td10

TD 10: Opérateur proximal
La seule propriété de l'opérateur proximal que l'on utilisera est l'équivalence y = proxγ f (x) ⇐⇒
x ∈ (id + γ∂f )(y).
Soit E un espace de Hilbert, qu'on identie à son dual. Soit f : E → R une fonction
convexe propre sci.
1. Montrer la décomposition de Moreau
Exercice 1.
∀x ∈ E, x = prox1 f (x) + prox1 f ∗ (x)
(Indication : poser z = x − prox1 f (x) et démontrer que z = prox1 f ∗ (x). Penser à utiliser
y ∈ ∂f (x) ⇐⇒ x ∈ ∂f ∗ (y) pour f convexe sci.)
∗
2. Soit f = iH où H est un sous-espace vectoriel fermé de H . Montrer que f = iH ⊥ . Que
donne la décomposition de Moreau dans ce cas ?
Exercice 2. Dans cet exercice, on précise les liens entre l'opérateur proximal et la régularisation
de Moreau-Yosida.
1. Soit E un espace vectoriel normé, f, g : E → R deux fonctions convexes propres et
[f g](x) := inf y,z∈E,y+z=x f (y) + g(z). On suppose que pour x0 ∈ E , l'inmum dans
la dénition de [f g](x0 ) est atteint en une paire de point y0 , z0 ∈ E tels que x0 = y0 + z0 .
Montrer que
∂[f g](x0 ) = ∂f (y0 ) ∩ ∂g(z0 ).
(1)
(Indication : raisonner par équivalence en partant de la dénition du sous-diérentiel)
n
2. Soient f : R → R une fonction convexe semi-continue inférieurement, propre et minorée.
On considère fγ la régularisée de Moreau-Yosida de f , c'est-à-dire avec g(z) = 2γ1 kzk2 ,
fγ (x) := (f g)(x) = infn f (y) +
y∈R
1
kx − yk2 .
2γ
On admettra que l'inmum est atteint et que fγ est continue.
(i) En utilisant (1), montrer que si x0 ∈ Rn , y0 = proxγ f (x0 ) et z0 = x0 − y0 ,
1
∂fγ (x0 ) = ∂f (y0 ) ∩ { z0 }
γ
(2)
(ii) Déduire de (2) que fγ est Gâteaux-diérentiable en tout point x0 ∈ Rn et que
∇fγ (x0 ) =
1
(x0 − proxγ f (x0 )).
γ
Montrer que les itérations de l'algorithme du point proximal s'écrivent
(
x0 ∈ Rn
xn+1 = xn − γ∇fγ (xn ).
(iii) Que se passe-t-il si l'on remplace g = 2γ1 k·k2 par g = 2γ1 k·kp (p > 1) ?
Exercice 3. Soit E = F1 ⊕ F2 un espace de Hilbert où F1 et F2 sont deux sous-espaces fermés
orthogonaux. On considère fi : Fi → R convexes sci et ∀(x, y) ∈ F1 ×F2 , f (x+y) := f1 (x)+f2 (y),
qu'on suppose propre. Montrer que ∀(x, y) ∈ F1 × F2 , proxP
λ f (x + y) = proxλ f1 (x) + proxλ f2 (y).
n
En déduire l'opérateur proximal de f : x ∈ R 7→ kxk`1 = ni=1 |xi |.
1