Commande LQG multimod`ele d`une turbine éolienne `a vitesse

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Commande LQG multimodèle d’une turbine éolienne à vitesse variable
Fabien Lescher∗‡ , Pierre Borne‡ , Jing Yun Zhao∗
∗
ERPA-EIGSI
26 rue Vaux Le Foletier, 17041 La Rochelle
‡
LAGIS-Ecole Centrale de Lille
Cité Scientifique - BP 48 59651 Villeneuve d’Ascq Cedex
E-mail: [email protected], [email protected]
Résumé: Cet article traite de la commande d’une turbine éolienne à vitesse variable et à régulation pitch. Le
fonctionnement d’une turbine éolienne se décompose en
plusieurs zones de fonctionnement suivant la vitesse du
vent agissant sur la turbine, et les objectifs de commande du système sont différents pour chaque zone.
Une structure de contrôle basée sur une représentation
multimodèle de type Takagi-Sugeno est conçue pour
prendre en compte les non linéarités du système et
l’évolution des objectifs de contrôle au cours du fonctionnement de l’éolienne. Pour chaque sous modèle
linéaire, un contrôleur LQG est calculé en réponse au
problème de commande multivariable et multiobjectif.
Mots clés: Energie éolienne, commande multimodèle,
synthèse LQG.
I. INTRODUCTION
L’énergie éolienne s’affirme aujourd’hui comme la plus
viable des énergies renouvelables et connaı̂t un fort
développement dans le monde entier, malgré un coût de
revient plus élevé que celui des sources d’énergie traditionelles. Actuellement, plusieurs solutions sont envisageables en vue de diminuer ce coût, comme l’utilisation de
lois de commande avancées, qui permettent d’améliorer
sensiblement les performances d’une éolienne à vitesse
variable. Les algorithmes de commande implantés visent
à optimiser la conversion énergétique du système, et à
réduire les charges mécaniques subies par la structure
mécanique de l’éolienne en vue d’allonger la durée de
vie du système [LEI 91]. Le fonctionnement d’une turbine éolienne à vitesse variable se décompose en plusieurs
zones de fonctionnement, en fonction de la vitesse du
vent agissant sur son rotor: pour les basses vitesses de
vent, le principal objectif est de maximiser l’énergie recueillie par la turbine, alors que pour les vitesses de vent
élevées, la puissance électrique produite doit être limitée et
régulée à la puissance nominale du générateur. La puissance éolienne recueillie par la turbine dépend de façon
fortement non linéaire d’une entrée externe, la vitesse du
vent, de la vitesse de rotation de la turbine et de l’angle
d’inclinaison des pales (angle de pitch). Le contrôleur doit
donc adapter, en agissant sur le couple électromagnétique
du générateur et sur l’actionneur pitch, la vitesse de rota-
tion de la turbine et l’angle d’inclinaison des pales à la
vitesse de vent agissant sur le rotor. Cette grandeur stochastique variant très rapidement dans le temps n’est malheureusement pas mesurable précisément, puisqu’il s’agit
de l’énergie moyenne contenue dans le flux d’air traversant le rotor, et non de la vitesse du vent en un point. La
meilleure façon de connaı̂tre cette grandeur est alors de
l’estimer à partir du comportement de la turbine [LEI 00].
Le problème de la commande de la turbine éolienne est
par conséquent un problème de commande multiobjectif d’un système multivariable, non linéaire et fortement
dépendant d’un paramètre stochastique non mesurable, la
vitesse du vent. En réponse à ce problème de nombreuses types de contrôleurs ont été utilisés, comme des
controleurs PI à gains fixes ou séquencés [CAR 96], ou
des controleurs basés sur la logique floue [VIH 02]. Le
principal inconvénient de ces méthodes est qu’elles ne
garantissent pas un comportement optimal du système
par rapport à un critère dépendant des différents objectifs de commande. Des techniques de commande optimale comme la commande LQG (linéaire quadratique
gaussienne)[EKE 97][MUN 05] ou de commande robuste
minimisant un critère H∞ [BON 94][BIA 04] ont été
développées à partir d’un modèle linéarisé du système sur
une zone de fonctionnement.
Dans cet article, on présente un contrôleur visant à
améliorer la conversion d’énergie et à réduire les charges
mécaniques s’exerçant sur le train de puissance sur la zone
entière de fonctionnement de l’éolienne. Ce contrôleur est
développé à partir d’une représentation multimodèle de la
forme Takagi-Sugeno du système. Pour chaque modèle
linéarisé sur la trajectoire de référence du système, on
établit une loi de commande optimale LQG multivariable
minimisant un critère quadratique dépendant des différents
objectifs de commande et prenant en compte les propriétés
stochastiques de la vitesse du vent. La commande appliquée au système est alors obtenue par l’interpolation des
commandes calculées par les différents contrôleurs.
L’article est organisé de la manière suivante: on décrit
tout d’abord le modèle de l’éolienne étudiée, ainsi que
la stratégie de commande mise en oeuvre. La méthode
de synthèse du contrôleur est ensuite présentée. Les performances du contrôleur sont finalement comparées avec
celles d’un contrôleur classique à partir de résultats de simulation.
II. M OD ÉLISATION DU SYST ÈME
La Figure 1 représente la structure d’une chaı̂ne de conversion d’énergie éolienne. Une modélisation de chacun des
sous ensembles constituant le système est donc effectuée.
Fig. 2. Spectre de la vitesse du vent.
Fig. 1. Structure d’une chaı̂ne de conversion éolienne.
La vitesse du vent en un point fixe de l’espace a
des caractéristiques connus dans le domaine fréquentiel,
représentées par le spectre de van der Hoven (Figure2). Ce
spectre met en évidence la présence de deux composantes:
une composante variant très lentement représentant la
valeur moyenne vm (t) du vent, et une composante de turbulence vt (t). Les propriétés de cette composante de haute
fréquence peuvent être utilisées par le système de commande, et un modèle de son spectre de puissance est donné
par von Karman [NIC 02][EKE 97]:
Φv (ω) =
K
5
(1 + (Tv ω)2 ) 6
(1)
En vue de la synthèse d’une loi de commande, un modèle
linéaire de la composante vt (t) est employé, constitué par
un filtre du premier ordre excité par un bruit blanc mv (t)
[EKE 97]:
v˙t = −
1
vt (t) + mv (t)
Tv
(2)
Le spectre de puissance correspondant à ce modèle linéaire
est:
Φv (ω) =
K
(1 + (Tv ω)2 )
(3)
et représente une approximation suffisante de (1). La constante de temps Tv du modèle (2) et la variance du bruit
mv (t) dépendent de la vitesse moyenne du vent vm et
de caractéristiques spécifiques au site d’implantation de
l’éolienne [NIC 02]:
Tv =
L
vm
σm = kσ,v vm
Fig. 3. Coefficient de puissance Cp (λ, β).
La puissance mécanique Paero recueillie par la turbine est
fonction de la densité volumique de l’air ρ, de la vitesse du
vent v et du coefficient de puissance Cp :
Paero =
1
ρπR2 v 3 Cp
2
(4)
avec R le rayon du rotor. Le coefficient de puissance
Cp est une fonction non linéaire (Figure 3) de l’angle
d’inclinaison des pales β et du rapport λ entre la vitesse
périphérique des pales et la vitesse du vent:
λ=
ωT R
v
(5)
avec ωT la vitesse de rotation du rotor.
Le coefficient de puissance Cp (λ, β) de l’éolienne considérée, représentée Figure 3, est modélisée sous forme
d’un polynôme de deux variables:
Cp (λ, β) =
X
i,j=1..4
aij λi β j
(6)
et les coefficients kω , kv et kβ sont définis par:
µ
γωi =
µ
γvi =
Fig. 4. Modèle d’arbre à deux inerties
γβi =

 JT ω̇T
JG ω̇G

TD
=
=
=
Taero − fT ωT − TD
TD − fG ωG − TG
d(ωT − ωG ) + k(θT − θG )
¶
(9)
Si
∂Taero
∂β
¶
Si
Le modèle linéarisé du système autour du point de fonctionnement Si s’écrit alors sous forme d’équation d’état:
ẋ = A∆x + B∆u + Gw
(10)
Les vecteurs d’état sont définis par:



x=


ωT
ωG
TD
β
v






µ
u=
¶
TG
βref
w = mv
(11)
(7)
et la matrice d’état A par:

La partie électrique du système correspondant au
générateur et à son module de commande associé n’est
pas modélisée: en effet, les dynamiques de réponse de
la partie électrique sont beaucoup plus rapides que celles
de la partie mécanique, et par conséquent, et à la vue des
objectifs de cette étude, elles sont négligées. Le couple
électromagnétique TG du générateur est donc considéré
égal à sa valeur de consigne TG,ref .
L’actionneur pitch représente le système mécanique et
hydraulique qui permet aux pales de tourner autour de
leur axe longitudinal, afin de faire varier leur angle
d’inclinaison par rapport au vent. Ce système est décrit par
une fonction de transfert du premier ordre avec une saturation sur β et β̇ afin de rendre compte des limites physiques
de l’actionneur.
L’interconnection de ces différents sous systèmes est un
système fortement non linéaire à cause de l’expression
du couple aérodynamique Taero . Ce système global
peut néanmoins être linéarisé autour d’un point de
fonctionnement, en linéarisant l’expression du couple
aérodynamique:
∆Taero = kω ∆ωT + kv ∆v + kβ ∆β
Si
∂Taero
∂v
µ
La flexibilité de l’arbre mécanique reliant le rotor au
générateur est prise en compte dans le modèle: en effet, les
dynamiques structurelles de l’arbre de transmission flexible peuvent donner lieu à des phénomènes d’oscillation
du couple de torsion de l’arbre à une fréquence de
résonance, ce qui peut entraı̂ner une augmentation des
charges mécaniques qu’il subit [PET 02][BUR 01]. Pour
rendre compte de ce phénomène, l’arbre de transmission
flexible est représenté par un modèle à deux inerties (Figure 4) connectées par un ressort et un amortisseur. Le comportement mécanique de l’arbre de transmission est alors
décrit par:
¶
∂Taero
∂ωT
(8)
L’opérateur ∆ correspond aux déviations des différentes
grandeurs par rapport au point de linéarisation Si (xi , ui ),
1
JT
(γωi − fT )
0



 d+
 k (γ − f )
T
 JT ωi

0

− J1T
0
1
f
JG G
1
JG
−d−
k
f
JG G
0
0
k
JT
0
−
k
JG

1
JT
γβi
0
1
JT
γvi
0 

k
JT
γβi
k
JT
γvi 
0
− T1b
0
0
0
− T1v





avec:

0
 − J1
 kG
B=
 JG
 0
0
0
0
0
1
Tb
0









G=


0
0
0
0
1






III. S YNTH ÈSE DU CONTR ÔLEUR
A. Stratégie de commande
Le fonctionnement de l’éolienne se divise en plusieurs parties, suivant la vitesse du vent agissant sur le système,
à l’intérieur desquelles les objectifs de comande sont
différentes.
Fig. 6. Trajectoire de référence.
Fig. 5. Evolution des principales grandeurs caractéristiques du
système avec la vitesse du vent.
Pour les basses vitesses de vent, v < v1 , l’objectif est
d’optimiser le rendement énergétique du système et donc
de recueillir le maximum de puissance éolienne. Dans cette
zone, appelée Charge Partielle 1, le système doit donc fonctionner à Cp (λ, β) = Cp,max . Pour ce faire, l’angle de
calage des pales β est maintenu constant à βopt et λ est
régulé à λopt en agissant sur le couple électromagnétique
du générateur TG , qui permet de contrôler la vitesse de rotation de la turbine ωT en fonction de la vitesse du vent v.
Pour des vitesses de vent plus élevées, v1 < v < v2, c’est à
dire quand la vitesse de rotation ωT requise par la stratégie
de commande précédente atteint la vitesse de rotation nominale du générateur, la stratégie de commande consiste à
fonctionner à une vitesse de rotation fixe, en agissant sur le
couple électromagnétique du générateur TG . On parle dans
cette phase de fonctionnement en Charge Partielle 2.
Pour v > v2 , la turbine fonctionne en zone de Pleine
Charge et la puissance produite doit être maintenue égale à
la puissance nominale du générateur. La vitesse de rotation
de la turbine est maintenue autour de la vitesse nominale
du générateur et l’angle de calage des pales β est modifié
afin de diminuer le coefficient de puissance Cp (λ, β). Le
système de commande est dans cette phase multivariable,
puisqu’il agit sur le couple du générateur et sur l’angle de
calage des pales.
D’autres contraintes que celles inhérentes à la technologie
du générateur expliquent la limitation de la puissance lors
de cette phase, comme la limitation du niveau sonore du
bruit généré par les pales ou la limitation des charges sur la
structure mécanique du système [BOS 01].
Les évolutions des différentes grandeurs mécaniques
et électriques en fonction de la vitesse du vent sont
représentées à la Figure 5. Le principal objectif de com-
mande est donc le suivi de ces courbes, qui garantit une
conversion optimale de l’énergie éolienne. Le second objectif est la minimisation de la fatigue mécanique subie
par le train de puissance. Cet objectif peut être ramené à
la réduction des fluctuations du couple de torsion TD de
l’arbre.
Ces deux objectifs sont opposés: en effet, la maximisation de la puissance recueillie par la turbine implique
un changement instantané de la vitesse de rotation de
la turbine en réponse à une variation de vent, et par
conséquence une variation rapide du couple du générateur
TG , qui provoque alors des fortes contraintes sur l’arbre.
Le contrôleur synthétisé doit donc optimiser un compromis
entre ces deux objectifs.
B. Approche multimodèle
A cause des non linéarités du système et des différents
objectifs de commande, fonctions des points d’opération
du système, une approche multimodèle est utilisée pour la
synthèse du contrôleur. Le système est linéarisé autour de
plusieurs points de fonctionnement Si (xi , ui ) se situant sur
la trajectoire optimale du système (Figure 6).
C. Contrôleur optimal LQG
La synthèse d’un contrôleur optimal par la commande
LQG (linéaire quadratique gaussienne) est particulièrement
bien adaptée au problème de la commande de la turbine
éolienne. En effet, la synthèse LQG permet d’obtenir un
comportement d’un système linéaire en boucle fermée optimal pour un critère quadratique dépendant des différents
objectifs de commande. De plus, la synthèse LQG prend
en considération les propriétés stochastiques des perturbations affectant le système et des bruits de mesure, et donc
les propriétés stochastiques de la composante turbulente de
la vitesse du vent.
Ainsi pour chaque point de linéarisation du modèle
Si (xi , ui ), un contrôleur LQG est synthétisé, composé
d’un filtre de Kalman estimant l’état du modèle linéarisé
∆x̂ = x̂ − xi et d’un retour d’état ∆u = K∆x̂ (Figure
7). Le retour d’état K est calculé de manière à minimiser
une fonction quadratique J, qui dépend des objectifs de
commande, et est par conséquent différente selon les zones
sous la forme:
Z
J=
T
¡
¢
xT Qx + uT Ru + 2xT Su dt
(15)
0
qui correspond à la forme classique du critère quadratique
pour la synthèse LQG.
Fig. 7. Structure d’un contrôleur LQG
D. Interpolation des contrôleurs
d’opération du système.
En Charge Partielle 1, le système doit évoluer à λ = λopt
pour recueillir le maximum d’énergie éolienne. Le critère
quadratique J s’écrit alors:
Z
T
J=
¢
¡
q1 ∆λ(t)2 + q2 ∆TD (t)2 + r∆TG (t)2 dt
0
(12)
∆λ(t) correspond à la quantité ∆λ(t) = λ(t) − λopt multipliée par un filtre passe bas Wλ (s). De même ∆TD (t)
correspond à la quantité ∆TD (t) = TD (t) − TD,i multiplié par un filtre passe haut WTD (s). En effet, le suivi
de la consigne λ = λopt en hautes fréquences n’est pas
recommandé car il imposerait des variations brusques de la
vitesse de la turbine, et donc des charges mécaniques importantes sur l’arbre. De même, le filtre passe haut WTD
permet d’améliorer l’amortissement du système pour une
gamme de fréquence élevée comprenant la fréquence de
résonnance de l’arbre.
En Charge Partielle 2, le système doit fonctionner à
la vitesse de rotation nominale du générateur. Le critère
quadratique s’écrit:
Z
J=
T
¡
¢
q1 ∆ωT (t)2 + q2 ∆TD (t)2 + r∆TG (t)2 dt
0
(13)
∆ωT (t) correspond à la variation de la vitesse de rotation
filtrée par un filtre passe bas.
En Pleine Charge, la puissance électrique de la turbine doit
être régulée à la puissance nominale du générateur. Le coût
quadratique à minimiser s’exprime:
Z
J=
T
La commande globale à appliquer au système non linéaire
est calculée à partir de l’interpolation des commandes
déterminées par les différents correcteurs des modèles
linéarisés. Une approche par la méthode de Takagi
Sugeno est utilisée: basée sur une technique d’interpolation
par logique floue, cette méthode assure des transitions
douces entre les différentes régions d’opération, et évite les
phénomènes de commutation brutale.
Le système non linéaire global est considéré comme une
somme pondérée des modèles linéarisés:
ẋ(t) =
N
X
µi (z(t))(Ai (x(t) − xi ) + Bi (u(t) − ui ) (16)
i=1
z(t) est la variable de décision du système et les fonctions
de pondération µi sont telles que µi (z(t)) ≥ 0, i = 1..N
PN
et i=1 µi (z(t)) = 1.
La variable de décision z(t) doit permettre au contrôleur
d’identifier le point de fonctionnement du système sur la
trajectoire optimale. La vitesse du vent étant une variable
d’état du système (11), elle est estimée pour chaque modèle
linéarisé par le filtre de Kalman correspondant. L’estimée
de la vitesse du vent v̂(t) est déterminée par l’interpolation
des vitesses v̂i (t) calculées pour chaque modèle linéarisé.
La variable de décision z(t) utilisée pour cette interpolation est l’estimée de la vitesse du vent v̂(t − τ ) retardée
d’une durée τ . Les fonctions de pondération utilisées sont
représentées Figure 8. La commande globale u appliquée
(q1 ∆Pelec (t)2 + q2 ∆TD (t)2
0
+ r1 ∆TG (t)2 + r2 ∆βref (t)2 )dt
(14)
On peut alors montrer que dans chaque cas, on peut réécrire
le critère quadratique J en fonction de l’état du système
Fig. 8. Fonction de pondération µi (z)
Fig. 10. Structure du correcteur PI en Charge Partielle
Fig. 9. Structure du contrôleur global
Fig. 11. Structure du correcteur PI en Pleine Charge
au système non linéaire s’exprime alors:
u(t) =
N
X
µi (z(t)) (ui + Ki (∆x̂i (t)))
(17)
i=1
La structure de ce contrôleur LQG multimodèle est
représentée Figure 9.
E. Evaluation de la loi de commande
Le système de commande proposé est validé par la simulation numérique, et ses performances sont comparées avec
celles d’un contrôleur PI dans les zones de fonctionnement
de l’éolienne correspondant aux basses vitesses de vent
(Charge Partielle 1) et aux hautes vitesses de vent (Pleine
Charge). Le modèle de turbine éolienne implanté dans le
simulateur correspond à une éolienne de 1.2 MW à vitesse
variable et régulation pitch.
En Charge Partielle, le contrôleur PI est calculé à partir
d’un modèle linéarisé de la turbine sur un point de fonctionnement et en tenant que sur la trajectoire de référence
le couple aérodynamique recueilli par la turbine s’exprime:
Taero =
Cp,opt
1
ρπR5 3 ωT2
2
λopt
(18)
La consigne ωT,ref est donc calculée à partir de l’estimée
du couple aérodynamique T̂aero (Figure 10).
La perte relative d’énergie capturée par la turbine par rapport à l’énergie maximale capturée, c’est à dire en fonctionnant à chaque instant à Cp = Cp,opt , soumise aux
mêmes conditions de vent est présentée Table I pour les
deux contrôleurs considérés. Le rendement énergétique
pour les deux contrôleurs est très élevé. Les courbes temporelles de la vitesse du vent, de la vitesse de rotation et du
couple de torsion de l’arbre de transmission sont présentées
Figure 12. Le contrôleur LQG présente donc, pour un rendement énergétique équivalent au contrôleur PI, des variations du couple de torsion de l’arbre mécanique réduites.
Pour la zone de fonctionnement correspondant aux
vitesses de vent élevées, dite de Pleine Charge, la structure
du contrôleur PI est présentée Figure 11. Ce contrôleur
régule la puissance électrique générée en corrigeant la
vitesse de rotation du générateur en agissant sur l’angle
d’inclinaison des pales, en fixant la valeur du couple
électromagnétique du générateur à sa valeur nominale
TG,nom . Ce contrôleur est donc monovariable contrairement au contrôleur LQG proposé qui est multivariable dans
cette phase. Les courbes temporelles de la vitesse de vent,
de la puissance électrique générée, de l’angle d’inclinaison
des pales et du couple de torsion de l’arbre de trans-
Contrôleur
Perte relative
Contrôleur LQG
99.03 %
Contrôleur PI
99.08 %
TABLE I
C HARGE PARTIELLE : P ERTE RELATIVE D ’ ÉNERGIE
RECUEILLIE
Fig. 12. Charges partielles: Séries Temporelles: − contrôleur
LQG, − contrôleur PI.
Fig. 13. Pleine Charge: Séries Temporelles: − contrôleur LQG,
− contrôleur PI.
Fig. 14. Pleine Charge: Densité Spectrale de Puissance du couple
de torsion: − contrôleur LQG, − contrôleur PI.
Fig. 15. Simulation sur la totalité de la plage de fonctionnement
IV. C ONCLUSION
mission sont présentées Figure 13. Les variations de la
puissance électrique autour de la puissance nominale de
l’éolienne (1.2M W ) sont plus réduites pour le contrôleur
LQG. Les variations du couple de torsion de l’arbre sont
plus élevées pour le contrôleur proposé. Néanmoins en
analysant la Densité Spectrale de Puissance du couple de
torsion (Figure 14), on constate que les fluctuations du couple de torsion à la fréquence de résonnace, qui sont les plus
dommageables pour l’arbre flexibe sont sensiblement les
mêmes pour les deux contrôleurs.
Des simulations pour une vitesse de vent couvrant
les différentes plages de fonctionnement montrent le
comportement du système lors de transitions entre les
différentes phases (Figure 15).
Dans ce papier, on présente une structure de contrôle d’une
turbine éolienne à vitesse variable dans sa plage entière de
fonctionnement. Le contrôleur basé sur une représentation
multimodèle prend en compte le caractère non linéaire du
système et les différents objectifs de contrôle en fonction
des zones de fonctionnement de la turbine. La technique de
synthèse de commande LQG garantit un comportement optimal du système autour d’un point de fonctionnement par
rapport à un compromis entre plusieurs objectifs de commande. L’évaluation de la stratégie de commande proposée
fait apparaı̂tre un meilleur comportement du système dans
chaque zone de fonctionnement par rapport à un contrôleur
classique, ainsi que de bonnes transitions entre les zones de
fonctionnement.
Cependant aucune garantie de performance ni de stabilité
pour le système non linéaire global n’est assuré avec le
contrôleur proposé.
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