DM3 Mathématiques - Lionel chaussade

DM3 Mathématiques
MPSI2
Pour le jeudi 15 octobre
C’est bientôt Noël et la classe de MPSI2 décide de s’offrir des cadeaux. Chacun achète un petit cadeau et le dépose
au pied d’un sapin. Puis chaque élève choisit au hasard l’un des cadeaux présents au pied du sapin, éventuellement
le sien. Ce problème s’intéresse à la probabilité que chaque élève reparte avec un cadeau différent du sien. Nous
montrerons notamment que cette probabilité tend vers e−1 quand le nombre de participants tend vers +∞.
Partie A : Formule d’inversion de Pascal
Dans toute cette partie, on considère deux suites de nombres réels (fn )n≥0 et (gn )n≥0 liées par la relation suivante :
∀n ≥ 0, fn =
n X
n
k=0
k
gk
1. Exprimer f0 , f1 et f2 en fonction de g0 , g1 et g2 .
2. Calculer le
a) ∀k ∈ N,
b) ∀k ∈ N,
c) ∀k ∈ N,
d) ∀k ∈ N,
terme général de la suite (fn ) dans les cas suivants :
gk = 1.
gk = 2k .
gk = (−1)k .
gk = eka où a est un nombre complexe fixé.
n−j
n
n k
où 0 ≤ j ≤ k ≤ n sont des entiers.
=
3. Démontrer que
n−k
j
j
k
n
X
n−k n
4. Démontrer la formule d’inversion de Pascal : ∀n ≥ 0,
(−1)
fk = gn .
k
k=0
Partie B : Nombre de dérangements
Soit n ∈ N∗ . On considère n personnes mettant chacune un cadeau au pied d’un sapin. Puis chaque participant
choisit au hasard un cadeau, il est possible qu’une ou plusieurs personnes reçoivent alors leur propre cadeau.
1. Justifier que le nombre total de distributions possibles, sans aucune contrainte, est n!.
Dans la suite du problème, on note dn le nombre de distributions de cadeaux entre n participants telles que
tout le monde reçoive un cadeau différent du sien. Une telle distribution s’appelle un dérangement. On adopte
la convention d0 = 1.
2. Donner, en les justifiant, les valeurs de d1 , d2 , d3 et d4 .
3. Soit k ∈ N tel que 0 ≤ k ≤ n.Justifier
que le nombre de distributions telles que k personnes exactement
n
reçoivent leur propre cadeau est
dn−k .
k
On pourrautiliser,
pour répondre à la question précédente, que pour n entier naturel et k ∈ J0, nK, le coefficient
n
binomial
correspond au nombre de façons de choisir k éléments parmi n.
k
n X
n
4. Justifier que n! =
dk .
k
k=0
5. Démontrer que pour tout n ≥ 0, on a : dn = n!
n
X
k=0
(−1)k
1
.
k!
6. Justifier que lors d’une distribution aléatoire des cadeaux, la probabilité que personne ne reçoive son propre
n
X
1
cadeau est
(−1)k .
k!
k=0
DM3 Mathématiques
MPSI2
Pour le jeudi 15 octobre
Partie C : Estimation asymptotique
n
X
dn
1
=
qui correspond à la
(−1)k
n!
k!
k=0
probabilité que tout le monde ait un cadeau différent du sien lors de la distribution.
Z x
n
X
(x − t)n t
xk x
+
e dt.
1. Montrer que pour tout x réel et pour tout n ∈ N, on a : e =
k!
n!
0
Le but de cette partie est d’estimer, quand n tend vers +∞, la quantité
k=0
On pourra effectuer une récurrence et utiliser le théorème d’intégration par parties.
dn
2. En déduire une expression de
en fonction de e−1 et d’une intégrale à préciser.
n!
Z b
Z b
|f (t)|dt.
f (t)dt ≤
3. (a) Soit f une fonction continue de [a, b] dans R avec a < b deux réels. Montrer que : a
a
Z 0
(−1 − t)n t
(b) Montrer que quand n tend vers +∞, la quantité
e dt tend vers 0.
n!
−1
dn
4. En déduire lim
. Conclure.
n→+∞ n!
Partie D : Nombre de surjections
Le but de cette partie est d’utiliser la formule d’inversion de Pascal pour compter le nombre de surjections entre
deux ensembles finis. On note Sn,p le nombre de surjections d’un ensemble à n éléments vers un ensemble à p éléments
avec n ∈ N∗ et p ∈ N avec la convention Sn,0 = 0.
1. Donner Sn,p dans le cas où n < p puis dans le cas où n = p. Dans la suite on prend n ≥ p.
p X
p
n
Sn,k .
2. Montrer que p =
k
k=0
3. En déduire une expression de Sn,p sous la forme d’une somme que l’on ne cherchera pas à simplifier.
Partie E : Programmation en Python
Pour répondre aux questions suivantes, vous pouvez m’écrire vos fonctions sur papier ou me fournir des impressions des programmes Python que vous avez faits. Vos fonctions devront être commentées. Pour la question 2.(d),
une impression des résultats obtenus est demandée.
1. (a) Écrire une fonction qui étant donné une liste L dont les éléments sont distincts renvoie une nouvelle liste
comportant les mêmes éléments que L mais dans un ordre aléatoire. On pourra pour cela utiliser la fonction
randint du module random.
(b) Écrire une fonction qui prend en paramètres une liste L1 dont les éléments sont distincts et une liste L2
comportant les mêmes éléments que L1 dans un ordre aléatoire et renvoie 0 si au moins l’un des éléments
de la liste L1 est à la même place dans la liste L2 et 1 sinon.
(c) À l’aide des fonctions précédentes, proposer une fonction qui va vérifier le résultat de la question 4. de la
partie C.
2. (a) Écrire une fonction qui prend en paramètre un entier naturel n et renvoie l’entier naturel dn en utilisant la
formule de la question 5. de la partie B. On pourra créer au préalable une fonction qui calcule la factorielle
d’un entier.
(b) En déduire une valeur approchée à 10−3 près de la probabilité que chaque élève de MPSI2 reparte avec un
cadeau différent du sien.
(c) Que vaut d5 ?
(d) Écrire une fonction qui renvoie tous les dérangements de la liste L = [1, 2, 3, 4, 5]. On donnera ces
dérangements également sous forme de liste, par exemple [2, 4, 1, 5, 3] est un dérangement de L puisque
tous les éléments ont changé de place.