Communication Numérique - Codes correcteurs d - Xymaths

Transcription

Communication Numérique
Codes correcteurs d’erreurs
Yoann Morel
http://xymaths.free.fr/Signal/Communication-Numerique-cours-TP.php
1
Introduction
Définition
Position du problème
Exemples
2
Généralités sur les codes
Canal binaire symétrique sans mémoire
Paramètres d’un code
3
Codes en bloc linéaires
Définition
Forme systématique d’un code
Caractérisation d’un mot code
Décodage par le syndrôme
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Introduction
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Introduction
Définition
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Introduction
Définition
Introduction
Définition
Un code correcteur d’erreurs est une technique de codage basée
sur la redondance de l’information, destinée à détecter, voire
corriger, les erreurs qui peuvent-être générées par un canal de
communication peu fiable.
Introduction
Définition
Introduction
Définition
La détection d’une erreur dans un message peut sembler naturelle ; sa
localisation précise et sa correction sont quant à elles moins évidentes.
Introduction
Définition
Introduction
Définition
La détection d’une erreur dans un message peut sembler naturelle ; sa
localisation précise et sa correction sont quant à elles moins évidentes.
L’origine de la théorie des codes peut-être située en 1947 par Richard
W. Hamming, utilisant un ordinateur développé aux laboratoires Bell,
“Two weekends in a row I came in and found that all my stuff had been
dumped and nothing was done. I was really aroused and annoyed because I
wanted those answers and two weeks had been lost. And so I said,
“Damn it, if the machine can detect an error, why can’t it locate the
position of the error and correct it ?””
Introduction
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Introduction
Introduction
Le rôle du correcteur d’erreurs peut-être limité à la simple
détection (et localisation . . .) d’erreurs.
La correction s’effectue alors par une nouvelle requête de
transmission du message, ou seulement des parties erronées.
• Cas du protocole TCP
• sommes de contrôle (checksum)
• Cela peut se révéler insuffisant, ou inadapté suivant le
contexte (GSM par exemple)
Introduction
Introduction
Deux situations principales peuvent se présenter :
• Présence de petites erreurs relativement fréquentes et isolées.
,→ Ex : Télécommunication, communication perturbée par
un bruit additif aléatoire
• Présence d’erreurs peu fréquentes, mais plus volumineuses
,→ Ex : CD : norme Philips permet de corriger jusqu’à 4096
bits erronés consécutifs (rayure de environ 1 mm
de large)
• Effacement de caractère(s) : un bit n’est pas altéré, mais
simplement supprimé.
Introduction
Exemples
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Introduction
Exemples
1er exemple : Code à répétitions
Il s’agit de la manière la plus “naı̈ve” d’aborder le problème :
si la transmission d’un mot peut-être entachée d’erreur(s), il n’y a
qu’à le transmettre directement plusieurs fois !
Supposons que l’on ait 4 messages à envoyer : 00, 01, 10 et 11 (ou
que l’on ait préalablement découpé le message initial en blocs de 2
bits).
Pour augmenter nos chances de recevoir un message correct, on
peut encoder nos 4 mots suivant :
mot original
00
01
10
11
mot codé
00 00 00
01 01 01
10 10 10
11 11 11
Introduction
Exemples
1er exemple : Code à répétitions
S’il survient une erreur dans la transmission, elle n’affectera pas les
trois couples formant le mot du code.
Le décodage peut donc se faire par vote majoritaire sur les 3
couples de bits.
Pour ce code à répétition, le taux d’information est seulement 33 %
(33 % des bits transmis correspondent à de l’information), tandis
que 66 % ont pour seul but la protection de cette information.
Introduction
Exemples
2ème exemple : Code à répétition amélioré
Un autre exemple de codage
est le suivant :
mot original
00
01
10
11
mot codé
00 000
01 101
10 110
11 011
Introduction
Exemples
est le suivant :
Supposons que le mot reçu soit y = 01001.
mot original
00
01
10
11
mot codé
00 000
01 101
10 110
11 011
Introduction
Exemples
est le suivant :
mot original
00
01
10
11
Ce mot ne correspond à aucun mot du code :
il comporte donc une, ou plusieurs, erreurs.
mot codé
00 000
01 101
10 110
11 011
Introduction
Exemples
est le suivant :
mot original
00
01
10
11
mot codé
00 000
01 101
10 110
11 011
L’idée de la correction est de rechercher parmi tous les mots du
code celui qui est le “plus proche” :
Ecart mot reçu/mot du code
y − 00 000 = 01001
y − 01 101 = 00100
y − 10 110 = 11111
y − 11 011 = 10010
Poids de l’erreur
2
1
5
2
Introduction
Exemples
est le suivant :
mot original
00
01
10
11
mot codé
00 000
01 101
10 110
11 011
L’idée de la correction est de rechercher parmi tous les mots du
nc
code celui qui est le “plus proche” :
do
it
Ecart mot reçu/mot du code Poids de l’erreur
et
ois n
h
,
c
o
1
y − 00 000 = 01001
2
ati 10
On stim 01 1
y − 01 101 = 00100
1
0
l’e =
=
y − 10 110 = 11111
5
x̂
ŷ nc
y − 11 011 = 10010
2
do
Introduction
Exemples
Remarques :
• Si on avait eu 2, ou plus, erreurs de même poids, on n’aurait
pas été en mesure de déterminer le mot le plus proche.
• En regardant d’un peu plus près, tous les mots du code
diffèrent d’au moins 3 bits, et ce code permet donc de corriger
de manière certaine une erreur unique.
• On ne peut pas corriger avec ce code des mots contenant 2
erreurs, et encore moins 3 erreurs (qui peuvent alors n’être
même pas détectées !)
• Le coût de ce code est de 3/5 = 60 % d’occupation à la
protection de l’information
(le taux d’information est de 2/5 = 40 %)
Introduction
Exemples
3ème exemple : Code de parité
Supposons que l’on ait des mots de 7 bits à envoyer (code ASCII
par exemple), et que l’on s’intéresse simplement à la détection
d’une erreur.
Un moyen et de coder chacun des mots sur 8 bits, en ajoutant un
8ème bit, appelé bit de parité, de telle sorte que dans tous les
mots le nombre de 1 soit pair.
1011001 est codé 10110010
Par exemple,
0110100 est codé 01101001
Introduction
Exemples
d’une erreur.
1011001 est codé 10110010
Par exemple,
0110100 est codé 01101001
D’une manière générale, un mot du code est de la forme
x = [u1 u2 u3 u4 u5 u6 u7 p]
X
ui = u1 + u2 + u3 + u4 + u5 + u6 + u7 + p ≡ 0 [2]
X
ou encore
p≡
ui [2]
où
Introduction
Exemples
d’une erreur.
1011001 est codé 10110010
Par exemple,
0110100 est codé 01101001
• Ce code permet de détecter une erreur, ou 3 erreurs ou 5
erreurs, ou 7 erreurs, mais pas 2, 4 ou 6 erreurs.
• De plus, ce code ne permet pas la localisation de l’erreur, et
donc pas sa correction.
• Par contre, ce code permet de rétablir un caractère effacé !
Introduction
Exemples
4ème exemple : Code ISBN
Le code ISBN (International Standard Book Number) est un code
permettant d’identifier un livre.
Il utilise l’alphabet {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; X}
Seuls les 9 premiers caractères permettent d’identifier le livre, le
10ème servant à contrôler la validité du code (de même que la clé
d’un RIB, où les 2 derniers chiffres d’un numéro de sécurité sociale,
ou encore pour un numéro de carte bancaire . . .)
Par exemple, le premier caractère permet d’identifier la langue de
l’ouvrage (0 pour l’anglais, 2 pour le français . . .), tandis que les
deux numéros suivants identifient l’éditeur.
Introduction
Exemples
Le 10ème caractère se détermine suivant :
c10 ≡
9
X
i ci [11] ou encore,
i=1
10
X
i ci ≡ 0 [11]
i=1
Le code ISBN permet de :
• détecter s’il y a au moins une erreur dans le numéro
• retrouver un numéro effacer
• détecter une transposition de 2 caractères
Introduction
Exemples
c10 ≡
9
X
i=1
10
X
i ci ≡ 0 [11]
i=1
Ex : Le numéro ISBN suivant est-il valide ? 2 - 70 - 42 1030 - 6
Ex : Retrouver le chiffre manquant : 0 - 201 - 1 ? - 502 - 7
Introduction
Exemples
c10 ≡
9
X
i=1
10
X
i ci ≡ 0 [11]
i=1
Ex : Le numéro ISBN suivant est-il valide ? 2 - 70 - 42 1030 - 6
Ex : Retrouver le chiffre manquant : 0 - 201 - 1 3 - 502 - 7
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Bruit AGB
Codage
Xk
Filtre adapté
kT
Décision
?
- h(t)
-
L
- h(−t)
Yk
@
@ -
-
Xk et Yk prennent leurs valeurs dans l’alphabet {0, 1}
La probabilité d’erreurs est :
r
p = P (Yk = 1|Xk = 0) = P (Yk = 0|Xk = 1) = erfc
εb
N0
La probabilté d’erreur ne dépend pas de l’instant k d’utilisation du
canal : le canal est dit sans mémoire
On peut alors représenter la chaı̂ne de transmission entre Xk et Yk
par le schéma :
1−p
HH
*
Xk
H p Yk
HHH
j
-
1−p
Tout se passe comme si Xk était soumis à un bruit additif et que
l’observation Yk s’écrivait :
Yk = Xk ⊕ Bk
où ⊕ désigne l’addition modulo 2 (ou exclusif) et Bk est une suite
de variables aléatoires à valeurs dans {0, 1}, indépendantes et
identiquement distribuées avec,
P (Bk = 1) = p
Probabilité d’erreur. Distance
Notons c = [c1 c2 . . . cn ] le mot transmis, et y = [y1 y2 . . . yn ] le mot
reçu, alors
Prob (y|c) =
Qn
i=1 Prob (yi |ci )
= (1 − p)card{i/yi =ci } pcard{i/yi 6=ci }
card{i/yi 6=ci }
p
n
= (1 − p)
1−p
Un décodeur par maximum de vraisemblance doit choisir de
renvoyer le mot ĉ qui maximise la fonction : c 7→ Prob (y|c).
Comme p/(1 − p) < 1, maximiser cette probabilité revient à
minimiser le nombre d’erreurs : card {i/yi 6= ci }
Distance et poids de Hamming
Soit x = [x1 x2 . . . xn ] et y = [y1 y2 . . . yn ] sont deux messages de
longueur n.
Définition
La distance de Hamming entre x et y est le nombre d(x, y) de
composantes où x et y diffèrent.
Le poids de Hamming de x est le nombre w(x) de composantes
non nulles de x.
Ex : Si x = 10110 et y = 00101, alors d(x, y) = 4 et w(x) = 3 et
w(y) = 2.
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Codeur : Dispositif qui associe à une suite de k bits d’information
une suite de n bits.
Code : Un code est un ensemble de mots de n bits.
Distance et poids d’un code : Soit C un code :
• la distance minimum de C est le nombre
d∗ = Min {d(x, y)/x, y ∈ C, x 6= y}
• le poids minimum de C est le nombre :
w∗ = Min {w(x)/x ∈ C, x 6= 0}
Codeur : Dispositif qui associe à une suite de k bits d’information
une suite de n bits.
Code : Un code est un ensemble de mots de n bits.
Distance et poids d’un code : Soit C un code :
• la distance minimum de C est le nombre
d∗ = Min {d(x, y)/x, y ∈ C, x 6= y}
• le poids minimum de C est le nombre :
w∗ = Min {w(x)/x ∈ C, x 6= 0}
Ex :
mot original
00
01
10
11
mot codé
00 000
01 101
10 110
11 011
n=5; k=2
d∗ = 3
w∗ = 3
Le taux d’information d’un code est le nombre r = k/n.
r < 1 : ajout d’information
r = 1 : pas d’information supplémentaire
r > 1 : compression de donnée . . .
Un code est dit t-correcteur si il permet de corriger toute erreur
de au plus t caractères.
On a la caractérisation :
C est t-correcteur ⇐⇒ d∗ ≥ 2t + 1
ou encore, comme d∗ = w∗ ,
∗
∗
d −1
w −1
t=E
=E
2
2
Ex :
mot original
00
01
10
11
mot codé
00 000
01 101
10 110
11 011
n=5; k=2
d∗ = 3
w∗ = 3
On dit que le code C est de paramètres (5, 2, 3). Un tel code a :
• un taux d’information : r = 2/5 (ou un taux de
redondance de 3/5).
• un pouvoir de correction de 1 bit, on dit qu’il est
1-correcteur.
Autre exemple : Code de parité Ce code ajoute un bit, appelé bit
de parité, à une suite de k bits d’information de façon à ce que le
nombre total de 1 du mot code ainsi formé soit pair.
Ex : Pour k = 3, on a n = 4 et, par exemple :
000 → 0000
010 → 0101
111 → 1111
C’est un code (4, 3) dont le taux d’information est r =
On a d∗ = w∗ = 2, et donc t = 0 :
Ce code ne permet aucune correction.
3
= 75 %.
4
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Définition
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Définition
Codes linéaires
Code linéaire : si c1 et c2 désignent les mots codes respectifs des
deux suites d’information de k bits d1 et d2 , alors à la suite
d’information de k bits d1 ⊕ d2 est associé le mot code c1 ⊕ c2 .
(
d1 → c1
alors , d1 ⊕ d2 → c1 ⊕ c2
d2 → c2
où ⊕ est l’addition bit à bit modulo 2.
Définition
Codes en blocs
Code en bloc : Dans un code en bloc, les n éléments binaires des
mots code sont calculés uniquement avec les k bits d’information
du bloc courant.
[ d1 d2 . . . dk ] → [ c1 c2 . . . cn ]
Au besoin, le message initial est découpé en paquets, ou blocs, de
taille k.
Définition
Codes en blocs
Code en bloc : Dans un code en bloc, les n éléments binaires des
mots code sont calculés uniquement avec les k bits d’information
du bloc courant.
[ d1 d2 . . . dk ] → [ c1 c2 . . . cn ]
Au besoin, le message initial est découpé en paquets, ou blocs, de
taille k.
Pour un code en bloc linéaire, le mot code c s’obtient à partir du
mot d’information d par une expression matricielle de la forme :
c=dG
où, d est un vecteur ligne de taille 1 × k, c est un vecteur ligne de
taille 1 × n et G est une matrice de taille k × n appelée
matrice génératrice du code.
Définition
Exemple du code parité :
Le taux d’information est r =
taille (n − 1) × n est :
n−1
, et sa matrice génératrice, de
n


G =  In−1

1
.. 
. 
1
avec In−1 la matrice identité de taille n − 1.
Définition
Exemple du code parité :
Le taux d’information est r =
taille (n − 1) × n est :
n−1
, et sa matrice génératrice, de
n


G =  In−1

1
.. 
. 
1
avec In−1 la matrice identité de taille n − 1.


1 0 0 1
Ex : Pour n = 3, on a un code (4,3,2),
G =  0 1 0 1 .
de matrice génératrice
0 0 1 1
Par exemple, le mot u = [101] est codé par :
c = uG = [1012] ≡ [1010] [2]
Définition
Code à répétition : Ce code associe à k = 1 bit d’information les
mots code :
d = 0 → c = 0| 0 {z
. . . 0}
n
d = 1 → c = 1| 1 {z
. . . 1}
n
Définition
mots code :
d = 0 → c = 0| 0 {z
. . . 0}
n
d = 1 → c = 1| 1 {z
. . . 1}
n
Le code à répétition est donc un code (n, 1, n). Son taux
1
d’information est r = . Sa distance est n : il peut corriger jusqu’à
n
n−1
t=E
erreurs.
2
Définition
mots code :
d = 0 → c = 0| 0 {z
. . . 0}
n
d = 1 → c = 1| 1 {z
. . . 1}
n
Le code à répétition est donc un code (n, 1, n). Son taux
1
d’information est r = . Sa distance est n : il peut corriger jusqu’à
n
n−1
t=E
erreurs.
2
h
i
Sa matrice génératrice est : G =
1
1
.
.
.
1
| {z }
n
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Un code est entièrement déterminé par sa matrice génératrice G.
Les vecteurs-ligne de G sont eux-même des mots-code, et sont
supposés linéairement indépendants.
Cela revient à imposer que :
si d1 6= d2 , alors c1 = d1 G 6= c2 = d2 G :
des mots d’information différents ne peuvent pas être
identiquement codés.
En d’autres termes, la matrice G est de rang k.
On montre de plus que les combinaisons linéaires sur les lignes de
G ainsi que les permutations sur les colonnes de G laissent
inchangées la probabilité d’erreur par mot code :
la distance (ou le poids) du code est inchangé.
D’après ces propriétés, la matrice génératrice G peut s’écrire sous
la forme (Pivot de Gauss) :
e = Ik |Pk×(n−k)
G
où Ik est la matrice identité de taille k, et la matrice P est appelée
la matrice de parité du code.
Lorsque G est sous sa forme systématique, les mots code
commencent par k bits d’information et sont complétés par
(n − k) bits de redondance :
si d = [d1 d2 . . . dk ] alors,
c = d G = [d1 d2 . . . dk p1 p2 . . . pn−k ]
Par exemple, le code linéaire (7, 4)
génératrice :

1 1 0
 0 1 1
G=
 0 0 1
0 0 0
défini par sa matrice
0
0
1
0

0
0 

0 
1
peut se mettre sous la forme systématique :

1 0 0 0 1 1
 0 1 0 0 0 1
e=
G
 0 0 1 0 1 1
0 0 0 1 1 0

0
1 

1 
1
1
0
1
1
0
1
0
1

1
 0
e=
G
 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0

0
1 

1 
1
Ainsi, si un bloc c = [c1 c2 c3 c4 ], est codé en
d = cG = [c1 c2 c3 c4 p1 p2 p3 ]
où,

 p1 = c1 + c2 + c4
p2 = c1 + c2 + c3

p3 = c2 + c3 + c4

1
 0
e=
G
 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1
1
0
1
1
1
1
1
0

0
1 

1 
1
Ainsi, si un bloc c = [c1 c2 c3 c4 ], est codé en
d = cG = [c1 c2 c3 c4 p1 p2 p3 ]
où,

 p1 = c1 + c2 + c4
p2 = c1 + c2 + c3

p3 = c2 + c3 + c4
Tout se passe comme si, le codage consistait simplement en
l’ajout de (n − k) bits de redondance.
Majoration de la distance d’un code :
On a vu que la distance d’un code d∗ est aussi égale au poids de ce
code w∗ .
Une fois la matrice génératrice du code mise sous forme systématique,


1 0 ... 0


..
 0 1
. Pk×(n−k) 
e


G = Ik | Pk×(n−k) =  .

..
 ..

. 0
0 ... 0 1
on peut dénombrer au plus (n − k + 1) zéros sur chaque ligne.
Ainsi d∗ = w∗ ≤ n − k + 1, et on a la propriété :
La distance d∗ d’un code (n, k, d∗ ) est majorée par n − k + 1.
n−k
Le pouvoir correcteur t d’un tel code vérifie donc t ≤ E
.
2
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Matrice de contrôle de parité : On considère un code linéaire C
de matrice génératrice G.
On appelle matrice de contrôle de parité une matrice H de
dimension (n − k) × n et de rang (n − k) qui vérifie :
H GT = 0
Caractérisation d’un mot code : Si c est un bloc, de mot code
d = cG, alors, on doit avoir :
H dT = H (c G)T = H GT cT = H GT cT = 0
On a ainsi la propriété : le bloc d reçu est un mot code (donc jugé
non erroné) si et seulement si
H dT = 0
Construction d’une matrice de contrôle de parité : Soit un
code linéaire dont la matrice G est mise sous forme systématique
G = Ik | Pk×(n−k)
Alors, la matrice de contrôle de parité a pour expression :
H=
(P T )(n−k)×k | In−k
Construction d’une matrice de contrôle de parité : Soit un
code linéaire dont la matrice G est mise sous forme systématique
G = Ik | Pk×(n−k)
Alors, la matrice de contrôle de parité a pour expression :
H=
1
0
1
1
1
1
1
0
(P T )(n−k)×k | In−k
Ex :

1
 0
G=
 0
0
0
1
0
0
0
0
1
0
0
0
0
1



0
1 0 1 1 1 0 0

1 
et, H =  1 1 1 0 0 0 1 
1 
0 1 1 1 0 0 1
1
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Syndrôme : Soit un code linéaire de matrice de contrôle de parité
H, c un mot envoyé, et y = c + b le mot reçu.
Alors, on a : Hy T = H(c + b)T = HcT + Hbt = HbT
Ainsi, le vecteur s = H y T , ne dépend que du bruit et non pas du
mot envoyé.
On l’appelle le syndrôme associé à y.
Syndrôme : Soit un code linéaire de matrice de contrôle de parité
H, c un mot envoyé, et y = c + b le mot reçu.
Alors, on a : Hy T = H(c + b)T = HcT + Hbt = HbT
Ainsi, le vecteur s = H y T , ne dépend que du bruit et non pas du
mot envoyé.
On l’appelle le syndrôme associé à y.
Le syndrôme se calcule à partir du mot reçu et de la matrice de
contrôle de parité, et ne dépend que du bruit et non pas du mot
code émis.
A partir de la connaissance de H et de y, on peut donc espérer
déterminer le bruit b, car s = Hy T = HbT .
Une fois le bruit connu, c se déduit simplement par c = y ⊕ b.
Dans l’exemple précédent, le code est 1-correcteur : il ne peut
corriger qu’une seule erreur.
Supposons qu’une erreur e se soit effectivement glissée dans la
transmission d’un mot c, codé par le mot d = cG, et receptionné
selon y = d + e.
L’erreur écrit alors e = [0 . . . 0 1 0 . . . 0], le 1 étant à la j ème
position. Le syndrôme est
s = Hy T = H(y + e)T = HdT + HeT = HeT = Hj ,
où Hj est la j ème colonne de la matrice de contrôle H.
On connaı̂t ainsi la position de l’erreur, et il n’y a plus qu’a corriger
le mot reçu.
Code de Hamming
1
Introduction
Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Code de Hamming
Les codes de Hamming forment une classe particulière de codes
linéaires.
Pour un entier m, les paramètres d’un code de Hamming sont de
la forme (2m − 1, 2m − m − 1, 3).
Par exemple,
• (7, 4, 3) pour m = 3 (cf. TP)
• (128, 120, 3) pour m = 7 (minitel).
Ces codes sont parfaits : pour tout mot reçu, il existe un mot du
code à une distance stictement inférieure à d/2.
Autrement dit, tout mot reçu peut-être décodé.
Code de Hamming
Les codes de Hamming forment une classe particulière de codes
linéaires.
Pour un entier m, les paramètres d’un code de Hamming sont de
la forme (2m − 1, 2m − m − 1, 3).
Par exemple,
• (7, 4, 3) pour m = 3 (cf. TP)
• (128, 120, 3) pour m = 7 (minitel).
Ces codes sont parfaits : pour tout mot reçu, il existe un mot du
code à une distance stictement inférieure à d/2.
Autrement dit, tout mot reçu peut-être décodé.
Malheureusement si 2, ou plus, erreurs se sont glissées dans le
message reçu, ce code propose toujours une correction qui va être
elle aussi erronée...
Code de Hamming
Code de Hamming étendu :
Pour palier cet inconvénient, le code de Hamming est souvent étendu :
A chaque bloc de 4 bits est ajouté les trois bits de redondance du
code de Hamming. Ces 7 bits sont alors complétés par un bit de
parité. Ainsi, le décodage se fait suivant :
Code de Hamming
• S’il n’y a aucune erreur le syndrome est nul.
Code de Hamming
• Si une unique erreur s’est produite sur les sept premiers bits,
le syndrome donne la position de l’erreur. L’existence d’un
nombre d’erreur impair est confirmée par le huitième bit.
Code de Hamming
• Si deux erreurs se sont produites, le syndrome n’est pas nul.
Le huitième bit indique une parité exact, signal d’un nombre
pair d’erreurs. Une retransmission est nécessaire.
Code de Hamming
• Si deux erreurs se sont produites, le syndrome n’est pas nul.
Le huitième bit indique une parité exact, signal d’un nombre
pair d’erreurs. Une retransmission est nécessaire.
• Si une erreur s’est produite sur le huitième bit, l’absence
d’erreur indiqué par le syndrome permet de localiser l’erreur et
le message est validé.
Autres codes
1
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Définition
Exemples
2
3
Définition
Code de Hamming
4
Autres codes
Codes cycliques
Autres codes
Codes cycliques
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Exemples
2
3
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Code de Hamming
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Autres codes
Codes cycliques
Autres codes
Codes cycliques
Code cyclique
Les codes cycliques forment une sous-classe des codes linéaires.
Un code C est dit cyclique si
a = [a1 a2 . . . an ] ∈ C ⇐⇒ a0 = [an a1 . . . an−1 ] ∈ C
Les codes cycliques sont des codes dont l’algorithme d’encodage
est facile à implanter grâce à des registres à décalages.
L’algorithme de décodage est quant-à lui plus difficile à mettre en
œuvre.
L’encodage et le décodage de codes cycliques reposent sur la
notion de polynômes sur un corps fini, dont la théorie
mathématique dépasse largement l’ambition de ce cours.
Autres codes
Codes cycliques
Code cyclique
Les codes cycliques les plus utilisés à l’heure actuelle sont les codes
de Reed-Solomon.
Ces codes sont optimums, dans le sens où ils nécessitent un
nombre minimum de redondance (n − k) pour obtenir une distance
minimale donnée, et donc un nombre maximum d’erreurs qui
n−k
peuvent être corrigées : t =
2
Pour les modems ADSL, le code utilisé est RS(240,224,8)
Autres codes
Codes cycliques
Ces codes peuvent-êtres utilisés comme base de codes entrelacés :
les CIRC (Cross-Interleaved Reed Solomon Code), utilisés
notamment sur les supports d’enregistrement du type CD ou DVD)
L’entrelacement consiste à mélanger les blocs afin de “diluer”
l’information. Cette procédure permet en particulier de minimiser
l’effet d’une bouffée d’erreurs (rayure sur un CD . . .).
Autres codes
Codes cycliques
Codage avec un code CIRC :
L’idée du codage CIRC est de coder avec un premier code C1 , puis
d’entrelacer les blocs, et enfin, de coder dans la foulée avec un
deuxième code C2 .
Décodage d’un code CIRC :
Pour décoder, on peut alors s’appuyer sur le double codage : on
décode avec C2 , on désentrelace, puis on décode avec C1 .
L’apport important de ce code réside dans le traitement itératif du
décodage :
C1 permet de corriger certaines erreurs, C2 ensuite en corrige
d’autres. Le message peut alors à nouveau être décodé par C1 . . .
Autres codes
Codes cycliques
Codage avec un code CIRC :
L’idée du codage CIRC est de coder avec un premier code C1 , puis
d’entrelacer les blocs, et enfin, de coder dans la foulée avec un
deuxième code C2 .
Décodage d’un code CIRC :
Pour décoder, on peut alors s’appuyer sur le double codage : on
décode avec C2 , on désentrelace, puis on décode avec C1 .
L’apport important de ce code réside dans le traitement itératif du
décodage :
C1 permet de corriger certaines erreurs, C2 ensuite en corrige
d’autres. Le message peut alors à nouveau être décodé par C1 . . .
Voir aussi à ce sujet les turbo codes . . .

Communication Numérique - Codes correcteurs d - Xymaths

Transcription

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