s’affiche : ”on ne peut donner l’intervalle de fluctuation”.
3. Une usine fabrique des ampoules et on teste la durée de vie de ces ampoules.
Dans le commerce, on a habituellement une proportion d’ampoules dont la durée de vie est supérieure à
900 heures égale à 0,835.
Pour vérifier ceci, on prélève un échantillon de n ampoules dans la production de cette entreprise.
a) Quel doit être la taille minimale de l’échantillon pour que l’on puisse utiliser l’intervalle de fluctuation
asymptotique au seuil de confiance de 95% ?
* Solution:
Il faut donc n ≥ 30, np ≥ 5 et n(1 − p) ≥ 5 avec 1 − p = 0, 102
5
n × 0, 102 ≥ 5 ⇐⇒ n ≥
0, 102
5
≈ 49, 02 et n est un entier donc il faut n ≥ 50.
0, 102
On a bien n ≥ 30 et np ≥ 50 × 0, 898 soit np ≥ 5.
Il faut au minimum un échantillon de taille n = 50.
b) Déterminer l’intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de confiance de 95% pour un échantillon de
1000 ampoules en arrondissant les bornes à 10−4 .
* Solution:
On a ici n = 1000 et p = 0, 898.
p
√
p(1 − p)
0, 898 × 0, 102
√
√
p − 1, 96
= 0, 898 − 1, 96
≈ 0, 8792
n
1000
et
p
√
p(1 − p)
0, 898 × 0, 102
√
√
p + 1, 96
= 0, 898 + 1, 96
≈ 0, 9168
n
1000
IF = [0, 8792; 0, 9168] en arrondissant les bornes à 10−4
c) Dans la production de cette entreprise, on a relevé 870 ampoules en état de marche après 900 heures
sur les 1000 ampoules testées.
Le fabricant affirme que sa production est dans la norme habituelle constatée dans le commerce.
A-t-il raison ?
* Solution:
On a f =
870
= 0, 870
1000
f∈
/ IF
4
Si on pose l’hypothèse : ”La proportion de la production dont la durée de vie est supérieure à 900
heures est 0,898”, on ne peut donc accepter cette hypothèse avec un risque d’erreur maximum de 5%.
Le fabricant a donc tort au seuil de risque de 5%.
4. Cette entreprise modernise sa chaı̂ne de production et sur un lot de 10 000 ampoules, on a 8 900 ampoules
avec une durée de vie supérieure à 900 heures.
Le fabricant peut-il, au seuil de confiance de 95%, faire une publicité affirmant que la proportion d’ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900 heures est supérieure à la moyenne constatée dans le
commerce ?
* Solution:
89000
= 0, 89
10000
On va chercher à faire une estimation de la proportion (estimation de p) d’ampoules dont la durée
de vie est supérieure à 900 heures dans toute production.
1
1
f − √ = 0, 89 − √
≈ 0, 88
n
10000
et
1
1
f + √ = 0, 89 + √
≈ 0, 90
n
10000
la proportion d’ampoules dont la durée de vie est supérieure à 900h est donc comprise dans l’intervalle
IE = [0, 88; 0, 90]
or 0, 898 ∈
/ IE
On a ici n = 10000 et f =
Le fabricant ne pourra pas faire sa publicité au seuil de confiance de 95%
5