La galère des étoiles

. *
, i
o
• *ll*
»
*
Stéphane Flamand
CECM
*
!
^^^
La galère des étoiles
Vous souvenez-vous de l'étoile que l'on tentait de dessiner dans notre enfance? Il s'agissait
de commencer au sommet de l'une des cinq branches de celle-ci et, sans lever le crayon, de tracer
complètement la figure en terminant au point de
départ, en l'occurrence le point A tel que montré
ci-contre.
Le but de l'exercice était de parvenir à esquisser l'étoile se rapprochant de la perfection.
Géométriquement, ce corps céleste parfait était
constitué d'un pentagone régulier en son coeur
et de cinq branches qui étaient des triangles isocèles congrus créés par les prolongements des
côtés du pentagone.
2. L'aire du coeur de l'étoile est-elle supérieure ou inférieure à la sormne des aires
des branches, quel qu'en soit le nombre?
Qu'en est-il du périmètre du coeur par rapport à celui de l'étoile?
3. La surface libre du cercle circonscrit, c'està-dire la surface non occupée par l'étoile,
est clairement divisée en n parties congrues. Quelle surface ces parties occupentelles par rapport aux branches de l'étoile?
À l'étoile entière?
Le problème proposé ici n'est pas celui de
tracer l'entité stellaire parfaite, mais bien de s'interroger sur différentes caractéristiques que possède celle-ci. Par exemple, quels sont l'aire et le
périmètre d'une étoile dont le côté mesure c? Le
périmètre va de soi, mais l'aire est plus complexe.
Qu'en est-il d'une étoile à six branches, à n branches? Existe-t-il des étoiles à quatre branches ou
moins?
4. En reliant les sommets des branches de
l'étoile, on inscrit celle-ci dans un polygone régulier semblable à celui du coeur.
Quel lien existe-t-il entre les côtés de ces
deux polygones? Entre leurs aires? Quelle
surface l'étoile occupe-t-elle au sein du polygone circonscrit? Quelle aire possède ce
polygone dans le cercle?
A) Afin d'établir des comparaisons intéressantes entre ces soleils géométriques, une référence fixe serait la bienvenue. Il est clair que
ces astres de symétrie parfaite peuvent tous
être inscrits dans un cei-cle approprié. En
fixant le rayon de celui-ci, on peut se questionner sur ce qui suit :
1. Quelle est la relation entre le rayon du
cercle et le côté d'une étoile à n branches?
Comment s'expriment l'aire et le périmètre de l'étoile en fonction du rayon et du
nombre de branches? Comment varient
ces deux caractéristiques lorsque le nombre de branches est modifié?
11E N V O L .- NOVEMBRE
B) Inversement, si l'on fixe le côté de l'étoile,
comment varie le rayon du cercle circonscrit
selon le nombre de pointes? Est-ce que les
caractéristiques étudiées en A) prévalent toujours?
Une analyse détaillée sera publiée
dans le prochain numéro.
96