corrigé - L`UTES - Université Pierre et Marie CURIE

Licence 1ère année
Université Pierre et Marie Curie
Parcours BGPC
2008/2009
Licence 1ère année
(L1)
(Année 2008/2009)
Examen d’Outils Mathématiques pour Scientifiques
(LM 130)
(13 janvier 2009 – durée : 1h30)
Les calculatrices et les documents ne sont pas autorisés
2 pages imprimées
Les différents exercices sont indépendants
Exercice I - 9 pts
On considère la fonction suivante :
f (x) =
Etude de fonction
4x
(1 + x)2
1. Quel est son domaine de définition ?
[Rép. Df = R\{−1}, c’est-à-dire x 6= −1. ]
2. Etudier la parité de f (x).
[Rép. f (−x) 6= ±f (x) donc la fonction n’est ni paire ni impaire.]
3. Déterminer les limites aux bornes du domaine d’étude. En déduire les asymptotes correspondantes.
[Rép. limx→±∞ f (x) = 0 donc le graphe est asymptote à l’axe des x à l’infini
limx→−1 f (x) = −∞ donc asymptote verticale en x = −1.]
4. Calculer la dérivée f ′ (x) et étudier son signe.
4(1−x)
8x
4
[Rép. f ′ (x) = (1+x)
2 − (1+x)3 = (1+x)3
′
f (x) a le même signe que (1 − x)(1 + x) = 1 − x2
donc f ′ (x) < 0 pour |x| > 1, et f ′ (x) > 0 pour −1 < x < 1.]
5. En quel point le graphe de la fonction coupe-t-il l’axe horizontal ?
[Rép. Le graphe coupe l’axe des x quand f (x) = 0 donc x = 0.]
En quel point a-t-on f (x) = 1 ?
[Rép. f (x) = 1 est équivalent à l’équation (1 + x)2 − 4x = 0 soit (1 − x)2 = 0, donc x = 1. ]
6. Donner le tableau de variation de la fonction sans étudier la dérivée seconde.
x
−∞
−1
0
1
+∞
f ′ (x)
−
k
+
+ 0 −
[Rép.
]
k
1
f (x)
0
ց
k
ր 0 ր
ց
0
−∞
7. Tracer l’allure du graphe de f (x) sans chercher à déterminer d’autres points particuliers que ceux de la
question 5.
13/01/2009
Contrôle continu d’Outils Mathématiques pour scientifiques (LM 130)
Université Pierre et Marie Curie
Licence 1ère année
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Parcours BGPC
[Rép. Allure de la courbe :
x 7−→
4x
(1 + x)2
2
3
1
−5
−4
−3
−2
−1
1
4
5
6
7
−1
−2
−3
−4
−5
]
Exercice II - 5,5 pts
Différentielles
Les questions 1 et 2 sont indépendantes
Plus on avance en âge, plus les années semblent courtes. Pour rendre compte de ce phénomène, on postule que :
S = k ln T
où S est le temps psychologique ressenti par un individu, T son âge en années et k une constante.
1. Lorsque l’on passe de l’âge T1 à l’âge T2 , on a l’impression qu’il s’est écoulé un temps ∆S = S2 − S1 .
– Exprimer ∆S en fonction de TT12 et de k. [Rép. ∆S = S2 − S1 = k ln T2 − k ln T1 = k ln TT12 ]
– Application numérique : sachant que k = 50, calculer ∆S lorsque :
(a) T1 = 25 ans et T2 = 25, 5 ans. [Rép. ∆S = k ln 25,5
25 = k ln (1, 02) =
(b) T1 = 50 ans et T2 = 51 ans. [Rép. ∆S = k ln
51
50
100
2
× 0, 0198 = 0, 99]
= k ln (1, 02) = 0, 99]
On prendra ln(1, 02) = 0, 0198
2. Différentielle
– En partant de la définition de S, calculer la différentielle dS en fonction de dT , T et k. [Rép.
dS = k dT
T ]
– Application numérique : sachant que k = 50, calculer dS lorsque :
(a) T = 25 ans et dT = 0, 5 ans.
(b) T = 50 ans et dT = 1 an.
1
[Rép. Dans les deux cas, dS = k 50
= 1]
3. En utilisant les résultats numériques précédents, vérifier qu’à l’âge de 50 ans, qu’une année semble deux
fois plus courte qu’à 25 ans. [Rép. L’impression du temps écoulé ∆S ou dS est la même à 25 ans pour
∆T = 0, 5 an, qu’à 50 ans pour ∆T = 1 an. Le temps semble bien s’écouler ”deux fois” plus vite à 50 ans
qu’à 25 ans.]
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13/01/2009
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Exercice III - 5,5 pts
Vecteurs
Une boule, lancée au temps t = 0 par un joueur de pétanque situé en O, suit la trajectoire donnée sur
figure ci-dessous. On appelle ~v (0) la vitesse initiale de la boule. ~v (0) fait un angle α donné avec le sol. On appelle
v0 la norme du vecteur ~v (0).
y
v(t1)
v(0)
α
−α
O
x
v(t2)
1. Calculer les composantes de ~v (0) en fonction de v0 et α dans le repère Oxy .
[Rép. ~v (0) a pour composantes vx (0) = v0 cos α et vy (0) = v0 sin α]
2. On démontre en Mécanique que les coordonnées de la boule au temps t sont données par :
1
y(t) = − gt2 + (v0 sin α)t
2
x(t) = (v0 cos α)t
où g est l’accélération de la pesanteur.
~v (t) est le vecteur vitesse de la boule à l’instant t.
(a) Sachant que les composantes vx (t) et vy (t) du vecteur ~v (t) sont les dérivées respectives des coordonnées
de la boule, calculer vx (t) et vy (t) en fonction de t, v0 , α et g.
dy(t)
[Rép. vx (t) = dx(t)
dt = v0 cos α et vy (t) = dt = −gt + v0 sin α]
Vérifier les résultats trouvés à la question 1.
[Rép. Pour t = 0, on retrouve bien vx (0) = v0 cos α et vy (0) = v0 sin α]
(b) A quel temps t1 la boule atteint-elle sa hauteur maximale ? Exprimer t1 en fonction de v0 , g et α.
α
]
[Rép. t1 est le temps où vy (t) s’annule, donc t1 = v0 sin
g
(c) A l’instant t2 où la boule touche le sol, on a vy (t2 ) = −vy (0). Montrer que t2 = 2v0 gsin α .
[Rép. L’équation vy (t2 ) = −vy (0) conduit à −gt2 + v0 sin α = −v0 sin α donc t2 = 2v0 gsin α = 2t1 ]
En déduire la portée du tir, x(t2 ).
2
2
[Rép. La portée est donc x(t2 ) = v0 cos α × 2v0 gsin α = 2(vg0 ) sin α cos α (ou encore (vg0 ) sin 2α). ]
13/01/2009
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