Corrigé

BREVET BLANC n°2 - Avril 2012
Corrigé de l'épreuve de Mathématiques
ACTIVITE NUMERIQUE :
Exercice 1 :
1°)
A=(x–5)(x+5)–x²
2°) En remplaçant x par 2012 dans l'expression A ci dessus :
A=(x–5)(x+5)–x²
A = ( 2 012 – 5 ) ( 2 012 + 5 ) – 2 012²
A = x ² – 5² – x ²
A = 2 007 × 2 017 – 2 012²
A = - 25
Comme A = -25 quelque soit la valeur de x, on en déduit que :
2 007 × 2 017 – 2 012² = - 25
Exercice 2 :
Ouvrier
simple
Ouvrier
qualifié
Cadre
moyen
Cadre
supérieur
Dirigeant
Salaire ( € )
950
1300
1700
3500
8000
Effectif
50
25
15
10
2
Effectifs Cumulés
50
75
15
10
2
Catégorie
1°) L' effectif total de cette PME est :
50 + 25 + 15 + 10 + 2 = 102
50×950+25×1300+15×1700+10×3500+2×8000
m=
102
156500
m=
donc
m ≈ 1 534,3
soit un salaire moyen de 1 534 € à l'unité près.
102
2°) Salaire moyen :
3°) Etendue des salaires : 8 000 – 950 = 7 050 €
4°) Salaire médian : Effectif total : 102
et
102 ÷ 2 = 51
Donc le salaire médian se situe entre le 51ème et le 52ème salaires rangés dans l'ordre croissant.
Soit 1 300 € en se basant sur le tableau et les effectifs cumulés ci dessus.
5°) Nouveau salaire d’un ouvrier simple après une hausse de 8% est : 950 + 950 × 8 ÷ 100 = 950 + 76 = 1 026 €
Exercice 3 :
Exercice 4 :
On considère l’inéquation suivante : -3x + 5 < 8
Valentin est né le 14 février 1997 et habite à Talesse, il a donc
aujourd'hui 15 ans.
Il paye donc son ticket à l'unité 4 € ou sa carte d'abonnement à
30 € puis 1,50 € d'entrée.
Soit x le nombre de fois où il va à la piscine dans l'année.
Au ticket, cela lui coûterait : 4 × x € à l'année.
Avec l'abonnement, cela lui coûterait :
30 + 1,5 × x € à l'année.
Pour que l'abonnement soit rentable, il faut que :
30 + 1,5 x < 4 x
soit :
1,5 x – 4 x < - 30
- 2,5 x < - 30
−30
x>
−2,5
x > 12
Il faudra donc aller au moins 12 fois par an à la piscine pour que
l'abonnement soit rentable.
1°) Pour x = −
( ) +5
1
:
6
-3x+5=-3× −
1
6
= + 0,5 + 5
= 5,5
Comme 5,5 < 8 , −
1
est bien solution de cette inéquation.
6
2°) Résolution : -3x + 5 < 8
-3x + 5 - 5 < 8 - 5
-3x < 3
−3 x
3
>
−3
−3
x > -1
B
ACTIVITE GEOMETRIQUE :
A
C
Exercice 5 :
1°) ̂
AOB est un angle au centre d'un octogone régulier, donc :
̂
AOB = 360 ÷ 8 = 45°
H
2°) ̂
ADB est un angle inscrit associé à l'angle au
D
O
centre ̂
AOB ( interceptent le même arc )
Donc :
3°) a)
̂
ADB = ̂
AOB ÷ 2 = 22,5°
G
̂
AOE est un angle au centre équivalents à 4 angles au centre élémentaires.
E
Donc : ̂
AOE = 4 × 45° = 180°.
C'est un angle plat, donc A, O et E sont alignés.
3°) b)
F
ABE est un triangle inscrit dans un cercle dont le côté [AE] est un diamètre de ce cercle et B un troisième point du cercle.
Donc ABE est un triangle rectangle en B.
4°) Le symétrique de B par rapport à (AE) est le point H.
Exercice 6 :
Cette pièce est représentée dans le dessin ci-dessous par le solide ABCDEFGH.
Les dimensions sont :
AB = 6 cm ; SA = 12 cm et SE = 9 cm.
S
1°) Par codage, SAB est un triangle rectangle en A,
donc d'après la propriété de Pythagore : SB² = SA² + AB²
SB² = 12² + 6²
SB² = 144 + 36
SB² = 180
SB = √ 180
SB ≈ 13,41 cm
soit SB = 13,4 cm au dixième le plus proche.
(EF) ⊥ (SA)
2°) On a par codage :
et
H
(AB) ⊥ (SA)
E
Si 2 droites sont perpendiculaires à la même 3ème droite,
Alors ces 2 droites sont parallèles.
Or :
Donc :
G
D
F
C
(EF) // (AB)
Dans le triangle SAB :
E ∈ (SA) et F ∈ (SB)
On a : (EF) // (AB) , donc d'après la propriété de Thalès :
Soit :
Calcul de EF :
on a
9 EF
=
12
6
donc :
EF × 12 = 9 × 6
EF =
3°) On a : V =
h
(a² + b² + ab)
3
avec :
A
SE SF EF
=
=
SA SB AB
9 SF EF
=
=
12 SB
6
54
= 4,5 cm
12
h = la hauteur du tronc : SA – SE
a = la longueur d'un côté de la première base : EF
b = la longueur d'un côté de la deuxième base : AB
donc :
12−9
(4,5² + 6² + 4,5 × 6)
3
V = 1 × (20,25 + 36 + 27 ) = 83,25 cm3 .
V=
4°) La masse volumique du plomb est de 11,35g/cm3, Cet objet pèse donc :
Donc moins de 1 kg.
83,25 × 11,35 = 944,8875 g
B
PROBLEME
Partie 1 :
M. Dubois réfléchit à son déménagement. Il a fait réaliser deux devis.
1°) a) Graphiquement, pour 20 m3 l'entreprise A demandera : 600 €
1°) b) La représentation graphiques est une droite passant par l'origine du repère,
c'est donc bien une situation de proportionnalité.
1°) c) Soit g la fonction qui à x, volume à déménager en m3, associe le coût du déménagement.
g est donc une fonction linéaire, c'est à dire : g(x) = a × x où a est le coefficient de proportionnalité.
On a, par lecture graphique : g(20) = 600
Or : g(20) = a × 20
donc : a × 20 = 600
a = 600 ÷ 20
a = 30
2°) Pour l’entreprise B :
Conclusion :
g:x
↦ 30 × x
f (x) = 10 x +800
a) f (80) = 10 × 80 + 800
= 800 + 800
= 1 600
donc pour 80 m3 à déménager, cela coûtera 1 600 € avec l'entreprise B.
b) On veut que f (x) = 3 500
soit :
10 x + 800 = 3 500
10 x = 3 500 – 800
10 × x = 2 700
x = 2 700 ÷ 10
x = 270
c) f est une fonction affine de coefficient 10 et d'ordonnée à l'origine 800.
Sa représentation graphique est donc une droite coupant l'axe des ordonnées en ( 0 ; 800 )
Avec la question a) précédente, elle passe aussi par le point ( 80 ; 1 600 )
3°) Graphiquement, pour 60 m3 , c'est la société B qui est la moins chère : 1 400 €
Partie 2 :
1°) Pour aller visiter le chantier de sa future maison à 442 Km de son domicile, il part à 10h00 du matin.
Il roule d'abord 2 h 30 min, donc il s'arrête à 12 h 30 min.
Il fait une pause de 80 minutes soit : 1 h 20 min. Il repart donc à 13 h 50 min.
Puis il roule à nouveau 1 h 45 min avant d’arriver au chantier.
Il arrive donc au chantier à : 15 h 35 min
2°) Le camion des déménageurs a mis 6h30 pour réaliser ce trajet soit 6,5 heures pour 442 Km.
Donc sa vitesse moyenne est de : 442 ÷ 6,5 = 68 Km/h
Numéro d'anonymat :
……………………………………….
ANNEXE : PROBLEME