12 septembre 2002

Paris 7
PH456
–
THÉORIE CLASSIQUE DES CHAMPS
EXAMEN
t0 = (jeudi 12 septembre , 9 h), ∆t = 4 h
RELATIVITÉ, ÉLECTRODYNAMIQUE
Ces questions sont réellement élémentaires. Il ne vous est rien demandé de compliqué. Exercez votre
bon sens et, comme d’habitude, vérifiez les dimensions et les unités de vos résultats. Tout procédé, ou
suggestion de procédé, de vérification de vos résultats sera apprécié.
I. TRANSFORMATION SPÉCIALE DE LORENTZ
Montrez comment on passe de l’expression d’une transformation spéciale de Lorentz entre repères en
configuration standard à l’expression vectorielle de la transformation spéciale de Lorentz.
II. UN MOUVEMENT RECTILIGNE NON UNIFORME
Dans le repère de Chouchou, inerte, Loulou en mouvement a pour coordonnées x = a−1
et y = z = 0, où a est une constante positive.
p
1 + (at)2 ,
1. Représentes la ligne d’univers de Loulou et ses principales caractéristiques sur un graphe d’espacetemps dans le repère de Chouchou.
2. i ) Calculez la vitesse v(t) de Chouchou.
ii ) Rappelez l’expression définitoire de la vitesse v en fonction de la rapidité ϕ. En déduire les
expressions de at et ax en fonction de la rapidité.
iii ) En déduire l’expression de l’intervalle de temps propre dτ de Loulou en fonction de la différentielle
dϕ de sa rapidité.
iv ) Chouchou et Loulou ont calé leurs montres respectives en sorte qu’elles indiquent toutes deux zéro
lorsque leurs vitesse relative est nulle. Calculez la rapidité ϕ(τ ) de Loulou en fonction de son temps
propre.
v ) En déduire les expressions t(τ ) et x(τ ) des coordonnées de Loulou en fonction de son temps propre.
vi ) Rappelez la définition de la quadrivitesse d’un point matériel. En déduire les expressions des
composantes (pour Chouchou) de la quadrivitesse de Loulou en fonction de son temps propre. Vérifiez
ce résultat au moyen d’une identité remarquable.
vii ) Rappelez la définition de la quadri-accélération d’un point matériel. En déduire les expressions
des composantes (toujours pour Chouchou) de la quadri-accélération de Loulou en fonction de son
temps propre. Vérifiez ce résultat au moyen d’une identité remarquable.
viii ) En déduire la valeur de l’accélération propre de Loulou. Que pouvez-vous alors dire de son
mouvement ?
3. Loulou est en mouvement rectiligne avec une accélération propre à la valeur constante et confortable
de 9,8 m s−2. Il s’est écoulé un an de son temps propre depuis qu’il avait une vitesse nulle par rapport
à Chouchou. Calculez :
i ) le temps qui s’est écoulé pour Chouchou ;
ii ) la distance parcourue ;
iii ) la vitesse atteinte et le facteur γ correspondant.
4. Loulou renverse alors son accélération (par une manœuvre de retournement de sa fusée) et continue
ainsi pendant 2 ans de son temps propre, à la suite de quoi il renverse à nouveau son accélération. Il
continue encore pendant un an.
i ) Représentez schématiquement ce scénario sur un graphe d’espace-temps.
ii ) Calculez le temps total qui s’est écoulé pour Chouchou pendant les 4 ans de Loulou.
iii ) Discutez la faisabilité économique d’un tel programme d’expérience.
III. ÉQUATIONS DE MAXWELL-LORENTZ
1. Rappelez, en unités légales, les équations de Maxwell (conditionnant les champs électrique et
magnétique créés par les densités de charge et de courant), et de Lorentz (conditionnant le mouvement
d’une charge dans les champs électrique et magnétique).
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Champs classiques, PH456 Paris 7
2. En déduire les mêmes équations dans le système d’unités naturelles en relativité (Heaviside-LorentzEinstein, ou “ε0 = µ0 = 1”), en explicitant soigneusement les formules de changement d’unités pour
les champs électriques et magnétiques, les densités de charge et de courant, les charges électriques, les
distances, les temps et les vitesses.
3. Rappelez les équations de Maxwell et de Lorentz sous forme tensorielle en explicitant les définitions des
diverses grandeurs figurant dans ces équations. En déduire les expressions des composantes du tenseur
du champ électromagnétique en fonctions des composantes des champs électrique et magnétique.
4. En déduire :
i ) les lois de transformation de Lorentz des composantes des champs électrique et magnétique ;
ii ) les équations d’évolution des variations dp0 /dt et dp/dt de l’énergie et de la quantité de mouvement
d’une particule chargée dans les champs électrique et magnétique.
5. On considère le mouvement d’une particule chargée abandonnée sans vitesse initiale dans une région
du laboratoire où règne un champ électrique E uniforme et constant.
i ) Calculez les champs électrique et magnétique dans le repère propre de la particule.
ii ) En déduire l’accélération propre de la particule.
iii ) En déduire l’équation de la ligne d’univers de la particule dans le laboratoire.
IV. CONVECTION ET RAYONNEMENT
Une particule de charge positive qui se mouvait à une vitesse constante 2,5×108 m s−1 est soudainement
stoppée. Représentez, 10−9 s après le choc :
1. la région de l’espace où il y a du champ électromagnétique du type rayonnement ;
2. l’allure du champ électrique dans le reste de l’espace ;
3. l’allure du champ magnétique.