TD4 - LGI
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Cours Décisions et Critères multiples Série 4 Théorie de l’utilité Problème 1 ( Pub ou pas pub ? ) A l’approche des fêtes, un grossiste en cadeaux d’entreprise prépare sa stratégie de commercialisation. Il considère deux réactions possibles de sa clientèle : • r1 : réaction favorable, • r2 : réaction mitigée. On notera p la probabilité d’observer la réaction r1. Le grossiste estime qu’en cas de réaction mitigée, la marge nette réalisée sera d’un montant x. Elle devrait être 3 fois plus élevée en cas de réaction favorable. Le grossiste s’interroge alors sur l’opportunité d’effectuer une campagne de publicité. Le coût de cette campagne est estimée à x. On considère qu’une campagne publicitaire permettra de doubler la marge en cas de réaction favorable (r1). Cependant, elle n’aura aucun effet en cas de réaction mitigée (r2). 1- Tracer un arbre de décision représentant le problème du choix d’une stratégie de communication. 2- Considérant un critère d’espérance mathématique des gains, donner la valeur minimale de p conduisant à préférer le lancement de la campagne de publicité. On considère maintenant que la valorisation des gains monétaires est recodée par une fonction d’utilité u qui prend ses valeurs entre 0 et 1. 3- Considérant un critère d’espérance mathématique des utilités, donner, en fonction de u(x) et de u(3x), la valeur minimale de p conduisant à préférer le lancement de la campagne de publicité. 4- La notation (y,z;p) représente une loterie où l’on gagne la montant y avec la probabilité p et le montant z avec la probabilité 1-p. le grossiste indique que : • il est indifférent entre (3x,x;0,5) et (5x,0;0,5), • il est indifférent entre (3x,x;0,8) et (5x,x;0,4), Indiquer, dans ce cas, la valeur minimale de p conduisant à préférer le lancement de la campagne de publicité. Problème 2 (Stratégie d’emprunt optimale ) Il s’agit de définir une stratégie visant à obtenir le montant emprunté le plus élevé possible, sachant que l’on risque de se heurter à l’humeur variable du prêteur. Dans le cas qui nous intéresse, on envisage deux décision : Cours Décisions et Critères multiples • d1 :demander 100 K€ (somme qui risque d’aboutir au refus), • d2 : demander 45 K€ (somme plus modeste située sous le seuil psychologique des 50 K€). On modélise l’humeur du prêteur selon 3 modalités : h1 : très bonne humeur , h2 : humeur normale, h3 : mauvaise humeur. Une évaluation du montant obtenu selon l’humeur et la somme demandée est fournie dans le tableau suivant : d1 d2 h1 80 60 h2 60 45 H3 0 35 1- En l’absence d’information sur l’humeur du prêteur, on suppose que p(h1) = p(h2) = p(h3), où p(hi) désigne la probabilité que le prêteur soit dans l’humeur hi (i ∈ { 1, 2, 3 }), et l’on choisit la façon de formuler sa requête en calculant l’espérance mathématique du montant du prêt obtenu. • A quel critère de décision classique cette façon de procéder correspond-elle ? • Déterminer la décision optimale selon ce critère. Un individu (dont nous préférons conserver l’anonymat) s’intéresse au problème et envisage de recourir à des fonctions d’utilité pour modéliser ses préférences. De plus, il souhaite fonder son approche sur une meilleure connaissance quant à l’humeur du prêteur à son égard. Il considère qu’un bon indice serait d’observer sa réaction quand on lui demandera d’emprunter sa voiture. Soit V et V les événements « la voiture est prêtée » et « la voiture n’est pas prêtée ». L’individu décide d’utiliser deux fonctions d’utilité u1 et u2 telles que ui(0) = 0 et ui(100) = 1 (i ∈ { 1, 2 }) de la forme u1(x) = ax2 et u2(x) = a’ x où a et a’ sont des paramètres à déterminer. Il conserve l’hypothèse p(h1) = p(h2) = p(h3). 2- On se place dans le cas où l’événement V se réalise. • Déterminer la valeur de a. • Déterminer les utilités associées à chaque montant de prêt susceptible d’être obtenu. • Déterminer la décision optimale selon le critère d’espérance mathématique des utilités. 3- Déterminer la décision optimale dans le cas où l’événement V se réalise. 4‐ Enoncer une stratégie optimale de notre individu. Cours Décisions et Critères multiples Problème 3 (construction d’une fonction d’utilité) On suppose qu’un Décideur se comporte dans le risque conformément au Max EU et cherche à construire approximativement sa fonction d’utilité u sur l’intervalle de gains [0€, 105 €]. On notera (x, y, p) la loterie donnant le gain x avec probabilité p et le gain y avec probabilité 1−p. Des questions posées au Décideur il ressort qu’il est indifférent : - entre (105, 0, p) et (5* 104, 0, ½) avec p= 3/8 ; entre (105, 0, q) et (2,5* 104, 0, ½) avec q=1/4 ; entre (105, 0, z) et (104, 0, ½) avec z= 1/8 ; 1- Que peut on imposer à u ? 2- Représenter graphiquement u. Comment qualifierait-on l’attitude via-à-vis du risque du décideur ? 3- Pour vérifier la fonction u trouvée, on cherche l’équivalent-certain de (5* 104, 104, ½) Que s’attend-on à trouver ?