Provisions de rentes Dépendance : risques associés

Transcription

Provisions de rentes
Dépendance :
risques associés
Version 1.8
Frédéric PLANCHET,
[email protected]
Avril 2013
Préambule
L’évaluation du poids des engagements associés à un portefeuille d’assurance
dépendance passe par la détermination d’une loi de maintien en dépendance
(lourde).
On s’intéresse ici aux conséquences d’une erreur d’appréciation sur les durées
de maintien des dépendants en termes de niveau des provisions.
Concrètement, on décrit un cadre utilisable dans une logique ORSA pour
mesurer l’écart entre le profil de risque issu de la formule standard et celui issu
d’une analyse des risques spécifiques à l’entité.
Dans ce contexte, la simplicité de mise en œuvre est privilégiée.
Formation Sépia
Réunion du 18 avril 2013
2
ORDRE DU JOUR
1. Provisionnement des rentes en cours
2. Construire la loi de provisionnement
3. Les fluctuations d’échantillonnage
4. Le risque de table
5. Du calcul des provisions au SCR
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3
1. Le provisionnement des rentes en cours
On considère pour alléger les notations un ensemble de dépendants lourds
d’anciennetés différentes, tous entrés en dépendance au même âge (que l’on
prendra égal à 80 ans dans les applications). Le flux servi à la date t est de la
forme :
(
Ft = ∑ rj 1]t ;∞[ Tx ( j )
j∈J
)
Ce qui conduit pour la somme des flux futurs actualisés à l’expression :
Λ=
∞
∑
t =1
Ft (1 + i )
−t
=
∞
1
∑ (1 + i )t ∑
t =1
j∈J
( )
rj 1]t ;∞[ Tx ( j ) =
1]t ;∞[ Tx ( j )
t =1
(1 + i )t
∑ ∑
j∈J
rj
( ) = ∑r X
∞
j∈J
j
j
Dans la suite on s’intéresse à l’espérance de Λ (la provision) et plus généralement
à la loi de cette variable.
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4
La provision a une forme simple :
E (Λ) =
∑ (1 + i )t ∑ rj P (Tx( j ) > t )
∞
1
t =1
j∈J
en général présentée de la manière suivante :
E (Λ) =
∞
P (Tx > t )
t =1
(1 + i )t
avec a x = ∑
P Tx ( j ) > t
t =1
(1 + i )
∑ rj ∑
j∈J
(
∞
t
) =∑ r ×a
j∈J
j
x( j )
. En particulier, lorsque i=0, le coefficient de provisionnement
∞
est égal à la durée de maintien : a x = ∑ P (Tx > t ) = E (Tx )
t =1
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5
Les risques associés
En provisionnant le montant E(Λ) l’assureur s’expose à des déviations adverses
dues à deux facteurs distincts :
- les fluctuations d’échantillonnage associées à la taille finie de la
population sous risque ;
- l’imprécision dans la connaissance de la loi de durée sous-jacente avec
laquelle les coefficients P Tx j > t sont calculés.
( )
(
)
Le risque d’échantillonnage se mutualise (ie diminue avec la taille de la
population) alors que l’imprécision dans la connaissance de la loi sous-jacente
constitue un risque de nature systématique.
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6
ORDRE DU JOUR
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7
On suppose que l’on dispose de d’observations de survie individuelles pour des
dépendants avec les informations nécessaires à l’estimation de taux conditionnels
de sortie (date de naissance, date d’entrée en dépendance, date de décès si le
décès est survenu). Sur cette base on obtient alors une estimation brute qui a
l’allure suivante :
0.3
0.2
qx
Il s’agit donc de régulariser
cette surface très erratique
pour en dégager les
tendances.
0.1
0.0
90
ed
Ag
85
es
80
n
na
ve
ur
60
75
ce
20
70
Formation Sépia
8
0
ien
anc
neté
40
is)
( mo
La structure globale résulte de l’agrégation de sous-populations présentant des
niveaux de mortalité très hétérogènes :
qx
0.02
15
20
25
30
35
5
10
15
20
25
Ancienneté
Pathologie= 3
Pathologie= 4
35
30
35
0.022
30
9
0.014
0.018
qx
0.20
5
10
15
20
Ancienneté
0
Ancienneté
0.00
0
Formation Sépia
0.04
0.040
0.030
0.020
qx
0.010
10
0.30
5
0.10
On va donc régulariser
globalement la surface
précédente.
0
qx
Afin
de
simplifier
la
construction, on considère
usuellement que l’âge à
l’entrée en dépendance est
un bon indicateur de cette
dispersion.
Pathologie= 2
0.06
Pathologie= 1
25
30
35
0
5
10
15
20
Ancienneté
25
Différentes approches peuvent être mises en œuvre pour construire la table, qui
conduisent à autant de lois de provisionnement. Voici 5 exemples (repris de
Planchet et Tomas [2013a]) :
Formation Sépia
10
600
Une fois éliminées les surfaces non pertinentes, que ce soit en s’appuyant sur des
éléments statistiques ou sur un avis d’expert, il subsiste une incertitude sur les
taux de décès, et donc sur les durées de paiement des rentes qui en découle.
500
400
300
200
100
les
être
IC95+
Décès prédits
IC95Décès observés
0
Son
impact
sur
provisions
doit
analysé.
Nombre de décès
Compte tenu du niveau des
taux de sortie et de la
faiblesse des effectifs sous
risque,
l’incertitude
résiduelle est significative.
70
75
80
Age de survenance
Formation Sépia
11
85
90
ORDRE DU JOUR
Formation Sépia
12
En désignant par Λ la charge actualisée et J l’ensemble des assurés en
portefeuille, du fait de l’indépendance des individus et comme on peut toujours
supposer que les prestations sont bornées par une constante absolue, la
distribution limite de Λ est gaussienne :
Λ − E (Λ)
Λ = ∑ rj X j
σ (Λ)
j∈J
→ N ( 0,1)
I →∞
Aussi sur la base de la connaissance de l’espérance et de la variance de Λ, la
formule précédente permet d’approximer la distribution de la charge future
actualisée avec lesquelles on peut aisément calculer des quantiles ou des
intervalles de confiance. Par exemple l’intervalle de confiance à 95 % pour Λ est
de la forme :
IC ( Λ ) =  E ( Λ ) − 1, 96 × σ ( Λ ) , E ( Λ ) + 1, 96 × σ ( Λ ) 
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13
Tout se ramène donc à calculer l’espérance et la variance de Λ, et puisque
( )
E ( Λ ) = ∑ rj E X j
j∈J
( )
V ( Λ ) = ∑ rj2V X j
j∈J
il faut calculer l’espérance et la variance de X =
∞
1]t ;∞[ (Tx )
t =1
(1 + i )t
∑
On trouve facilement :
ax = E ( X ) =
Formation Sépia
∞
Sx (t )
∑ (1 + i )t
t =1
∞
Sx (t )
( ) = ∑ (1 + i )
E X
2
t =1
14
2t

1 1
1

 Sx (t )
+ 2×
−
t
2
t
+
1
i
(1 + i ) 
t = 2  (1 + i )
+∞
∑
Remarque : en fait il est ici plus simple de partir d’une expression continue de X
∞
r = ln (1 + i )
X = ∫ e− rt 1{Tx >t} dt
0
qui conduit après quelques calculs à :
∞
E ( X ) = ∫ e − rt S x ( t ) dt ≈ ∑ e− rt S x ( t )
t ≥1
0
∞
2
2
E ( X ) = ∫ (1 − e− rt ) e− rt S x ( t ) dt ≈ ∑ (1 − e− rt ) e− rt S x ( t )
r0
r t ≥1
2
L’approximation discrète de l’espérance est identique
précédemment, celle de la variance un peu différente.
Formation Sépia
15
à
celle
obtenue
Application numérique
On considère une population de dépendants entrés en dépendance à 80 ans, avec
une rente unitaire, et on s’intéresse à la demi-largeur de l’intervalle de confiance à
95 % de l’espérance de maintien en fonction de l’effectif, qui est de la forme
εn =
1, 96 × n × σ (T0 ,80 )
n × E (T0 ,80 )
1 1, 96 × σ (T0 ,80 )
=
E (T0 ,80 )
n
Pour une population plus générale on a simplement :
εn =
( )=
∑ n × E (T )
1, 96 ×
∑n
2
×
σ
Ti , j
i, j
i, j
i, j
( )
∑π × E (T )
1 1, 96 ×
n
∑π
2
×
σ
Ti , j
i, j
i, j
i, j
et donc, à structure fixée, l’incertitude décroit en racine de n.
Formation Sépia
16
Sur une large plage d’âges et d‘anciennetés, avec la table considérée, le
coefficient de variation (rapport de la volatilité à l’espérance) est compris entre 1 et
1,5.
La précision sur la prédiction des durées de maintien espérées pour 1 000 têtes
est donc comprise entre 6 et 10 % et de 2 et 3 % pour 10 000 têtes.
Formation Sépia
17
ORDRE DU JOUR
Formation Sépia
18
Contexte
La construction d’une loi de maintien pour des dépendants lourds est un exercice
délicat et l’estimation qui peut être faite des taux conditionnels de sortie est
volatile.
Au surplus, de nombreux facteurs exogènes peuvent venir modifier les durées de
maintien (changements médicaux, modification des règles d’acceptation, évolution
du risque, etc.).
Il est donc raisonnable de supposer que celles-ci ne sont connues qu’avec une
certaine imprécision.
Formation Sépia
19
Contexte
On suppose donc donnée une loi de maintien, fonction a priori de l’âge à l’entrée
en dépendance et de l’ancienneté dans l’état :
La table utilisée ici est
construite dans Planchet et
Tomas [2013a].
On veut maintenant perturber cette loi.
Formation Sépia
20
Modèle proposé (Planchet et Tomas [2013b])
La manière la plus simple d’introduire une incertitude sur les taux conditionnels de
sortie consiste à bruiter les logits associés (cf. Planchet et Thérond [2011]) :
 qxa 
 qx 
ln 
=
ln

+ε
a 
 1 − qx 
 1 − qx 
avec ε une variable aléatoire centrée, que l’on supposera dans la suite
gaussienne. De manière équivalente, si ε = ln ( a ) on a :
q =
a
x
a × exp ( lg ( qx ) )
1 + a × exp ( lg ( qx ) )
La perturbation est contrôlée par la volatilité de ε que l’on notera σ.
Formation Sépia
21
Modèle proposé
On peut remarquer que, dans ce modèle, la loi du taux conditionnel de sortie est
explicite, même si cela n’est pas d’un grand secours en pratique :
 lg ( u ) − lg ( qx ) 
P ( qxa ≤ u ) = P lg ( qxa ) ≤ lg ( u ) = P (ε ≤ lg ( u ) − lg ( qx ) ) = N 

σ


(
)
Avec lg la fonction logistique et N la fonction de répartition de la loi normale
centrée réduite.
Dans le cas d’un portefeuille de rentes, il s’agit de calculer la loi de la variable :
E (Λ a ) =
∞
P (Tx > t a )
t =1
(1 + i )t
avec a x a = ∑
Formation Sépia
∑ (1 + i )t ∑ rj P (Tx( j ) > t a ) = ∑ rj × ax( j ) a
∞
t =1
1
j∈J
j∈J
22
Modèle proposé
On a

(
)
(
)

P (T ( ) > t a ) = ∏ (1 − q ( ) ( a ) ) = ∏  1 −

 1 + a × exp ( lg ( q ( ) ) ) 



t −1
x j
h =0
t −1 
x j
a × exp lg qx ( j ) + h
h =0
x j +h
et déterminer une forme explicite de la loi de E ( Λ a ) n’est donc pas possible.
On se tourne donc vers une approche par simulation pour déterminer la
distribution de cette espérance conditionnelle puis la provision finale en calculant :
1
Ea  P (Tx > t a )  ≈
K
K
∑ P (Tx > t a k )
k =1
Pour l’application numérique, on retient K=1 000.
Formation Sépia
23
Sur la base de la table de mortalité des dépendants lourds présentée infra on
applique le modèle ci-dessus à la mesure de l'incertitude sur la durée de maintien
pour une entrée en dépendance à 80 ans. La volatilité de la loi normale
perturbatrice varie de 1 % à 10 %.
L'espérance de maintien varie peu avec σ et s'établit autour de 5,5 ans. On choisit
de mesurer l'incertitude sur cette espérance en calculant l'écart relatif entre
l'espérance et le quantile empirique à 95 % de la distribution des durées espérée
simulées :
δ=
(
)
(
E ( E (T a ) )
q95% E (T a ) − E E (T a )
) = q ( E (T a )) − E (T )
95%
E (T )
avec T la durée de maintien en dépendance d'un dépendant entré dans l'état à 80
ans.
Formation Sépia
24
En pratique δ est approché par l’estimateur empirique suivant :
Etape n°1
• Tirage de K réalisations du facteur de risque
systématique
Etape °2
• Calcul des réalisations associées de l’espérance de
Z k = E (T a k )
maintien conditionnelle
Etape n°3
Etape n°4
ak
• Calcul du quantile empirique 0,95 de l’échantillon ( Zk )
δˆK =
• Calcul de l’estimateur
Formation Sépia
25
qˆ95% − Z K
ZK
On obtient une croissance à peu près linéaire de cet indicateur en fonction de la
volatilité :
A l’âge de 80 ans et au niveau de
volatilité de 10 %, l'incertitude est
d'environ 12 %. L'écart avec le
quantile à 99,5 % est de l'ordre de
20 % (en d'autres termes, le besoin
en capital associé à l'incertitude sur
la table est de l'ordre de 20 % du
best estimate).
Formation Sépia
26
A ce même niveau de volatilité, la distribution empirique de la durée de maintien
espérée simulée est la suivante et s’ajuste correctement à une loi log-normale :
La p-valeur du test de Jarque-Bera est de 0,3 ce qui montre une bonne qualité
de l'ajustement.
Formation Sépia
27
Lorsque l'âge d'entrée en dépendance augmente, l'incertitude sur l'estimation de la
durée de maintien augmente également :
Dans une perspective S2,
l’incertitude sur la table de
provisionnement a vocation a
être couverte par le SCR (et
donc partiellement par la RM).
Formation Sépia
28
De manière plus précise, en appliquant un abattement de 20 % aux taux de
maintien de la table de référence, dans la logique du choc disability / morbidity, on
trouve que l’espérance de maintien d’un rentier entré en dépendance à 80 ans
passe de 5,5 à 6,7 ans, soit une augmentation de 21 %.
Le calibrage retenu en fixant la volatilité de la perturbation au niveau de 10%
apparaît de ce point de vue relativement cohérent avec le QIS5.
Il a toutefois été retenu de manière arbitraire en retenant la volatilité conduisant à
une imprécision sur l’espérance de maintien (au niveau de confiance de 95 %)
d’environ 10 %.
Formation Sépia
29
Ces écarts sont rapidement croissants avec l’âge d’entrée en dépendance dans le
cas du QIS5 (cf. CEIOPS [2009]) et plus stables dans le cadre du modèle proposé
ici.
Il serait légitime de faire varier
la volatilité en fonction de l’âge
à l’entrée en dépendance,
celle-ci devant augmenter
avec l’âge.
De plus, on ne mesure dans le
modèle proposé que le risque
associé à l’incertitude sur la
table, auquel il faut ajouter le
risque d’échantillonnage.
Formation Sépia
30
Prise en compte des cotisants
L’approche présentée ici s’étend sans difficulté au cas de cotisants susceptibles de
devenir dépendants :
Λ=
=
∞
∑
( )
Λ h × 1]h;h +1] Txe
h =1
∞ ∞
∑∑ (1 + i )t 1]t;∞[ (Tx + h ) × 1]h;h +1] (Txe )
1
h =1 t = h
avec Λ h =
∞
∑ (1 + i )t 1]t;∞[ (Tx +h )
1
t =h
On peut utiliser la même logique pour perturber les taux d’incidence. Le calcul de
la variance de Λ est obtenu par l’équation de décomposition de la variance.
Formation Sépia
31
Utilisation d’un modèle paramétrique
Si on souhaite disposer d'expressions explicites pour la loi de la durée de maintien
conditionnelle, on peut se tourner vers une spécification paramétrique du modèle.
On suppose donc le modèle décrit pas une fonction de hasard dépendant d'un
paramètre θ connu. La transposition dans ce contexte de la relation :
 qxa 
 qx 
ln 
= ln 
+ε
a 
 1 − qx 
 1 − qx 
( )
conduit à poser ln hθ a = ln ( hθ ) + ε ou, de manière équivalente :
hθ a = a × hθ
On est donc dans le cadre d'un modèle à hasard proportionnel :
( )
E Tθ a =
Formation Sépia
+∞
∫
Sθ ( t ) dt
a
0
32
Cette classe de modèles, dans laquelle hθ a = a × hθ a été introduite dans Vaupel et
al. [1979] sous la désignation de « modèles de fragilité » dans un contexte de
mortalité, pour rendre compte d’une hétérogénéité inobservable.
La loi d’hétéronégéité retenue par ces auteurs est la loi Gamma, alors que dans le
contexte décrit ici la loi log-normale apparaît plus naturelle.
Il reste alors à spécifier la forme de la fonction de hasard de base pour que le
modèle soit entièrement paramétrique.
Formation Sépia
33
En prenant alors un modèle classique de Makeham hθ ( t ) = α + β × γ t
de survie s’écrit :


β
t
γ − 1) 
Sθ ( t ) = exp  −α t −
(
ln (γ )


et en particulier
la fonction


β
t
Eθ (T ) ≈ e (α , β , γ ) = ∑ exp  −α t −
γ − 1) 
(
γ
ln
( )
t >0


Cela permet de disposer d’une expression simple de l’espérance de maintien
conditionnelle, le modèle perturbé étant lui aussi de Makeham :



β
t
E ( Tθ a ) ≈ ∑ exp  −a ×  α t +
γ − 1)  
(

ln
γ
( )
t >0

 

NB : cette loi n’est pas log-normale… (cf. supra)
Formation Sépia
34
Sur les tables de maintien utilisées ici, l’ajustement de Makeham est de bonne
qualité.
Dans le cas de la table pour
l’âge de survenance de 80 ans
on trouve (MCP) :
α=0,1089491
β=1,553808e-08
γ=1,190880
L’algorithme présenté p.25
s’applique sans modification,
mais avec un calcul plus
rapide
des
espérances
conditionnelles de maintien.
Formation Sépia
35
ORDRE DU JOUR
Formation Sépia
36
Le contenu des chocs du QIS 5
Ces chocs doivent prendre en compte les risques suivants :
- estimation : les lois d’expérience sont des approximations des « vraies
lois » sous-jacentes ;
- échantillonnage : la charge sinistre est distribuée normalement autour de
son espérance ;
- modèle : le modèle retenu constitue une approximation plus ou moins
grossière de la réalité et est donc faux.
Le risque d’échantillonnage diminue avec la taille du groupe, on peut donc
considérer en première approche que les risques d’estimation et de modèle sont
les plus importants, à condition que le groupe soit assez grand.
On peut alors chercher à estimer l’adéquation des chocs avec les risques portés
(logique de l’ORSA).
Formation Sépia
37
Les éléments introduits infra fournissent une information sur la distribution de Λ, la
somme des flux futurs actualisés. Toutefois, évaluer le quantile à 99,5 % de cette
distribution fournit une évaluation biaisée du SCR, car elle ne tient pas compte :
- de la limitation à un an de la projection (qui est effectuée à l’ultime) ;
- de la marge pour risque.
On peut intégrer ces contraintes en s’appuyant sur Guibert et al. [2010] qui
propose d’utiliser l’approximation :
avec χ = F1 + BEL1
VaR99,5% ( χ )
−1
BEL0
SCR =
BEL0
 VaR99,5% ( χ ) 
1 − α × D0 × 
− 1
BEL
0


1 + R1
Formation Sépia
38
On peut alors observer que la loi de χ peut raisonnablement être approchée par la
loi de Λ, qui est (asymptotiquement) gaussienne, conditionnellement au facteur
d’incertitude sur la table. On utilise donc :
 x − µ (a ) 
FΛ ( x ) = P ( Λ ≤ x ) = E  P ( Λ ≤ x a ) → ∫ Φ 
Fa ( da )
J →+∞
 σ (a ) 
En pratique on approche cette fonction de répartition par simulation sur la base
d’un échantillon de la variable a :
1 K  x − µ ( ak ) 
FΛ ( x ) ≈ FK ( x ) = ∑ Φ 

K k =1  σ ( ak ) 
Le quantile d’un niveau donné se calcule alors en résolvant par dichotomie
l’équation :
( )
xq = FK−1 ( q )
FK xq = q
Formation Sépia
39
Le calcul des moments de Λ repose sur les expressions présentées supra ; on
considère ici pour l’illustration des rentes unitaires et un taux d’actualisation nul, ce
qui conduit pour un effectif de n individus entrant en dépendance lourde à 80 ans
aux expressions suivantes :
σ (a ) = σ ( Λ a ) = n ×V ( X a )
µ (a ) = E (Λ a ) = n × E ( X a )
où :
E ( X a ) ≈ ∑ Sx (t a )
t ≥1


V ( X 2 a ) ≈ 2∑ t × S x ( t a ) −  ∑ S x ( t a ) 
t ≥1
 t ≥1

Formation Sépia
40
2
La mise en œuvre des calculs est simple et identique à celle de la p.20 :
Etape n°1
• Tirage de K réalisations du facteur de risque
systématique
Etape °2
• Calcul des 2 premiers moments de la charge future
( µ ( ak ) , σ ( ak ) )
actualisée
Etape n°3
Etape n°4
• Calcul de la fonction
1 K  x − µ ( ak ) 
FΛ ( x ) ≈ FK ( x ) = ∑ Φ 

K k =1  σ ( ak ) 
• Inversion pour le calcul du SCR
xq = FK−1 ( q )
xq
−1
BEL0
On obtient alors le SCR par SCR =
BEL0
 xq

1 − α × D0 × 
− 1
BEL
0


Formation Sépia
ak
41
NB : cf. Planchet
[2012] pour une
application
au
risque CAT.
On calcule le rapport entre le SCR et le best estimate en fonction de la taille du
portefeuille pour différents âges à l’entrée, pour le risque de souscription :
Pour un âge d’entrée de 80
ans, le SCR minimal pour un
effectif infini (ie en ignorant
le risque d’échantillonnage)
est ici de 22 %.
Avec 100 personnes il
s’établit à 37 % et il décroît
avec l’âge d’entrée en
dépendance.
Formation Sépia
42
Conclusion
L’incertitude sur la loi de maintien a des conséquences importantes en termes de
volatilité des provisions.
Dès lors que l’on est capable de modéliser cette incertitude, le cadre général décrit
dans Guibert et al. [2010] permet de juger de l’adéquation du choc standard avec
les risques effectivement supportés en fonction de la structure du portefeuille.
On est en particulier à même de construire un modèle stochastique prenant en
compte la contrainte d’évaluation de l’incertitude à un an et l’effet de la marge pour
risque.
Dans ce modèle le recours à la simulation est limité et intervient à un niveau
indépendant de la taille du portefeuille (modèle « semi-analytique ») : les temps de
calcul sont maîtrisés.
Formation Sépia
43
Conclusion
En amont de ces réflexions, la construction de lois d’incidence et de maintien en
dépendance avec une estimation de l’incertitude qui leur est attachée est
indispensable à une évaluation rigoureuse des engagements.
La maîtrise de ces lois permet d’envisager la mise en place d’un modèle interne
partiel pour le risque de souscription.
L’approche présentée ici montre que le niveau du SCR de souscription obtenu dans
le cadre d’un tel modèle est très fortement lié à la précision avec laquelle les lois
d’incidence et de maintien sont connues.
Formation Sépia
44
Bibliographie
CEIOPS [2009] Technical specifications for QIS 5
GUIBERT Q., JUILLARD M., PLANCHET F. [2010] « Un cadre de référence pour un modèle interne partiel en assurance de personnes
», Bulletin Français d’Actuariat, vol. 10, n°20.
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