A. Transformations linéaires B. Transformations linéaires et bases

MAT1600 -10
Département de mathématiques
Hiver 2010
DEVOIR # 4
Date limite de remise : 26 avril 2010 Heure : 15h00
Lieu de remise: au cours salle SBM210 ou bien dans la chute à devoirs
A. Transformations linéaires
Parmi les transformations suivantes, lesquelles sont linéaires? Justifiez vos réponses
1. On considère l’espace vectoriel de toutes les fonctions T : R2 −→ R2 .
a) T1 (x1 , x2 ) = (2 − x1 , x2 );
b) T2 (x1 , x2 ) = (x2 , x1 );
c) T3 (x1 , x2 ) = (x1 , x22 );
d) T4 (x1 , x2 ) = (cos(x1 ) + π2 , x2 );
e) T5 (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , 0).
2. Soit V l’espace vectoriel des matrices carrées n × n sur un corps K, où n est fixé. Parmi les transformations suivantes quelles sont les transformations linéaires
a) T1 : V −→ V ; T1 (A) = AB − BA où B ∈ V une matrice fixée;
b) T2 : V −→ V ; T2 (A) = A + I;
P
c) T3 : V −→ K; T3 (A) = ni=1 ai,i = a1,1 + a2,2 + a3,3 + · · · + an,n ;
3. Soit V un espace vectoriel et T un endomorphisme sur V . Montrer que les deux énoncés suivants sont
équivalents:
a) Im(T ) ∩ N(T ) = ~0;
b) si T (T (v)) = ~0, alors T (v) = ~0;
B. Transformations linéaires et bases
1. Soit B = (e1 , e2 ) la base canonique de R2 . Soit T la transformation définie par
T (e1 ) = [1, 1, 0];
T (e2 ) = [1, −1, 1]
a) Quel est le prolongement linéaire de T à R2 ? (Utilisez le Théorème 6.3, point 2 du livre)
b) Quel est le noyau de T ? Quelle est sa dimension?
c) Quelle est l’image de T ? Quelle est sa dimension?
d) Quels sont le rang r(T ) et la nullité n(T ) de T .
2. Soit V l’espace vectoriel des polynômes de degré au plus 2 sur R.
a) Soit x ∈ R fixé. Montrer que Ex : V −→ R, définie par Ex (p) = p(x) est une transformation linéaire.
Quel est son noyau?
b) Soit a, b, c ∈ R trois nombres distincts. Montrer que Ea , Eb et Ec sont linéairement indépendantes.
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