Distributions aléatoires et la Marche au hasard

Transcription

P.Evesque/ Introduction au Mélange et à la ségrégation
-1–
Distribution au hasard, Marche au hasard
DEA Master MSROE
Cours de physique des milieux discontinus
Rappels sur les
Distributions aléatoires et la Marche au hasard
P. Evesque
Lab MSSMat , e-mail : [email protected]
Ecole centrale Paris, 92295 Châtenay-Malabry
_________________________________________________________
Résumé:
On introduit la formule du binôme et on l’utilise pour décrire plusieurs
problèmes : distributions de particules, marche au hasard. On cherche la limite :
On décrit une distribution aléatoire de billes ou d’atomes
On décrit la marche au hasard et ses applications.
- Modèle discontinu,
- Equation de la diffusion
- Equation de Langevin
- Diffusion dans les espaces fractales
- Vols de Lévy
Applications de la marche au hasard
- Mesure, viscosité d'un liquide, réactions chimique, réseaux périodiques transitoires, conduction
- Polymères: lois d'échelles et comparaison avec un modèle de une marche au hasard
- Modèle de Witten & Sanders et ses applications (électrocristallisation, cristallisation,
agrégation,…
Transition de phase du 1er et du 2ème ordre, point critique
MSROE, ( Sept. 2 004)
-2–
Quelques applications de la formule du binôme :
Formule du binôme :
(x+y)N=Σn N!/[n !(N-n) !] xn yN-n
Représentation arborescente
(x+y)
N+1
N
(x+y) …(x+y)…(x+y)
n
n
n-p
= (x+y) (x+y)= [Σn CN x y ] (x+y)
x
y
Application : distribution aléatoire ; Loi de Poisson
Distribution de Poisson volume total Ω contient N particules ; quelle est la
distribution de probabilité d’avoir n particules dans v ; on pose ϖ1=Ω/N.
Hypothèse : particules sans interaction de taille infiniment petite
Chaque particule a une probabilité p=v/Ω d’être dans v et 1-p d’être en dehors de v.
W(N, Ω,n,v)=N!/[n! (N-n)!] (v/Ω)n(1- v/Ω)N-n
Si on suppose Ω>>v, on peut passer à la limite N-> ϑinfini; on pose ϖ1=Ω/N
W(Ω/N=ϖ1,n,v) ≅ [N(v/Ω)]n (1/n!) e-Nv/Ω = [1/(n !)] (v/ϖ1)n exp{-v/ϖ1}
W(Ω/N=ϖ1,n,v)
≅
W(Ω/N=ϖ1,n,v) ≅ [1/(n !)] (v/ϖ1)n e-v/ϖ1
Application : mélange et ségrégation :
En effet la distribution donnée par les W(N, Ω,n,v) représente une distribution
totalement aléatoire. On peut alors comparer la distribution réelle obtenue à cette
distribution. Pour cela on définit un volume test, et on sonde l’échantillon en
différents endroits pour déterminer la variance de la distribution de particules dans ce
volume.
On se cantonne donc en général à la comparaison des moments d’ordre 1 et 2 de la
distribution réelle et de la distribution aléatoire.
On va voir comment chiffrer ces distributions
-3–
Marche aléatoire :
I) Modèle microscopique discontinu:
Soit un marcheur qui fait des pas au hasard ; Soit p la probabilité qu’il aille à droite et
1-p celle qu’il aille à gauche. Quelle sera la distribution de probabilité après N pas.
W(N,n)=N!/[n! (N-n)!] pn(1-p)N-n
On pose n=(N-m)/2
W(N,m)=N!/[{(N+m)/2}! {(N-m)/2}!] p(N-m)/2(1-p)(N+m)/2
1) Espérance (valeur moyenne), écart type:
a) valeur moyenne:
Calculer Σn n W(N,n)
on sait que (x+p)N= Σn' N!/[n'! (N-n')!] pN-n'(x)n'
on a donc:
x d/dx(x+p)N= Σn' n' N!/[n'! (N-n')!] pN-n'(x)n' = Nx(x+p)N-1
<n>=N(1-p)
on peut refaire la même chose en écrivant: <x>=Σ x W(x)
or d/du{(pu+q)N}=Np(pu+q)N-1 =d/du {Σ W(n) unpn(1-p)N-n}
= {Σ n W(n) un-1pn(1-p)N-n}
pour u=1 on a le résultat cherché
<n>=Np
Le déplacement moyen est
< l >=<n-n'>=N(1-2p)=N(p-q)
b) écart type:
on procède de la même façon <x²>=d/du{u d/du(pu+q)N}
<n²>=d/du {Σ nW(n) u un-1pn(1-p)N-n }={Σ n²W(n) un-1pn(1-p)N-n}
<n²>=d/du(uNp(pu+q)N-1}={Np(pu+q)N-1+N(N-1)p²u(pu+q)N-2 }|u=1= Np+N(N-1)p²
calculons δ²=<n²>-<n>² = <(n-<n>)²>=Np+N(N-1)p²-N²p²=Np-Np²=Np(1-p)
δ²=<n²>-<n>² = Np(1-p)
2) Cas particulier : p=1-p=1/2 :
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W(N,n, p=½) = N!/[{(N+m)/2}! {(N-m)/2}!] 2-N
Valeur moyenne <n>=N/2 => déplacement moyen=0
Ecart type: δ²=<n²>-<n>² = N/4
3) Passage à la limite continue :
Formule de Stirling : quand q est grand on peut approximer ln(q!) :
ln(q!) ≅ (q+½) ln(q) –q +(1/2) ln (2π)
ln{W(N,n, p=½)}=ln{N!/[{(N+m)/2}! {(N-m)/2}!] 2-N}
≈ (N+½) ln(N) - ½{(N+m+1) ln[(N+m)/2] + (N-m+1) ln[(N-m)/2]} - ½ ln(2π) –
N ln2
=(N+½) ln(N) - ½{(N+m+1) ln(N+m) + (N-m+1) ln(N-m)} + (N+1) ln(2) - ½
ln(2π)-N ln2
comme
ln(N±m)=ln(N(1±m/N))= ln(N) ±m/N +m²/N²+…
ln{W(N,m, p=½)}= -½ln(N) – m2/N + ln(2) - ½ ln(2π)
W(N,m, p=½)= (2/πN)1/2 exp{-m2/N}
Remarque : En fait, on va voir que la normalisation n’est pas correcte, car la formule
de Stirling n’est qu’approximative, et on aurait du utiliser un développement plus
précis. On verra un peu plus loin que le bon résultat après normalisation :
-1/2
W(N,m, p=½)= (πN)
exp{-m2/N}
Passage aux coordonnées continues :
Supposons que le pas est a, que la durée entre deux sauts est τ, le marcheur a fait N
pas au bout du temps t, avec N = t/τ. Ce marcheur se trouvera en x avec une certaine
probabilité p(x,t). On peut écrire :
x=a{(N+m)/2-(N-m)/2}=ma
N=t/τ
La probabilité que le marcheur soit en x est donc :
1/2
p(x,t)=[2τ/(πt)]
exp{-(x/a)²τ/t}
La distribution p(x) est une gaussienne; sa normalisation n'est pas correcte.
On doit avoir : p(x,t)dx=Σn tels que adx=dn (2/πN)1/2 exp{-m2/N}
Normalisation de p:
-5–
En fait la normalisation n’est pas correcte. Pour calculer la normalisation, on multiplie
p par une constante A, que l’on cherche pour que la relation ∫[A p(x,t)]dx=1 soit
satisfaite. Pour normaliser on utilise le fait que quelque soit t :
∫p(x,t)dx=1=√{∫∫p(x,t)p(y,t)dxdy}=
= A √{∫∫exp(-r²/N)rdrdθ}= A √(2π) * √{∫exp(-r²/N)dr²/2} =
=1= A (πN)1/2
Ainsi on doit avoir
1/2
p(x,t)= [τ/(πt)]
exp{-(x/a)²τ/t}
Cas où il y a une collection de marcheurs :
L’équation de p(x,t) donne la distribution pour un seul marcheur. Dans le cas où il y a
beaucoup de marcheurs indépendants, ce qui implique que la marche d’un marcheur
n’est pas entravée par la présence des autres, le mouvement de chaque marcheur sera
décrit par la même équation. Si l’on lâche N marcheurs à t=0 en x=0, la valeur N*
p(x,t) représentera donc la moyenne du nombre de marcheurs en x à l’instant t.
Exercice : vérifier que p(x,t) obéit à une équation différentielle du type, et trouver D
en fonction de τ et a:
dp/dt= D d²p/dx²
4) Passage à la limite lorsque le pas du saut est variable et que le temps entre
deux sauts est variable :
On montre que les résultats sur l'écart type et la variance se conservent, si l’on a
plusieurs temps de saut et non un seul, et que la distribution devient gaussienne après
un grand nombre de sauts. C’est le théorème de la limite centrale. Il est valable très
souvent, lorsque la distribution des temps de saut n’est pas trop large, auquel cas on
obtient un processus de vols de Lévy.
5) Passage à d dimension :
Dans ce cas la loi de probabilité est le produit des lois de probabilité dans chacune des
directions car les marches ne sont pas corrélées.
Complément non utile pour le DEA-MSROE
Exploration compacte/non compacte :
Si les marcheurs sont sur un réseau, on voit qu’ils sont localisés sur une aire de
taille N1/2, où N est le nombre de sauts. Correspondant à un volume Nd/2 .
Si d<2, tous le nombre de sauts est plus grand que le nombre de sites possibles
visités. Tous les sites sont alors visités ; on parle d’exploration compacte.
Si d>2, le nombre possible de sites visités croît plus vite que le nombre de sites
ayant été visité par un seul marcheur. On parle d’exploration non compacte.
Application aux réactions chimiques :
Dans une réaction chimique, les molécules doivent se rencontrer pour réagir. Le
brassage des molécules peut se faire par convection ou par diffusion. Dans ce
-6–
dernier cas le processus de mélange est la marche au hasard. Si la dimension de
l’espace est <2, l’exploration est compacte, le temps passé sur chacun des sites
augmente avec le temps, de tellesorte que chaque molécule pouvant réagir avec
une autre parce qu’elle est suffisamment près doit réagir avec elle. La réaction est
donc systématique.
6) Effets des conditions aux limites:
Supposons que le volume soit fini d'un coté; que se passe-t-il? Cela dépendra des
conditions aux limites:
6a) Si le bord ne laisse pas repartir le marcheur.
6b) Si le bord laisse repartir le marcheur.
Si on place l'axe du temps en vertical, et l'axe des positions en horizontal, les
trajets qui aurait pu se faire de l'autre côté du bord ne peuvent pas se faire;
cependant, dans un espace infini, une fois que le marcheur a atteint un point
donné, son mouvement doit être en moyenne symétrique par rapport à ce point.
Ceci impose une symétrie de réflexion par rapport au bord. Si le marcheur part de
xo, que le bord est en O, on doit avoir la probabilité P du marcheur d'être en x
donné par:
P(x,t,xo)=W(x,t,xo)+W(-x,t,xo)
Où W est la probabilté que le marcheur marchant dans un espace illimité soit en x
à l'instant t, s'il est parti de xo à t=0.
-7–
II) Equation macroscopique de la marche au hasard :
équation de la diffusion :
Soit un réseau de sites 1d, notés : 1,…..,n,n+1,…. ; pas du réseau a. Soit ρn la densité
de marcheurs au sites n.
L’équation d’évolution du nombre des marcheurs s’écrit :
dρn = -ρn dt/τ +Σvoisins ρn-i dt/(nvoisinsτ )
On peut poser W=1/τ
Le nombre nvoisins de voisins dépend de la géométrie du réseau et du nombre de
dimensions de l’espace. La probabilité de saut pourrait varier d’un point à un autre de
l’espace => τi ≠τj, mais on ne considérera pas ce cas ici, pour rester simple.
A 1-d : 2 voisins
dρn = -ρn dt/τ + ρn-1 dt/(2τ) + ρn+1 dt/(2τ)
dρn/dt = -ρn/τ + ρn-1/(2τ) + ρn+1/(2τ)
Passage à la limite continue :
ρn±1= ρn+ (±1)a∂ρn/∂x + (a²/2) ∂²ρn/∂x² +…
dρn/dt = (a²/2τ) ∂²ρn/∂x² =
∂{(a²/2τ) ∂ρn/∂x}/∂x
1) Notion de courant:
Exercice : Montrer que j=W dρ/dx est un courant de porteurs.
2) Equation de diffusion:
Exercice : Montrer que l’on peut mettre cette équation sur la forme de l’Equation de
la diffusion sous certaines conditions:
l’Equation de la diffusion
dρ/dt=d/dx(D dρ/dx) où D est le coefficient de diffusion
Peu utile au DEA MSROE :
3) Chercher une solution par la méthode de la Transformée de Fourier.
On cherchera une solution du type : ρ=exp(-αt+ikx)
-α=-Dk²
corrolaire : chercher la vitesse d’extinction d’un réseau , si celui-ci est sujet à
de la diffusion
4) Relation d’Einstein :
-8–
Soi des porteurs de charges n(r) . S’ils sont à l’équilibre ils doivent obéir à la
distribution statistique de Boltzmann, soit n(r)=exp{-eEr/(kT)}.
Ces porteurs permettent au matériau d’être conducteur, et ils assurent le
transport du courant. Comme dans tout conducteur, on s’attend à ce que le
courant qu’ils créent est j=n µ E e , où µ est la mobilité. A l’équilibre, le courant
doit être nul ; il se compose d’un terme diffusif et d’un terme lié au champ
électrique :
n µ E + D dn/dx=0
Ceci impose : dn/n= -µ E/D dx soit :
N = exp(-µ E r /D)
L’identification des deux équations impose : µ=eD/(kT) ; qui est la relation
d’Einstein cherchée.
-9–
III) Autre formulation : Equation de Langevin
Supposons qu'un corpuscule de masse m soit immergé dans un milieu à la température
T et qu'il subit de sa part des forces aléatoires mF(t) de valeur moyenne nulle et une
force de résistance à l'avancement de type visqueux: fv = -mηv. L'équation de sa
dynamique s'écrit:
m dv/dt= mF(t)-mηv
En multipliant à droite et à gauche par la vitesse v/m, on obtient:
dv²/dt = 2F(t) v(t) - 2ηv²
Si on suppose que F est décorrélée de la vitesse v, on voit que v² doit tendre vers une
constante. Cette constante est donnée par la température du bain:
mv²/2=kT/2 soit
v² = kT/m
On repart de l'équation de la dynamique d²x/dt²=F-(η/2)dx/dt. On remarque que
xdx/dt = d(x²)/dt²
xd²x/dt² = ½ d²(x²)/dt² - (dx/dt)²
L'équation de la dynamique, multipliée à droite et à gauche par x, s'écrit donc:
½ d²(x²)/dt² - (dx/dt)² = -½ η d(x²)/dt + F x
La moyenne sur le temps de Fx doit être nulle car F et x sont supposés être décorrélés;
de même, si on fait une moyenne sur une collection de corpuscule, la moyenne
<Fx>=0 à cause de la décorréltion de F et x.
½ d²<x²>/dt² - <(dx/dt)²> = -½ η d<x²>/dt + <F x> = -½ η d<x²>/dt
Or on a vu que <(dx/dt)²> = <v²>=kT/m . La solution est donc du type
<x²>=2kT/(mη)t + g(t) où g(t) est une fonction transitoire. Celle ci est du type A(1exp(-ηt/2).
On a donc:
<x²> = 2kT t/(m η) + A(1-exp(-ηt/2)
C'est la résolution de Langevin. L'écart type croit linéairement avec le temps, comme
dans le cas d'une marche au hasard et dans le cas de l'équation de diffusion.
- 10 –
IV) Vols de Lévy
Dans certains cas, la migration des espèces peut dépendre d'une distribution de
mécanismes différents ou d'un processus faisant apparaître des sauts directes à des
distances lointaines R avec une loi de probabilité p(R). Si cette dépendance est une loi
de puissance, elle peut donner lieu à des règles de diffusion anormale.
Ceci n'est jamais le cas lorsque la probabilité d'effectuer un saut à une distance r
décroît exponentiellement avec la distance.
- 11 –
Applications de la marche au hasard:
1) Application à la mesure:
Soit un expérimentateur qui fait n mesures d'une grandeur A , chacune bruitée, bruit
caractérisé par l'écart type ∆A. Quelle précision obtient-il?
Réponse ∆A/N1/2
2) Diffusion de molécules dans un gaz
3) Diffusion de la chaleur
4) Transmission de lumière à travers un nuage
5) Transport d'impulsion dans un liquide: viscosité
L'équation de la dynamique s'écrit, si l'on considère que la pression est constante:
ρ δϖ dv/dt=-ν ρ δϖ {2mv(x)-v(x-dx)-v(x+dx)}
où ρ est la densité, δϖ est l'élément de volume, v la vitesse du point matériel et n est
la viscosité cinématique. Ceci donne l'équation
dv/dt =-ν d²v/dx²
La vitesse obéit donc bien à une équation de diffusion, liée au transfert d'impulsion
entre les parties adjacentes de liquide
6) Réactions chimiques
Une réaction chimique a lieu lorsque les molécules se rencontrent. En régime dilué,
les molécules subissent une marche aux hasard avant de se rencontrer. Le volume
visité s'écrit:
V(t)=Rd(t)=ϖo(t/τ)d/2.
Si d<2, le temps passé dans chaque volume croit avec le temps, de sorte que la
réaction a lieu systématiquement dès que les deux molécules sont en présence.
La distribution de Poisson permet de calculer le nombre de molécule n'ayant pas
réagi. On peut aussi raisonner simplement de la façon suivante: la variation de volume
nouveau exploré en fonction du temps est donné par
dN/dt=(dϖo/2)(t/τ)d/2-1
d'où, la probabilité de réaction est donné par
dnA/dt=dnB/dt= -(dV/dt)nAnB
Ainsi si nB est en concentration beaucoup plus importante que nA, nB reste presque
constant; en appelant nAo la valeur initial de nA on a:
nA= nAo exp-(V(t)nB)
- 12 –
De même, si les deux types de molécules sont identiques, on a:
1/nA-1/nAo=V(t)
On retrouve les équations des cinétiques mono- et bi--moléculaires. Le cas classique
se trouve avec dV/dt=cste=ϖo, ce qui est vérifié pour d>2. Lorsque l'espace est de
dimension inférieur à 2, le comportement de V(t) est anormal et on s'attend à ce que
les réactions chimiques obéissent à des lois particulières.
7) Diffusion multiple électronique, rayons X,….
8) Coefficient de diffusion et potentiel électrochimique
9) Conduction électrique
10) Décomposition spinodale ou comment avoir un coefficient de diffusion négatif
11) polymères

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