RECHERCHE D`UN ZERO

G
RIP
FONCTIONS
CASIO
RECHERCHE
D’UN ZERO
Exemple
Problème
x0
Sur un intervalle [A,B] donné,
rechercher le zéro d’une fonction; c’est-à-dire, rechercher x0
tel que f(x0) = 0.
1
2
La fonction définie par:
f(x) = (x3-2) / (x2-x+1)
présente un zéro sur l’intervalle
[1 ; 2]; En donner une valeur
approchée à 10-8 près.
Représentation de f(x) dans le domaine: -2,3,1,-4,4,1
Principe
On développe une méthode de balayage.
Une valeur x, inférieure à x0, étant donné, ainsi qu’un pas P et une précision E:
• On calcule Z = f(x)
@
• On augmente x de P .
• On calcule l’image Y= f(x) .
• Si Z et Y sont de même signe (ZY>0) alors: • on reprend à @ .
• Sinon:
• On diminue x de P (on revient un pas en arrière).
• On calcule Z = f(x).
• On divise le pas P par 10 (pour rendre le balayage plus fin).
• Si le pas P est ≥ à la précision F alors: • on reprend à @.
• Sinon:
• On écrit x et x+E (pour donner un intervalle d’amplitude E).
Voir programme au dos.
• Exemple:
Lancer le programme Pn
ou F-ZERO.
Utilisation
1- Enregistrer cette nouvelle fonction en F MEM sous f1.
2- Lancer le programme Pn ou F-ZERO.
On propose 1 EXE
On propose 0.1 EXE
On propose 10-8 EXE EXE
On lit l’encadrement
EXE
• Second exemple:
Rechercher les zéros de la fonction définie par:
f(x) = x3 - 3x2 - 2x + 4
qui, d’après une représentation graphique, doivent se situer respectivement dans les intervalles [-2;-1] , [0,5;1,5] et [3;4].
?
?
?
3
-2
-1
1
4
2
Représentation de f(x) dans le domaine: -3,5,1,-10,10,5
Ces résultats sont caractéristiques; ils permettent de conjecturer
que les zéros sont: 1-√5 , 1 , 1+√5. Ceci oriente favorablement une
recherche formelle.
G
RIP
FONCTIONS
CASIO
RECHERCHE
D’UN ZERO
Indications
Indications
• On peut sélectionner n’importe quel numéro Pn de programme.
• S’assurer que la calculatrice soit dans le bon mode de calcul:
COMP, avant de presser EXE.
• Ce programme suppose que la fonction à étudier ait été enregistrée
en F MEM sous le numéro f1.
• Dans le programme, on ne tient pas compte de la borne supérieure
de l’intervalle d’étude, puisqu’elle ne doit jamais être atteinte.
A
N
Programme
'F-ZEROä
"X DEB"? Xä
"PAS"? Pä
"PRECIS"? Eä
ƒ1 Zä
Lbl 0ä
X+P Xä
ƒ1 Yä
ZY>0…Goto 0ä
X-P Xä
ƒ1 Zä
P/10 Pä
P≥E…Goto 0ä
X¶
X+E¶
"FIN"
• On peut nommer le programme F-ZERO.
• Ce programme suppose que la fonction à étudier ait été enregistrée
en F MEM sous le numéro f1.
• Dans le programme, on ne tient pas compte de la borne supérieure
de l’intervalle d’étude, puisqu’elle ne doit jamais être atteinte.
N
Programme
Demande des données
Calculer Z= f1(x deb).
Début de BOUCLE.
Augmenter X de P.
Calculer Y= f1(x).
Z Y >0, aller à Lbl0.
Sinon: • Diminuer X de P.
• Calculer Z= f1(x nouveau).
• Diviser le pas par 10.
P ≥ E, aller à Lbl 0.
Sinon: • Ecrire X.
• Ecrire X+E (précis).
• Afficher FIN.
SIO
'F-ZERO
ä
'F-ZEROä
ä
DEB"?áXä
"X DEB"?áX
"PAS"?áP
ä
"PAS"?áPä
"PRECIS"?áE
ä
"PRECIS"?áEä
fÒáZ
ä
fÒáZä
Lbl 0
ä
0ä
ä
X+PáX
X+PáXä
ä
fÒáY
fÒáYä
ä
If ZY>0
ZY>0ä
Then Goto 0
ä
0ä
Else X-PáX
ä
X-PáXä
fÒáZ
ä
fÒáZä
P§10áP
ä
P§10áPä
If PØE
ä
PØEä
Then Goto 0
ä
0ä
Else Xª
X+Eª
"FIN"
Demande des données.
Calculer Z= f1(x deb).
Début de BOUCLE.
Augmenter X de P.
Calculer Y= f1(x).
Si Z et Y sont de même signe,
Alors: reprendre à Lbl 0.
Sinon: • Diminuer X de P.
• Calculer Z= f1(x nouveau).
• Diviser le pas par 10.
Si P (pas) ≥ E (précis),
Alors: reprendre à Lbl 0.
Sinon: • Ecrire X.
• Ecrire X+E (précis).
• Afficher FIN.
SIO
CA
CA
F ZERO-A
F-ZERO