Fiche 9 : lois du Chi-deux, de Student et de Fisher

Fiche 9 Loi du Chi-­‐deux Loi de Student Loi de Fisher Toutes ces lois, obtenues à partir de la loi normale sont utilisées couramment en statistiques. Leurs densités sont compliquées, mais ces lois sont tabulées et il est utile de savoir trouver rapidement leurs quantiles. I Loi du Chi-­‐deux a) Définition • Soit X→
, une gaussienne centrée réduite. Soit Z1=X2 on dit que Z1 suit une loi du Chi-­‐deux à un degré de liberté. Calculer E(Z1) et V(Z1). On note Z1→
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Soit X1, … Xn n variables indépendantes et de même loi (iid) que X (
Alors suit une loi du Chi-­‐deux à n degrés de liberté (ddl). On note Zn→
Donner E(Zn) et V(Zn). Les densités des lois du Chi-­‐deux ont une forme qui dépend du ddl : ), // Film Chi-­‐deux -­‐ définition. b) table des quantiles : On note X2α;n le quantile α de la loi du X2(n) défini par : Si Z→
alors p(Z≤X2α;n)=α. Exo si Z→
donner les quantiles : X20,001;10 X20,025;10 X20,05;10 X20,95;10 X20,975;10 et X20,99;10 En déduire un intervalle de probabilité de recouvrement 0,95 pour Z En déduire p(Z≤16) p(Z≥5) II Loi de Student Etudiée par William Gosset (≈1930) qui se surnommait lui-­‐même l’étudiant, on l’a appelé ensuite loi de Student. W. Gosset travaillait alors pour la firme Guiness à Dublin a) Définitions de la loi de Student à n ddl Pour construire une loi de Student, il faut une loi X, et une loi Z du X2(n) indépendantes. On commence par normaliser Z en la divisant par son ddl, cette opération ramène son espérance à 1. Alors est une loi de Student à n ddl (voir poly « loi de Student »), sa densité est compliquée mais tabulée. Il faut savoir : •
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On utilise la loi de Student chaque fois que l’on normalise une loi gaussienne (centrage et réduction) en remplaçant l’écart type par une estimation (voir la fiche : estimation dans le cas gaussien) La loi de Student est centrée sur 0 comme la loi , a aussi une forme de cloche et sa densité s’en rapproche de plus en plus à mesure que le ddl augmente. Pour n=100, elles sont très proches. •
Calculer les quantiles en utilisant la table ! b) EXO On note t1-­‐ ,n le quantile 1-­‐α de la Student à n ddl. α
Calculer t0,975,10 t0,975,20 t0,975,50 t0,975,100 Comparer à U0,975 Soit T→T(20) trouver a tel que p(-­‐a<T<a)=0,95 puis 0,99 puis 0,90. Donner une valeur approchée de p(T<3,5) p(T<2) p(T>-­‐2) p(T>-­‐1,7) // Film corrigé quantiles de student III Loi de Fisher a) Définition Pour construire une loi de Fisher, il faut deux lois du X2indépendantes : Si Z n→
et Zm→
et Zn et Zm indépendantes alors suit une loi de Fisher à n et m ddl. On note n est le ddl du numérateur et m celui du dénominateur. Zn et Zm ont été normalisées comme précédemment. Les lois de Fisher sont utilisées pour composer deux variances. b) Calcul de quantiles : On note f1-­‐ , n, m le quantile 1-­‐α de la loi de Fisher à n et m ddl : α
p(F<f1-­‐ , n, m)=1-­‐α. α
Calculer f0,975,12 ,8 puis f0,975,8 ,12 Calcul des quantiles α : Vérifier que Calculer f0,025,12 ,8 pour n=12 et m=8 En déduire p(1/3,51<F<4,2) Pour n et m grands (∞), donner a et b tels que : p(a<F<b)=0,975 // Film corrigé quantiles Fisher Problèmes pour s’entraîner :