Première L DS3 croissances 2010

Première L
DS3 croissances
2010-2011
Exercice 1 (7 points)
Une étude est faite sur la désertion d’une région rurale. Au bout, de l’enquête la population de
cette région est de 243 000 habitants : on pose u0 = 243 000 et on note un la population n années
après le début de l’enquête. Cette population passe à 238 000 habitants l’année suivante.
On suppose que cette croissance linéaire se confirme chaque année.
a) Calculer la raison de la suite arithmétique correspondante.
En déduire un+1 en fonction de un, puis exprimer le terme général un en fonction de n.
b) Calculer la population 12 ans après le début de l’enquête.
c) Résoudre l’inéquation 243 000 – 5000×n ≤ 170 000.
En déduire au bout de combien d’années la population de cette région devient inférieure à
170 000 habitants.
Exercice 2 (7 points)
La valeur d’une moto de 15 000 € à l’achat perd 20% de sa valeur chaque année.
On note Vn la valeur n années après l’achat, avec V0 = 15 000.
a) Donner le coefficient multiplicateur correspondant.
b) Quelle est la nature de la suite (Vn) ? Justifier la réponse.
c) Exprimer Vn en fonction de n.
d) Calculer V3. Peut-on dire qu’au bout de trois ans elle ne vaut plus rien ?
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d’années cette moto vaut moins de
4 000 €.
Exercice 3 l’hypothèse de Malthus (1766 – 1834) (6 points)
En 1800, l’Angleterre comptait 8 millions d’habitants.
Malthus avait émis l’hypothèse suivante :
• la population de l’Angleterre suit une progression géométrique en augmentant de 2% par an.
• L’agriculture anglaise, en 1800, permet de nourrir 10 millions d’habitants et son amélioration
permet de nourrir 400 000 habitants supplémentaires par an, suivant une progression
arithmétique.
1) Après avoir modélisé l’hypothèse de Malthus, calculer la population de l’Angleterre en 1900
et le nombre de personnes que pouvait nourrir l’agriculture anglaise en 1900.
2) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, l’année à partir de laquelle l’agriculture anglaise ne
permet plus de nourrir la population anglaise, suivant l’hypothèse de Malthus.
Question Bonus : (1 points)
A votre avis, pourquoi l’hypothèse de Malthus s’est-elle avérée fausse ?
1
Première L
DS3 croissances
CORRECTION
2010-2011
Exercice 1 (7 points)
Une étude est faite sur la désertion d’une région rurale. Au bout, de l’enquête la
population de cette région est de 243 000 habitants : on pose u0 = 243 000 et on note un
la population n années après le début de l’enquête. Cette population passe à 238 000
habitants l’année suivante.
On suppose que cette croissance linéaire se confirme chaque année.
a) Calculer la raison de la suite arithmétique correspondante.
En déduire un+1 en fonction de un, puis exprimer le terme général un en fonction de n.
b) Calculer la population 12 ans après le début de l’enquête.
c) Résoudre l’inéquation 243 000 – 5000×n ≤ 170 000.
En déduire au bout de combien d’années la population de cette région devient
inférieure à 170 000 habitants.
a)
La raison d’une suite arithmétique est la différence de deux termes consécutifs.
Soit u1 – u0 = 238 000 – 243 000 = - 5000
La raison de la suite arithmétique (un) est donc -5000.
On a donc un+1 = un – 5000 (formulation récurrente)
Et un = u0 + n×r = 243 000 - 5000×n (formulation explicite)
b) u12 = 243000 - 5000×12 = 183 000
Au bout de 12 ans la population est de 183 000.
c) 243 000 - 5000×n ≤ 170 000 5000n ≥ 243 000 – 170 000
73 000
= 14,6
n≥
5000
L’inéquation correspond à un ≤ 170 000.
Ce qui correspond à la question posée.
La population de cette région devient donc inférieure à 170 000 habitants au bout
de 15 ans.
Exercice 2 (7 points)
La valeur d’une moto de 15 000 € à l’achat perd 20% de sa valeur chaque année.
On note Vn la valeur n années après l’achat, avec V0 = 15 000.
a) Donner le coefficient multiplicateur correspondant.
b) Quelle est la nature de la suite (Vn) ? Justifier la réponse.
c) Exprimer Vn en fonction de n.
d) Calculer V3. Peut-on dire qu’au bout de trois ans elle ne vaut plus rien ?
e) A l’aide de la calculatrice, déterminer au bout de combien d’années cette moto
vaut moins de 4 000 €.
20
a) Le coefficient multiplicateur associé à une baisse de 20% est 1 –
= 0,8.
100
b) (Vn) est une suite géométrique car pour passer d’un terme au suivant on multiplie
par le même nombre 0,8.
c) Vn = V0 ×qn = 15 000×0,8n
d) V3 = 15000×0,83 = 7 680 €
Au bout de 3 ans, la moto a perdu environ la moitié de sa valeur.
2
Première L
Contrôle croissances
CORRECTION
2009-2010
On ne peut pas dire qu’elle ne vaut plus rien.
e) V4 ≈ 6144 ; V5 = 4915,20 ; V6 = 3 932,16
Au bout de 6 ans cette moto vaut moins de 4 000 €.
Exercice 3 l’hypothèse de Malthus (1766 – 1834) (6 points)
En 1800, l’Angleterre comptait 8 millions d’habitants.
Malthus avait émis l’hypothèse suivante :
• la population de l’Angleterre suit une progression géométrique en augmentant de
2% par an.
• L’agriculture anglaise, en 1800, permet de nourrir 10 millions d’habitants et son
amélioration permet de nourrir 400 000 habitants supplémentaires par an,
suivant une progression arithmétique.
1) Après avoir modélisé l’hypothèse de Malthus, calculer la population de
l’Angleterre en 1900 et le nombre de personnes que pouvait nourrir l’agriculture
anglaise en 1900.
2) Déterminer, à l’aide de la calculatrice, l’année à partir de laquelle l’agriculture
anglaise ne permet plus de nourrir la population anglaise, suivant l’hypothèse de
Malthus.
N
1) La population anglaise est modélisée (en millions d’habitants) par la suite
géométrique (un) de premier terme 8 et de raison 1,02.
On a donc un = 8×1,02n (n représente le nombre d’années depuis 1800.)
Le nombre d’habitants (en millions) que permet de nourrir l’agriculture anglaise
est modélisée par la suite arithmétique (vn) de premier terme 10 et de raison 0,4
On a donc un = 10 + 0,4×n
La population anglaise selon cette modélisation est 1900 serait donnée par :
u100 = 8×1,02100 ≈ 57,96 millions d’habitants en 1900.
Le nombre de personnes que l’agriculture anglaise permet de nourrir en 1900 serait
donnée par :
v100 = 10 + 0,4×100 = 10 + 40 = 50 millions d’habitants
2) On cherche à résoudre l’inéquation vn < un.
3) A l’aide de la calculatrice (ou ici d’un tableur), on peut déterminer la première
valeur de n telle que vn < un
On sait déjà à l’aide la question précédente que n < 100.
Une première approche de 10 ans en dix ans permet de déterminer que 80 < n < 90
car u80 < v80 et u90 > v90.
u(n)
v(n)
10
9,75
14
20
11,89
18
30
14,49
22
40
17,66
26
50
21,53
30
60
26,25
34
70
32,00
38
80
39,00
42
3
Première L
Contrôle croissances
CORRECTION
90
100
n
47,55
57,96
u(n)
2009-2010
46
50
v(n)
80
39,004
42,00
81
39,784
42,40
82
40,579
42,80
83
41,391
43,20
84
42,219
43,60
85
43,063
44,00
86
43,924
44,40
87
44,803
44,80
88
45,699
45,20
89
46,613
45,60
En affinant les itérations avec un pas de une année entre 80 et 90, on s’aperçoit que
pour n = 87 u87 > v87 alors que u86 < v86.
Selon l’hypothèse de Malthus, c’est donc à partir de 1887 que l’agriculture anglaise
ne permettrait plus de nourrir la population anglaise.
Question Bonus : (1 points)
Malthus a sous-estimé l'augmentation de la productivité des terres agricoles
(amélioration des rendements grâce notamment aux engrais)
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