Chapitre 2: Propagation des ondes, onde progressive, onde

Chapitre 2: Propagation des ondes,
onde progressive, onde sinusoïdale
Ce chapitre va décrire de manière générale la propagation dans l’espace d’un
phénomène physique dans le cas simple où cette propagation a lieu sans déformation ni
atténuation le long d’une droite ou par des ondes planes dans l’espace.
2-1 Propagation à 1 dimension.
Commençons par examiner le cas d’une corde de guitare ou de piano, donc une corde
tendue. On écarte la corde de sa position d’équilibre en créant un déplacement perpendiculaire
à la corde. Ce signal se propage le long de la corde, donc à une dimension, par exemple
dans la direction des x croissant . Il y a ainsi deux directions différentes celle du déplacement
de la corde u et celle de la direction moyenne de la corde x, direction de propagation du
signal. Le déplacement u de la corde va ainsi dépendre à la fois du temps et de l'abscisse x du
point considéré; u est donc une fonction de deux variables: u(x,t)
O
uO
x
Figure 2-1 : Schéma de principe montrant la source du signal générant l’onde: il s'agit d'un
déplacement de la corde au point O. La corde est tendue et on va dans un premier temps la
supposer suffisamment longue pour ne pas tenir compte de la réflexion de l'onde à l'extrémité
droite. Il est important de distinguer la vitesse de déplacement de la corde en un point donné
et la vitesse de propagation du signal le long de la corde.
Soit x l’abscisse le long de la corde. Au point O de la corde, on impose un petit
ébranlement uO(t) qui va se propager dans la direction des x croissant et qui a la forme
schématisée figure 2-2, à savoir: on commence par lever la corde puis on la descend avant de
revenir à la position d’équilibre.
uX
uO
t
x/c
Figure.2-2 : Signal émis au point O au cours
du temps.
t
Figure. 2-3 : Signal au point x au cours du
temps
Ce signal est donc le signal émis au point O de la corde et peut être décrit par une
fonction du temps : soit u0 (t) = f (t). Ce signal va se propager le long de la corde, intéressons
nous à la propagation vers les x croissants. S’il se propage sans déformation ni atténuation, le
signal en un point d’abscisse x ( x>0 ) a donc la forme suivante au cours du temps:
On retrouve le même signal qu’en O mais décalé dans le temps de x/c, temps mis par
l’onde pour parcourir la distance x. Le signal au point d’abscisse à l’instant t est donc le même
que le signal en O à l’instant t-x/c.
Ondes2-1
ux (t) = u(x,t) = f (t − x / c)
c est la célérité de l’onde ou vitesse de propagation.
Le déplacement de la corde u est donc à la fois fonction du temps et de la position
du point de la corde considérée. Dans le cas d’une onde progressive se déplaçant vers les
x>0, on peut se ramener à une fonction de la seule variable X=t-x/c.
•
•
u étant un fonction de deux variables x et t, on peut
soit se placer en un point donné (x=x1) et représenter le déplacement u (x1,t) de ce point au
cours du temps. C'est ce qui a été fait dans les deux schémas ci-dessus.
soit se placer à un instant t=t1 donné (sorte de photographie instantanée de la corde) et
représenter u (x, t1). On représente ainsi la forme de la corde à l'instant t1.
On peut aussi représenter le déplacement de l’ensemble pour différents instants,
comme les images successives d'un film en quelque sorte:
u
t=t1
O
x
t=t2
u
O
x
t=t3
u
O
x
Fig. 2-4 : Allure de l’ébranlement de la corde à différents temps
Si on considère le même signal mais se propageant en sens inverse, c’est-à-dire
vers les x décroissant, le déplacement est donné par :
u2 (x,t) = f (t + x / c)
u2
-x/c
t
Figure 2-5
Ondes2-2
2-2 Propagation à trois dimension : cas des ondes planes
Si l’onde se propage dans un milieu tridimensionnel, la grandeur physique associée à
l’onde va dépendre du temps bien sûr mais aussi des trois coordonnées de l’espace (x, y, z) à
priori. On parle d’onde sphérique si cette grandeur physique ne dépend que de la distance r à
un point émetteur.
Dans certains cas simples de propagation, la grandeur physique prend, à un instant donné
quelconque t, la même valeur en tous les points de surfaces perpendiculaires à une certaine
direction. Il s’agit alors d’une onde plane.
Exemple : considérons une onde caractérisée par une grandeur physique u. A priori u dépend
de t, x, y, z. Si u ne dépend que de t et de x , la valeur de u est donc la même dans des plans
perpendiculaires à x. Ces plans sont alors appelées surfaces d’ondes.
π1
π2
π3
x
Figure 2-6 : Surfaces d’onde
Pour une onde plane progressive se propageant dans le sens des x croissant :
u(x,t)=f(t-x/c).
Considérons maintenant une onde plane se propageant dans la direction caractérisée par le
r
vecteur unitaire n = (n x ,ny ,nz ) . Les équations des plans π sont données par:
rr
n.r = constante .
D’où :
rr
v
n.r
)
u(r ,t) = f (t −
c
Dans la suite, on traitera donc de la même façon les ondes planes et les ondes se
propageant dans un milieu de dimension 1, comme l’ébranlement le long d’une corde.
Ondes planes sinusoïdales
Comme on le verra par la suite, les ondes planes sinusoïdales jouent un rôle très important
dans l’étude des ondes. En effet, toute onde plane peut être décomposée en combinaison
linéaire d’ondes planes sinusoïdales. Plus simplement, dans de nombreux cas, le signal initial
sera engendré par un oscillateur et donc aura une forme sinusoïdale.
A l’origine O, la grandeur physique associée à l’onde note u s’écrit donc :
u(O,t) = A cos(ω t + ϕ ) .
Si l’onde
r se propage dans la direction x :
u(r ,t) = A cos[ω (t − x / c) + ϕ ]
r
n
:
Si l’onde
se
propage
dans
la
direction
r
rr
u(r ,t) = A cos[ω (t − n.r / c) + ϕ ]
Ondes2-3
A : amplitude de l’onde (identique pour tous les points d’un même plan d’onde si celle-ci est
homogène)
ω: pulsation
ϕ : phase à l’origine
c : célérité
r ωr
ω 2π
. On en déduit :
On introduit le vecteur d’onde : k = n , dont la norme vaut
=
λ
c
c
r
rr
ω t − k .r + ϕ s’appelle la phase de l’onde.
[
[
]
r
r
u(r ,t) = A cos ω t − k .r + ϕ .
]
u(x2,t)
u(x1,t)
1
1
0.5
0.5
-1
-0.5
0.5
1
1.5
2
-1
t/T
-0.5
0.5
-0.5
-0.5
-1
-1
1
1.5
2
t/T
Visualisation du signal en un point d'abscisse
Visualisation du signal en un point x2 au cours du temps : le signal est décalé par
d'abscisse x1 au cours du temps, T étant la rapport
au
signal
en
x1
de
x2
−
x1
1
x2
−
x1
∆t
période temporelle de l'onde
. Le déphasage
=
=
λ
T
c
T
entre les deux signaux est donné par:
x2 − x1
. Si x2-x1 est un multiple de λ, les
2π
λ
deux signaux apparaissent identiques (sans
tenir compte de l’absorption).
Plus généralement, le déphasage d'une onde entre deux points dépend de la distance δ
parcourue par l'onde entre ces deux points et vaut 2π
δ
.
λ
Il sera dans certains cas très utile d’utiliser la notation complexe suivante :
[
r
rr
]
⎡
En effet : u(r ,t) = A cos ω t − k .r + ϕ = A Re⎢⎣exp
r
r
r
i(ω t − k .r + ϕ )
ˆ
On pose : u(r ,t) = A exp
D’où :
r r
i ω t − k .r + ϕ
(
)⎤
⎥⎦
r
r
u(r ,t) = Re[uˆ(r ,t)].
r
uˆ(r ,t) est la grandeur complexe instantanée, elle dépend du temps et de l’espace.
On introduit aussi l’amplitude complexe quir ne dépend que de l’espace :
r
i(− k .r + ϕ )
Aˆ (r ) = Aexp
r
r
r
iω t
uˆ(r ,t) = Aˆ (r )exp
On pourra ainsi additionner les amplitudes complexes de deux vibrations si elles ont de même
pulsation.
Il est essentiel de retenir que pour une onde progressive de pulsation ω se
r
déplaçant dans la direction u à la célérité c :
Ondes2-4
r
r
u(r ,t) = Re[uˆ(r ,t)]
r
r
iω t
uˆ(r ,t) = Aˆ (r )exp
rr
r
Aˆ (r )= Aˆ (O)exp(−ik .r )
r
r
2π
.
avec k = 2π u , λ=cT, T =
λ
ω
Lien entre amplitude complexe et énergie :
Comme nous le verrons plus tard, l’énergie transportée par l’onde va faire intervenir
non pas u mais u2.
D’une façon générale, pour une superposition d’ondes oscillant toutes à la fréquence ω:
r
r
r
r
u(r ,t) = Re exp iω t Aˆ (r ) = Re(expiω t A(r )exp iϕ ( r ) )
(
)
L’amplitude complexe est caractérisée par son module A et sa phase ϕ, les deux pouvant
dépendre du point considéré.
r
r
r
r
2 r
2 r
2
Donc u(r ,t) = A(r )cos(ω t + ϕ(r )) et u (r ,t) = A (r )cos (ω t + ϕ( r ))
Dans de très nombreux cas, le détecteur n’aura pas une réponse suffisamment rapide pour
suivre réellement la variation de la grandeur physique à la fréquence de l’onde. Il mesurera
une moyenne dans le temps de l’énergie qui dépend de :
1
1 2 r
r
* r
u 2 (t, r ) t = A ( r ) = uˆ(r)uˆ ( r )
2
2
L’intensité mesurée en un point donné est donc reliée au carré du module de
l’amplitude complexe.
r
♦ Démonstration en exercice : Montrer que la moyenne dans le temps de cos 2 (ω t + ϕ(r )) est
1/2.
r
2
Méthode 1 :Pour cela on utilisera d’abord une représentation graphique de cos (ω t + ϕ(r )).
Méthode 2 : (par le calcul ) la définition de la moyenne dans le temps est :
T
r
1 1
r
2
u (t, r ) t = lim T1 → ∞ ∫ dt u2 (t, r )
T1 0
T1
T1
1
T
1
Corrigé: ∫ dt cos (ωt + ϕ ) = ∫ dt (1+ cos 2(ωt + ϕ )) = 1 +
(sin(2ωT1 + ϕ ) − sin ϕ )
20
2 4ω
0
2
T
1 1
1
1
2
dt cos (ωt + ϕ ) = +
(sin(2ωT1 + ϕ ) − sin ϕ )
∫
T1 0
2 4ω T1
1
Quand on fait tendre T1 vers l'infini, le terme
(sin(2ωT1 + ϕ ) − sin ϕ ) tend vers 0 car le
4ωT1
numérateur est borné (il est compris entre -2 et +2), ce qui démontre la propriété énoncée plus
haut.
Remarques :
Dans le cas des ondes planes, les surfaces d’ondes définies précédemment
correspondent donc à un ensemble de points qui ont la même phase. Plus généralement, on
Ondes2-5
appelle surface d’onde toute surface dont les points correspondent à une même valeur de
la phase de la grandeur physique associée à la propagation de l’onde.
Il existe des ondes telles que la phase soit constante sur des plans mais pas l'
amplitude. On observe par exemple une décroissance de l’amplitude à longue distance. Ces
plans ne sont donc pas réellement des plans d’onde puisque la grandeur physique ne prend pas
la même valeur pour tous les points, on parle de plans équiphases. On parle néanmoins
d’onde plane, mais on dit qu’elle est inhomogène.
Ondes2-6
EXERCICES :
♦ Exercice 2-1.: On considère une onde progressive : u(x,t)= cos (2 π ν(t-x/c)+π/2).
On prendra ν=100Hz et c=100ms-1.
Représenter chacune de ces trois fonctions en
précisant bien la variable et l’échelle sur l’axe des abcisses.
u(x, t=0)
u (x, t=0.005s)
u(x=1/8m=0.125m, t)
♦ Exercice 2-2.: A quoi correspondent t1, t2 et t3 définis fig.2-4 dans la fig. 2-2 ?
Comparer la forme du signal quand on le représente d’une part en fonction de t à x
donné, d’autre part en fonction de x à t donné.
♦ Exercice 2-3.: ( Mathématica):
Objectif : Construire un signal f(t) de forme proche de celle représentée fig 2-2
a-Pour cela, créer une fonction créneau h(y) :
h
1
a
y
Prendre a=1 à titre d’exemple
Solution :
a=1,
h[t_] :=Which[t<0,0,t>a,0,True,1]
Attention, ne pas utiliser la notation C réservée en Mathématica
b-Pour obtenir un signal proche de celui de f(t), multiplier une fonction créneau par
une fonction sinusoidale bien choisie.
Solution :
g[t_] :=Sin[2 π t/a]
f1[t_ ] :=g[t] h[t]
f[t_,x_,c_] :=f1[t-x/c] *Which[t<0,0,True,1]* Which[x<0,0,True,1]
(rem : on impose un mouvement uniquement pour t>0 et x>0)
c- Représenter la fonction f(t-x/c) pour différentes valeurs de c (c=1 ; c=2)
En représentant d’abord le déplacement au cours du temps pour différentes abcisses
x puis l’allure de la forme de la corde pour différents temps.
Solution :
variation en x=0 pour c=1: Plot[f[t,0,1],{t,-2,5}]
variation en x= 0.5 pour c= 1 : Plot[f[t,0.5,1],{t,-2,5}]
forme de la corde en t=0.8 pour c=1 : Plot[f[0.8,x,1],{x,-2,5}]
d- grâce à une animation, réaliser le film de la forme de la corde au cours du temps
Solution : Table[Plot[f[0.15 t,x,1],{x,-1,5}, PlotRange->{{-1,5},{-1,1}}],{t,0,20}]
Rem : on réalise une succession de graphes à différents temps (1 temps= 1 image entre
deux images : 0,15 période) en imposant toujours la même zone de graphe (PlotRange) pour
obtenir une superposition correcte.
Ondes2-7
♦ Exercice 2-4.: Représenter l’ébranlement généré par le signal de la figure 2.2 se
propageant vers les x décroissant le long de la corde pour différents temps (comme la fig. 24). Comparer avec la fig. 2-4.
♦ Exercice 2-5.: Le signal de la figure 2-2 n’est plus appliqué en O, mais en un point O’
d’abscisse x1. Exprimer le déplacement en chaque point de la corde au cours du temps en
fonction du déplacement (f(t) au point O’ pour une onde se propageant à partir de O’ d’abord
dans le sens des x croissant, puis dans le sens des x décroissant.
Application : OO1=+ 1 cm. Si la grandeur physique associée à l’onde au point O1 est décrite
par u1 (t ) = A cos[ω t + ϕ ] , exprimer cette grandeur au point O puis en point M quelconque
d’abcisse x par rapport à O pour un signal de fréquence 1Hz et de longueur d’onde 3 cm se
propageant dans le sens des x croissant, même question pour un signal se propageant dans le
sens des x décroissants.
Réponse : Soit f(t) le déplacement de la corde en O’. Le déplacement de la corde en un point
d’abcisse x quelconque est donc : u(x,t)=f[t-(x-x1)/c] si le signal se déplace dans le sens des x
croissant et u(x,t)=f[t+(x-x1)/c] si le signal se déplace dans le sens des x décroissant.
2πx 2π
Exemple : OO1=+ 1 cm u(t,x)= A cos(ωt −
+ ϕ ) pour la propagation vers les x
+
3
λ
croissant et
2πx 2π
u(t,x)= A cos(ωt +
+ ϕ ) pour la propagation vers les x décroissant.
−
3
λ
♦ Exercice 2-6.: Exprimer la forme générale d’une onde progressive sinusoïdale se
propageant dans les directions suivantes avec la célérité c :
z
z
y
y
x
x
Réponse :
⎡
⎤
⎡
⎤
2π (− x + z)
2π (x + y + z)
+ ϕ⎥
u1 = a cos⎢ωt −
+ ϕ ⎥ , u2 = a cos⎢ωt −
⎣
⎦
⎣
⎦
3
λ
2
λ
♦ Exercice 2-7.: Soit une corde tendue. On considère une onde progressive sinusoïdale se
propageant vers les x positifs avec une phase nulle à l’origine : le signal en x=0 est donné
par uO(t)=a cos (ωt)). La célérité de l'onde est c.
-représenter la corde à différents temps : t=0, t=T/3, t=T/2
-représenter le déplacement de la corde au cours du temps pour x= 0, x=λ/3, x=λ/2
- mêmes questions avec une phase à l’origine égale à 2π/3.
- vérifier vos résultats avec Mathématica.
Ondes2-8
♦ Exercice 2-8.: Considérons une
onde plane sinusoïdale se propageant dans la direction
r
des x croissant et décrite par : u(r ,t) = A cos[ω (t − x / c)] . Prenons comme nouvelle origine
un point O’ d’abscisse x1. Quelle est l’équation de l’onde en fonction de la nouvelle variable
X=x- x1 ?
Cas particuliers : x1=λ/3, x1=λ/2, x1=-λ/3, x1=-λ/2
Même question si l’onde se propage vers les x négatifs.
Réponse :
vers les x>0 : u(X,t) = A cos(ωt −
vers les x<0 : u(X,t) = A cos(ωt +
ω
c
ω
c
X−
X+
ω
c
ω
c
x1 ) = A cos(ω t −
x1 ) = A cos(ωt +
ω
c
ω
c
X − 2π
x1
X + 2π
x1
λ
λ
)
)
♦ Exercice 2-9.: Soit une corde tendue le long de l’axe des x. On appelle u le déplacement
transversal de la corde. On impose au point x=0, le signal u0(t) suivant et on s’intéresse à
l’onde progressive se déplaçant vers les x>0. Dessiner la forme de la corde à t=3ms en
supposant que la célérité des ondes est 100ms-1.
♦ Exercice 2-10.: Fonction de plusieurs variables (extrait de l’examen de janvier 2003)
Les modes de vibrations d’une membrane tendue de forme rectangulaire (de côtés a et
b) sont décrits par le déplacement de la membrane u perpendiculairement au plan (x,y) de la
membrane au repos :
mπx
nπy
u(x,y,t) = u0 sin(
) sin(
) cos(ωt)
a
b
a) Quelle est la période temporelle de l’onde si ω= 4 rad s-1?
b) On s’intéresse au mode m=1, n=1
A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/2 (au milieu de la membrane).
A t=0, représenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane).
Même question pour t=T/4, où T est la période temporelle de l’onde.
Même question pour t=T/2, où T est la période temporelle de l’onde.
c) On s’intéresse au mode m=1, n=2
A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/2 (au milieu de la membrane dans la
direction y).
A t=0, représenter u en fonction de x pour y=b/4.
A t=0, représenter u en fonction de y pour x=a/2 (au milieu de la membrane dans la direction
x).
Ondes2-9
♦ Exercice 2-11. :
* On considère les deux rayons passant par A et A’ et par B et
B’. Ils sont associés à une onde de longueur d’onde λ. Si les
points A et B sont en phase, déterminer le déphasage entre A’ et
B’ en fonction de d et θ. Ecrire l’amplitude complexe en B’ en
fonction de l’amplitude complexe en A’.
a)
Réponse : A’ est en avance sur B’ : déphasage de.
d sinθ
u(B' ,t) = u(A' ,t −
) . Si u(A’)= a Cos ωt, alors u(B’)= a
c
d sin θ
.
Cos (ωt−ϕ) avec ϕ = 2π
λ
Pour les amplitudes complexes : uˆ(B' ) = uˆ(A' )e −iϕ
•
b)
On considère maintenant deux rayons AA’ et BB’ dont la
direction de propagation est constante, mais on intercale
sur le trajet BB’ un milieu d’épaisseur e dans lequel la
vitesse de propagation de l’onde n’est plus c comme sur le
reste du trajet mais c’<c. Déterminer si l’onde arrive en B’
avant ou après être arrivée en A’ et avec quel décalage en
temps. En déduire le déphasage de l’onde entre A’ et B’ en
notant ν la fréquence de l’onde et λ sa longueur d’onde sur
le trajet AA’.
•
Réponse :
⎛ 1 1⎞
B’ en retard sur A’ avec un décalage en temps de e ⎜ − ⎟ et
⎝ c' c ⎠
⎛ 1 1⎞ 1
⎛c
⎞e
un déphasage de ϕ’= 2π e ⎜ − ⎟ = 2π ⎜ − 1⎟ .
⎝ c' c ⎠ T
⎝ c' ⎠ λ
Si u(A’)= a Cos ωt, alors u(B’)= a Cos (ωt−ϕ’).
Amplitudes complexes : uˆ(B' ) = uˆ(A' )e iϕ'
*On reprend le montage a) et on intercale la cuve sur le trajet BB’. Déterminer le déphasage
entre A’ et B’.
Réponse : Si u(A’)= a Cos ωt, alors u(B’)= a Cos (ωt−ϕ’−ϕ). Amplitudes complexes :
iϕ' −iϕ
uˆ(B' ) = uˆ(A' )e
♦ Exercice 2-12. : Ondes à la surface de l’eau (extrait de TD de SM)
Un bateau animé d’un mouvement de balancement sur place produit une onde de
surface sur un lac tranquille. Le bateau effectue 15 oscillations en 20 secondes, chaque
oscillation produisant une vague. Il faut 6 secondes pour que la crête d’une vague atteigne le
rivage distant de 25m. Calculer la longueur d’onde de l’onde.
Ondes2-10
Quelle est la forme des « surfaces » ou plutôt des lignes d’ondes ? Pensez-vous
intuitivement que l’amplitude de l’onde est indépendante de la distance du point considéré au
bateau. Donner un argument physique pour étayer votre réponse.
♦ Exercice 2-13.:Ondes sinusoïdales sur une corde (extrait de TD de SM)
Une onde sinusoïdale transverse de fréquence ν et d’amplitude a se propage le long
d’une corde tendue parallèle à l’axe Ox avec une célérité c vers les x décroissants. Ecrire
l’expression du déplacement y(x,t) d’un point de la corde sachant qu’il est nul à t=0 au point
x=0 ; montrer que deux solutions sont possibles. Donner l’écriture complexe de ce
déplacement pour les deux solutions ainsi que l’amplitude complexe.
Même question lorsque, à t=0, le déplacement est nul en au point x0.
AN (déplacement nul à l'origine en t=0) Calculer la pulsation et le déplacement au
point x=2,5 m à t=0.1s sachant que c=25 ms-1, ν = 6 Hz et a =3 mm. Même question en
x=5m
Réponse: y(x,t) = a cos(2πν (t − x / c) + ϕ ) avec cos ϕ = 0 , c'est-à-dire ϕ=π/2 ou
ϕ=3π/2.
y1 = asin(2πν (t − x / c)) si ϕ=3π/2
Donc
ou y2 = − asin(2πν (t − x / c)) si ϕ=π/2.
⎛ 2πνx
⎛ 2πνx π ⎞
3π ⎞
+ i ⎟ ou yˆ2 (x,t) = aexp ⎜ −i
yˆ1 (x,t) = a exp ⎜ −i
+i ⎟ .
⎝
⎝
c
2⎠
c
2⎠
Si le déplacement est nul en x0: y1 = asin(2πν (t − x / c + x0 / c)) pour la première
⎛ 2πνx
2πνx0
3π ⎞
solution et yˆ1 (x,t) = a exp ⎜ −i
+i
+i ⎟ .
⎝
c
c
2⎠
−1
AN: ω = 37,7 rad s ; déplacement nul en x=2,5 m; déplacement: 1,76 mm en x=5m
(pour ϕ=3π/2).
♦ Exercice 2-14. :Déformation non sinusoïdale (extrait de TD de SM)
On considère une corde tendue de longueur très grande suivant l’axe x’Ox. Soit y(x,t)
le déplacement transversal d’un point de la corde et c la célérité des ondes sur cette corde.
On impose au point O (en x=0) un mouvement transversal débutant au temps t=0 :
y(0,t)=2a tτ où a et τ sont des constantes.
(t +τ)
- Tracer l’allure du graphe de cette fonction dans l’intervalle [0,4t]. Préciser les
coordonnées de son maximum.
- Déterminer la fonction y(x,t) an considérant un ébranlement d’abord dans la région
de la corde x>0, puis x<0.
- Représenter l’allure de la corde au temps t=4τ (utiliser le résultat de la première
question)
- Donner l’expression de la vitesse des points de la corde. Calculer la vitesse du point O au
temps t=4τ. Vérifier la position des points dont la vitesse est nulle à cet instant.
Ondes2-11