( voir la figure ) : on se d é place sur le segment j oignant x`ay, et on

1692
Fr é d é ric Le Roux
( voir la figure ) :
on se d é place sur le segment j oignant xày, et on y é crit les è chesa uf ure t
à m esure ;
es notdef chesve t − r icales co dentla dynamique sur les bords des composantes
de Reeb , les è chesh orizontalesc od
ent la dynamique à l ’ int é rieur d ’ une composante ( ce
procé d é est pré cis é plus bas ) .
1. 2
Les hom séomorp−p hismes de Brouwer
a
2, 1. Da nu
n cer an em esre
on
p ustl e v or com m u
n g´ ´r lisa to n Pd oincare ´m−− Ben
dx on , e qout u t mp ss Φ n d uot p ob enu eeff en ntet grant`su nte cham e dp dev cteurse t
i saspoin fi x , ces tt do n c unom morphism ed eBr ou w er . E n
f a , e tho eme n de Poin r ´ e – Be n ix o ns ege e ´ra seax hm eomorp his mes deB
rouwe : l à aussi , l ayaa bs n cede s´cu rre n e , tto u tu oorbit ep art à ’ nfi i . L ’ anaog cul
mn eav e ce e lbre th re med estran at on e splane sd eB ouwr : on peu lteec u v irle planp ar
`d s do
mane sd eranstion , q is on de su v e s , con n ex s , sim le mn tcon ne s , n varan
ts at r h, a su es ueslt arestrcto t n de h esttri vap e , c e0 e t a d e xconju gu e i à une t r n
laion a qffine d u l a in.iE n P e ut −onci p ous s − e r h p us o l in p cer ttee n e l − a ogiea
o
v − ecp lesfeuillt eta es ? en L al t − térau−tdr−es re o rge d ’ exem pl es d ’ ho mé o mor phsme
eB
swd
` s s d ff − i i ér ntsde. e − c ux
rovenant
d0 un ch
r u ouwer coexo i − trqu es , q uis emblent tr e −
amp
de
et eu r − s( voir [19 , 1, 5, 7, 25parenright − brackright Me
m
esi on se
lim i − t e
aux dyn amiques o t nue enre col a − ln td e − u x tr nslai n comma − s ilfaut ab ando nerl
quoteright − id´ e d ’ o bte ir unec l − as − si − ficat on
com pl è te ( v or [28], [2five − brackright,
l − quoterighton
poi ntde vue
a tice l
es ten q
u elq ue so rt co mépl m
entai e
e − dc e l ui
d e[3] N l
v
ai
e d@ mesirs−e
ul tt u s
el e − ctclede t ma une−grave−irerp nusp res re.d e tr a n
ousde i
´
l s iff e rnes qu ’ on an a y s a itl à en d ét al . Ave c c − ep.3n tD es
s − lt − aio ns ,e no ubia t to ut s
o
r
u r comma − ptio un ade s − résnutats r l etheo re me d ’ ex iste n c − e de com p o s ane s dG e ome e − t y
eAmpersandT o − opoogy d eV o − suum ep 9u − parenleftetwo−r5 ) eu i l eta g s − e, e t
e ndd u i re a co ns
ru ti o n d ’ un nva r ian d ec o ju aio s n c om bina oie qu ´en d le co a g e esq us ś e
de
et
etbrackleft − three]où
cévonsm
us
u
hat .
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
1693
Distance
de
translation
Soit
h un hom é omorphisme de Brouwer . Étant donn
é s deux points distincts
x et
y, on note
dh (x, y) le nombre minimal de domaines
de
translation de h dont la r é union est connexe et contient x et
y. Ceci d é finit une distance sur le plan .
On d é finit é galement la h – longueur d ’ un arc ,
c ’ est le nombre minimal de morceaux dans un d é coupage en sous - arcs li bres
( un ensemble
E est
li bre si h(E)∩ =⇒∈ existential − f our − three − three − period − f our − hyphen.arrowlef t − J O
arrowlef t − negationslash − nm − infinityn − existential − period − zero − oexistential − zero − tinf inity−r e ← a
T − obracelef t − rs←q inf inity − einf inity − period − zero∃ d s − t ance d (x, y) c
ı̈ ncide
a ec l − a
p us c urte o − l ngueur d s a csjo i gnant x y L s a cs r a l − is ant l m nim ums nt
´ e a cs g eodésir ques . D
´ e m o − r phism e
n omm s −
n − as l − e s
o u el − quoteright h om o −
h e t o tenu
e n n − i t é grant u nc a mpd ev cteurs , l e om b − r e d (x, y) c ı̈ ncide
a ec l − ebn om r − b e d q iap paraı̂ t d nsle t é or èm ed e
S cto n
1
1(
om
b − r e m nim umd ec rtes d uf ui l − l et age
d ntla hr union
et
nnexe e c nt i − e nt x e y. S rl ’ x em l − p e d ea eF gure 2 l e se gm e − n t [ y] e
t na c g odé sique d e h longueur ´ e ale à3
omp o − s antes
d eR e − eb a u tre p rt−comma n us g né ra l − i s o nsla n tion d
ec m - sante d eR eb d la m a − n i è0 re s ivante .
E sent i − e lle m n − e t , o nd tq
´ e set co nnexesdu
’ u nc uple , G) d ep rte sdi s − jointes,fe r m e −
p an e tun e c − o m o − p
sante d eb p ur u nc uple d ep ints (, y) s
F s pare x e
G ∪ {} ( u
b en F c nt i − e nt x,
G s pare y e
F ∪ {} ( u
b en G c ntient y,
pr oduit F × G e t po si−t iv e
m n − e t o ub en n gatv e
m e − n tsi ngu i − l er , i . .
u tco uple (V, W ) d o u vertsre ncontrantre spec tv em e − n t F e G i l ex i t − s e
ste m p − s n p st−i ifs ’ a bi t − r airem n − e tgr andste l − s q e h(V ) r ncontre W,
ub en p urto u tco uple (, W ) d o u vertsre ncontrantre spec tivem e − n t F
G i l ex i s − t e d ste
m s − p n n gatfs
a bi t − r airem n − e tgr andste l − s q e h(V )
ncontre W.
ro − Afie m − r − So−pq
n − etc−t
s − te − s − te − o − tny−d
pur
d − fi − dn−o e − n − i − uni−x−t eo−acute−ep−n so−e−i r − t − t −
n − ho − ´p − er − u − grave − et−commamv−e−e
m − n − a − p − ro − po − an−ui−v−te−e s ao −
il−c−s−a t − d − eo − rp − e − exo−a−d−l g − s − te−ie−e−f−m e − u − du−i−nl−t−le d − t − pla−an−g−minus
period−ec−n
e−colons−one
O
o − m et y − r
AmpersandT o
o−l−o
, V o u−l m e
9(0
f ive − parenright
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
1 707
´ − eo − ou−mv−p e r − os − ti − c − to − on−nn m − ei−x n − e
O − Cn − e t e − en s − de − on−m n − bl − ee e − n s t − ed − uc − n
l a − notdef n parenleft − equalp − notdef ou r − asteriskmath l periodcentered−aasteriskmath−td−l
o−notdefpo o g − u i
´ lo−e )d−comma s − et − iu − e s e − t parenleft − i
e − nu − as − rc−u g − e l e −
ri
a
− oneparenright−n−period
d−nvgreaterequal−a
è
t par h : en effet , d ’ apr s la d é finition de dh , B1 (x) est l ’ union des D − dof i−m−ea−nii−nt−e−io−s
n−
´
translation contenant x, et Br (x) est l ’ union des domaines de A − trffi−an r−s l a − m t
a − it−on−i n − r e n − threeperiod − co − onezero−n tr a − So−n t B − iruone−n (e − xparenright − n.
` ic − parenrighth − intersectionplus−arrowdblright−es−one element − negationslash − equal − ho−brackrig
parenleft − F − hlae −
3.one − three
(
te sque
d
s
p
r
u
etr y AmpersandT o plogy , V o um
r
oo
m ´s
l
les i − ne − acute − t r ieu s d − e 1 e t D2 s ont di j − s oint ;
•D e t
D sontlibr s .
o s o s ma i n e − n a n q u e
à− d
e q u l − i e x i t e u np
au x nte re u rsde D1et D2, au tr e m en
(x)ap p ri n n − et − nres pectv em en
D2
e9(0)
e
t
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
1 71 1
si pour tous voisinages
Vx
et
Vy
de x et y resp ectivement , il existe un entier
positif n tel que hn (Vx )∩ ⇒6= element−emptysetT −brackrightO−arrowleft−J n − element − R − slashn − arrowleft − negati
e r − existential − period − zeroaexistential−zeroinf inity−S n − arrowleftg − T − parenleftbracelef t−h)arrowlef t−comma e − unive
mapsto o n arrowlef t − ap − arrowleft − zero − p e − T − le−arrowleft−d r − uniona⇐e se m l − b e nguli−e r d
e h l ’ e n se m l − b e d s c u p − l es s ng l − u iers d e h.
o − i ci q e − u lques e em p − l es . L
at anslation τ : ( , y) 7→ x + 1y) n a dm t − e a cu n
´ e m o − r phism ed eR e − e b (
uple d ep o − i nts s ng l − u iers . P o − ur l h om o −
epr é
sent é s r oF gure 1 , l e n se m b − l e s ng l − u ier e t l e n se m b − l e d s c uples ( , y)
o u x e y p a − r tiennent r spec tivem n − e t a uxb o − rds s p é rieur e i f é rieur
d el b n − ade tB .
nf it , o np e − u t v ir q e − u s h e t l − e t e mps 1 d u no , al o rsl ’ e n s em b e − l sin gul
i − e r tla ar union
d s p od u − its ∆0× ∆1d s b r − o0ds d ec omp o − s antes d eR e − e b (∆, ∆)
u s ns d el d finition d n n − acute − e e e ni trod c − ution d ec et xte ) .
su it d e l − a d finition q quoteright − u u nc uple (, y) e t s ng u − l ier p u − o r hminus − one
s et s ule m n − e t
l
cu
p − l e ( , x) e
t s ng
l − u ier p o − u r
h . u − os v rrons
p us
l in q
u−e h n a
l êpmee sem ql−b e Bs (ngxu − lieré sq u − en h s bon ≥ d1 ( o − a ir onl s − one c omm n − e ta
t − ieres xq i − uo usaivent d l − s
e − nmme5 r − six) a − periodns
laditn
anc dh e m e u i a t b u p e e t n u er .
em
m
4 . 2 ( Co u pss ng uier e t h – d it nc e S oit (x, y) u
ncoupl s ng
e h . Ao rs dh(x, y
euve U n e ansation n ’ ad met pa sde couple ngul er , p a ru itel nepeu t
se x i e rde do m a in d e ra s a ion de h
e
dh
, y)
.
u−l
ier
e
u n d o − m ine d e t an l ai o n c ont n − ea n x : c0 es un v isain g e d e x , e t e
t p rh . L a d fi n
c s ans cB(x), on c y u re∈Ad h (B1(x). e C o ms e B 1x)nneecont nt p a , c
est que dy ∈ ∂B1 x) dO ne nd ´ edu tqu etou td oman e d eran sat on q ui 0 ntient y
en o tre B1 (x), e donc u e dh(xy) = 2. l o r c q
r
né
m
n xérale des composantes
R − f our. e − two D − o − usr−e
´ fi − parenleftx−ncomma−i y−ti−parenright oi−n−s g
de Reeb
ot O
sti nvari n
esti n
Ge omt ry Ampersand Too lo y ,V o l − u
me 92 05)
1 712
Fr é d é ric Le Roux
(1) F × G ⊂ Sing (h) ou G × F ⊂ Sing (h);
(2) F contient x, ou bien F s é pare x et G ∪ {y};
(3) G contient y, ou bien G s é pare y et F ∪ {x}.
Les ensembles F et G sont appel é s bords de la composante :
F en est le bord n é gatif , G le bord positif ; si G × F ⊂ Sing (h), c ’ est le
Il suit imm é diatement de la d é finition que les ensembles F et G sont disj
puisqu ’ un couple (x, x) n ’ est j amais singulier .
Table ignored!
si F × G ⊂ Sing (h),
contraire .
oints ,
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
1 717
Preuve du Lemme 4 . 8
L ’ ingré dient principal de la preuve est l ’ in é galit é tri - angulaire
.
Soit i un entier entre 1 et d − 1. Notons x0 = x, ..., xd = y les sommets de la d é
composition .
Puisque l ’ ensemble Fi (x, y) s é pare x et y ou bien vaut {y}, l ’ arc
doit rencontrer cet ensemble .
Montrons que la rencontre se fait n é cessairement entre xi et xi+1 .
En effet :
• le sous
arc [xxi ] est dans la h – boule Bi (x) ( car il contient x et est r é
union de i arcs libres ) , donc ∂Bi (x) ne rencontre pas
[xxi ] ( puisque les
h – boules sont
des ouverts du plan ) ;
• si
i < d − 1, le sous - arc
[xi+1 y] est
dans la h – boule Bd−i−1 (y). Or
d ’ aprè s l ’ in é galit é triangulaire , on a Bd−i−1 (y)∩parenleft − arrowdblrightx−existential−f our−three−three−period−f ou
T −brackright−equalarrowlef t−J∅element−R−slashd−arrowleft−negationslash n c − infinityexistential−period−zero ∂B−
inf inityarrowlef t − parenlef tx )T { er ncontre p s
[ i + 1y] .
u − isque F (x, y) ⊂ ∂B(x), o na b en
(x, y) ∩arrowdblright−propersubsetbrackright − hyphen − four − period − three − three − four − existentialbrackright−T iJ−
d−1 C q u
e l − quoteright onv o l − ua t − period
Preuve du Lemme 4 . 9
On montre la premi è re é quivalence ,
la seconde en
d é coule ( en changeant h en h−1 ).
Montrons la premi è re implication .
On suppose que M↔ ( 1∗ 2) = (→). D ’ aprè s les Lemmes
n
3 . 7 et 3 . 1 3 , pour h , 1 ∗ 2 est encore une d é composition minimale d ’ un arc gé od é sique
, et le mot horizontal associ é est encore (→). Autrement
dit , pour tout entier n > 0, on a hn ( 1)∩ ⇒6= element−emptysetT −brackrightP−arrowleft−J a − element − R − slash − ra
period − zero − p − existential − zero − ac − infinity i t − arrowleft − acute − e, T o ← e existential − f ive − three −
period d d − arrowleft − mapsto − mapstoarrowlef t−zero−u i t − Tarrowlef t − d ciem
e−n t
q e 1× 2
c ntient u nc uple s ngule−i r .
o − ntronsl0 m l − pi − c ation r ciproque .
C c − e ire vient à m o − n trer q e i − s M ↔parenleft−notdef
1 ∗ notdef 2) = ←, a ors notdef 1 × 2 n ec ntient
p s d ec uple s − ingule−i r . E x − acte m n − e
t c ommed ns
p euve d uL emme 3 1 3 ( fF gure 8 , l ’ h y pothè se M ↔notdef −parenlef t 1 ∗ 2) = (←) p r m
´ sD 1e D , d
e − t et ouver d
ux d sques t pologiques f r m e −
nt l s i t é
rieurs ntiennent r spec tivem e − n t notdef 1 e , e t l s q e h ( I n t (D)) s it
d sjoi nt d e t (D) p o − u r t ut e tier n > 0 O ne nd duit q e 1 × 2 n ec ntient
p s d e uple s nguli−eo r .
Preuve du Th é or è me B - bis
Soient
1 732
Fr é d é ric Le Roux
Supposons
d ’ abord que
z est de type
U + par rapport
àx, autrement dit que x
+
appartient à U (z). On va appliquer le Lemme 5 . 9 concernant les liens
entre la partition
associ é e
au point
z et
celle
associ é e
au
disque
D. On
a Ox (z) ⊂ U + (z) ⊂ U + (D); or l ’ ensemble U + (D) est disj oint des ensembles
U − (D), lim+ D et lim− D, qui contiennent resp ectivement
U − (z 0 ), lim+ z 0 et lim− z 0 , par cons é quent
l ’ ensemble Ox (z) est disj oint de ces trois ensembles . D ’ autre part , l ’ ensemble Ox (z) contient
le p oint x qui n ’ appartient pas àU (z 0 )
( Affirmation 6 . 1 ) , et ∂U (z 0 ) = (lim+ z 0 ) ∪ (lim− z 0 )( Lemme 5 . 8 ) : puisque Ox (z) est un ensemble
connexe , qui contient un point hors de U (z 0 ) et qui ne rencontre pas ∂U (z 0 ), il est disj oint de
U (z 0 ). On d é duit de t out ceci l ’ inclusion Ox (z) ⊂ U + (z 0 ). Une premi è re cons é quence est que
x ∈ U + (z 0 ), donc
z 0 est bien du m ê me typ e que z par rapport àx. Ensuite , comme Ox (z 0 )
est la composante connexe de U + (z 0 ) contenant x, et que Ox (z) est connexe , on a Ox (z) ⊂ Ox (z 0 ). Par
symé trie des r ô les de z et z 0 , on a Ox (z 0 ) = Ox (z).
Le cas o ùz est de type U − se traite bien s û r en appliquant le cas U + àh−1 . D ’ autre part
, en é changeant les r ô les de z et z 0 , on obtient
x ∈ U + (z) ⇔ x ∈ U + (z 0 )
et
x ∈ U − (z) ⇔ x ∈ U − (z 0 ).
Consid é rons maintenant le cas o ùz est de type lim+ ; autrement dit , x appar - t ient à lim+ (z).
D ’ aprè s ce qui pré c è de , z 0 ne p eut pas ê tre de typ e U − ou U + . D ’ autre part , dans ce cas
, x est dans lim+ (D), donc n ’ est pas dans lim− (D), qui contient
lim− (z 0 ) : par cons é quent
z0
−
+
−
0
n ’ est pas de typ e lim , donc z est de typ e lim . Le cas o ùz est de type lim
s ’ en d é
duit .
6.4 T − r,oisien ème bétape: existence de composantes de Reeb
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
qui sera organisé e comme suit .
On remarque
couple de points donn é est encore
1 739
d ’ abord qu ’ une composante de Reeb pour un
une composante de Reeb pour b eaucoup
d ’ autres couples de points
( Affirmation 7 . 8 ) .
Pour une suite gé od é sique
( finie ou
infinie ) , cette propri é t é se traduit par une compatibilit é entre les composantes de Reeb
associ é es
aux diff é rents
couples
de
sommets ( Lemme 7 . 9 ) .
Ceci p ermet de
clarifier la topologie des composantes de Reeb as - Asocié es aux psuia − tes gdé o d − upé lsiques infinin es e
i − td − te leurs composantes compl sémen t − maaires q − parenleftu−L emme 7.one − xparenleft − one). Nous
en d − osé d − 0atuirons l − na prop ositc oion.
x. L
p l ffi a s e t l ´ u
Affi r ma io n 7 .
8
Soint x et y d euxpo in d
u p − l an e (F, G) u n com p osa ne
de
R e − b pou r (x, y), qui es
n onde ´ n ´ r ´ e : F n eco
ni e
ors F, pG) e t n
oreun t c om p sant xedeR( e eb ps our x e ,0 . D
epl u , si F y, GG) st
minm alep
ou r ( x y, e le
sta
ssi mini m
p
u
(x0, )y0.
Le m me 7 . 9
( om p tb ie des c om os ant s ) e oCo ns
der ns une
s ie
gé od é−
s N qu u parenlef t − rf in−p r − i − e − e) o ( n l = s x no tai n = xe − d), a t Se un n − e n 43 c ent
r − e n 1 a n − e − t t o l sc m − period A po−o r a tes de
Ree b emiimna es .
0
.
c o r
ed
O n e nd´d u i tn o
parenleft − x0xd .
p ` sl es d éfi to n Ss,l a scom p os an e 0( F r
(, x), F (ix,y )
ou le B(x)g´( em rme46) . L ’ n galt etri n lu ni e p mr e t ade oiquede F l(x y) nern iont ep Las a h
– bou l e B e ´ y).Orceter h – b ul estc rnnex, ele con - tie n tle p
nousdi ma nennq u e ( d − (y, 1x)F d( xy)O e x sun eco m o La t − e d e R e nmin im ale p
o urlec o u l (xiF −1xi + 1 Od ’ a pe ` et Th é o r ` m e pA s , c e c uple d m e t u neu
nqu e compop s a e de Re eb mi ni m a l , d s lo` les eux ga ites . o a
i t u ´
G e om tr y AmpersandT o ool gy , Vo um e 9 ( 200 )
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
1 751
– l − la fisuin − te d − ie com i − p − u osantes qassociuée sàe − Gamma
e s−k t
l − ea m − kaplusˆ − em−onee s − q ue ce n − l le uassocimée hà x − parenleft − axt − ke − parenright − comma
o − c − parenlefte−P rop − o)osit − urion g − seven. o − sevenGamma − parenright − dsemicolon−parenright
c om pé me n a − t i e d e Γ. A fin dal−lé ger l − es no at n − os, o ns uppose−r a ( s ns perte de
´ e a l − i t é) q ue k = 0, e o n
g é n r −
Γ = · · · ∗ −1 ∗
0
∗ notdef1 ∗ ··
d c o m pos ti n d e Γ. E n apliq a nle Lem m e 4 . 8 surle f a chsem n de s
om posan sd eo R eb et le L e m e . 9 s urlac ompatb l tedesco mp osane tes de
R eb , o voitqu e ΓG∩ ⇒ existential − f our − three − three − period − f our − hyphenF e arrowlef t − J
t minf inity−R−slasharrowlef t−negationslash−o∞n v existential − period − zero d e ∞ t ← T { c ← s ∀ da s
← i − arrowleft − zero nt ´ r arrowlef t − d∪ ⇐ de ⇐ l a − r c
.
n sepl acn e
c − i da n sl e
ca
“ −5six − two − f oursix − parenlef t at r ct ” o
u “
six − two − f our
)
six − parenlef t r p
us ppoi
5
l−a
s
u (←→ parenright − period D e p lu , ls u ffi t ↔1 x− ,x2 ) = (→ ← , ut e ca ’ e n de uian t
n ppl qu ant l e resl ta t à
ef a − i tque Γ s ot g éodé i − s q ue vaenr a − circumflex − dotlessi n rla p opr ét−acute−e − l − cé su
van te .
Po urt
f f i´− er − mm − o n t − st−io−ra−nt o − eight.n − three
out
n ≥ 1, h n( parenright − zero ∩ ⇒ hyphen −
f our − period − three − three − f our − existential − emptysetperiod − elementbrackright − T J − arrowlef t slash −
R − inf initynegationslash − arrowlef t ∞ zero − period − existentialzero − existential∞ ← T {← ∃ period −
mapsto − inf inity∃f ive − three − arrowlef tzero − arrowlef t
uv S
oi t n ≥1 . Ond o t
mont erq u ep
ourtout
e ti−e r k, hn( 0)∩arrowdblright−k = inf inity − mapsto − three − three − period − f our −
hyphen∅T −brackright−negationslash−period arrowlef t − Jelement − R − slasharrowlef t − negationslash
(→←) etd
e lad
D fi n 3 .
Lemm 3.8s r l
i´r´d0 u a r g
od s i q u e .
Soit D0 un disque topologique ferm é libre , v é rifiant Γ∩ ⇒equal−existential−four−three−three−period−four−hyphen
notdef ∈ arrowlef t − J e
element − R − slashI − arrowleft − negationslashinf inity −
tnotdef −parenlef texistential−period−zero 0existential − zero − parenright∞ ⊂←
t (D0). O no tient f c i − l em n − e t u nt l d sque e n é aisss 0s ant notdef ( nquoteright − l
ide d u
é or èm ed eS hoenies−parenright . O n
dente :
ffirm a − t io n
8
4 S
pe t
l−a
us
e − l s h pothè ses c - dessus , h (D0)∩ ⇒ hyphen −
p J − arrowlef t u − o rnegationslash−arrowlef t−tinf inity−o u
f our − period − three − three − f our − existential
zero − period − existentialzero − existential∞
1
etry Ampersand T p − o ogy , Volu me 9 ( 2 0 5 )
o r − s ren fo c − r erl ’ a ffi rmation
p é c àé
1 752
Fr é d é ric Le Roux
Preuve
On pourrait faire la d é monstration en recopiant la preuve de l ’ affirm - ation pré c
é dente , en utilisant une version adapt é e du lemme de Franks .
Voici une autre possibilit é,
qui consiste à “ ) 5 ( pertur b
r”
Γ. Oni r − so − a nne par l ’ absurde . Supposons que n
est un entier strictement positif tel que hn (D0 ) rencontre Γ, et soit y ∈ D0 ∩ minus − arrowdblright −
n(Γparenright − elementbrackright−T −period J − arrowlef t S
i t − negationslash − arrowleftnotdef ∞zero − period −
existentialu−zero−existential ∞ a c − arrowleftT i − braceleft − nc − arrowleft l u − existential s period − mapsto −
inf inity d n − five − three − arrowleftszero−arrowlef tD , d − arrowlef td − union ⇐ h − mê m s − e e tr émité s e
notdef 0, e t p
ssant p r y O no tient u e n uve l − l e ∃ad oite0 g odé sique Γà p
rtir e Γ e nr m p − lacedilla−c ant notdef p r notdef .b P u − isque D0e tli bre , i l es t d j − s oi
nt d et u s s s é r és , e t h(y) n e s tp 0 ssu r notdef 0; 0 p rco ns é quent y ∈ 0 ∩ n −
arrowdblright−minusexistential−f our−three−three−period−f our−hyphen−parenlef t ).arrowlef t−Jelement−R−slash−D
a u − infinity − t r e existential−period−zerop − existential − zeroinf inity−ar comma − arrowleft T {← ou veled
ro te
g éo dés−i qu edé fi n i − tal−cai re mentl e − s m êm − e sbou tsque la−quoteright n c i en ne ;
con s − acute − equencomma−t leu s m o shor zont a − u xco ı̈ cide nt ( Pr opo s − i to n 7.7, t − e o
n p e−u t
l − iqu erquoteright−l A ffir − m@o−in 8.3àΓ. C e
icon t − r editle f it
que
y ∈ notdef ∩−n⇒ parenleft − hyphen − four − period − three − three − mapsto − infinitynegationslash−brackright−
T −prime.J −arrowlef tslash−R−elementnegationslash−arrowlef t∞ zero−existential−zero−period−existential
Preuve du Th
é or
è me D - bis dans le cas simple , fin
On
reprend
le
dis - que D0 introduit ci - dessus .
Soit x un point quelconque de D0 ∩ arrowdblright −
parenlef t u − hyphen − four − period − three − three − mapsto − infinitynegationslash−brackright−T −in−J−arrowleft
s t negationslash − arrowlef t∞ s v de p isque G r ncontre ) .
S
pposons
q
e
xs
itda ns
W N( G) : i iste u ne tier n0 t
lq e p ur t u t n ≥ n, h (x) e t d
nsl ’ u vert O (Γ) g uche d e Γ . ors l − quoteright A ffirm t − a ion 8 4 i m p − lq − i ue q e
p ur t u t n ≥ n , e sque h(D0) e ten t i − grave − e rem n − e tin clus d nsl ’ o u vert
ON Γ); e n
p rticuli−e r , t o us s p ints d e D0v nt v rsle N o − rd. L sen sem l − b es G∩ ⇒
existential−f our−three−three−period−f our−hyphen−D∈0 parenright − T − brackrightarrowlef t−J−e t inf inity−
R − slash arrowlef t − negationslash ∩ arrowdblright − inf inityD − inf inity − mapsto − three − three − period −
f our − hyphen − existential − zeroT − brackright − negationslash − inf inityparenright−arrowleft−J ←T −inf inity−R−slash
{arrowlef t − negationslash es
o ver s non v des de W → N G) e t W → N F ) r spe tive me
` s op s − ito−in 7.20 e t la d é fin ion
nt . D ’ a p e −
de s t pes dy na i − mques−comma G e t
F so
t ous ux dety ed yna m − iqueS uhyphen−d N ord .
De p u − s, es p o int x0
et x1 vo t − n ers d . Si x st d
ns
W→S G, o n
m nt ede ma ni r − ey − s m é r
q − i ue qu
e G et t e ty e dyn a m − iqueN ord u − Sd, e tqr u e x0et x1 vo n − t ersl
i−c
eSud . Ce
n elapre uv ed uth or ` me
−dans esca s “ 5 ( a
t ract i − f ”
et
“)
TJ
two − notdef82.596zero − notdef
u
Affirmation 8 . 5
( Compl é ment au cas attractif ) On suppose que le mot est attractif , c
’ est −à− dire que
M↔ (x−1 , x2 ) = (→←).
Dans ce cas , si h( 0) est inclus dans OS (Γ), alors hn ( 0) est encore inclus dans
OS (Γ) pour tout n ≥ 2. En particulier , on a les é quivalences
h( 0) ⊂ OS (Γ) ⇔ xk et xk+1 vont vers le Sud
⇔ Gk et Fk+1 sont de type dynamique Nord - Sud
⇔
Mlk =↓ .
Preuve
On suppose que h( 0) est inclus dans OS (Γ). L ’ arc
est pas , et la è che M↔ (x
0
est libre , mais 0 ∪
1
ne l ’
e − sl
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
mais
[x0 x]Γ
ne le soit pas :
le point
α = [h(x)x]Γ. Le point - cl é, prouvé plus bas
∀n ≥ 2,
1 753
est donc sur
, consiste à voir que
h(x)
0
.
On consid è re l ’ arc
hn (α)∩ ⇒∈ .brackright − T J − arrowlef t
ne et , o ne nd duit q el ’ n sem b − l e
h(α)
2
tdi s − jointde Γ o r il es tco nnexeet il re ncontre h(0), c ’ s − e tdo nc q 0i−l es tin clus ns O(notdef );
m a − i s p ur t u t n ≥ 2 h ( 0) r ncontre à s n t ur c t e sem l − b e , e t d s − joint
d e Γ d a p r è sl ’ A ffirm a − t ion 8 3 , c ’ s − e t d nc q e h( 0) ⊂ O(Γ).
´
o − ntrons e − l p int - c l e − period
S it y u np int d e α. S y e t d ns [ (x)x1], a
ors (y) a partient àh ( 0), e l − quoteright A ffirm t − a ion 8 3 d t q e h (y) 6∈ Γ
p u r t ut ≥ 1 S y = x, o nc nclut d em ê m comma − e p isque hx) ∈ . I re ste
l − eoc s
o u y t d ns ]1x[Γ. D a − ns c c s , l ’ a r c [ 0y]Γ e t i − l bre :
p r s
ite , o no tient u e uve l − l e d com o − psi−t io n d e Γ e np sant
0 =, y
0 = x[0x1prime−brackright Γ ,
0=
notdefi
0 = x[10 x]Γ ,
i 6= 01 0=
x
i 6= 1
na plique a orsl ’ A ffirm a − t ion 83à c tte n uve l − l e d com p − ost−i io n .
C e−c i
d nne ta mm e − n t , p u r o − t u t n ≥ 1 h (x00 )e element − negationslashΓ c o mmev ulu .
eight − hp−four
P − hr−minusone−eun−v−o e d − eu−an−t s−s l p − ec − os − a − er − sd − qei−u ffi − eoc−Mil e x−parenlef t
.
m comma − ox − ti − parenrightn − equal d parenleft − iff − arrowrightm
éarrowright−r eperiod−nt O − parenright
c − e s e n e mbl ssontinvar ants ( L emm
e 7.1parenright − one. On n oe p epr mi−e rp on t
´ eΓ d
e d le d e − ri − n e po ntur G qu and onp arc o − u t − r l a dr i − te ore nt e −
e (− ∞) ers (+∞)
( fFi uei 23parenright − period L es ponts p e t d ot−n s − itue se n er x et 1 s r Γ da pe−r` le
Le mme
7 . 9 et l − quoterightn−i é gal t ét−r iangu a − l ire ) .
es
d − e mhyphen−i droti es
] − ∞ , p Γ et ]d, +∞[Γ son tinc l − u sesr espe c i − t ve men t danses o − u v e rt s O(G) e
O+(G).
u
u
N o usallo s p uve sc ce s v e m ntl e re´slt at s u va t s
A
ffimr ation 8.6 P o
ut o
u n ≥ 1,
•
hn([ x p]Γ
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
1 757
+
un intervalle de Γ0− ou bien de Γ0 ; elle est disj ointe de [CD]Γ0 . Puisqu ’ elle s é pare A0 et B 0
dans U, et ne rencontre ni [AA0 ] ni [BB 0 ], son adh é rence doit rencontrer c h − dacun d − mes t − d − reux
A−e
arcs [C−B brackright − sΓ et d − bracklefto−A−rD−i−t brackright − eΓ. Ceci contre A−dit l − stune a − des e − d − heux
Oproprinét més three − net4.
Preuve du Corollaire 8 . 8
Si x0 va vers le Sud , alors il existe un entier n0 t el que p our tout
n ≥ n0 , hn (x0 ) ∈ OS (Γ). Mais alors d ’ aprè s l ’ Affirmation 8 . 6 , pour n ≥ n0 , on a hn ([x0 p]Γ) ⊂ OS (Γ),
et en particulier le point p va aussi vers le Sud . Et d ’ aprè s l ’ Affirmation 8 . 7 , touj ours pour
n ≥ n0 , on a h−n ([dx1 ]Γ) ⊂ ON (Γ), par cons é quent les points d et x1 viennent du Nord .
Preuve de l ’ Affirmation 8 . 9
Pour prouver cette affirmation , nous commen - c − cedilla ons
par remplacer Γ par une autre droite gé od é sique Γ0 , qui d é finira les m ê mes
bouts
que Γ. Par cons é quent , G sera encore un bord de composante de Reeb a − En − s so
q
´ ci−p ue −
´ ai − ela −
` ss − Gamma − s − se−prime parenleft − n − ns−t−P−e l − re −
´ op−g e − `o − re − ssi m − tW
e−
ie−on−n seven − arrow
`
e t − brackleftx−on p − Gamma o parenleft − ua − r r quoteright − a − la − ip−de−p l od − iq−uu t − er−h l − e − acute − re−o s −
l r − d − lpe−air S−e h − i − eight. o − i − eight − onn − grave − ac − es − et − parenrightcomma − te
n − oo − nu−ch−v e − ol − jo − l − is−e t − sti t − mua−a n − tio − tn−en−period
• Γ ∩ ⇒ e hyphen−f our−period−three−three−f our−existential−selement−t u brackright−T n − J − arrowleftslash−
R−element−s o negationslash−arrowlef t−u s zero−period−existential−r−a−inf inityc−zero−existentialinf inity−de arrowlef t−
GammaT bracelef t − d arrowlef t − n t x − period − mapsto − inf inity∃e−five−three−arrowleftt zero − arrowlef tT −u
n d − arrowlef te − uniont−arrowdblleft−x r émitsemicolon−e
1
´
D
∩
•
D
o
⇒
T − brackrightarrowlef t − J element−R−slash
arrowlef t − negationslash ∞ ←
←∃
inf inity − mapsto − pe
•
e st l b e.
l e r ne s po n et G dint rs t iond e notdef 0 av c n ]e− d1∞ex (x] 0 D( et s a − ec−r s e − t
p o − s r q − periodR − ie − m − tu a
p e x s i u e.
1 760
Fr é d é ric Le Roux
l ’ hypoth è se ( H ) ci - dessous , augmenté es d ’ une hypoth è se de connexit é lo cale qui
R − n0e−acute−a p − tp−a i e − to − pn−as−s e − q s s − ue − el−n t − a i l − el − i l e − mparenright − i, o − en−s p − m −
´ en−r i − t − era−u r − it−e l 0e−quoteright
uo −
i n − st − ees−nc−ue−t d − e0d−au−e p − m − ar − ot − ie−i−ns−s d − un −
u−x
quoterightn − p − u o i − es − nt − pa − dc−on−e t−t l − o0p−or−o b − li−og−thyphen−e
t − ir−qa−ue−v eX−rse
t−F
quoteright − d − en−u N − eo−mr−b l − da − de−u Sp − ui − d − oo − ts−u d − d − eu S − Xu − do − dn
d − e − nineperiod − quoteright − tone − l − le−acute−es−m “ en−parenright−Pfive−r−te−s−acute−parenlefts−l−o u−i−dm−evi−e−l a−n−
N − p l a e − u − nquotedblright−s−ux−a−q r − c − u − ue − o − on−n n − se − e − acute − acute − us−g a − qa−u−l e − e − jo−m
r m − d − m u e − mt−c e − o − tn − n − ce−o−t−de−n−p−d t−c F − d − s − re−u v − r − na − ek−n−n t − f − so−commar c−qe−ui−r
´ e´r−ti u − eu−n s e − em−b e − on−n n − te − period − les−a t − rSe − acute − er − su−n a − lt−ta−i t−ve−s a −
`p r
e − sDs −
p
m−two−ue−p−four
o
´
sl − acute − e − ali n − mco − it − na − oir−n e s − dd − oe−c brackleft − q
], a−rnn − esu−e s−l−de−t
´
t−n−o n
c−a
q u−ee−x n − s
s
o a − u − ps − r r ne − acute − ar−u−c s − d − t i l − quoteright´is−do−an−n s−s
vi − le − cai−s e − parenleft − es − sp − ou−a sl − e − ua−s f − X − oo−u
` rc−m e−e−l e − d − ds−u−hyphen d − i − L − ie−so−mn−m−t e nine −
d − e − grave − al−ee−s c s − oo−m−nt−p a − re − acute − ct − e − ds t − i − mre − is − niim − grave − ad − au−ex−s p − d − pa−on−
con o − tex e − te e − de l − e ’ ar X − ticl. e [n−two 4].
C e s fin i − t ionssont u t s − iés−ep arW . Daw dan l quoteright − a ti e − l − c[seven − brackright
E s − e a − p pa
´ es des co s t iu ants−period ) Dans les
pos−a n tes c omp ac em ent conn exesy s ont app e e −
bo
n e pac e s − comma lescom p o antes
om p ce−t
m e ntc on nexes
o n − t “ ) ] TJ
three − notdef0956zero − notdefT − notdef d
n s a u − s siqu ’ u e rm e .
ntro nsl e
m ite su p´r e
h(
A
d h ()E )) n
≥
dxu
e
1 766
Fr é d é ric Le Roux
Quitte à extraire , on p eut supposer que la suite (Kp ) converge dans l ’ espace K(Fb ). On note
L sa limite .
La fin de la preuve consiste à montrer que L con - t ient une orbite allant de SàN.
Pour cela , on montre d ’ abord que l ’ ensemble L est invariant par h, et qu ’ il est localement fini ,
au sens o ù t oute partie com - pacte de F = Fb \ {N, S} ne contient qu ’ un nombre fini de points de
L( ceci vient
de l ’ errance des points , propri é t é3 de l ’ hypoth è se ( H ) ) . Soit d une distance sur Fb ( propri é t
é1 de l ’ hypoth è se ( H ) ) . Puisque L est lo calement fini , il existe un r é el positif r tel qu ’ aucun
point de L n ’ est à distance r de N. On appelle alors VN l ’ ensemble des points x de Fb
v é rifiant d(N, x) < r, VS l ’ ensemble de ceux v é rifiant d(N, x) > r. On pose maintenant ES→N (L) =
L∩ ⇒ ∩one − arrowdblright − minus − infinity − mapsto − three − three − period − four − hyphenparenleft − infinity − mapsto
brackright−negationslash parenright − arrowleft − J − element − R − slasharrowlef t−negationslashelement−R−
slash − inf inityarrowlef t − negationslash
→ S − parenlef tL) =
∩L ⇒ hyphen − f our − period − three − three − f our − existential − intersectionarrowdblright − on
EN
m te d e m o r ea x dorbi t − e s l − a lant d ’ un po n← tp oche d − e S à un p ni t e N p
rm e − t d emont r r − e quela d ff é r en e eni trele no mb re d e − acute − quoterightl−acute−e me to
´ − l me t s de EN → S() vau t 1 .
s de )e − t l eno
mb re d ’ e − acute
D quoteright − a u
t
r p a rt , un pe - m e t combin to i − r e mon tre u − q e cet edi ff é re n e est é gal e à
´ r en e n
a diff e −
omb re d ’ o − r bi e − t s de L d ns W S → N ( F − parenrightt − e l
en mb re d ’ o − r bi e − t s de cL
N → S( F − parenright. E n
p a c − iu er , L doi t c − o teni au moi su ne or t − i
ed ans F − parenright, ceque l on vou l a i period − t
Preuve du Lemme 9 . 6
On raisonne par l ’ absurde , en supposant qu ’ il existe une
composante compactement connexe de F contenant deux points x et y ayant des
destins dynamiques diff é rents ; pour fixer les id é es , on suppose par exemple que x ∈ W→N (F )
et y ∈ W→S (F ). Par d é finition des composantes compactement connexes , il existe un compact
connexe C, inclus dans F, con - t enant
x et
y. Soit
C∞ une valeur d ’ adh é rence ,
dans l ’ espace K(Fb ), de la
suite (hn (C)n ≥ 0). Il s ’ agit d ’ un sous - ensemble compact et connexe de Fb, et puisque
C contient le point x qui va vers le Nord et le point y qui va vers le Sud , l ’ ensemble C∞ contient
N et S. D ’ aprè s l ’ hypoth è se de minimalit é( pro pri é t é4 de l ’ hypoth è se ( H ) ) , on a alors C∞ = Fb. En particulier C∞ contient C, et a
fortiori la limite supé rieure de la suite (hn (C))n ≥ 0 contient C. Ceci
contredit le premier “ )5(s − o uve i − nr du p l n ” parenleft − h y poth s e 5 a )parenleft − dH−e )).
Preuve du Lemme 9 . 7
Tout d ’ abord ,
il est
clair que l ’ image par
h d ’ une
composante compactement connexe de F est encore une composante compacte - ment connexe de
F ; par cons é quent ,
chaque composante compactement con - nexe est soit invariante , soit libre
par h.
Premier
cas
Soit E une composante compactement connexe de F incluse dans WS→N ,
que l ’ on suppose invariante par h. Comme E contient une orbite
G eometry AmpersandT opology , Volume 9 ( 2005 )
Structure des hom é omorphismes de Brouwer
1 769
[ 3 ] F B é guin , F Le Roux , Ensemble os cillant d ’ un hom é omorphisme de Brouwer ,
hom é omorphismes de Reeb , Bull . Soc . Math . France 1 3 1 ( 2003 ) 1 49 – 2 1 0
[ 4 ] L E J Brouwer , Beweis des e benen translationssatzes , Math . Ann . 72 ( 1 9 1 2 )
37 – 54
[ 5 ] M Brown , E E S lamin k − a, W r − Tansue, An orientation preserving fixed point
free homeomorphism of the plane which admits no clos ed invariant lin e , Topol ogy Appl . 29 ( 1 988 ) 2 1 3 – 2 1 7
[6] SS
Cairns , An
e lementary proof of the
Jordan – Schoen i − e s t
heo e − r m
,
Proc .
Amer . Math . Soc . 2 ( 1 95 1 ) 860 – 867
[ 7 ] EW Daw , A maximally pathological Brouwer homeomorphism , Trans . Amer .
Math . Soc . 343 ( 1 994 ) 559 – 573
[ 8 ] J F − r anks , Generalizations of the Poincar é – Birkhoff theorem , Ann . of Math . ( 2 )
1 28 ( 1 988 ) 1 39 – 1 5 1
[ 9 ] J F − r anks , Realizing rotation vectors for torus homeomorphisms , Trans . Amer .
Math . Soc . 3 1 1 ( 1 989 ) 1 7 – 1 1 5
[ 1 0 ] J F − r anks , A new proof of the Brouwer plane translation theorem , Ergodic The ory Dynam . Systems 1 2 ( 1 992 ) 2 1 7 – 226
[11] C
Godbillon , Fibr é s en droites e t feuilletages du plan , Enseignement Math .
( 2 ) 1 8 ( 1 972 ) 2 1 3 – 224 ( 1 973 )
[ 1 2 ] C Godbillon , G Reeb , Fibr é s sur le branchement s imple , Enseignement Math .
( 2 ) 1 2 ( 1 966 ) 277 – 287
[13] L
Guillou , Th é or è me de translation plane de Brouwer e t g é n é ralisations du
th é or è me de Poincar é – Birkhoff , Topology 33 ( 1 994 ) 33 1 – 35 1
[ 1 4 ] A Haeiger
, G Reeb , Vari é t é s ( non s éparé es )à une dimension e t s tru ctures
feuillet é es du plan , Enseignement Math . ( 2 ) 3 ( 1 957 ) 1 7 – 1 25
[ 1 5 ] T Homma , H Terasa k − a, On the s tru cture of the plane translation of Brouwer ,
Osaka Math . J . 5 ( 1 953 ) 233 – 266
[ 1 6 ] J G Hocking , G S Young , Topology , second edition , Dover Publications Inc .
New York ( 1 988 )
[ 1 7 ] W Kaplan , Regular curve - families filling the plane I , Duke Math . J . 7 ( 1 940 )
1 54 – 1 85
[ 1 8 ] W Kaplan , Regular curve - families filling the plane II , Duke Math J . 8 ( 1 941 )
1 1 – 46
[19] B
Ker é kj á rt ó, Sur le groupe des transformations topologiques du plan Ann .
S . N . S . Pisa ( 1 934 )
[ 20 ] K
Kuratowski , Topologie II , Troisi è me É dition , Monografie Matematyczne ,
Tom 2 1 , Pa ń stwowe Wydawnictwo Naukowe , Warsaw ( 1 96 1 )
[ 2 1 ] P Le Calvez , A Sauzet , Une d é monstration dynamique du th é or è me de trans lation de Brouwer , Exposition . Math . 1 4 ( 1 996 ) 277 – 287
G eometry AmpersandT opology , Volume 9 ( 2005 )
1 774
Dans l ’ exemple pré c é dent , l ’ ensemble G0 ∪ G n ’ est pas compactement connexe , mais
Fr é d é ric Le Roux
WN →S (G0 ∪ G) = G0 l0 est.
Question
Soit (F, G)
une composante de Reeb minimale ( associ é e à un couple (x, y)
quelconque ) . Peut - il exister deux points z, z 0 dans le bord G tels que dh (z, z 0 ) = 3?
A endash − ut − dr−ie−am−me−et−n
t − rquotedblright − d i t − dcomma−quoteright l − un−e “ b hyphen − o − parenrightr d − period8
`
Jp o − R − stwo − an − six − tnine − periodd−sixtwo−e 6R − four − notdef − T − ee notdef − eight − b7m − twon − threeeight−im
e
.
voit fac−i l me e tn q quoteright − ulest5 inf é reuro ué ga l à 3, fet
da sl exem tp e
è tred e G ∪ G est 2 . i
y − comma V l − o u me 9 2005 )