Sara BEDDIAF Identification paramétrique de systèmes d

Transcription

Sara BEDDIAF
Mémoire présenté en vue de l’obtention
du grade de Docteur de l’Université d’Angers
Sous le label de l’Université Nantes Angers Le Mans
Discipline : Automatique et Productique
Spécialité : Sciences de l'ingénieur
Laboratoire : Laboratoire d'Ingénierie des Systèmes Automatisés (LISA)
Soutenue le vendredi 14 juin 2013
École doctorale : STIM (N° 503)
Thèse N° 1280
Identification paramétrique de systèmes d’équations aux
dérivées partielles paraboliques non linéaires en géométrie
3D par une méthode de régularisation itérative
JURY
Rapporteurs :
Mr. Thierry Poinot, Professeur des Universités, Université de Poitiers
Mr. Jean-Jacques Serra, Habilitation à diriger de recherche, DGA/MTO,
Direction Générale de l’Armement, Techniques aéronautiques
Examinateurs :
Mr. Francisco-Javier Carrillo, Professeur des Universités, ENI de Tarbes
Mr. Franck Plestan, Professeur des Universités, École Centrale de Nantes
Mr. Sébastien Rouquette, Maître de conférences, Université de Montpellier
Directeur de Thèse :
Mr. Laurent Autrique, Professeur des Universités, Université d’Angers
Co-directeurs de Thèse : Mr. Jean-Claude Jolly, Maître de conférences, Université d’Angers
Mme. Laetitia Perez, Maître de conférences, Université de Nantes
Année : 2013
N° d’ordre : 1280
École Doctorale : STIM
Mémoire de thèse en vue de l’obtention du grade de
Docteur de l’Université d’Angers
Sara BEDDIAF
Identification paramétrique de systèmes d’équations aux
dérivées partielles paraboliques non linéaires en géométrie
3D par une méthode de régularisation itérative
Spécialité : Sciences de l'ingénieur
Thèse présentée et soutenue publiquement
le vendredi 14 juin 2013
au sein de l’école d’ingénieur ISTIA de l’université d’Angers
Devant le jury ci-dessous :
Rapporteurs :
Mr. Thierry Poinot, Professeur des Universités, Université de Poitiers
Mr. Jean-Jacques Serra, Habilitation à diriger de recherche, DGA/MTO,
Direction Générale de l’Armement, Techniques aéronautiques
Examinateurs :
Mr. Francisco-Javier Carrillo, Professeur des Universités, ENI de Tarbes
Mr. Franck Plestan, Professeur des Universités, École Centrale de Nantes
Mr. Sébastien Rouquette, Maître de conférences, Université de Montpellier
Directeur de Thèse :
Mr. Laurent Autrique, Professeur des Universités, Université d’Angers
Co-directeurs de
Thèse :
Mr. Jean-Claude Jolly, Maître de conférences, Université d’Angers
Mme. Laetitia Perez, Maître de conférences, Université de Nantes
Thèse préparée au sein du Laboratoire d’Ingénierie des Systèmes Automatisés (LISA), EA 4094
Université d’Angers
62 Avenue Notre Dame du Lac - 49000 Angers - FRANCE
***Remerciements***
Tout simplement et basant sur la traduction d’une parole du Prophète Mohammed (que la
prière d'Allah et son salut soient sur lui) et qui a dit : "Celui qui ne remercie pas pour la petite
chose, ne remercie pas pour la grande chose et celui qui ne remercie pas les gens, ne remercie pas
Allah". Alors et avec un immense plaisir, je trouve l’occasion sur cette page afin de rendre
hommage et exprimer toute ma reconnaissance à chaque personne a participé à la réussite de ma
très belle aventure.
Je tiens à remercier en premier lieu mes encadrants tous ensemble de m’avoir accepté afin
de vivre cette expérience et pour la confiance qu’ils m’ont témoignée tout au long de ma thèse.
J’exprime toute ma gratitude aux Pr. Laurent Autrique, Dr. Jean-Claude Jolly et Dr. Laetitia Perez
pour leur encadrement et leur soutien tout au long de ma thèse. La discussion et le travail avec eux
m’ont fait apprendre beaucoup de choses sur le monde de la recherche et l’art de ce métier. Je
remercie particulièrement Laurent pour sa présence pour donner des conseils et pour son volontariat
de corriger mon manuscrit en premier et de le relire une autre fois.
Comme toute thèse dans le monde, il y a des membres de jury qui sont très forts (comme il
dit le petit Nicolas et de ma part je confirme aussi) qui se réunissent afin d’examiner la thèse.
Dans un premier lieu, je souhaite exprimer ma gratitude au Pr. Francisco-Javier Carrillo, qui
m’a fait l’honneur et le grand plaisir d’être président mon jury de thèse.
J’ai eu vraiment la chance que ma thèse ait été validée par le Dr-Hdr. Jean-Jacques Serra et
par le Pr. Thierry Poinot qui m’ont fait l’honneur d’être rapporteurs de ma thèse. Mes vifs
remerciements s’adressent également aux Pr. Franck Plestan et Dr. Sébastien Rouquette qui m’ont
fait le plaisir et l’honneur d’être examinateurs de ma thèse. Un merci spécial s’adresse à mon
comité de suivi de thèse : le Dr-Hdr. Jean-Jacques Serra et le Pr. Franck Plestan.
Je remercie très sincèrement les personnelles du LISA et de L’ISTIA pour leur accueil
familial : Marie, Simone, Claudine, Malika, Kristaine, Émile, Franck, Laurence, Sylvain et bien sûr
je n’oublierais pas la gentillesse de Wiliam et Dominique. Un Merci spécial s’adresse également
aux : Dr. Nicolas Delanoue, Pr. Sébastien Lahaye, Dr. Serge Tahé et Dr. Jean-Baptiste Fasquel pour
leur sympathie et leur encouragements. Je suis également reconnaissante au Pr. Jean-Luis Boimond
(directeur du Laboratoire et professeur à l’université d’Angers) pour son accueil au sein du LISA et
pour tous ses encouragements.
C’est au bureau E. 37 où j’ai eu la chance d’être entourée par des collègues, amis et frères
très gentils. Je commence par ordre de connaissance : Oumar, Rémy, Rabah, Yann et Alban...
Je vous remercie tous pour tous les moments qu’on a passés ensemble, pour toutes les pauses café à
n’importe quel moment de la journée, pour vos rires et surtout pour votre amitié… Je remercie très
vivement Rawya & Marouene, Euriell, Hamza, Hasnaa, Jean-Luc, Imen, Charli et Karl pour leur
soutien. Je remercie tous mes amis de la fac d’Annaba en Algérie : Aicha, Djamila, Zineb, Nora,
Khalil et Mohammed-Yazid pour leur amitié. Un grand merci pour mes chères copines de Nice :
Meriame et Muriel.
Je suis très reconnaissante aussi à tous mes enseignants de l’Algérie, par ordre
chronologique : Sidi Ali, Mr. Ali Boulahba, Pr. Nacer-Eddine Debbache à l’université d’Annaba :
merci pour votre gentillesse, modestie, soutient et vos conseils tout au long de mes études…
Un grand merci s’adresse également aux : Pr. Faouzia Rébbani, Melle. Hadjira Mesbahi et
Mr. Messaoud Ramedani à l’université d’Annaba pour leur gentillesse, modestie et aide.
Mes remercîments s’adressent également au Pr. Tarek Hamel à l’université de Nice SophiaAntipolis qui m’a très bien initié dans le domaine de recherche et qui m’a bien appris beaucoup de
choses… Je lui remercie pour toutes les discutions, les conseils et les encouragements...
J’arrive ici où les mots perdent leurs valeurs afin de remercier ma famille : mes parents
"Fatima & Mohammed-Larbi" sont les personnes qui donnent les couleurs à ma vie, pour
l’éducation et le sacrifice que vous faites pour toujours pour mes frères et moi, pour votre patience,
amour, tendresse, générosité… pour votre croyance et vos prières quotidiennes pour moi... Avec
vous, je réalise à quel point notre cher Dieu m’aime. Je prie à lui de vous considérer parmi ses chers
et je suis sûre que Dieu seul qui sait comment je vous aime. Je remercie mes cher(e)s sœurs et
frères : Asmaa (Maya), Bader-Eddine (Badri), Nour El-Islam (Pédro) et Amina : pour votre amour,
prières (surtout Maya), fraternité, amitié et plein d’autres choses qui restent toujours qu’entre nous.
C’est naturel que je n’oublie pas notre cher frère Yaakoub qui a été choisi par notre cher Dieu dans
une autre vie plus jolie in chaaAllah. Un grand merci à toute personne de ma famille avec une
pensée à mes grands-parents que Dieu in chaaAllah les considère parmi ses proches….
Pour moi l’écriture de ma page de remerciements me confirme la fin de mon aventure.
Sincèrement, j’ai essayé plusieurs fois d’éloigner cette tâche afin d’étaler l’aventure plus mais il me
faut s’arrêter là… Avant de mettre un point final, c’est avec une joie infinie je remercie notre cher
Dieu le plus puissant (Allah). Je lui remercie pour tout... J’espère vraiment avoir été à l’hauteur de
cet examen. Je remercie notre cher Allah pour la croyance qui me l’a accordée et qui m’aide
beaucoup dans ma vie en général, pour le saint livre du Coran qui me donne toujours beaucoup
d’espoir en demain. Je remercie Allah pour la protection qui me l’entoure pour toujours, pour les
multiples solutions ou réponses à des besoins sans aucun effort de ma part, pour tous ses dons
incomptables…
C’est à notre Cher Allah le premier et le dernier Merci infini (El Hamdou li Allah).
Table des matières
Nomenclature………………………………………………………………………………………xv
Introduction générale ........................................................................................................................ 1
Chapitre 1. État de l’art …………………………………………………………………………... 5
1.
Problème inverse ......................................................................................................................... 5
1.1.
Au sujet des problèmes inverses .......................................................................................... 5
1.2.
Caractéristiques des problèmes inverses .............................................................................. 7
1.3.
Diverses applications des problèmes inverses ..................................................................... 8
1.4.
Méthodes de minimisation ................................................................................................. 11
1.5.
Régularisation des problèmes inverses .............................................................................. 21
2. Méthode du gradient conjugué pour résoudre des systèmes linéaires ....................................... 26
2.1.
Illustration du caractère mal posé ...................................................................................... 26
2.2.
Méthode du gradient conjugué (MGC) .............................................................................. 29
2.3.
Mise en œuvre de la MGC pour les matrices d’Hilbert ..................................................... 30
2.4.
Analyses des résultats ........................................................................................................ 38
3. Mise en œuvre du filtre de Kalman pour l’identification paramétrique .................................... 38
3.1.
Modélisation…………………………………………………………………………….. 38
3.2.
Discrétisation du modèle mathématique ............................................................................ 40
3.3.
Filtre de Kalman discret ..................................................................................................... 41
3.4.
Mise en œuvre du FKD pour le circuit RLC ...................................................................... 42
4. Bilan du chapitre ........................................................................................................................ 44
Chapitre 2. Problèmes inverses en thermique : exemple introductif …………………………. 45
1.
Différents modes de transfert de chaleur ................................................................................... 47
1.1.
Transfert de chaleur par conduction................................................................................... 47
1.2.
Transfert de chaleur par convection ................................................................................... 48
1.3.
Transfert de chaleur par rayonnement ............................................................................... 48
1.4.
Conditions aux limites spatio-temporelles ......................................................................... 49
1.5.
Mesure de température ....................................................................................................... 51
2. Exemple d’un transfert thermique unidimensionnel.................................................................. 51
2.1.
Quelques repères historiques sur les problèmes inverses en thermique ............................ 51
2.2.
Problème direct .................................................................................................................. 52
3. Résolution du PICC-1D ............................................................................................................. 57
3.1.
Filtre de Kalman discret (PICC-1D) .................................................................................. 57
3.2.
Méthode du gradient conjugué (PICC-1D) ........................................................................ 61
ii
Table des matières
Chapitre 3. Identification du flux de chauffe d’une source surfacique en géométrie 3D …… 75
1.
Identification paramétrique du flux de chauffe d’une source fixe ou mobile en géométrie 3D 76
1.1.
Problème direct .................................................................................................................. 77
1.2.
Problème inverse ................................................................................................................ 83
1.3.
Résultats numériques ......................................................................................................... 87
1.4.
Analyse des résultats .......................................................................................................... 95
2. Identification paramétrique du flux de chauffe de deux sources de chauffe mobiles en
géométrie 3D ...................................................................................................................................... 95
2.1.
Problème direct .................................................................................................................. 95
2.2.
2.3.
Résultats numériques ....................................................................................................... 100
2.4.
Analyse des résultats ........................................................................................................ 105
3. Bilan du chapitre ...................................................................................................................... 106
Chapitre 4. Localisation de sources chauffantes en géométrie 3D …………………………... 107
1.
Identification paramétrique de la position de sources chauffantes fixes ................................. 108
1.1.
Problème direct ................................................................................................................ 109
1.2.
Problème inverse .............................................................................................................. 112
1.3.
1.4.
2. Localisation en temps réduit .................................................................................................... 122
2.1.
2.2.
3. Identification de la trajectoire d’une source de chauffe mobile .............................................. 136
3.1.
Problème direct ................................................................................................................ 136
3.2.
3.3.
3.4.
Chapitre 5. Identification simultanée du couple puissance & position……………………….153
1.
Estimation simultanée du flux de chauffe et de la localisation d’une source fixe. .................. 153
1.1.
Problème direct ................................................................................................................ 155
1.2.
1.3.
1.4.
2. Estimation simultanée du flux de chauffe et de la trajectoire d’une source mobile ................ 168
2.1.
Problème direct ................................................................................................................ 169
2.2.
2.3.
2.4.
Table des matières
iii
Chapitre 6. Aspects expérimentaux …………………………………………………………… 185
1.
2.
Banc expérimental ................................................................................................................... 186
Identification paramétrique de la position d’une source chauffante fixe ................................ 189
2.1.
2.2.
2.3.
3. Identification simultanée de la position et du flux de chauffe d’une source fixe .................... 192
3.1.
3.2.
3.3.
Conclusion & Perspectives……………………………………………………………………… 195
Annexe A. Résultats complémentaires : localisation en temps réduit (Chapitre 4)………… 200
Annexe B. Résultats complémentaires : identification de la trajectoire (Chapitre 4)……… 207
Annexe C. Pilotage des platines de translation …………………….…………………………. 221
1.
Commande des platines XZ ..................................................................................................... 221
1.1.
Mode local........................................................................................................................ 221
1.2.
Mode distant ..................................................................................................................... 222
Références .…………………….………………………………………………………………… 233
Liste des Figures
Figure 1. 1. Distinction entre le problème direct (flèches vertes) et le problème inverse (flèches
rouges) .................................................................................................................................................. 6
Figure 1. 2. Conditionnement de Aˆ n et erreur d’estimation x − xˆ en fonction de n . ..................... 28
Figure 1. 3. Conditionnement de An et erreur d’estimation x − xˆ en fonction de n . ..................... 28
Figure 1. 4. Évolution de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations k (cas non bruité)........ 31
Figure 1. 5. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k (cas non bruité). ......... 31
Figure 1. 6. Évolution de la fonctionnelle en fonction des itérations k (mesures bruitées).............. 33
Figure 1. 7. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k (mesures bruitées)...... 33
Figure 1. 8. Évolution de la fonctionnelle en fonction des itérations k (matrice bruitée) ................ 35
Figure 1. 9. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k (matrice bruitée) ........ 35
Figure 1. 10. Évolution de la fonctionnelle en fonction des itérations k (matrice et mesures
bruitées). ............................................................................................................................................. 36
Figure 1. 11. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k (matrice et mesures
bruitées). ............................................................................................................................................. 37
Figure 1. 12. Circuit RLC. .................................................................................................................. 38
Figure 1. 13. Évolution du courant dans le circuit RLC..................................................................... 39
Figure 1. 14. Évolution de la tension aux bornes du condensateur dans le circuit RLC. ................... 40
Figure 1. 15. Observations de la tension aux bornes du condensateur. ............................................. 40
Figure 1. 16. Courant estimé et courant réel. ..................................................................................... 43
Figure 1. 17. Tension réelle, mesurée et estimée. .............................................................................. 43
Figure 2. 1. Transfert de chaleur par conduction. .............................................................................. 47
Figure 2. 2. Transfert de chaleur par convection. .............................................................................. 48
Figure 2. 3. Transfert de chaleur par rayonnement. ........................................................................... 49
Figure 2. 4. Barre unidimensionnelle. ................................................................................................ 53
Figure 2. 5. Flux de chauffe imposé en x = L . .................................................................................. 54
Figure 2. 6. Résultat du problème direct. ........................................................................................... 56
Figure 2. 7. Exemple de mesures θCk en K pour σ θ =1 K. ................................................................. 57
Figure 2. 8. Comparaison entre températures estimées et mesurées pour σ φ = 5000 . ...................... 59
Figure 2. 9. Comparaison entre flux estimé et flux théorique pour σ φ = 5000 . ................................ 59
Figure 2. 10. Résidus de température en K ....................................................................................... 60
Figure 2. 11. Résidus en flux de chauffe en W.m -2 . ......................................................................... 60
Figure 2. 12. Base des fonctions chapeaux. ....................................................................................... 62
Figure 2. 13. Évolution du critère en fonction des itérations k ......................................................... 70
Figure 2. 14. Évolution de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k . ................................. 70
Figure 2. 15. Flux de chauffe réel φ ( t ) et flux de chauffe identifié φ k =13 ( t ) . .................................. 71
Figure 2. 16. Résidu du flux de chauffe en fonction du temps t . ...................................................... 71
Figure 2. 17. Température mesurée et simulée après 13 itérations. ................................................... 71
Figure 2. 18. Résidu de température en K . ....................................................................................... 71
vi
Liste des figures
Figure 2. 19. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k . ............. 72
Figure 2. 20. Évolution de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k . ................................. 72
Figure 2. 21. Flux de chauffe réel φ ( t ) et flux de chauffe identifié φ k =17 ( t ) . .................................. 73
Figure 2. 22. Résidu du flux de chauffe en fonction du temps t . ...................................................... 73
Figure 2. 23. Température mesurée et simulée après 17 itérations. ................................................... 73
Figure 2. 24. Résidu de température en fonction du temps t . ........................................................... 73
Figure 3. 1. (a). Géométrie de la plaque, (b). Trajectoire de la source. ............................................. 78
Figure 3. 2. Flux de chauffe. .............................................................................................................. 79
Figure 3. 3. (a). Évolution de la température pour une source fixe (problème direct), (b).
Distribution spatiale de la température sur la face supérieure à t = 150 s . ........................................ 80
Figure 3. 4. (a). Positions des capteurs de température (face supérieure), (b). Trajectoire de source
(face inférieure). ................................................................................................................................. 81
Figure 3. 5. Évolution de la température sur la face supérieure de la plaque (problème direct-source
mobile). .............................................................................................................................................. 81
Figure 3. 6. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque. .................. 82
Figure 3. 7. Fonctions de base si ( t ) . ................................................................................................. 84
Figure 3. 8. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas A. 1 : source de chauffe fixe). ...... 88
Figure 3. 9. Flux de chauffe identifié (Cas A. 1 : source de chauffe fixe). ........................................ 88
Figure 3. 10. Température bruitée (Cas A. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures bruitées). . 89
Figure 3. 11. Flux de chauffe (Cas A. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures bruitées)........... 90
Figure 3. 12. Résidu de flux (Cas A. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures bruitées). ........... 90
Figure 3. 13. Température mesurée et simulée (Cas A. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures
bruitées). ............................................................................................................................................. 90
Figure 3. 14. Résidu de température (Cas A. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures bruitées).
............................................................................................................................................................ 90
Figure 3. 15. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas B. 1 : source de chauffe mobile).91
Figure 3. 16. Flux de chauffe (Cas B. 1 : source de chauffe mobile). ............................................... 92
Figure 3. 17. Température bruitée (Cas B.2 : source de chauffe mobile avec des mesures bruitées).
............................................................................................................................................................ 93
Figure 3. 18. Flux de chauffe (Cas B.2 : source de chauffe mobile avec des mesures bruitées). ...... 93
Figure 3. 19. Résidu de flux (Cas B. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures bruitées). ............ 93
Figure 3. 20. Température mesurée et simulée (Cas B. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures
bruitées). ............................................................................................................................................. 94
Figure 3. 21. Résidu de température (Cas B. 2 : source de chauffe fixe avec des mesures bruitées).
............................................................................................................................................................ 94
Figure 3. 22. (a). Positions des capteurs de température (face supérieure), (b). Trajectoire de deux
sources chauffantes (face inférieure). ................................................................................................ 96
Figure 3. 23. Densités des deux flux de chauffe en W.m -2 . .............................................................. 96
Figure 3. 24. Évolution de la température sur la face supérieure de la plaque (problème direct-deux
sources mobiles). ................................................................................................................................ 97
Figure 3. 25. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque. ................ 98
Figure 3. 26. Évolution du critère en fonction des itérations. .......................................................... 100
Figure 3. 27. Densité du flux de chauffe φS1 ( t ) . ............................................................................. 101
Figure 3. 29. Résidu du flux de chauffe φS1 ( t ) ................................................................................ 101
vii
Liste des figures
Figure 3. 30. Résidu du flux de chauffe φS2 ( t ) . .............................................................................. 101
Figure 3. 31. Évolution des résidus de températures. ...................................................................... 102
Figure 3. 32. Température mesurée en présence du bruit de mesure. .............................................. 103
Figure 3. 33. Évolution du critère en fonction des itérations. .......................................................... 103
Figure 3. 36. Résidu du flux de chauffe φS1 ( t ) ................................................................................ 104
Figure 3. 37. Résidu du flux de chauffe φS2 ( t ) . .............................................................................. 104
Figure 3. 38. Évolution des résidus de températures. ...................................................................... 105
Figure 4. 1. (a). Positions des sources et (b). Positions des capteurs. .............................................. 110
Figure 4. 2. Cas A : Les flux de chauffe φS1 ( t ) = φS2 ( t ) = φ ( t ) .................................................... 111
(
)
Figure 4. 3. Cas B : Les flux de chauffe φS1 ( t ) et φS2 ( t ) sont distincts.......................................... 111
Figure 4. 4. Évolution de la température (problème direct – Cas A). .............................................. 111
Figure 4. 5. Exemple de la distribution spatiale (Cas A, pour t = 200 s ) ........................................ 111
Figure 4. 6. Évolution de la température (problème direct – Cas B). .............................................. 111
Figure 4. 7. Évolution de la fonctionnelle J I S1 , I S2 en fonction des itérations k (Cas A. 1). ..... 116
(
)
Figure 4. 8. Évolution de température mesurée en fonction du temps t . ........................................ 117
Figure 4. 9. Évolution des résidus des températures fournies par chaque capteur. ......................... 118
Figure 4. 10. Évolution de la fonctionnelle J I S1 , I S2 en fonction des itérations k (Cas B. 1). ... 119
(
)
Figure 4. 11. Évolution des températures mesurées en fonction du temps t ................................... 120
Figure 4. 12. Évolution du résidu de température en fonction du temps t . ..................................... 121
Figure 4. 13. Localisation de la source chauffante. ......................................................................... 123
Figure 4. 14. Résolution du problème direct (Cas A. 1). ................................................................. 123
Figure 4. 15. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas A. 1).
.......................................................................................................................................................... 124
Figure 4. 16. Évolution des coordonnées sur la face inférieure de la plaque (Cas A.1). ................. 124
Figure 4. 17. Température bruitée pour t f = 2 secondes (Cas A. 2). .............................................. 125
Figure 4. 18. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas A. 2).
.......................................................................................................................................................... 126
Figure 4. 19. Erreur de poursuite pour différentes valeurs du temps final (Cas A. 2). .................... 126
Figure 4. 20. Température bruitée pour t f = 3 secondes (Cas A.3). ............................................... 127
Figure 4. 21. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas A.3).127
Figure 4. 22. Erreur de poursuite pour plusieurs valeurs du temps final (Cas A. 3)........................ 128
Figure 4. 23. Positions des sources. ................................................................................................. 129
Figure 4. 24. Résolution du problème direct (Cas B. 1). ................................................................. 129
Figure 4. 25. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas B. 1).
.......................................................................................................................................................... 130
Figure 4. 26. Évolution des coordonnées des deux sources sur la face inférieure de la plaque (Cas
B.1). .................................................................................................................................................. 130
Figure 4. 27. Température bruitée durant t f = 2 secondes (Cas B.2). ............................................ 131
Figure 4. 28. Évolution du critère et erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas B.2). ...... 132
Figure 4. 29. Évolution d’erreur de poursuite en fonction du temps final (Cas B.2)....................... 133
viii
Liste des figures
Figure 4. 30. Température mesurée pour t f = 10 secondes (Cas B.3). ............................................ 133
Figure 4. 31. Évolution du critère et d’erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas B. 3). .. 134
Figure 4. 32. Évolution de l’erreur de poursuite pour différentes valeurs du temps final (Cas B. 3).
.......................................................................................................................................................... 135
Figure 4. 33. Base des fonctions chapeaux. ..................................................................................... 138
Figure 4. 34. Trajectoire de la source mobile. ................................................................................. 138
Figure 4. 35. Évolution de la température en fonction du temps. .................................................... 139
Figure 4. 36. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque. .............. 140
Figure 4. 37. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas A. 1). ........................................ 145
k =0
Figure 4. 38. Évolution des trois trajectoires ( I ( t ) = I ∗ : trajectoire réelle (désirée), I ( t ) :
trajectoire initiale et I ( t )
: trajectoire identifiée après 13 itérations en fonction du temps t ). . 146
Figure 4. 39. Résidu de température en fonction du temps.............................................................. 147
Figure 4. 40. Évolution de la température bruitée (Cas A. 2). ......................................................... 148
k =13
(
Figure 4. 41. Évolution temporelle des trajectoires I * ( t ) , I ( t )
k =0
, I (t )
k =2
) . ................................ 148
Figure 4. 42. Évolution du résidu de température en fonction du temps t . ..................................... 148
Figure 5. 1. Flux de chauffe. ............................................................................................................ 156
Figure 5. 2. Position de la source chauffante. .................................................................................. 157
Figure 5. 3. Évolution de la température. ......................................................................................... 157
Figure 5. 4. Distribution spatiale de température à t = t f . ............................................................... 157
Figure 5. 5. Évolution du critère (Cas A. 1). .................................................................................... 162
Figure 5. 6. Flux identifié et flux réel (Cas A. 1). ............................................................................ 162
Figure 5. 7. Évolution de la température mesurée en fonction du temps t (Cas A. 2). ................... 163
Figure 5. 8. Valeurs du résidu de température en fonction du temps (Cas A. 2). ............................ 164
Figure 5. 9. Intensité du flux de chauffe (Cas B. 1). ........................................................................ 165
Figure 5. 10. Évolution de température (Cas B. 1). ......................................................................... 165
Figure 5. 11. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas B. 1).......................................... 165
Figure 5. 12. Flux de chauffe réel et identifié (Cas B. 1)................................................................. 165
Figure 5. 13. Évolution de la température mesurée en fonction du temps t (Cas B. 2). ................. 166
Figure 5. 14. Valeurs du résidu de température en fonction du temps (Cas B. 2). .......................... 167
Figure 5. 15. Puissance du flux de chauffe en W.m -2 . .................................................................... 169
Figure 5. 16. Température fournie par les trois capteurs. ................................................................ 170
Figure 5. 17. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque. .............. 170
Figure 5. 18. Évolution du critère en fonction des itérations k (Cas C. 1). .................................... 173
Figure 5. 19. Trajectoires initiale I ( t )
k =0
, réelle I * ( t ) et identifiée I ( t )
k =1293
(Cas C. 1). ........... 174
Figure 5. 20. Flux de chauffe réel φ * ( t ) et identifié φ k =1293 ( t ) en fonction du temps t (Cas C. 1).
.......................................................................................................................................................... 174
Figure 5. 21. Évolution de la température mesurée (bruitée), Cas C. 2. .......................................... 174
Figure 5. 22. Évolution des résidus de température en fonction du temps t (Cas C. 2).................. 175
Figure 5. 23. Température simulée par la résolution du problème direct (Cas D. 1)....................... 177
Figure 5. 24. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque (Cas D. 1).
.......................................................................................................................................................... 177
Figure 5. 25. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas D. 1). ........................................ 178
Figure 5. 26. Trajectoire désirée (réelle), initiale et identifiée (Cas D. 1). ...................................... 179
Figure 5. 27. Flux de chauffe réel et identifié (Cas D. 1). ............................................................... 179
ix
Liste des figures
Figure 5. 28. Évolution de la température mesurée (Cas D. 2). ....................................................... 179
Figure 5. 29. Évolution du résidu de température en fonction du temps t (Cas D. 2). ................... 180
Figure 6. 1. Montage expérimental. ................................................................................................. 186
Figure 6. 2. Schéma de dispositif. .................................................................................................... 187
Figure 6. 3. Positions des capteurs (face supérieure de la plaque). .................................................. 188
Figure 6. 4. Évolution de température en fonction de temps t . ....................................................... 188
Figure 6. 5. Évolution de la fonctionnelle J ( I S ) en fonction des itérations. ................................. 190
Figure 6. 6. Évolution des coordonnées de la source sur la face inférieure de la plaque. ............... 191
Figure 6. 7. Évolution de la fonctionnelle J (φ ( t ) ; I S ) en fonction des itérations. ......................... 193
Figure 6. 8. Flux de chauffe identifié. .............................................................................................. 193
Figure 7. 1. Platine de translation M-IMSPP ................................................................................... 198
Figure 7. 2. Module de contrôle ESP301 des platines de translation............................................... 198
Figure A. 1. Positions des sources. .................................................................................................. 201
Figure A. 2. Résultat de la résolution du problème direct (Cas C.1). .............................................. 201
Figure A. 3. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas C.1). ........................................... 202
Figure A. 4. Évolution des coordonnées de sources sur la face inférieure de la plaque (Cas C.1).. 202
Figure A. 5. Température mesurée pour t f = 8 secondes (Cas C. 2)............................................... 203
Figure A. 6. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas C. 2). 204
Figure A. 7. Évolution de l’erreur de poursuite pour plusieurs valeurs de temps final (Cas C. 2). . 205
Figure A. 8. Température bruitée pour t f = 16 secondes (Cas C. 3). .............................................. 205
Figure A. 9. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations (Cas C. 3). 206
Figure A. 10. Évolution d’erreur de poursuite pour différents temps final (Cas C. 3). ................... 207
Figure B. 1. Évolution du critère en fonction des itérations k (Cas B. 1)....................................... 209
(
Figure B. 2. Évolution des trajectoires I * ( t ) , I ( t )
k =0
, I (t )
k =133
) en fonction du temps t . ........... 210
Figure B. 3. Résidu de température en fonction du temps. .............................................................. 210
Figure B. 4. Évolution de la température bruitée (Cas B. 2)............................................................ 211
Figure B. 5. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas B. 2). .......................................... 212
Figure B. 6. Évolution des trajectoires ( I * ( t ) , I k =0 ( t ) , I k =10 ( t ) ) en fonction du temps t . ............ 212
Figure B. 7. Évolution du résidu de température en fonction du temps t . ...................................... 212
Figure B. 8. Densité du flux de chauffe φ ( t ) . ................................................................................. 213
Figure B. 9. Résolution du problème direct. .................................................................................... 214
Figure B. 10. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque. .............. 215
Figure B. 11. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas C. 1). ........................................ 215
Figure B. 12. Évolution des trajectoires ( I * ( t ) , I k =0 ( t ) , I k =72 ( t ) ) en fonction du temps t . .......... 216
Figure B. 13. Résidu de température en fonction du temps. ............................................................ 216
Figure B. 14. Mesures bruitées. ....................................................................................................... 217
(
Figure B. 15. Évolution des trajectoires I ( t )
k =0
, I * (t ) , I (t )
k = 65
) en fonction du temps. ............. 218
x
Liste des figures
Figure B. 16. Évolution du résidu de température en fonction du temps t . .................................... 218
Figure C. 1. Panneau d’avant du contrôleur EPS 301. ..................................................................... 221
Figure C. 2. Fenêtre de démarrage du logiciel. ................................................................................ 223
Figure C. 3. Interface de communication. ........................................................................................ 223
Figure C. 4. Phase de recherche des axes. ....................................................................................... 224
Figure C. 5. Détection des axes connectés. ...................................................................................... 224
Figure C. 6. Démarrage de moteurs de deux bancs connectés. ........................................................ 224
Figure C. 7. Remise à zéro de déplacement de deux bancs. ............................................................ 225
Figure C. 8. Déplacement de deux bancs. ........................................................................................ 225
Figure C. 9. Arrêt d’urgence de déplacements................................................................................. 226
Figure C. 10. Détection de limite d’un axe. ..................................................................................... 227
Figure C. 11. Lecture du nombre de cycles effectués. ..................................................................... 227
Figure C. 12. Option de la commande ‘Home’. ............................................................................... 228
Figure C. 13. Programme à exécuter sous EPS 301......................................................................... 228
Figure C. 14. Exemple d’une trajectoire désirée d’une platine de translation. ................................ 230
Liste des Tableaux
Tableau 1. 1. Solution exacte de l’équation Aˆ5 xˆ = yˆ . ........................................................................ 31
Tableau 1. 2. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations (cas non bruité). ...... 32
Tableau 1. 3. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations (cas non bruité). ............... 32
Tableau 1. 4. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations (mesures bruitées). .. 33
Tableau 1. 5. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations (mesures bruitées). .......... 34
Tableau 1. 6. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations (matrice bruitée). .... 35
Tableau 1. 7. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations (matrice bruitée). ............. 35
Tableau 1. 8. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations (matrice et mesures
bruitées). ............................................................................................................................................. 37
Tableau 1. 9. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations (matrice et mesures
bruitées). ............................................................................................................................................. 37
Tableau 2. 1. Notations et définition des paramètres. ........................................................................ 53
Tableau 2. 2. Les valeurs de la fonctionnelle J (φ ( t ) ) et de l’erreur de poursuite EP (φ ( t ) ) (cas
non bruité). ......................................................................................................................................... 71
Tableau 2. 3. Valeurs moyennes et écart-types des résidus de température. ..................................... 72
Tableau 2. 4. Les valeurs de la fonctionnelle J (φ ( t ) ) et de l’erreur de poursuite EP (φ ( t ) ) en
fonction des itérations (cas bruité). .................................................................................................... 72
Tableau 2. 5. Valeurs moyennes et écart-types des résidus de température. ..................................... 74
Tableau 3. 1. Données du problème. .................................................................................................. 79
Tableau 3. 2. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas A. 2). ......................................... 89
Tableau 3. 3. Erreurs de température pour une source fixe en présence du bruit de mesure (Cas A.
2). ....................................................................................................................................................... 91
Tableau 3. 4. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 2). ......................................... 93
Tableau 3. 5. Erreurs de température pour une source mobile en présence du bruit de mesure (Cas
B. 2). ................................................................................................................................................... 94
Tableau 3. 6. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 1). ....................................... 101
Tableau 3. 7. Valeurs des résidus températures pour chaque capteur Cm (Cas C. 1)...................... 102
Tableau 4. 1. Données du problème. ................................................................................................ 110
Tableau 4. 2. Valeurs du critère (Cas A. 1)...................................................................................... 116
Tableau 4. 3. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas A. 1). ............................................. 116
Tableau 4. 4. Valeurs du critère (Cas A. 2)...................................................................................... 117
xii
Liste des tableaux
Tableau 4. 5. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas A. 2). ............................................. 117
Tableau 4. 6. Résidus de température (Cas A. 2). ............................................................................ 118
Tableau 4. 7 . Valeurs du critère (Cas B. 1). .................................................................................... 119
Tableau 4. 8. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas B. 1). ............................................. 119
Tableau 4. 9. Valeurs du critère (Cas B. 2). ..................................................................................... 120
Tableau 4. 10. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas B. 2). ........................................... 120
Tableau 4. 11. Résidus de température (Cas B. 2). .......................................................................... 121
Tableau 4. 12. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas A. 1). ..................................... 124
Tableau 4. 13. Coordonnées de source en fonction des itérations k (Cas A. 1). ............................ 125
Tableau 4. 14. Valeurs du critère et erreur de poursuite en fonction des itérations k (Cas A. 2). .. 125
Tableau 4. 15. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Cas A. 2). ........................ 127
Tableau 4. 16. Valeurs du critère et d’erreur de poursuite en fonction des itérations k (Cas A.3).
.......................................................................................................................................................... 128
Tableau 4. 17. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Cas A.3). ......................... 128
Tableau 4. 18. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 1). ..................................... 130
Tableau 4. 19. Coordonnées des sources en fonction des itérations k (Cas B.1). .......................... 131
Tableau 4. 20. Valeurs du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k ............. 132
Tableau 4. 21. Coordonnées de la source en fonction des itérations k . .......................................... 132
Tableau 4. 22. Valeurs du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k (Cas B. 3).
.......................................................................................................................................................... 134
Tableau 4. 23. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Cas B. 3).......................... 134
Tableau 4. 25. Résidus de température (Cas A. 1). .......................................................................... 147
Tableau 4. 27. Résidus de température (Cas A. 2). .......................................................................... 149
Tableau 4. 28. Résidus des coordonnées de la trajectoire. ............................................................... 149
Tableau 5. 1. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas A. 1). ....................................... 162
Tableau 5. 2. Coordonnées identifiées en fonction des itérations k (Cas A. 1). ............................. 162
Tableau 5. 3. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas A. 2). ....................................... 163
Tableau 5. 4. Coordonnées identifiées en fonction des itérations k (Cas A. 2). ............................. 163
Tableau 5. 5. Résidus de température (Cas A. 2). ............................................................................ 164
Tableau 5. 6. Valeurs du critère en fonction des itérations (Cas B. 1). ........................................... 166
Tableau 5. 7. Valeurs des coordonnées en fonctions des itérations (Cas B. 1)................................ 166
Tableau 5. 8. Évolution du critère en fonction des itérations k (Cas B. 2). .................................... 167
Tableau 5. 9. Évolution des coordonnées en fonction des itérations k (Cas B. 2). ........................ 167
Tableau 5. 10. Résidus de température (Cas B. 2). .......................................................................... 168
Tableau 5. 11. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 1). ..................................... 173
Tableau 5. 12. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 2). ..................................... 175
Tableau 5. 13. Résidus de température (Cas C. 2). .......................................................................... 176
Tableau 5. 14. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas C. 2). ............................................. 176
Tableau 5. 15. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas D. 1). ..................................... 178
Tableau 5. 16. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas D. 2). ..................................... 180
Tableau 5. 17. Résidus de température (Cas D. 2). .......................................................................... 181
Tableau 5. 18. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas D. 2). ............................................. 181
Liste des tableaux
xiii
Tableau 6. 1. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Problème de la localisation). ......... 190
Tableau 6. 2. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Problème de la localisation).
.......................................................................................................................................................... 191
Tableau 6. 3. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Problème d’estimation simultanée
(φ ( t ) ; I S ) )........................................................................................................................................ 193
Tableau 6. 4. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Problème d’estimation
simultanée (φ ( t ) ; I S ) ). .................................................................................................................... 194
Tableau A. 1. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C.1). ....................................... 202
Tableau A. 2. Valeurs des coordonnées de sources en fonction des itérations k (Cas C.1). .......... 203
Tableau A. 3. Valeur du critère et d’erreur de poursuite k (Cas C.2). ............................................ 204
Tableau A. 4. Coordonnées des sources en fonction des itérations k (Cas C.2). ........................... 204
Tableau A. 5. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 3). ...................................... 206
Tableau A. 6. Coordonnées des sources en fonction des itérations k (Cas C. 3). .......................... 206
Tableau B. 1. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 1). ...................................... 210
Tableau B. 2. Résidus de température (Cas B. 1). ........................................................................... 211
Tableau B. 3. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 2). ...................................... 212
Tableau B. 4. Résidus de température (Cas B. 2). ........................................................................... 213
Tableau B. 5. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas B. 2). ............................................... 213
Tableau B. 6. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 1). ...................................... 215
Tableau B. 7. Résidus de température (Cas C. 1). ........................................................................... 216
Tableau B. 8. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas C. 1). ............................................... 217
Tableau B. 9. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 2). ...................................... 217
Tableau B. 10. Résidus de température (Cas C. 2). ......................................................................... 218
Tableau B. 11. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas C. 2). ............................................. 218
Nomenclature
Symbole
Description
Unité
θ
θˆ
θ0
δθ
Température simulée
Température mesurée
Température initiale
Variation de température
Domaine géométrique étudié
Frontière de Ω
Vecteur unitaire normal dirigé vers l’extérieur à la frontière ∂Ω
K
K
K
Variable d’espace
Variable de temps
Temps final
m
s
s
Intervalle de temps T = 0, t f 
Pas d’échantillonnage
Nombre de pas d’échantillonnage
s
Conductivité thermique du matériau
Chaleur volumique
Diffusivité thermique
Coefficient d’échange convectif
W.m −1.K −1
J.m −3 .K −1
m 2 .s -1
W.m −2 .K −1
Intensité du flux de chauffe
W.m −2
Φ
Flux de chaleur
W.m −2
Cm
Capteur de température numéro m
Nombre de capteurs
Ω
∂Ω = Γ
r
n
( x, y , z )
t
tf
T
∆T
Nt
λ
ρc
α
h
φ (t )
NC
Nm
Sj
Nombre de mesures effectuées par chaque capteur C
Source de chauffe numéro j
NS
I
(X,Z)
Nombre de source de chauffe
Centre de la source de chauffe
Coordonnées du centre de la source de chauffe
D
r
R
Coordonnées du capteur C
Disque de chauffe
Rayon de la source de chauffe
Rayon de la trajectoire de la source
( xC , yC , zC )
K
s
m
m
m
m
m
xvi
J
∇J
J stop
H
l
Nomenclature
Fonctionnelle à minimiser
Gradient de la fonctionnelle à minimiser J
Test d’arrêt
Hessien de la fonctionnelle
Lagrangien de la fonctionnelle
γ
d
Direction de descente
Profondeur de descente
δD
µ
Distribution de Dirac
Paramètre de régularisation
k
maxiter
Nombre d’itérations
Nombre maximal des itérations
ψ
si
tr
Fonction adjointe
Fonction chapeau
Transposée d’une matrice
.
Norme Euclidienne
.,.
2
L
Produit scalaire
Espace des fonctions carrées intégrables
Abréviations :
EDPs
PDCC
PICC-1D
PICC-3D
MGC
FKD
Équations aux dérivées partielles
Problème Direct de la Conduction de Chaleur
Problème Inverse unidimensionnel de la Conduction de Chaleur
Problème Inverse tridimensionnel de la Conduction de Chaleur
Méthode du Gradient Conjugué
Filtre de Kalman Discret
Introduction générale
Au cours des dernières décennies, de nombreuses avancées technologiques ont été réalisées à
l’aide de nouveaux matériaux aux comportements très spécifiques. L’élaboration de ces derniers
requiert une attention particulière. Dans certains cas, lorsque certaines propriétés sont
insuffisamment connues (ou maîtrisées), une démarche d’identification paramétrique doit être mise
en place. Le domaine de l’identification fait, depuis plusieurs siècles, l’objet de recherches actives
illustrées dans de nombreux champs applicatifs (génie civil, génie thermique, génie électrique, ...).
En effet, elles peuvent permettre de répondre à divers intérêts industriels : l'identification du
comportement dynamique des systèmes, l'estimation des effets du bruit, le diagnostic, la
commande, …
L’identification par minimisation de l’erreur de sortie (différence entre les sorties du modèle
mathématique et celles obtenues expérimentalement) nécessite de récolter des informations
pertinentes. À titre d’exemple dans le cadre du domaine de génie thermique, les observations
peuvent être recueillies ponctuellement (thermocouple de très petite dimension, par exemple), selon
une ligne (pyromètre à balayage, par exemple), ou sur une surface (à l’aide d’une caméra
infrarouge). Néanmoins ces observations sont en général incertaines et ces erreurs expérimentales
conduisent à des résultats erronés sur les paramètres estimés.
Le sujet de recherche étudié concerne l’identification paramétrique au sein de problèmes
tridimensionnels dans le cadre du génie thermique. L’objectif de l’identification d’un ou plusieurs
paramètres inconnus lors d’un transfert thermique est atteint en résolvant un « problème inverse ».
Dans le contexte des études abordées dans ce document, l’état du système thermique satisfait un
modèle mathématique décrit par un ensemble d’équations aux dérivées partielles (EDPs)
paraboliques. Celles-ci décrivent l’évolution de la température en tout point et à chaque instant au
sein du volume étudié à partir de conditions initiales et considérant des conditions aux limites. Il est
très fréquent que la résolution de ce problème inverse soit basée sur la minimisation d’une
fonctionnelle décrivant l’écart quadratique entre les observations (issues de mesures pratiques) et
les simulations (issues de calculs numériques). Dans le cas des problèmes inverses de conduction de
2
la chaleur (PICC), la solution mathématique du problème inverse n’est pas stable (le comportement
mal posé au sens d’Hadamard des PICC est bien connu). Afin de palier cette difficulté, une méthode
de régularisation doit être mise en œuvre dans le but de réduire l’effet des incertitudes. Parmi les
méthodes de régularisation ordinairement utilisées en thermique, il est usuel de citer la méthode de
régularisation de Tikhonov, la méthode de spécification de fonction (méthode de Beck) ou encore la
méthode de la décomposition en valeurs singulières. Le choix optimal du coefficient de
régularisation nécessaire à ces techniques les rend délicates à mettre en œuvre. Une autre approche
consiste à développer une méthode de régularisation itérative qui permet de régulariser la solution
recherchée au cours des itérations afin de minimiser la fonctionnelle quadratique et donc
d’identifier le paramètre inconnu.
Bien que de nombreux travaux aient traités dans la littérature de la mise en œuvre d’une
méthode de régularisation itérative en génie thermique (unidimensionnel et bidimensionnel), la
résolution d’un problème inverse tridimensionnel demeure toujours un sujet moins abordé à cause
de la complexité apportée par la géométrie (point de vue mathématique), du temps de calcul
nécessaire à la résolution itérative du problème inverse (point de vue numérique) et enfin des
aspects pratiques lors du développement d’un dispositif de test (point de vue expérimental).
Dans ce qui suit, la préoccupation majeure concerne l’identification paramétrique d’un ou
plusieurs paramètres inconnus au sein d’une géométrie tridimensionnelle en résolvant un Problème
Inverse de la Conduction de Chaleur (PICC-3D). Plusieurs méthodes de résolution des PICC-1D
seront abordées en les détaillant avec un exemple de mise œuvre. Les résultats obtenus seront
analysés afin d’adopter la méthode plus pertinente utilisée par la suite pour des problèmes plus
complexes : PICC-3D. Afin de valider la robustesse de la méthode choisie, des expérimentations
seront mises en places.
Dans ce contexte et compte tenu de la multidisciplinarité du sujet, une collaboration a été
développée entre deux laboratoires de recherche de l’Ouest de la France : le Laboratoire
d’Ingénierie et Systèmes Automatisés (LISA) de l’université d’Angers et le Laboratoire de
Thermocinétique de Nantes (LTN) de l’université de Nantes.
Pour ce faire, ce document est structuré comme suit.
3
Dans le premier chapitre, une présentation générale des problèmes inverses est proposée. Une
définition est donnée et divers contextes applicatifs illustrent le propos. Différentes méthodes de
résolution utilisées dans des domaines variés de l’ingénierie sont décrites. Le second point abordé
dans ce chapitre introductif est dédié à la mise en œuvre de la méthode itérative du gradient
conjugué pour résoudre un problème inverse académique formulé par des matrices mal
conditionnées d’Hilbert. Les résultats obtenus sont analysés sans et en présence de coefficients
bruités. Le troisième point de ce chapitre porte sur la mise en œuvre d’une technique de filtrage
classique (filtre de Kalman discret) pour de la résolution d’un problème inverse didactique (étude
d’un circuit RLC). À la fin de ce chapitre introductif, un bref bilan est proposé.
Le second chapitre a pour objet de présenter les problèmes inverses dans le contexte du génie
thermique. Une introduction permet de présenter succinctement les différents modes de transport de
chaleur ainsi que quelques informations relatives aux techniques de mesure de température. Le
second point de ce chapitre dresse quelques repères historiques relatifs aux PICC. Un exemple
unidimensionnel est ensuite exposé. Deux méthodes sont détaillées : Méthode de régularisation
itérative du Gradient Conjugué (MGC) et le Filtre de Kalman Discret (FKD). Une comparaison des
résultats obtenus à l’aide des deux approches est effectuée. Ce dernier point est suivi d’un bilan du
chapitre.
Dans le troisième chapitre, une attention particulière est apportée aux problèmes inverses
tridimensionnels de la conduction de chaleur PICC-3D. Deux études sont effectuées et présentées
en détails : la première vise à identifier la densité d’un flux de chauffe surfacique fournie par une
source fixe ou mobile et la deuxième étude porte sur l’estimation des flux délivrés par deux sources
mobiles différentes. Les objectifs souhaités sont atteints par la mise en œuvre de la méthode du
gradient conjugué. Plusieurs configurations sont exposées. Les résultats de simulations numériques
sont obtenus en utilisant le solveur de Comsol MultiphysicsTM interfacé avec Matlab® (pour divers
types de matériaux (conducteur, isolant), sans et en présence des mesures bruitées ou incertaines,
dans le cadre d’une source fixe ou mobile ou même plusieurs sources mobiles) afin de valider les
démarches suivies.
Le quatrième chapitre est dédié à la localisation d’une ou plusieurs sources chauffantes
surfaciques par le biais de la même méthode de régularisation itérative du gradient conjugué. Trois
études sont effectuées : la première consiste à estimer les coordonnées de deux sources chauffantes
fixes surfaciques ; la seconde étude concerne l’estimation des coordonnées d’une, deux et trois
4
sources fixes sur la face inférieure d’une plaque de géométrie tridimensionnelle en temps réduit. La
dernière étude est consacrée à identifier la trajectoire d’une source de chauffe mobile en utilisant la
même méthode.
Le cinquième chapitre est relatif à l’identification du couple puissance & trajectoire en
combinant les démarches suivies dans les troisième et quatrième chapitres. La première étude a
pour objectif de localiser une source de chauffe fixe et d’estimer sa puissance de chauffe fournie (à
l’aide d’un seul ensemble d’observations). Pour ce faire, une adaptation spécifique de l’algorithme
du gradient conjugué est proposée afin qu’il soit mis en œuvre de manière séquentielle. Plusieurs
simulations et exemples numériques sont présentés dans le but de valider l’approche retenue. Le
second point de ce chapitre vise à estimer la trajectoire et la puissance d’une source de chauffe
surfacique mobile. Divers exemples numériques sont traités et les résultats obtenus sont analysés. À
la fin de ce chapitre, quelques perspectives sont discutées.
En parallèle des précédents aspects méthodologiques, une étude expérimentale développée au
sein du LISA est présentée dans le sixième et dernier chapitre. Il s’agit de considérer une plaque
soumise à une source de chauffe fixe sur une de ses faces. Sur la face opposée une caméra
infrarouge permet de disposer de cartographies de température. La localisation de la source et
l’identification du flux chauffant sont réalisées considérant les informations fournies par trois
pixels. La robustesse de la méthode du gradient conjugué proposée est étudiée dans ce contexte
expérimental. À la fin de ce chapitre, un bref bilan est proposé.
Ce document se clôt par une discussion générale sur l’ensemble des travaux réalisés lors de
cette thèse et sur ses perspectives à court et moyen terme (quelques annexes sont fournies afin de
compléter les explications de certains résultats précédemment abordés).
CHAPITRE 1
État de l’art
Sommaire
1.
Problème inverse ......................................................................................................................... 5
1.1.
Au sujet des problèmes inverses .......................................................................................... 5
1.2.
Caractéristiques des problèmes inverses .............................................................................. 7
1.3.
Diverses applications des problèmes inverses ..................................................................... 8
1.4.
Méthodes de minimisation ................................................................................................. 11
1.5.
Régularisation des problèmes inverses .............................................................................. 21
2. Méthode du gradient conjugué pour résoudre des systèmes linéaires ....................................... 26
2.1.
Illustration du caractère mal posé ...................................................................................... 26
2.2.
Méthode du gradient conjugué (MGC) .............................................................................. 29
2.3.
Mise en œuvre de la MGC pour les matrices d’Hilbert ..................................................... 30
2.4.
Analyses des résultats ........................................................................................................ 38
3. Mise en œuvre du filtre de Kalman pour l’identification paramétrique .................................... 38
3.1.
Modélisation du système électrique ................................................................................... 38
3.2.
Discrétisation du modèle mathématique ............................................................................ 40
3.3.
Filtre de Kalman discret ..................................................................................................... 41
3.4.
Mise en œuvre du FKD pour le circuit RLC ...................................................................... 42
1. Problème inverse
1.1.
Au sujet des problèmes inverses
La notion de problème inverse repose sur la démarche scientifique qui a pour objectif de
déterminer les causes d’un phénomène (physique, mathématique, biologique, …) à partir de
l’observation de ses effets (mesures par exemple). Parmi les définitions les plus générales et
abondamment citées dans la littérature relative aux problèmes inverses, celle donnée dans [Keller,
1976] peut être citée :
"We call two problems inverses of one another if the formulation of each involves all or part
of the solution of the other. Often, for historical reasons, one of the two problems has been
studied extensively for some time, while the other is newer and not so well understood. In
6
Chapitre 1. État de l’art
such cases, the former is called the direct problem, while the latter is called the inverse
problem".
Cette définition peut être complétée par le schéma suivant établissant la distinction entre les
problèmes inverses et problèmes directs proposé par [Menke, 1989] :
Figure 1. 1. Distinction entre le problème direct (flèches vertes) et
le problème inverse (flèches rouges).
Avant même que cette notion de problème inverse soit formalisée et ce de manière
communément admise par plusieurs disciplines scientifiques, de nombreux problèmes classiques (et
relativement anciens) avaient été posés sous une forme s’y rattachant :
Le problème de la courbe brachistochrone semble avoir été initialement proposé par Galilée
(1633). Il s’agit de trouver la forme de la courbe dans un plan vertical sur laquelle un point
matériel pesant placé dans un champ de pesanteur uniforme, glissant sans frottement et sans
vitesse initiale, présente un temps de parcours minimal parmi toutes les courbes joignant deux
points fixés. Ici l’effet est « le temps de parcours minimal », la cause étant « la forme de la
courbe ». Ce problème d’optimisation de forme (dont Galilée donna une solution erronée) fut
l’un des premiers exemples de calcul variationnel et résolu en 1696 (plusieurs scientifiques y
contribuèrent : les frères Jean et Jacques Bernoulli, Newton, Leibniz, L'Hôpital, …)
Le problème du toboggan d’Abel a été formalisé en 1823 (cf. [De Verdière et Truc, 2009],
[Abel, 1826 & 1881]). Il s’agit de déterminer la forme d’un toboggan (courbe dans un plan
vertical) disposant d’une bille d’énergie cinétique initiale Ec (glissant sans frottement) et
connaissant son temps d’arrivée T . Si Ec varie et que l’on mesure T ( Ec ) peut on déterminer
la forme du toboggan ? Une variante est présente dans [De Verdière et Truc, 2009] en
considérant une vitesse initiale nulle et en faisant varier la hauteur initiale H . Est-ce que la
mesure de T ( H ) permet de déterminer la forme ?
Dans le domaine de la thermique, la méthode d’Angström datant de 1861 peut être citée. Cette
méthode, qui consiste à étudier dans un barreau cylindrique la propagation d’un signal
périodique de température permet de déterminer la diffusivité thermique (rapport de la
7
conductivité thermique à la chaleur volumique) du matériau testé ([Angström, 1861] et
[Gatecel et Weill, 1962]).
La formulation plus générale des problèmes inverses est en partie issue des travaux du
physicien Soviétique Arménien Viktor Hambardzumyan (1908-1996) relatifs à la physique
quantique. Ayant observé l’analogie entre les niveaux d’énergie discrets et les valeurs propres
des équations différentielles, il se posa la question suivante [Hambardzumyan, 1929] : "given a
family of eigenvalues, is it possible to find the form of the equations whose eigenvalues they
are ?" Ce travail de Hambardzumyan dans la revue allemande de physique Zeitschrift für
Physik en 1929 propose une formalisation générale adaptée à l’étude de différents problèmes
inverses dans diverses disciplines.
1.2.
Caractéristiques des problèmes inverses
La notion des problèmes mal posés a été introduite pour la première fois par le mathématicien
français Jacques Hadamard (1865-1963) dans [Hadamard, 1932]. Pour comprendre cette notion,
considérons un problème inverse s’écrivant sous forme matricielle tel que : Ax = y où y est le
vecteur de sortie du système, x le vecteur d’état du système, et A est un opérateur linéaire (matrice
inversible) qui décrit la relation entrée-sortie.
Selon la définition de [Hadamard, 1932], un problème est bien posé, si et seulement si :
• existence : il existe une solution x à l’équation Ax = y .
• unicité : cette solution est unique.
• stabilité : lorsqu’il existe des faibles variations sur les coefficients de la matrice d’état du
modèle A ou sur le vecteur de sortie du système y , ces variations entrainent de faibles
variations sur la solution x .
Si au moins l’une des conditions précédentes n’est pas satisfaite alors le problème inverse est dit
« mal posé ». Pour les problèmes inverses issus de la physique (identification paramétrique en
thermique par exemple), l’existence d’une solution est en général établie (si le modèle
mathématique est en adéquation avec le système physique). Il en est de même pour l’unicité de la
solution lorsque les paramètres inconnus sont des propriétés du matériau. En revanche, la stabilité
n’est pas toujours assurée et par exemple, de faible erreurs de mesure sur y peuvent s’avérer
dramatiques sur la qualité de l’estimation de x .
Dans le cas de la résolution d’un système de type Ax = y , la notion de stabilité est directement liée
au conditionnement de la matrice A .
8
Définition 2.1.
Soit C le nombre de conditionnement exprimé par C =
max ui
i
min ui
( ui étant les valeurs
i
propores de cf. [Neumann et Goldstine, 1947], [Gregory et Karney, 1969]). Ce nombre définit aussi
u ( A)
−1
une mesure de la stabilité du problème étudié tel que : C = A A = n
, (où u1 ( A) , et un ( A )
u1 ( A )
sont respectivement la plus petite et la plus grande valeur propre de la matrice A ), sachant que
est la norme Euclidienne.
Une matrice est dite « bien conditionnée » (ce qui implique que le problème : « connaissant
A et y , trouver x tel que Ax = y » est stable) si la valeur de C est proche de 1, et « mal
conditionnée » si C
1.
Il est à noter que les problèmes inverses sont en général mal posés au sens d’Hadamard
[Hadamard, 1932]. Dans la section suivante, de nombreux problèmes inverses sont brièvement
décrits afin d’illustrer la grande variété des applications aussi bien dans le domaine académique que
dans le domaine industriel.
1.3.
Diverses applications des problèmes inverses
Durant les trois derniers siècles, les problèmes inverses se sont généralisés à divers domaines
de l’ingénierie et ce pour différents champs d’applications (industriels et/ou académiques). Leurs
impacts industriels et économiques sont de première importance et justifient l’intérêt de nombreuses
unités de formation et de recherche. Parmi les multiples secteurs d’applications, la liste non
exhaustive suivante peut être considérée :
•
Imagerie/vision : une configuration classique en imagerie consiste en la reconstruction de
cartes ou de scènes tridimensionnelles à partir de plusieurs données GPS ou satellitaires
(photographies). Un autre objectif abondamment traité dans le domaine du traitement d’image
[Bertero et Boccacci, 1998] concerne la restauration de la netteté d’images hautes résolutions à
partir d’une ou plusieurs images dégradées et/ou floues (problèmes de déconvolution
[Mohammad-Djafari, 1997], [Demoment, et al., 2001]). L'estimation de mouvement dans une
séquence d'images ou encore la séparation de plusieurs images mélangées, la reconstruction de
formes à partir d'ombrages [Devir, et al.] sont autant d’applications de grand intérêt. Les
problèmes inverses en traitement d’image doivent être formulés d’une manière adéquate afin de
s’adapter à des classes d’applications bien spécifiques. Le cas de l’imagerie médicale illustre le
9
propos : reconstructions des os ; vaisseaux ou organes ; détection des maladies ; Échographie ;
Tomographie par rayons X [Hunt, 1970], [Kern, 2002-2003], …
•
Génie chimique : une première étude des problèmes inverses dans ce domaine a été introduite
par [Goldman, et al., 2000] dans le contexte de la recherche pharmaceutiques. Suite à cette
étude [Xueliang, et al., 2003] ont proposé une étude dédiée à la détermination des quatre indices
topologiques (indice σ , indice c , indice Z et l’indice M 1 ) en chimie combinatoire. D’autres
démarches ont été menées à bien afin d’extraire des informations concernant les composantes
chimiques intervenant lors des réactions chimiques [Santosa et Weitzy]. Enfin, la détermination
des propriétés des éléments moléculaires en se basant sur des données expérimentales est
proposée dans [Kochikov, et al., 2000].
•
Hydrogéologie : la plupart des problèmes inverses traités dans ce domaine sont basés sur les
données des charges hydrauliques (ces charges étant fournies par la mesure du niveau d’eau à
l’aide d’un piézomètre). Les applications concernent, par exemple, le traitement d’eaux
souterraines, la détermination de zones de protection autour de puits de captages, l’identification
du champ de perméabilité ou de la conductivité hydraulique, … Pour plus de détails, quelques
références peuvent être citées [Yeh, 1986], [De Marsily, et al., 1999], [Carrera, et al., 2005], …
•
Génie civil : plusieurs types de problèmes inverses sont considérés dans ce domaine. À titre
d’exemple et parmi les problèmes récemment traités : la détection des hétérogénéités physiques
et géométriques de structures civiles [Potetyunko, et al., 2005], l’identification des
caractéristiques électromagnétiques des matériaux utilisés en génie civil comme la
détermination de la permittivité diélectrique des bétons hydrauliques et bitumineux [Adous,
2006]. La reconstruction de la température dans les structures du génie civil (unidimensionnel et
tridimensionnel) associée à une démarche expérimentale a été traitée dans la thèse de
[Nassiopoulos, 2008].
•
Sismologie : parmi les différents cas traités dans ce domaine, il est possible de citer : la
détermination des structures de l’écorce terrestre à différentes profondeurs et à différents
endroits dans le but de localiser des nouvelles sources de minéraux, des combustibles fossiles
(pétrole, charbon, gaz naturel), l’eau... [Averill, et al., 2007]. Étant donné un modèle de
propagation des ondes sismiques, l’estimation de paramètres du sous-sol (l’impédance
10
acoustique et les conditions de pression) a été réalisée par la résolution d’un problème inverse
bidimensionnel [Métivier, 2011]. La prédiction de la vitesse d’onde acoustique au sein d’un
dispositif de foret situé au centre d’un puits de forage (considéré comme une source sismique) a
été traitée par [Santos, 2002]. D’autres types de problèmes inverses dans le domaine de
sismologie ont été résolus dans [Gray et Mcmechan, 1995], [Alekseev et Mikhailenko, 1999],
[Stolk, 2000] et [Belonosov et Skazka, 2008].
•
Géophysiques : plusieurs problèmes inverses ont été résolus dans ce domaine, parmi lesquels le
traitement de données recueillies à partir de la surface afin de construire des images des
structures souterraines [Marescot], ou encore plus récemment, l’estimation des résistivités et des
profondeurs des couches de terre par la résolution d’un problème inverse de sondage électrique
vertical [Fernández Martínez, et al., 2010]. Une étude a été proposée par [Tsai, et al., 2005]
dans le but de traiter simultanément : la caractérisation de l’hétérogénéité des paramètres et
l’identification de la structure de ces paramètres lors de la modélisation des eaux souterraines.
Ces modèles sont souvent utilisés afin de décrire l’écoulement naturel dans l’environnement
d’eaux contenant éventuellement des polluants (produits chimiques) pour des problématiques
liées à la qualité. Pour d’autres exemples de mise en œuvre de la résolution des problèmes
inverses dans le domaine de la géophysique, il est possible de se référer à [Adomian et
Vasudevan, 1984], [Pereyra, 1988] et [Ramm et Ghosh Roy, 1993].
•
Ingénierie pétrolière : les enjeux économiques majeurs dans ce domaine ont permis
l’émergence de problèmes inverses originaux tels que la localisation de ressources pétrolières
potentielles par l’utilisation des relevés sismiques [Jahn, et al., 2008], la détermination de
mouvements du liquide dans les réservoirs en temps réel [Nordtvedt, et al., 1999], [Jahn, et al.,
2008].
•
Industrie aérospatiale : certaines classes de problèmes inverses ont été développées dans le
cadre d’applications aérospatiales afin de palier certaines difficultés. Parmi les diverses
démarches suivies, il est possible de citer l’identification du moment aérodynamique à partir de
mesures de l'angle d'attaque et de la vitesse proposée par [Alestra et Srithammavanh, 2010] ou
encore la détermination en temps réel des contraintes et déplacements des véhicules
aérospatiaux en fonction des charges appliquées [Shkarayev, et al., 2001].
11
•
Génie thermique : dans ce domaine, les problèmes inverses ainsi que les aspects numériques
liés à leurs résolutions sont très fortement étudiés à travers les différents modes de transfert
thermique (convection, conduction, rayonnement et leurs couplages). Parmi les diverses
avancées, il est possible de mentionner : l’identification de l’évolution de flux ou de sources
thermiques [Alifanov, 1994], de paramètres thermo-physiques [Telejko et Malinowski, 2004],
de conditions initiales [Muniz, et al., 1999], de conditions aux limites [Li, et al., 2003], de
forme [Huang et Chen, 2000]. Plusieurs ouvrages majeurs traitent de nombreux exemples de
problèmes inverses en thermique tels que [Tarantola, 2005], [Alifanov, et al., 1995], [Özisik et
Orlande, 2000].
Des applications différentes sont décrites dans [Hunt, 1970], [Blump, et al., 1985], [Blump, et
al., 1986], [Colton, et al., 1990], [Groetsch, 1993], [Kirsch, 1996], [Hofmann, 1999], [Johnston,
2000], [Nassiopoulos, 2008].
1.4.
Méthodes de minimisation
De nombreuses approches ont été développées pour la résolution de problèmes inverses. Les
dernières décennies ayant connu un essor prodigieux des outils informatiques, la mise en œuvre
d’outils numériques a été largement facilitée. Dans ce qui suit, diverses méthodes bien connues de
la littérature sont brièvement présentées. Il s’agit de méthodes de minimisation d’une fonctionnelle
par une approche itérative (méthode de descente). Le problème d’optimisation suivant est
considéré :
Soit le critère quadratique J ∈ C1 (
n
,
trouver xˆ ∈
) ; l’objectif est de minimiser J ( x ) , c'est-à-dire :
n
tel que : xˆ = arg min ( J ( x ) )
x∈
n
(où C1 est la classe des fonctions continûment différentiables au moins une fois).
Cette fonctionnelle est dite quadratique lorsque J s’exprime comme une somme des termes
quadratiques par rapport aux composantes du vecteur x .
12
1.4.1.
Méthode du gradient
Cette méthode est appelée la méthode de la plus forte pente. L’idée principale de cet
algorithme consiste à utiliser le gradient de la fonctionnelle à minimiser comme direction de
descente : d = −∇J ( x ) de l’algorithme. Dans ce qui suit le principe de cette méthode à travers son
algorithme de mise en œuvre est brièvement présenté.
Algorithme du la méthode du gradient
Initialiser x k = 0 et calculer la profondeur de descente initiale γ k =0 (selon le type de la méthode
utilisée).
A partir de k = 1 et tant que le test d’arrêt n’est pas validé :
• Calculer la direction de descente d k −1 = −∇J ( x k −1 ) .
• Calculer la nouvelle valeur de l’itéré x k = x k −1 − γ k −1 ∇J ( x k −1 ) = x k −1 + γ k −1d k −1 .
• Calculer la profondeur de descente γ k (selon le type de la méthode utilisée).
• k ← k +1
Lorsque le test d’arrêt est vérifié, le vecteur x k est considéré comme une estimation satisfaisante
du vecteur inconnu x̂ .
Selon la valeur de γ ( γ est une valeur réelle appelée profondeur de descente γ ∈
*
), la
méthode du gradient prend trois formes différentes : méthode du gradient à pas fixe, méthode du
gradient à pas optimal et méthode du gradient à pas variant (pour plus de détails sur ces dernières
méthodes, il est possible de se référer à [Rouquette, 2003], [Leborgne, 2006], [Herbin, 2008] et [Di
Menza, 2009].
Propriétés de la méthode du gradient
D’une manière générale, cet algorithme converge vers la solution désirée (le minimum d’un
critère quadratique strictement convexe) du problème posé [Laurent, 2012]. Malgré des résultats de
convergence théoriques satisfaisants, cet algorithme converge lentement, il est très sensible à la
forme de la fonctionnelle à minimiser, ce qui le rend parfois moins performant que d’autres
algorithmes de descente. Une attention particulière doit être apportée à la valeur de la profondeur de
descente γ . En effet, si la valeur de γ est trop faible la convergence sera lente, si elle est trop
importante la méthode risque de diverger. Il est à noter que les algorithmes à direction de descente
sont pour la plupart fondés sur cet algorithme.
13
1.4.2.
Méthode du gradient conjugué
Cette méthode de descente consiste à minimiser une fonctionnelle quadratique J :
n
→
en
au plus n itérations. Historiquement, cette méthode a été introduite par Hestenes et Stiefel en 1952
[Hestenes et Stiefel, 1952] pour la minimisation d’une fonctionnelle quadratique. L’idée
fondamentale de cette méthode consiste à choisir à chaque itération k , une direction de descente
d k conjuguée avec la direction de descente précédente d k −1 (orthogonale à la direction précédente
selon un produit scalaire particulier adapté à la fonctionnelle J ). Cette direction est définie à partir
d’une combinaison linéaire du gradient de la fonctionnelle à minimiser −∇J ( x k ) en x k et des
directions précédentes d 0 , d 1 ,..., d k −1 . Notons que les coefficients de la combinaison linéaire sont
choisis de telle sorte que la nouvelle valeur de la direction d k soit conjuguée par rapport à toutes les
directions de descentes précédentes [Minoux, 2007].
Algorithme de gradient conjugué
Initialisation du vecteur de départ x k = 0 et la première direction de descente d k =0 = −∇J ( x k =0 )
À partir de k = 1 et tant que le test d’arrêt n’est pas validé :
• Calculer γ k = arg min J ( x k −1 + γ d k ) la profondeur de descente,
γ∈
*
• Estimer la nouvelle valeur de l’itéré x k = x k −1 + γ k d k −1 ,
• Calculer le gradient de la fonctionnelle ∇J ( x k ) ,
• Calculer
la
β
de
descente
d k = −∇J ( x k ) + β k d k −1 ,
avec
(∇J ( x )) (∇J ( x ) − ∇J ( x )) (selon [Hestenes et Stiefel, 1952]),
=
(∇J ( x ) − ∇J ( x )) d
k
k
direction
tr
k
k −1
k
k −1
tr
k −1
• k ← k +1
L’ensemble des étapes mentionnées ci-dessus est mis en œuvre dans la section 2 de ce
chapitre avec un exemple illustratif dans le but d’identifier un vecteur d’état inconnu x en
minimisant un critère quadratique J ( x ) à chaque itération k . Plusieurs références ont été
consacrées à l’illustration de chaque étape de cet algorithme [Shewchuk, 1994], [Quarteroni, et al.,
2004], [Minoux, 2007], [Laurent, 2012], …
14
Propriétés de la méthode du gradient conjugué
La convergence rapide de la méthode du gradient conjugué en fait son intérêt majeur
[Minoux, 2007]. En outre, cet algorithme ne requiert pas le calcul du Hessien (matrice carrée de
dimension n dont les coefficients sont H ij =
∂2 J
), ce qui représente une simplicité sur la mise en
∂xi ∂x j
œuvre numérique de la méthode [Rouquette, 2003]. Néanmoins, en présence de perturbations
(incertitude de modèle, bruit de mesure, …), cette méthode converge vers une solution tenant
compte du bruit. Il est alors essentiel de choisir un test d’arrêt ( J stop ) judicieux afin de stopper la
procédure d’itération avant de chercher à décrire le bruit. Ces aspects seront illustrés dans les
prochains chapitres. Parmi différents domaines d’application de cette méthode, quelques travaux
dédiés à la résolution des problèmes inverses peuvent être cités [Su et Silva Neto, 2001], [Liu et
Tan, 2001], [Prud’homme et Hung Nguyen, 2001], [Nho Hào, et al., 2009], [Huang et Liu, 2010],
[Zhou, 2010], …
1.4.3.
Méthode de Fletcher et Reeves
Cette méthode est une extension de la méthode du gradient conjugué. Un de ses avantages est
qu’elle peut être appliquée quelque soit le type de la fonctionnelle à minimiser. Dans le cas où cette
dernière est quadratique, alors les résultats obtenus par la méthode de Fletcher et Reeves sont
identiques aux résultats obtenus par la mise en œuvre de la méthode du gradient conjugué. La
différence entre les deux algorithmes réside en l’expression de β définie par Fletcher et Reeves
dans [Monard, 2003]. Dans ce qui suit, les principales étapes de la méthode de Fletcher et Reeves
sont résumées par l’algorithme [Minoux, 2007] suivant :
Algorithme de Fletcher et Reeves
Initialisation du vecteur de départ x k = 0 et la première direction de descente d k =0 = −∇J ( x k =0 )
• Calculer γ k = arg min J ( x k −1 + γ d k ) la profondeur de descente
γ∈
*
• Estimer la nouvelle valeur de l’itéré x k = x k −1 + γ k d k −1
• Calculer le gradient de la fonctionnelle ∇J ( x k ) .
• d = −∇J ( x
k
k −1
)+β
( ∇J ( x ) )
=
( ∇J ( x ) )
k
k
d
k −1
, avec β
Reeves [Monard, 2003]).
k
k −1
tr
tr
∇J ( x k )
∇J ( x k −1 )
, (selon la formule de Fletcher-
15
• k ← k +1
Propriétés de la méthode Fletcher et Reeves
L’intérêt majeur de cette méthode est qu’elle est plus générale que la méthode du gradient
conjugué au niveau du type de fonctionnelle à minimiser. Elle est caractérisée par une grande
vitesse de convergence et ne nécessite pas beaucoup de stockage de données. Plusieurs ouvrages ont
été dédiés à résoudre des problèmes inverses en utilisant cette méthode : [Lum Wan et White,
1991], [Park et Lee 1998] et [Zhao, et al., 2009].
1.4.4.
Méthode de Newton
Supposons que la fonctionnelle à minimiser J ∈ C 2 (
n
,
)
est deux fois continûment
différentiable (où C 2 est la classe des fonctions deux fois continûment différentiables).
L’algorithme suivant expose les principales étapes de mise en œuvre de la méthode de Newton (qui
se base sur le calcul du Hessien) :
Algorithme de la méthode de Newton
Initialiser le vecteur de départ x k = 0 .
• Calculer le gradient de la fonctionnelle ∇J ( x k −1 )
• Calculer le Hessien de la fonctionnelle H ( x k −1 ) = ∇ 2 J ( x k −1 )
(
• Calculer la nouvelle valeur de l’itéré x k = x k −1 − H ( x k −1 )
)
−1
∇J ( x k −1 ) .
• k ← k +1
Propriétés de la méthode Newton
La méthode de Newton converge en une seule itération lorsque J ( x ) est une fonction
quadratique strictement convexe [Minoux, 2007]. Cette méthode est connue pour sa capacité de
convergence rapide (convergence quadratique), mais il n’y a aucune garantie qu’elle converge vers
le minimum global de la fonctionnelle à minimiser (sauf si la valeur initiale de x k = 0 est proche de la
16
solution) [Rouquette, 2003]. En outre l’algorithme de Newton nécessite le calcul du gradient
∇J ( x ) et du Hessien H ( x ) de la fonctionnelle J ( x ) à chaque itération k , ce qui rend le calcul
plus lourd. Les erreurs numériques, qui peuvent être commises lors du calcul du Hessien et de son
inverse, peuvent aussi affecter la convergence. Cette méthode a été mise en œuvre pour la
résolution de nombreux problèmes inverses parmi lesquels [Kress et Lee, 2007], [Xiaoa, et al.,
2009], … La ‘Méthode quasi-Newton’ généralise l’algorithme de Newton.
1.4.5.
Méthode quasi-Newton
Cette extension de la méthode de Newton regroupe deux méthodes de minimisation (la
méthode du gradient et la méthode de Newton). Cette méthode consiste à approcher l’inverse du
Hessien par une nouvelle matrice M ≈ H −1 définie positive et qui sera modifiée à chaque itération
k . Cette matrice est construite de manière à converger vers le Hessien pour une fonctionnelle
quadratique
J ( x) .
Ainsi,
la
nouvelle
valeur
de
l’itéré
x
s’exprime
par :
x k = x k −1 − γ k M k ( x k −1 ) ∇J ( x k −1 ) . Les changements apportés par cette méthode sur la méthode de
Newton sont résumés par l’algorithme suivant [Minoux, 2007] :
Algorithme de la méthode de quasi-Newton
Initialiser le vecteur de départ x k = 0 et M k =0 = I (la matrice identité).
• Calculer le gradient initial la fonctionnelle ∇J ( x 0 )
• Calculer la direction de descente d k = − M k −1 ∇J ( x k −1 )
• Calculer γ k = arg min J ( x k −1 + γ d k ) la profondeur de descente
γ∈
*
• Calculer la nouvelle valeur de l’itéré x k = x k −1 + γ k d k
• Calculer la nouvelle valeur du gradient de la fonctionnelle ∇J ( x k )
• Poser : δ = x k − x k −1 et α = ∇J ( x k ) − ∇J ( x k −1 )
• Calculer M k ([Corriou, 2010]) telle que
 α tr M k −1 α  δ trδ  δ α tr M k −1 + M k −1α δ tr 
M k = M k −1 +  1 +
−


δ tr α  δ trα 
δ trα


• k ← k +1
17
À noter que la matrice initiale M k =0 peut être n’importe quelle matrice positive. Il est usuel
de choisir une matrice identité M k =0 = I . Pour exprimer M k , plusieurs formules ont été données
dans [Corriou, 2010], parmi lesquelles la formule générale proposée par Broyden, Fletcher,
Goldfarb et Shanno présentée dans l’algorithme précédent.
Propriétés de la méthode quasi-Newton
La convergence de cette méthode est obtenue en n itérations (contrairement à la méthode de
Newton). Néanmoins, cette méthode nécessite un temps de calcul non négligeable et un espace de
stockage important lors du calcul approché de l’inverse du Hessien (la matrice M ) à chaque
itération. En outre et selon [Rouquette, 2003], [Walter et Pronzato, 1994] et [École d’Hiver METTI,
1999], la méthode quasi Newton est très sensible aux erreurs de calcul.
1.4.6.
Méthode de Gauss-Newton
Cette méthode due à Carl Friedrich Gauss est une extension de la méthode de Newton
(paragraphe 1.4.4) adaptée à la résolution des problèmes non linéaires surdéterminés. En outre, la
méthode Gauss-Newton est une classe de méthodes pour la résolution des problèmes de moindres
carrés non-linéaires. L’idée principale de cette méthode réside sur le rapprochement du Hessien
H ( x ) de la fonctionnelle à minimiser par H ( x ) ≈ ( ∇J ( x ) ) ∇J ( x ) , où ∇J ( x ) est le gradient de
tr
la fonctionnelle.
L’algorithme suivant reprend les mêmes étapes suivies dans l’algorithme de Newton
(paragraphe 1.4.4) avec quelques modifications (sans passer par le calcul du Hessien) dans le but de
tr
1
déterminer xˆ = arg min ( J ( x ) ) J ( x ) , où J :
n
2 x∈
n
→
m
.
Algorithme de la méthode Gauss-Newton
Initialiser le vecteur de départ x k = 0 .
•
Évaluer la valeur du critère J ( x k −1 )
• Calculer le gradient de la fonctionnelle noté ∇J ( x k −1 )
•
Calculer la direction de recherche d k −1 solution de
( ∇J ( x ) )
k −1
tr
(
∇J ( x k −1 ) d k −1 = − ∇J ( x k −1 )
) J (x )
tr
k −1
• Calculer la nouvelle valeur de l’itéré x k = x k −1 + ∆x k −1 .
• k ← k +1
18
Propriétés de la méthode Gauss-Newton
Un des avantages de cette méthode est qu’elle ne nécessite pas le calcul du Hessien, ce qui
rend le calcul plus rapide avec. Néanmoins, cette méthode s’avère limitée car elle n’assure pas que
la solution obtenue est la solution optimale (le minimum recherché). En effet, l’erreur commise lors
de cette méthode réside sur le rapprochement du Hessien en fonction du gradient de la
fonctionnelle. Une version améliorée de la méthode Gauss-Newton est la méthode de LevenbergMarquardt.
1.4.7.
Méthode de Levenberg-Marquardt
Cette méthode représente une alternative performante de la méthode Gauss-Newton [Corriou,
2010]. L’algorithme suivant décrit un cas général de la mise en œuvre de la méthode LevenbergMarquardt appliquée à la minimisation d’une fonction quelconque J ( x ) .
Algorithme de la méthode de Levenberg-Marquardt
Étant donné le vecteur de départ x k = 0 , et la valeur initiale α k = 0 . D’après [Corriou, 2010], la
direction de recherche de l’algorithme de LM est une solution de ( H k + α k I ) d k = −∇J ( x k ) où α k
est un scalaire non négatif. α k doit être choisi de manière adéquate : si α k = 0 , d k est la direction
de Gauss-Newton
Si α k → ∞ , d k devient parallèle à la direction de plus grande pente.
• Calculer le gradient de la fonctionnelle ∇J ( x k −1 )
• Calculer le Hessien de la fonctionnelle H ( x k −1 ) = ∇J 2 ( x k −1 )
• Mettre α k ← α k −1
(
)
• Factoriser H ( x k −1 ) + α k I . Si cette matrice n’est pas définie positive, poser α k = 4α k et
recommencer,
(
)
• Déduire la direction d k à partir de H ( x k −1 ) + α k I d k = −∇J ( x k −1 )
• Évaluer J ( x
k −1
) et calculer le rapport β
k
=
∆J ( x k −1 )
∆J ( x k −1 + d k )
=
J ( x k −1 ) − J ( x k −1 + d k )
J ( x k −1 ) − J ( d k )
19
Si β k < 0.25 , poser α k +1 = 4α k
Si β k > 0.75 , poser α k +1 = α k 2
Si 0.25 ≤ β k ≤ 0.75 , alors poser α k +1 = α k
Si β k ≤ 0 , mettre x k = x k −1
Si β k > 0 , calculer x k = x k −1 + d k
• k ← k +1
Le test d’arrêt est vérifié lorsque le vecteur x k est considéré comme une estimation satisfaisante du
vecteur inconnu x̂ .
Propriétés de la méthode de Levenberg-Marquardt
Cette méthode est devenue une technique standard pour résoudre des problèmes non linéaires.
L’algorithme de la méthode de Levenberg-Marquardt est caractérisé par son comportement lent
lorsque l’initialisation est loin de la solution désirée avec une grande garantie de convergence. Dans
le cas contraire où l’initialisation est proche de la solution exacte, l’algorithme se comporte comme
une méthode de Gauss-Newton. Cette méthode a montré des propriétés en terme de convergence
globale, de capacité d’optimisation non linéaire sous contraintes [Courtial, et al., 2004] et de
robustesse. Parmi les abondantes applications de cette méthode dans le domaine de l’identification,
il est possible de citer les travaux suivants : [Su, et al., 2000] pour l’estimation de la densité d’un
flux de chaleur au sein d’écoulement turbulent dans une conduite circulaire ; [Kleefeld et Reibel,
2011] pour l’identification de paramètres liés à la structure du sol et ses propriétés ; [Rouquette, et
al., 2007 (b)] pour une mise en œuvre liée au soudage par faisceau d'électrons …
1.4.8.
Algorithme génétique
Le principe fondamental de cet algorithme consiste à trouver la solution optimale d’un
problème posé en se basant sur une population de candidats (solutions) potentiels. Il est à noter qu’il
faut disposer d’une population suffisamment grande pour pouvoir estimer l’optimum global et non
un optimum local. Les principales étapes à suivre lors de la mise en œuvre de ce type d’algorithme
sont définies par :
20
Algorithme génétique
• Création de la population initiale : une population initiale d’individus est créée à partir des
données du problème. Plusieurs modes de codage peuvent s’appliquer pour décrire ces
individus d’une manière numérique (informatique) tels que le codage binaire (le plus utilisé
[Goldberg, 1989]), le codage à caractères multiples, ou encore le codage sous forme
d’arbre).
• Évaluation de la fonctionnelle pour chaque individu : lors de cette étape, une évaluation
(potentiel) est déterminée pour chaque individu afin de définir son adéquation au problème
étudié.
• Classement des individus selon leur « potentiel » : une hiérarchie des individus selon leurs
évaluations est définie. Parmi les différentes méthodes de triage des individus, il est
possible de citer : la sélection par roulette, par rang, par tournoi, par élitisme.
• Évolution de la population (les individus) par reproduction et mutation :
− Reproduction (croisement) consiste à produire des nouveaux individus (nouvelle
génération) à partir des individus de la population précédente uniquement.
− Mutation permet de changer aléatoirement la valeur de certaines variables dans un
individu afin de créer des nouveaux individus avec de nouvelles caractéristiques
indépendamment de ses "parents".
• Sélection des individus à conserver : lors de cette étape, une sélection des individus est
réalisée afin d’identifier les meilleurs individus d’une population et d’éliminer les moins
bons. En général, le même nombre d’individus est conservé d’une génération à une autre.
Propriétés de l’algorithme génétique
Un des intérêts manifeste de cet algorithme est que son principe de fonctionnement est
intuitif. Il peut ainsi s’appliquer pour des problèmes présentant des incertitudes ou de grandes
complexités dans leurs modélisations mathématiques. Néanmoins, cet algorithme nécessite une
forte capacité de calcul pour gérer des populations de grande taille et permettre de nombreuses
générations d’individus. Le choix des règles de reproduction, mutation et sélection sont bien
souvent empiriques. Cet algorithme a été appliqué par exemple par [Boudreau, et al., 1998], [Karr,
et al., 2000], [Wrobel et Miltiadou, 2004], [Liu, 2008], [Adili, et al., 2010], …
21
1.5.
Régularisation des problèmes inverses
La plupart des problèmes inverses s’avèrent mal posés au sens de Hadamard [Hadamard,
1932]. Cette caractéristique traduit l’effet potentiellement rédhibitoire des bruits de mesures, des
bruits numériques et des erreurs de modèle, … Ces perturbations (même de faible amplitude)
provoquent des erreurs sur les solutions obtenues. Afin de diminuer leur impact sur les paramètres à
estimer, plusieurs techniques dites « de régularisation » ont été développées. Dans le cadre des
phénomènes thermiques abordés dans ce manuscrit, diverses techniques de régularisation existent
dans la littérature : techniques de régularisation de Tikhonov, régularisation par décompositions en
valeurs singulières, méthode de spécification de Beck ainsi que les méthodes de régularisations
itératives basées sur le calcul du gradient de la fonctionnelle quadratique à minimiser (pour plus de
détails sur les problèmes inverses et les méthodes de régularisation, se référer à [Davies, et al.,
1999]).
1.5.1.
Régularisation de Tikhonov
Cette technique plus répandue et plus utilisée lors de la résolution des problèmes inverses mal
posés a été introduite pour la première fois par le mathématicien russe Andreï Nikolaïevitch
Tikhonov (1906-1993) dans l’ouvrage [Tikhonov et Arsenin, 1977]. L’idée principale de cette
méthode consiste à associer un terme de régularisation (ou terme pénalisateur) dans l’expression de
la fonctionnelle à minimiser. Pour comprendre le principe de cette méthode, supposons un problème
inverse défini par :
Ax = y avec A une matrice d’état dont les coefficients appartiennent à
du système et y ∈
n
, x∈
n
le vecteur d’état
le vecteur de sortie (vecteur de mesures). Cependant ce problème peut être
mal posé au sens d’Hadamard (si A est mal conditionnée et y est bruité (incertain)). La résolution
de ce problème inverse a pour objectif d’identifier le vecteur d’état inconnu x en dépit du caractère
mal posé du problème. Pour ce faire, considérons :
n
J:
x
→
a
J ( x; R; µ ) = Ax − y + µ Rm x
où µ est le coefficient de régularisation ( µ ∈
2
)
2
et [ µ Rm ] est la matrice de régularisation (appelée
aussi matrice de Tikhonov), avec m l’ordre de régularisation et
la norme Euclidienne.
Dans ce cas, la solution estimée du problème peut s’exprimer par :
{
xˆµ = Arg min { J ( x; R; µ )} = Arg min Ax − y + µ Rm x
x∈
n
x∈
n
2
2
}
22
Cette précédente expression définie une famille de solutions x̂µ paramétrée par le coefficient de
régularisation µ . Notons que la difficulté majeure de cette technique réside dans le choix du
coefficient de régularisation µ et de la matrice de régularisation [ µ Rm ] . D’une manière générale, si
µ est très grand alors l’effet du terme
Ax − y
2
minimisation par rapport au poids du terme µ Rm x
est négligeable lors de la procédure de
2
sur la solution recherchée ce qui permet
d’éviter le comportement bruité ou mal posé du problème. Cependant, la solution obtenue dans ce
cas peut être correcte d’un point de vue mathématique (minimisation du critère), mais indépendante
de la physique du problème. Dans le cas opposé, si µ est très petit, alors le terme µ Rm x
négligeable et le terme Ax − y
2
2
devient
devient prépondérant lors de la résolution. Le problème inverse
demeure alors mal posé. La solution obtenue dans ce cas sera biaisée. Afin de fixer la matrice de
régularisation d’une manière judicieuse, plusieurs études ont été consacrées au choix du paramètre
de régularisation µ , à titre d’exemple le lecteur peut se référer à [Scherzez, et al., 1993], [Gejadze
et Jarny, 2002], … Cette technique connaît encore de nombreux développements comme l’atteste la
récente publication [Zhao et Meng, 2011]. En outre, parmi les nombreux travaux utilisant cette
approche, il est possible de citer la résolution d’un problème inverse de viscosimétrie capillaire par
la méthode de régularisation de Tikhonov [Nguyen, et al., 1999] ou encore une publication récente
[Azikri de Deus, et al., 2012] relative à un problème inverse d’élasto-plasticité.
1.5.2.
Régularisation par décomposition en valeurs singulières
La méthode de décomposition en valeurs singulières (Singular Value Decomposition - SVD)
fait partie des techniques les plus utilisées pour la factorisation matricielle [Golub et Van Loan,
1996]. Pour comprendre le principe de cette technique lors de la résolution d’un problème inverse,
considérons le problème linéaire surdéterminé (c.à.d. le nombre de mesures est plus grand ou égale
au nombre d’inconnus) Ax = y avec A une matrice rectangulaire de dimension
m ≥ n , x∈
n
le vecteur d’état du système et y ∈
m
( m × n)
avec
le vecteur correspondant aux observations.
Cette technique détaillée dans [Thompson et Tripputi, 1994], [Petit et Maillet, 2008] consiste
à décomposer la matrice d’état Am×n en trois matrices telles que Am×n = U m×n Wn×n Vn×n , ce qui est
tr
0  
     w1





 V  , avec :
équivalent à écrire :  A = U  
O
 
     0
wn   
23
U m×n est une matrice orthogonale de dimension ( m × n ) , ses vecteurs colonnes sont de norme
unité et perpendiculaires deux à deux : U tr U = I n (où I n est la matrice d’identité d’ordre
n ). Ses vecteurs colonnes constituent les n premiers vecteurs propres (classés par valeurs
propres décroissantes), de la matrice A Atr .
Vn×n est une matrice carrée orthogonale (V V tr = V tr V = I n ) , ses vecteurs colonnes sont les n
vecteurs propres de la matrice Atr A classés par valeurs propres décroissantes.
Wn×n est une matrice carrée diagonale, contenant les valeurs singulières wi ∈
(avec
i = 1, ..., n ) rangées par ordre décroissant w1 ≥ w2 ≥ L ≥ wn . Les valeurs singulières de la
matrice W sont par définition les racines carrées des valeurs propres de la matrice Atr A .
Dans le cas d’une matrice carrée A , les valeurs propres et les valeurs singulières sont
identiques. Cette décomposition en valeurs singulières (SVD) peut être réalisée pour toute
matrice A [Petit et Maillet, 2008].
En supposant que les valeurs singulières de A ne sont pas nulles, la solution x̂ du problème des
moindres carrés ordinaires ( Ax = y ) peut s’exprimer par :
0  
  1 w1
−1



 U 
xˆ = (U W V ) y = V  
O
 
14243
   0
1 wn   
A −1
tr
 
 y
 
 
Cette formule peut s’écrire aussi en utilisant les colonnes des matrices U m×n et Vn×n notées ui de
dimension m × 1 et vi de dimension n × 1 , avec i = 1, ..., n .
tr
xˆ = A−1 y = [ v1
n
ou encore : xˆ = ∑ vi
i =1
0   u1 
1 w1

 M  y
L vn ] 
O
 
 0
1 wn  un 
1 tr
ui y . Cette dernière équation permet de réordonner la solution x̂ et de
wi
n
l’écrire sous la forme suivante : xˆ = ∑
i =1
uitr y
vi .
wi
Cette dernière expression montre que l’inconnu estimé x̂ peut s’écrire comme une combinaison
linéaire des n vecteurs vi qui constituent une base orthonormée de l’espace des inconnus, les
coefficients étant les projections du vecteur des données y sur chacun des vecteurs ui , les produits
scalaires correspondants étant divisés par la valeur singulière correspondante.
24
Si une valeur singulière wi devient petite et que la sortie exacte du système possède une
composante faible ou nulle, le facteur (1 wi ) va provoquer une instabilité sur l’inconnu recherché
x̂ (amplification du rapport signal/bruit). Une solution simple pour éviter ce problème et donc
retirer la contribution des valeurs singulières trop faibles ou nulles à l’estimateur, cette solution est
obtenue à partir d’une opération de troncature sur l’expression de x̂ .
En effet, cette technique de régularisation (SVD) consiste à choisir un ordre de troncature sur les
nt
valeurs de la formule d’inversion et qui permet d’écrire : xˆ = ∑
i =1
uitr y
vi , où nt est l’ordre de
wi
troncature. Ce paramètre dépend de la stabilité de la solution et il est délicat à choisir (pour plus de
détails sur le choix de nt , le lecteur est invité par exemple à consulter [Petit et Maillet, 2008]).
Cette technique de régularisation est uniquement applicable pour des problèmes linéaires [Lagier, et
al., 2004], [Gutiérrez Cabeza, et al., 2005], [Martin Garcia, et al., 2009], [Chen et Wen, 2012], …
1.5.3.
Méthode de spécification de fonction
Cette technique proposée par [Beck, et al., 1985] est connue sous le nom de méthode de
spécification de fonction ou méthode de Beck. Elle a été mise en œuvre pour la résolution des
problèmes inverses dans le domaine thermique (1D et 2D) pour l’estimation de la température
pariétale ou de la densité de flux de chauffe surfacique. Elle est présentée dans les travaux de
[Cordeiro Cavalcanti, 2006] : le paramètre inconnu p ( t ) est identifié de manière séquentielle à
chaque pas de temps ti ( ti ∈ T = 0, t f  , t f étant l’instant final) par la minimisation d’une
fonctionnelle basée sur l’écart quadratique entre les températures calculées θ (fournies par le
modèle direct) et les températures mesurées θˆ pour N C capteurs C j . Cette estimation temporelle
du paramètre inconnu p ( t ) est réalisée connaissant ses valeurs précédentes et sa variation
temporelle. Pour ce faire, une fenêtre temporelle de quelques pas de temps est considérée afin de
prendre en compte l’effet de la variation de l’inconnu p ( ti ) et régulariser la solution. Dans le cas
où la fenêtre temporelle est large, la méthode de spécification devient plus stable [Guillot, 2009],
cependant cette largeur provoque des erreurs d’estimation plus importantes. À noter que le choix de
l’horizon de cette fenêtre dépend du nombre de pas de temps futur et du niveau du bruit de mesure.
Le critère quadratique proposé pour calculer la variation de l’inconnu p ( t ) est défini par :
25
∑ (θˆ ( C ; t + k δ t ) − θ ( p; C ; t
N C nfutur
J ( p ( ti ) ) = ∑
j =1 k =1
j
i
j
i
+ k δt)
)
2
où δ t est le pas de temps futur et nfutur est le nombre total de pas de temps futur. Cette
fonctionnelle atteint son minimum si sa dérivée première par rapport à p ( t ) est nulle
( ∂J ( p ) ∂p = 0 ) i.e. :
NC nfutur 
∂θ ( p; C j ; ti + k δ t ) 
∂J ( p )

= 2∑ ∑  θˆ ( C j ; ti + k δ t ) − θ ( p; C j ; ti + k δ t )
=0
∂p
∂p
j =1 k =1 


(
où le terme S ( ti ) =
)
∂θ ( p; C j ; ti + k δ t )
∂p
(1. 1)
est appelé fonction de sensibilité. D’un point de vue
physique, le coefficient de sensibilité est défini comme étant la variation de la température
θ ( p; Ci ; ti + k δ t ) (déduite de la résolution du problème direct) provoquée par une variation de la
valeur du paramètre δ p = p ( ti + kδ t ) − p ( ti ) . Un développement de Taylor (approximation d’ordre
1) par rapport au paramètre inconnu p ( ti ) permet d’écrire :
θ ( C j ; ti + k δ t ) = θ ( C j ; ti ) +
∂θ ( C j ; ti + k δ t )
∂p
δ p.
En remplaçant l’équation précédente dans l’expression de la dérivée de la fonctionnelle à
minimiser, il vient : δ p =

∂θ ( C j ; ti + kδ t ) 
 θˆ ( C j ; ti + kδ t ) − θ ( C j ; ti )

∂p


2
NC nfutur  ∂θ C ; t + kδ t  
( j i
) 


∑
∑
 
∂p
j =1 k =1 




∑∑ (
N C nfutur
j =1 k =1
)
D’où l’expression corrective de p à l’instant ti + kδ t :
p ( ti + k δ t ) = p ( ti ) + δ p
Différents problèmes inverses ont été traités sur la base de la méthode de spécification de Beck,
parmi lesquels [Raudensky, et al., 1995], [Blanc, et al., 1998], [Chantasiriwan, 1999],
[Behbahaninia et Kowsary, 2004] et [Cordeiro Cavalcanti, 2005].
26
1.5.4.
Méthode de régularisation itérative
Un point commun entre la plupart des méthodes itératives est le calcul du gradient ∇J ( x, p )
de la fonctionnelle à minimiser J ( x, p ) . Un des avantages de ces méthodes est qu’elles ne
nécessitent pas l’ajout d’un terme de régularisation car la solution se régularise implicitement à
chaque itération. Le seul paramètre de régularisation de ces méthodes est défini par la valeur du test
d’arrêt J stop qui permet d’arrêter le processus d’itération avant de converger vers les valeurs de
solutions affectées par le bruit. La valeur de ce paramètre dépend notamment du type de bruit. Dans
ce mémoire, la validation de la robustesse d’une méthode de régularisation itérative (la méthode du
gradient conjugué) est réalisée [Alifanov, 1994], [Morozov, 1993] et [Minoux, 2007], …
2. Méthode du gradient conjugué pour résoudre des systèmes linéaires
Dans ce paragraphe, la méthode du gradient conjugué (MGC) est mise en œuvre afin de
résoudre un système matriciel classique de type Ax = y . Il s’agit par exemple à partir de mesures
ou d’observations y ∈
n
de déterminer le vecteur inconnu x ∈
n
représentant l’état de ce
système. Considérant que la matrice An×n est inversible et que le second membre y ∈
n
est bruité :
y = yˆ + e où ŷ serait la mesure correspondant à un cas idéal (sans bruit). Il est évident que la
résolution de x = A−1 y ne permet pas d’obtenir l’estimation du vecteur correct : xˆ = A−1 yˆ . Le cas
(
)
où la matrice A comporte des coefficients bruités A = Aˆ + E illustre aussi cette problématique
( x = A−1 y pouvant être fort différent de xˆ = Aˆ −1 yˆ ). Le caractère mal posé de ces problèmes est
illustré dans le cas académique des matrices d’Hilbert.
2.1.
Illustration du caractère mal posé
Définition 2.2.
Une matrice d’Hilbert ([Gregory et Karney, 1969], [Khalil, 2008]) est une matrice
carrée de dimensions
(n × n)
de terme général : aîj =
1
, 1 ≤ i, j ≤ n . Cette matrice est
i + j −1
nommée matrice d’Hilbert en référence au mathématicien David Hilbert (1862-1943). Dans ce
paragraphe, les matrices d’Hilbert sont notées Aˆ n =  aîj  .
27

1
Aˆ 2 = 
1
 2
1
2

1
3 

1

1
Aˆ3 = 
2

1
 3
1
2
1
3
1
4

1

1
2

Aˆ n =  1
3
M

1
 n
1
3

1
4

1
5 
1
2
1
3
1
4
M
1
n +1
1
3
1
4
1
5
M
L
L
L
O
1
L
n+2
1 
n 

1 
n +1 

1 
n+2 
M 

1 
2n − 1 
Supposons qu’en absence de bruit, le second membre soit égal à yˆ ( i ) = e− i où e est la fonction
exponentielle exp (.) . La solution exacte de xˆ = Aˆ n −1 yˆ est donnée pour plusieurs matrices de Hilbert
Aˆ n ci après :
pour n = 2 , xˆ = ( 0.6595 , -0.5833)
tr
pour n = 3 , xˆ = ( -0.0675 , 3.779 , -4.3623)
tr
pour n = 5 , xˆ = ( -0.5242 , 5.6962 , 8.6565 , -44.3025 , 31.1704 )
tr
Effet d’un bruit sur le second membre
 1 
En présence d’un bruit gaussien y ( i ) = (1 + v ) e −i où v suit une loi normale N  0,
 , en
 100 
obtenant les estimations suivantes en inversant la matrice x = Aˆ n −1 y :
pour n = 2 , x = ( 0.6871 , -0.6322 )
tr
pour n = 3 , x = ( -0.0973 , 3.9353 , -4.5095 )
tr
pour n = 5 , x = ( -0.8484 , 11.8928 , -18.3842 , -3.196 , 10.9797 )
tr
Il possible de remarquer que plus la dimension de la matrice d’Hilbert augmente, plus l’écart entre
x et x̂ augmente. En effet, les matrices d’Hilbert sont mal conditionnées (le rapport entre la plus
grande valeur propre et la plus petite valeur propre est « grand » cf. paragraphe 1.2). Sur la Figure
1. 2, le conditionnement de Aˆ n et l’erreur d’estimation (norme euclidienne) x − xˆ sont tracés en
fonction de la taille du système n .
28
10
10
10
10
10
15
Conditionnement
Erreur d'estimation
10
5
0
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Taille du système : "n"
Figure 1. 2. Conditionnement de Aˆ n et erreur d’estimation x − xˆ en fonction de n .
Effet d’un bruit sur la matrice
 1 
Alors que les mesures sont supposées non bruitées, yˆ ( i ) = e− i , un bruit Gaussien N  0,
 est
 100 
ajouté sur les coefficients des matrices Aˆ n de manière à ce que aij = (1 + v ) aîj . La solution de
x = An −1 yˆ est donnée pour quelques valeurs de n :
pour n = 2 , x = ( 0.6508 , -0.5285 )
tr
pour n = 3 , x = ( -0.1086 , 4.5164 , -4.9443)
tr
pour n = 5 , x = ( -0.8844 , 34.8438 , 74.1549 , -160.9256 , 58.5828 )
tr
Les écarts avec la valeur correcte de x̂ sont, dans ce cas aussi, très grands et peuvent être reliés au
conditionnement de An (voir Figure 1. 3).
10
10
10
10
10
15
Conditionnement
Erreur d'estimation
10
5
0
-5
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
Taille du système : "n"
Figure 1. 3. Conditionnement de An et erreur d’estimation x − xˆ en fonction de n .
29
Bilan relatif à la résolution directe de Ax = y en inversant la matrice A
Bien que la matrice A soit inversible, si son conditionnement est mauvais
(
1) alors de très
faibles bruits de mesure sur le second membre ou sur la matrice ont un effet dramatique sur
l’estimation de x = A−1 y . Dans ce qui suit, une méthode itérative visant à estimer correctement la
solution x̂ même en présence de bruits de mesure importants est exposée.
2.2.
Méthode du gradient conjugué (MGC)
La méthode du gradient conjugué fait partie des méthodes itératives de descente. Ces
méthodes sont très répandues dans la littérature [Allaire, 2006], [Minoux, 2007]. Un des principes
communs de ces méthodes est la minimisation d’une fonctionnelle J suivant une procédure basée
sur l’emploi du gradient de cette fonctionnelle.
Soit le problème suivant :
Déterminer x ∈
y∈
n
n
tel que Ax = y avec A une matrice carrée de dimension n définie positive et
.
Ce problème peut se formuler sous la forme du problème de minimisation suivant :
Déterminer x ∈
n
telle que la fonctionnelle quadratique J ( x ) soit minimum avec
n
J:
→
a
x
J ( x) = Ax − y = xtr Atr Ax − 2 x tr Atr y + y tr y
2
(1. 2)
où . est la norme Euclidienne.
Les hypothèses faites sur A montrent que la fonctionnelle J est strictement convexe sur
qui implique que le problème (1. 2) admet une solution unique x ∈
n
n
, ce
.
La méthode du gradient conjugué consiste à déterminer une nouvelle valeur du vecteur inconnu x à
chaque itération k selon la formule suivante :
x k +1 = x k + γ k d k ,
où γ k ∈
*
et d k ∈
n
.
L’algorithme suivant regroupe les principales étapes de la méthode du gradient conjugué associée à
la résolution du problème considéré.
30
Initialiser le nombre d’itérations k à 0, et choisir un vecteur d’état initial x k = 0 ,
Calculer la valeur initiale du gradient de la fonctionnelle :
(
)
∇J x k = 0 = ∇J k = 0 =
∂J
∂x
= 2 Atr Ax k =0 − 2 Atr y .
x k =0
Poser : d k =0 = −∇J ( x k = 0 ) (la valeur initiale de la direction de descente).
Calculer la valeur initiale de la fonctionnelle : J ( x k =0 ) = Ax k =0 − y .
2
Pour k = 1: maxiter ( maxiter est le nombre maximal d’itérations)
(
(
)
tr
•
k −1
d k −1
1 ∇J
k −1
Calculer la profondeur de descente : γ =
∈
2 d k −1 T A d k −1
•
Calculer la nouvelle valeur de l’itéré : x k = x k −1 + γ k −1d k −1 ,
•
Calculer la nouvelle valeur de la fonctionnelle : J x k +1 = Ax k − y .
)
(
∗
,
)
2
− Si J ≤ ε (le test d’arrêt), alors stopper l’algorithme et considérer que le
vecteur actuel x k +1 est une estimation du vecteur inconnu x̂ ,
− Sinon, continuer la procédure itérative.
•
(
Calculer la prochaine direction de descente : d = − ∇J
k
k
)+
∇J k
∇J
2
k −1 2
d k −1 ,
Fin pour ;
Le comportement de cet algorithme de minimisation est analysé en considérant l’exemple précédent
des matrices d’Hilbert.
2.3.
Mise en œuvre de la MGC pour les matrices d’Hilbert
Considérant que la matrice d’état est une matrice d’Hilbert, quatre cas seront traités : absence
de bruit
( Aˆ
n
( y = yˆ ) ,
avec un vecteur de sortie bruitée
)
( ŷ = y + e ) ,
avec une matrice d’état bruitée
(
)
= An + E , et avec un vecteur de sortie et une matrice d’état bruités yˆ = y + e et Aˆ n = An + E .
Pour d’autres exemples de systèmes matriciels, différents cas avec des matrices de dimensions
( 4 × 4 ) sont traités par [Abou-Khachfe, 2000].
31
2.3.1.
Système non bruité
Considérons la matrice d’Hilbert Â5 et le vecteur de sortie ŷ défini par : y ( j ) = e− j pour
1 ≤ j ≤ n où n est la dimension de la matrice. La solution correcte de l’équation Aˆ5 xˆ = yˆ est donnée
dans le tableau suivant.
Tableau 1. 1. Solution exacte de l’équation Aˆ5 xˆ = yˆ .
xˆ (1) = −0.5242
xˆ ( 2 ) = 5.6962
xˆ ( 3) = 8.6565
xˆ ( 4 ) = −44.3025
xˆ ( 5 ) = 31.1704
Un choix du vecteur initial est x k =0 ( i ) = i ; le test d’arrêt ε est fixé à ε = 10−12 (ces deux choix sont
arbitraires). Les résultats de la mise en œuvre de la méthode du gradient conjugué dans le but de
déterminer le vecteur d’état inconnu x en minimisant la fonctionnelle quadratique J ( x) = Aˆ5 x − yˆ
Fonctionnelle J(x)
à chaque itération k peuvent être résumés par les figures et le tableau suivants :
10
10
10
10
10
5
0
-5
-10
-15
0
2
4
6
8
10
Itérations k
Erreur d'estimation
Figure 1. 4. Évolution de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations k (cas non bruité)
10
10
10
10
2
0
-2
-4
0
2
4
6
8
10
Itérations k
Figure 1. 5. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k (cas non bruité).
2
32
Les valeurs de la fonctionnelle présentées sur la figure précédente sont aussi résumées dans le
tableau suivant.
Tableau 1. 2. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations (cas non bruité).
Itération k
J ( x)
0
50.2
1
1.4
2
3
5
8
2 10 −3
5 10 −5
5 10 −5
2 10−9
…
…
11
10−15
Les composantes du vecteur solution déterminées à l’aide de la MGC sont présentées en fonction
des itérations k dans le tableau suivant :
Tableau 1. 3. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations (cas non bruité).
Itération k
0
1
2
3
4
5
10
11
x1
x2
x3
x4
x5
1
2
3
4
5
-2.3594 -0.0153 1.5227
2.8243
4.0201
1.1125 -1.5978 -0.9266
0.2601
1.5389
0.2903 1.1862 -0.4761 -0.9309 -0.6188
0.1829 2.1822 -2.0109 -1.4671 0.6647
-0.8287 11.4515 -16.3077 -6.4643 12.6138
-0.5448 6.0737
7.0303 -41.8381 29.9593
-0.5242 5.6962
8.6565 -44.3024 31.1703
Les figures et les tableaux précédents confirment la convergence de la méthode du gradient
conjugué vers la bonne solution.
2.3.2.
Sortie bruitée
Pour ce second cas, la sortie du système est perturbée avec de très faibles variations
représentées par un bruit blanc Gaussien telle que y ( i ) = (1 + v ) e −i où v suit une loi normale
 1 
N  0,
 . Les résultats sont montrés sur les figures et tableaux suivants.
 100 
33
Fonctionnelle J(x)
10
10
10
10
10
5
0
-5
-10
-15
0
2
4
6
8
10
Itérations k
Erreur d'estimation
Figure 1. 6. Évolution de la fonctionnelle en fonction des itérations k (mesures bruitées)
10
10
10
2
1
0
0
2
4
6
8
10
Itérations k
Figure 1. 7. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k
(mesures bruitées).
Tableau 1. 4. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations
(mesures bruitées).
Itération k
J ( x)
0
1
50.2 1.45
2
2 10
3
−3
5 10
−5
…
…
5
4 10
−8
…
…
8
3 10
−9
…
…
10
3 10
11
−9
4 10−14
34
Tableau 1. 5. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations (mesures bruitées).
x4
x5
x − xˆ
1
2
3
-2.3586
-0.01
1.5231
1.1156 -1.5984 -0.9279
0.2967
1.1743
-0.4793
0.1086
2.8867
-3.1218
-0.8202 11.42141 -16.2825
4
2.8245
0.2587
-0.9276
-1.8516
-6.4519
5
4.0203
1.5375
-0.6115
1.5965
1.2598
55.37
55.18
54.88
54.74
53.14
49.32
8
-0.5005
5.392
9.8557
-46.0686 32.0301
2.3215
11
-0.4667
4.7385
12.7055
-50.3887 34.1454
7.95
Itération k
0
1
2
3
4
5
x1
x2
x3
Alors que la minimisation de la fonctionnelle converge après 11 itérations de manière à ce que
(
)
J x k =11 < 10 −12 , le vecteur d’état estimé à k = 11 est très différent par rapport au vecteur d’état réel
(obtenu sans bruit). Le vecteur solution obtenu à l’itération 8 est le plus proche du vecteur d’état
réel. Ces résultats illustrent qu’il est nécessaire de stopper le processus de minimisation avant
d’obtenir la solution x de Â5 x = y qui respecte le critère d’arrêt. En effet, les premières itérations
permettent de tendre vers la solution x̂ de Aˆ5 xˆ = yˆ alors que trop d’itérations conduisent à vouloir
« donner du sens au bruit ». Après avoir montré l’effet de la perturbation du vecteur de sortie sur la
solution du vecteur d’état estimé, l’exemple suivant illustre le cas d’un système A5 x = yˆ où la
matrice A5 est légèrement perturbée.
2.3.3.
État du système bruité
 1 
Alors que les mesures sont supposées non bruitées, yˆ ( i ) = e− i , un bruit Gaussien N  0,

 100 
est ajouté sur les coefficients de la matrice Aˆ n de manière à ce que aij = (1 + v ) aîj . La mise en
œuvre de la méthode du gradient donne les résultats suivants :
35
Fonctionnelle J(x)
10
10
10
10
10
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Itérations k
Erreur d'estimation
Figure 1. 8. Évolution de la fonctionnelle en fonction des itérations k (matrice bruitée)
10
10
10
2
1
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Itérations k
Figure 1. 9. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k (matrice bruitée)
Tableau 1. 6. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations (matrice bruitée).
Itération k
J ( x)
0
1
50.2 1.5
2
3
6
7
8
3 10−3
4 10 −5
2 10−6
2 10 −10
10−19
Tableau 1. 7. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations (matrice bruitée).
Itération k
0
1
2
3
4
x1
x2
x3
x4
x5
x − xˆ
1
-2.3576
1.1094
0.2894
0.3069
2
-0.0040
-1.4897
1.2058
0.9500
3
1.5320
-0.9548
-0.7348
-0.1483
4
2.8326
0.1872
-0.7725
-0.9087
5
4.0252
1.4375
-0.4626
-0.7168
55.37
55.18
54.86
54.81
54.78
6
-0.8158
6.3240
9.0786
-44.4680
30.3729
1.15
8
-0.8807
6.6530
9.6437
-47.1536
32.2842
3.37
36
Les mêmes remarques que précédemment peuvent être considérées. L’algorithme de
minimisation permet de faire tendre la fonctionnelle J ( x ) vers 0 et donc de résoudre A5 x = yˆ . Afin
d’obtenir une meilleure estimation de x̂ solution de (1. 1), il faut stopper l’algorithme alors que le
critère continue à décroitre.
Après avoir testé l’effet de perturbations sur la sortie et l’état du système séparément,
l’exemple suivant illustre un cas général de l’estimation d’état par la méthode du gradient conjugué
en présence des légères perturbations sur l’état et sur la sortie du système.
2.3.4.
État et sortie du système bruités
Une combinaison entre les deux précédentes configurations (cf. paragraphes 2.3.2 et 2.3.3) est
retenue lors de ce dernier cas. L’état et la sortie du système sont affectés par des bruits additifs de
type Gaussien, tels que y ( i ) = (1 + v ) e −i et aij = (1 + w ) aîj (les coefficients de la matrice Aˆ n ), où v
2 
 1 

et w suivent deux lois normales exprimées respectivement par N v  0,
 et N w  0,
 . Les
 100 
 100 
résultats obtenus par la mise en œuvre de la méthode du gradient conjugué pour identifier le vecteur
Fonctionnelle J(x)
d’état du système sont résumés par les figures et les tableaux suivants :
10
10
10
10
10
10
5
0
-5
-10
-15
-20
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Itérations k
Figure 1. 10. Évolution de la fonctionnelle en fonction des itérations k
(matrice et mesures bruitées).
37
Erreur d’estimation
10
1
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Itérations k
Figure 1. 11. Évolution de l’erreur d’estimation en fonction des itérations k
Tableau 1. 8. Les valeurs de la fonctionnelle J ( x ) en fonction des itérations
0
1
2
3
6
7
8
Itération k
−3
−5
−10
−6
J ( x)
3
10
4
10
5
10
3
10−19
50
1.5
10
Tableau 1. 9. Les valeurs du vecteur d’état x en fonction des itérations
x1
x2
x3
x4
x5
Itération k
x − xˆ
0
1
2
3
4
1
-2.3543
1.1155
0.2098
0.1970
2
-0.0021
-1.4876
1.5085
1.6027
3
1.5334
-0.9558
-0.7693
-0.8046
4
2.8337
0.1854
-0.8622
-1.2024
5
4.0261
1.4352
-0.6325
-0.3220
55.37
55.18
54.86
54.82
54.37
6
-1.1709
8.1440
10.6073
-54.6342
37.7452
12.66
8
-1.1717
8.1461
10.6110
-54.6498
37.7568
12.68
Cet exemple montre la convergence du critère J ( x ) après 8 itérations, cependant le vecteur
d’état identifié est trop éloigné du vecteur d’état réel (voir Tableau 1. 2 et Tableau 1. 9) ce qui
confirme la convergence du vecteur d’état estimé vers le vecteur d’état du système bruité (les
remarques précédentes illustrées d’après les cas présentés dans les paragraphes (2.3.2) et (2.3.3)
confirment ces résultats). Afin d’obtenir une meilleure estimation de x̂ solution de Aˆ5 xˆ = yˆ , il est
nécessaire d’arrêter l’algorithme avant de prendre le bruit en considération.
38
2.4.
Analyses des résultats
L’ensemble des résultats obtenus montrent la robustesse de la MGC lors de la minimisation
de la fonctionnelle J ( x ) . En présence d’un second membre bruité ou bien lorsque la matrice est
perturbée, il est nécessaire de disposer d’un test d’arrêt judicieux qui prend en considération ces
perturbations afin de stopper l’algorithme avant de s’éloigner de la meilleure solution. Le choix de
ce test d’arrêt est discuté ultérieurement dans le cadre de cette étude.
La résolution du problème précédent (de type Ax = y ) dans le but de déterminer le vecteur
d’état x représente un problème classique souvent appelé dans la littérature « problème
d’estimation d’état ». Plusieurs méthodes et algorithmes d’optimisation ont été développés pour
résoudre ce type de problèmes. L’étude abordée précédemment concerne une de ces méthodes
(gradient conjugué) et dans ce qui suit, une autre méthode classique très répandue tant dans le
domaine industriel que dans le domaine académique est présentée. Celle ci a été présentée par
Rudolf Emil Kalman à la fin de l’année 1961 et est connue comme le filtre de Kalman [Kalman,
1960], [Kalman, et al., 1961]. Dans ce qui suit, une illustration didactique de la résolution d’un
problème d’identification par le filtre de Kalman pour un circuit électrique est proposée.
3. Mise en œuvre du filtre de Kalman pour l’identification paramétrique
Cette section est dédiée à la mise en œuvre de l’algorithme du filtre de Kalman dans le cadre
d’un système physique dont l’état peut être obtenu en résolvant un système matriciel de type
Ax = y . La situation étudiée concerne un circuit électrique extrêmement académique.
3.1.
Modélisation
Soit le circuit RLC présenté sur la figure suivante :
Figure 1. 12. Circuit RLC.
39
Les lois fondamentales de l’électricité permettent d’écrire :
di (t )
1
1

 di (t ) − R
e(t ) = Ri (t ) + L dt + v(t )
 dt = L i (t ) − L v(t ) + L e(t )


dv(t )

 dv(t ) 1
⇔
= i (t )
i (t ) = C
dt
C

 dt
 y (t ) = v(t )
 y (t ) = v(t )




(1. 3)
où y ( t ) = v ( t ) est la grandeur observée. L’équation du second degré est facile à résoudre et pour un
échelon en entrée de E = 10 V et les données suivantes :
R = 2000 Ω ; L = 0.01 H ; C = 10 ηF
la solution est :
E − τt
i ( t ) = − te
L
 t
v ( t ) = E 1 +
 τ
t
 −τ
e

(1. 4)
L’évolution du courant i ( t ) et de la tension aux bornes du condensateur v ( t ) est représentée ci-
i(t) en A
après.
4
x 10
-3
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-5
x 10
Temps en secondes
Figure 1. 13. Évolution du courant dans le circuit RLC.
40
v(t) en V
10
8
6
4
2
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-5
x 10
Temps en secondes
Figure 1. 14. Évolution de la tension aux bornes du condensateur dans le circuit RLC.
Dans ce qui suit, le filtre de Kalman est utilisé pour identifier en ligne le couple ( i ( t ) , v ( t ) ) à
partir d’observations bruitées de la tension aux bornes du condensateur y ( t ) = v ( t ) + z ( t ) où z ( t )
y(t) en V
est un bruit blanc Gaussien d’écart type égal à 1.
15
10
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-5
x 10
Temps en secondes
Figure 1. 15. Observations de la tension aux bornes du condensateur.
3.2.
Discrétisation du modèle mathématique
Une représentation d’état du système RLC étudié est ;
 di (t )   − R
 dt   L

=
 dv(t )   1
 dt   C
−1 
1
L  i (t )   
+ L e(t )

v(t )   


0
0 

i (t ) 
y (t ) = v(t ) + z (t ) = [ 0 1] 
 + z (t )
v(t ) 
41
Sous une forme discrète où le pas de temps est ∆t , les états et sorties sont obtenues itérativement :
−∆t  i (k ) 
 − R∆t
+1
 ∆t 
i (k + 1)   L
L 

 


=
 +  L  e( k )
v(k + 1)   ∆t

1 v(k )   0 
 C

i ( k ) 
y (k ) = v(k ) + z (k ) = [ 0 1] 
 + z (k )
v(k ) 
Le système matriciel à résoudre s’écrit :
 X k +1 = AX k + Be k
 k
k
k
 y = CX + z
Pour ce système, le filtre de Kalman est mis en œuvre.
3.3.
Filtre de Kalman discret
D’une manière générale, le filtre de Kalman vise à reconstruire l’état d’un système à partir
d’observations bruitées. Un des points forts de ce filtre est sa capacité à estimer les paramètres
inconnus et rectifier les erreurs (les bruits) de système et de mesure. En outre, ce filtre calcule une
matrice de covariance de l’erreur de système informant sur la précision du système. Néanmoins ce
filtre nécessite la connaissance des covariances des bruits. Pour comprendre le principe de ce filtre
appliqué au circuit RLC , le système suivant est considéré :
k +1
k
k
k
 x = Ax + Bu + Gw
 k
k
k
 y = Cx + v
(1. 5)
où :
k sont les instants successifs du temps,
xk ∈
n
et y k ∈
m
sont respectivement les vecteurs d’état et de sortie (mesure ou observation)
du système à l’instant k,
uk ∈
l
wk ∈
l
est l’entrée du système,
est le bruit du modèle (système) et v k ∈
m
est le bruit de mesure. Ces bruits sont
supposés Gaussiens de moyennes nulles et leurs matrices de covariance sont notées
respectivement W et V .
L’algorithme du filtre de Kalman discret (FKD) utilisé par la suite est défini comme suit [Simon,
2006] :
42
Algorithme du Filtre de Kalman Discret (FKD)
1.
Étape d’initialisation :
− Initialisation : k = 0,
− Choix du vecteur d’état initial x k = 0 et d’état estimé xˆ k =0 = x k =0 (dans le cas proposé,
aucune incertitude est considérée sur l’état initial : P k =0 = 0 )
− Calcul de la Covariance des erreurs de mesure (bruit de mesure) V = σ y2 et la covariance
des erreurs de modèle W = σ x2 .
2.
Étape d’estimation à l’itération k + 1 :
− Calcul du gain de Kalman K k
(
K k = ( AP k Atr + GWG tr ) C tr C ( AP k Atr + GWG tr ) C tr + V
)
−1
− Estimation de la nouvelle valeur de l’itéré xˆ k +1 :
xˆ k +1 = ( I − K k C ) Axˆ k + ( I − K k C ) Bu k + K k y k
− Calcul de la matrice de covariance de l’erreur d’estimation P k +1 :
P k +1 = ( I − K k C )( AP k Atr + GWG tr )
3.
k ← k + 1 et poursuivre à l’étape 2.
3.4.
Mise en œuvre du FKD pour le circuit RLC
Cet algorithme est mis en œuvre à partir des données bruitées (voir Figure 1. 15) en
i (0)  0 
considérant un état initial où le système est au repos : 
= 
v(0)  0 
Premier cas : V = σ y2 = 1 et W = σ x2 = 0 .
Les résultats sont présentés sur les courbes suivantes (les évolutions correctes sont celles données
par les équations (1. 4)).
43
i (t) en A
4
x 10
-3
i(t) réel
i(t) estimé
3
2
1
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-5
x 10
Temps en secondes
Tension en V
Figure 1. 16. Courant estimé et courant réel.
15
10
v(t)
y(t)
v(t)estimée
5
0
-5
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-5
x 10
Temps en secondes
Figure 1. 17. Tension réelle, mesurée et estimée.
L’erreur relative maximale est de l’ordre de 4% sur le courant.
Second cas : V = σ y2 = 1 et W = σ x2 = 1 .
Dans cette situation, considérant que la tension d’alimentation est bruitée par un bruit blanc
Gaussien d’écart type égal à 1V.
Dans ce cadre, l’erreur relative maximale est de l’ordre de 5.5% sur le courant.
Les résultats obtenus montrent que l’état est estimé correctement. Les bruits de mesures
n’affectent pas dramatiquement l’identification. Toutefois, il est nécessaire de mentionner que la
précision de ce filtre dépend du pas d’échantillonnage en temps et en espace ainsi que des variances
supposées connues des bruits de mesure et de système.
44
4. Bilan du chapitre
Dans ce chapitre, un aperçu historique avec quelques rappels sur la définition et les propriétés
des problèmes inverses ont été présentés. À travers les deux derniers paragraphes de la première
section, diverses applications des problèmes inverses sont détaillées. Un bref panorama de quelques
méthodes classiques pour résoudre de nombreuses classes des problèmes inverses est proposé.
Quelques méthodes de régularisation sont exposées dans la dernière partie de cette section. Un
premier cas de résolution d’un problème inverse académique présenté sous forme matricielle a été
abordé pour illustrer la mise en œuvre de la méthode de minimisation du gradient conjugué (MGC).
Différentes situations sont étudiées sans et avec bruits de mesure et de système dans la seconde
section. Dans la troisième section, un second cas d’estimation d’une fonction inconnue a été traité.
Il s’agit d’un problème d’identification d’un circuit électrique de type RLC. Ce dernier problème a
été reformulé et résolu par la mise en œuvre du filtre de Kalman discret (FKD).
CHAPITRE 2
Problèmes inverses en thermique :
exemple introductif
Sommaire
1.
Différents modes de transfert de chaleur ................................................................................... 47
1.1.
Transfert de chaleur par conduction................................................................................... 47
1.2.
Transfert de chaleur par convection ................................................................................... 48
1.3.
Transfert de chaleur par rayonnement ............................................................................... 48
1.4.
Conditions aux limites spatio-temporelles ......................................................................... 49
1.5.
Mesure de température ....................................................................................................... 51
2. Exemple d’un transfert thermique unidimensionnel.................................................................. 51
2.1.
Quelques repères historiques sur les problèmes inverses en thermique ............................ 51
2.2.
Problème direct .................................................................................................................. 52
3. Résolution du PICC-1D ............................................................................................................. 57
3.1.
Filtre de Kalman discret (PICC-1D) .................................................................................. 57
3.2.
Méthode du gradient conjugué (PICC-1D) ........................................................................ 61
4. Bilan de chapitre ........................................................................................................................ 74
Depuis plusieurs décennies, la résolution de problèmes inverses en génie thermique est une
étape essentielle pour de nombreuses applications d'ingénierie. En effet, l’identification
paramétrique peut permettre de mieux comprendre et/ou maîtriser les phénomènes qui se produisent
dans des contextes expérimentaux. Comme mentionné précédemment (cf. sous-section 1.3 du
chapitre 1), les procédés thermiques ont été largement étudiés dans la littérature relative à la
résolution de problèmes inverses. Parmi les diverses applications dans le domaine du génie
thermique, plusieurs modes de transfert de chaleur (conduction, rayonnement, convection, ainsi que
leurs couplages avec d’autres phénomènes multi-physiques, …) sont concernés, au sein de
différentes géométries et en présence de diverses conditions aux limites (de type Neumann,
Dirichlet ou mixte) et initiales (voir sous section 1.4). De manière non exhaustive les objectifs
suivants peuvent être mentionnés : la validation des modèles numériques prédictifs, l'identification
des systèmes dynamiques, l’estimation des propriétés thermo-physiques ou le diagnostic des
matériaux, ...
46
Chapitre 2. Problèmes inverses en thermique : exemple introductif
L’identification paramétrique est nécessaire lorsque une ou plusieurs entrées du système
(paramètres thermo-physiques, condition initiale, conditions aux limites, …) sont inconnues. Une
procédure d’estimation doit alors être développée afin de les identifier. Cette dernière est mise en
œuvre en réalisant des mesures de températures (parfois de flux) ponctuelles (par thermocouple par
exemple) ou surfacique (pyrométrie, caméra IR).
Compte tenu des forts intérêts et des différentes applications de l’identification paramétrique
dans le domaine du génie thermique, la littérature qui s'y rapporte est assez large, avec diverses
géométries et configurations pour une grande variété d’objectifs d’identification tels que :
conditions initiales [Muniz, et al., 1999], coefficients aux limites lors d’échanges thermiques [Li et
Yan, 2003], paramètres thermiques [Telejko et Malinowski, 2004] ou caractérisation d’une source
de chauffe [Abou-Khachfe, 2000].
Dans ce contexte de génie thermique, différentes applications sont traitées dans de récentes
références : contrôle des procédés de soudage à l'aide d’observations non intrusives [Silva, et al.,
2003], [Wippo, et al., 2012] ; prédiction de l'effet thermique des armes Laser à Haute Énergie
(LHE) afin de prédire les dommages potentiels sur une cible [Zhou, et al., 2010] ; estimation de la
température dans les tissus humains soumis à une brûlure par laser [Museux, et al., 2012]. Plusieurs
études ont été traitées dans une géométrie unidimensionnelle [Silva Neto et Özisik, 1993 (a)],
bidimensionnelle (cf. [Abou-Khachfe et Jarny, 2000-2001] et [Lefèvre et Le Niliot, 2002]), et
tridimensionnelle [Beddiaf et al., 2012 (a) & (b)]). Pour d’autres applications dans le secteur du
génie thermique, plusieurs ouvrages peuvent être cités également, parmi lesquels, il est possible de
se référer à [Beck et Arnold, 1977], [Tikhonov et Arsenin, 1977], [Beck, et al., 1985], [Murio,
1993], [Hensel, 1991], [Alifanov, 1994], [Alifanov, et al., 1995], [Minkowycz et Sparrow, 1997],
[Trujillo et Busby, 1997], [Özisik et Orlande, 2000], [Woodbury, 2002], [Tarantola, 2005], …
De tels problèmes inverses sont mal posés au sens d’Hadamard [Hadamard, 1932], [Beck, et
al., 1985] et [Hensel, 1991]. Plusieurs approches de résolution peuvent être mise en œuvre telles
que : la décomposition en valeurs singulière [Hensel, 1991], la régularisation de Tikhonov
[Alifanov, 1994] et la spécification de fonction [Blanc, et al., 1998], ...
S’inscrivant dans le cadre de l’identification paramétrique, le présent chapitre a pour objectif
la présentation et la résolution d’un problème inverse en génie thermique. Avant de proposer un
exemple illustratif de transfert de chaleur, quelques notions générales sont rappelées. Dans la
section 2 de ce chapitre, un succinct balayage historique au sujet des problèmes inverses en
thermique est exposé, puis un exemple introductif de transfert de chaleur par conduction et
convection au sein d’une géométrie unidimensionnelle (PDCC-1D) est présenté, modélisé et résolu
numériquement (par le biais du solveur de Comsol Multiphysics™ interfacé avec Matlab®). Dans
47
la section 3, un problème inverse associé à l’exemple thermique est formulé (PICC-1D) afin
d’identifier un paramètre inconnu. La résolution de ce problème est réalisée par la mise en œuvre de
deux méthodes classiques de l’identification paramétrique : le filtre de Kalman discret (FKD) et la
méthode de régularisation itérative du gradient conjugué (MGC). Les résultats obtenus par chacune
de ces méthodes sont analysés et comparés entre eux. Ce chapitre se termine par un bilan général
qui résume l’ensemble des travaux réalisés.
1. Différents modes de transfert de chaleur
Il existe trois principaux modes de transfert de chaleur : la conduction, le rayonnement et la
convection (ainsi que le couplage de ces modes entre eux).
1.1.
Transfert de chaleur par conduction
La conduction est un phénomène de diffusion de la chaleur qui permet à la chaleur de se
propager à l'intérieur d'un corps solide. Ce transfert de chaleur résulte d'un transport d'énergie
cinétique entre les particules ou groupes de particules à l'échelle atomique (voir Figure 2. 1). Un
flux de chaleur φ apparaît entre le milieu chaud (à la température θ1 ) et le milieu froid (à la
température θ 2 ).
Figure 2. 1. Transfert de chaleur par conduction.
En général, ce type de transfert est négligeable dans les milieux liquides et gazeux. Le flux de
chaleur transféré par conduction dans une direction est proportionnel au gradient de la température
dans cette direction. Il s’agit de la loi de Fourier (1822), où le flux de chauffe transféré dans la
direction x est exprimé par : φ = −λ
W.m -1.K -1 ).
∂θ
en W.m -2 , ( λ est la conductivité thermique exprimée en
∂x
48
1.2.
Transfert de chaleur par convection
La convection est un mode de transfert de chaleur induit par un fluide en mouvement en
présence d’un gradient de température. Cette convection peut être naturelle (se produit à partir de
différence de masse volumique due aux différences de températures), ou forcée (réalisée à partir des
moyens mécaniques tels que des ventilateurs, des pompes, ...). Ce mode représente le mode de
transfert privilégié dans les échangeurs thermiques. Un exemple mixte de transfert de chaleur par
convection naturelle (libre) et forcée est présenté par la Figure 2. 2.
Figure 2. 2. Transfert de chaleur par convection.
Ce mode de transfert est en général extrêmement complexe à modéliser à l’aide d’un modèle
mathématique de connaissance (basé sur les équations de Navier-Stokes). Dans des configurations
académiques, un modèle de type boite grise est souvent considéré où l’expression de la densité de
flux lors d’un transfert de chaleur par convection est donnée par : φ = h (θ P − θ F ) , où h est le
coefficient d’échange convectif en ( W.m -2 .K -1 ) , θ P et θ F sont respectivement la température de la
paroi et la température du fluide. Le coefficient d’échange convectif est difficilement mesurable
mais selon des géométries de référence (plaque plane, verticale, …) différentes valeurs peuvent être
trouvées dans la littérature [Sacadura, 1993].
1.3.
Transfert de chaleur par rayonnement
Le rayonnement est un flux d’ondes électromagnétiques émises par tous les corps quelle que
soit leur température. Ce type de transfert de chaleur ne nécessite aucun support matériel (voir
Figure 2. 3). Les gaz, les liquides et les solides sont capables d'émettre et d'absorber les
rayonnements thermiques. Ce transfert dépend de la nature des corps : type de matériau, couleur,
orientation ou nature de la surface, … L’expression simplifiée de la densité de flux rayonnée a été
définie par Stefan-Boltzmann : φ = σε (θ14 − θ 24 ) , où σ = 5.67 10−8 W.m -2 .K -4 est la constante de
49
Stefan-Boltzmann et ε est l’émissivité de la surface ( 0 ≤ ε ≤ 1) , θ1 et θ 2 étant les températures des
surfaces en regard.
Figure 2. 3. Transfert de chaleur par rayonnement.
En général ces trois modes de transferts (conduction, convection et rayonnement) coexistent
au sein d’un même procédé.
La modélisation mathématique des phénomènes thermiques correspondants à un ou plusieurs
modes de transfert de chaleur (mentionnés précédemment) est basée sur un bilan énergétique qui
décrit l’échange de la quantité de chaleur entre le domaine considéré et l’extérieur par unité de
temps. De plus des conditions initiales et d’échanges aux frontières doivent être considérés.
1.4.
Conditions aux limites spatio-temporelles
1.4.1.
Condition initiale
Cette condition définit l’état thermique originel du domaine : en général la température à
l’instant initial. Cette condition décrivant la distribution spatiale de température (notée θ0 ( x ) ou
bien θ0 dans le cas d’une température uniforme) à l’intérieur du domaine est supposée connue
initialement. Il existe cependant une classe de problèmes inverses en thermique visant à reconstruire
l’état initial inconnu.
1.4.2.
Conditions aux limites
Ces conditions décrivent des contraintes thermiques imposées sur les bords du domaine au
cours du temps. En général, trois types de conditions aux limites sont distingués.
Température imposée : cette condition est aussi dite condition de Dirichlet. Il s’agit
d’imposer l’évolution d’une température sur une ou plusieurs frontières du domaine. En
50
pratique,
il
s’avère
souvent
extrêmement
délicat
d’imposer
une
température
expérimentalement.
Densité du flux imposée : cette condition est aussi appelée condition de Neumann. Elle
traduit le fait d’imposer une densité du flux sur une ou plusieurs limites du domaine. Cette
condition doit être considérée lors de transferts convectifs ou radiatifs. Sa modélisation
∂θ
mathématique est : −λ uur = φ ( t ) , où φ ( t ) est l’intensité de la densité de flux imposée en
∂n
W.m -2 (cette valeur peut être constante ou peut éventuellement dépendre du temps t ), λ
∂θ
est la conductivité thermique du matériau donnée en W.m -1.K -1 et uur désigne la dérivée
∂n
normale de la température θ dirigée vers l’extérieur (cette dérivée représente la quantité
scalaire du gradient de température ou la magnitude de celui-ci [Battaglia, et al., 2010]).
Dans le cas où une frontière du domaine est isolée thermiquement (aucun échange), alors
∂θ
−λ uur = 0 sur cette frontière.
∂n
Condition mixte : cette condition est parfois nommée condition de Fourier, condition de
convolution ou condition de transfert linéaire à la surface ou encore condition de transfert
par coefficient d’échange. En fait, cette condition est une conséquence du bilan thermique
au niveau de l’interface du domaine [Battaglia, et al., 2010]. Cette condition fournit
souvent une description de l’évolution d’une densité du flux traversant la surface frontière
d’un domaine avec une relation de proportionnalité liée à la différence de température (une
imposée au point C par exemple et l’autre comme une température de référence notée θ∞
[Sacadura, 1993]) telle que : φ = h (θC − θ∞ ) avec h le facteur de proportionnalité ou
encore le coefficient d’échange (ou de transfert) thermique ayant pour unité de mesure
W.m -2 .K −1 . Expérimentalement, ce dernier est très difficile à appréhender et des
hypothèses simplificatrices sont considérées dans diverses situations académiques et
pratiques. Il est important de mentionner également que cette condition est plus
particulièrement utilisée lors de la modélisation des transferts thermiques en surface d’un
matériau en contact avec un fluide en mouvement.
Pour approfondir au sujet de ces conditions aux frontières, il est conseillé par exemple de se
référer à [Sacadura, 1993], [Battaglia, et al., 2010], [Radenac, 2006], ....
51
Afin de résoudre un problème inverse, il est nécessaire de disposer de mesures de
températures. Dans le paragraphe suivant, quelques éléments de thermométrie sont très brièvement
exposés.
1.5.
Mesure de température
Dans le cas où des mesures ponctuelles de température sont requises, des capteurs avec
contact peuvent être utilisés (thermocouples, thermistances, …). Néanmoins, la mise en œuvre peut
être assez rapidement limitée par le nombre de points de mesure souhaités. De plus, des erreurs de
positionnement ne sont généralement pas négligeables et le contact rarement parfait (soudure,
présence d’une graisse conductrice, …). La présence du capteur lui-même modifie les phénomènes
thermiques ce qui provoque par la suite des mesures erronées (bruit, retard, …). Enfin, pour certains
types de matériaux, il peut s’avérer délicat de placer des capteurs du fait des caractéristiques
physiques, thermo-physiques, électriques, …du milieu lui-même. Dans le cas des phénomènes
thermiques dans des milieux gazeux ou liquides, les capteurs placés sur les parois de l’enceinte où
le phénomène se produit mesurent des températures différentes des températures réelles du fluide.
Lors de certaines expériences, il n’est pas possible de mesurer la température par des capteurs au
contact direct du matériau. Le choix s’oriente alors vers des capteurs à distance qui mesurent le
rayonnement émis par la surface visée. Les principaux attraits de ce type de mesure résident en la
sensibilité des capteurs aux petites variations de température ainsi qu’en mesure quasi-instantanée.
Néanmoins, ces capteurs non intrusifs (pyromètre, caméra infrarouge) sont beaucoup plus chers que
les thermocouples. Pour approfondir au sujet de la thermométrie par rayonnement, une démarche
détaillée a été proposée par exemple dans [Legrand, 2002].
Dans ce qui suit, la résolution de problèmes inverses de conduction de chaleur est abordée
dans une géométrie unidimensionnelle.
2. Exemple d’un transfert thermique unidimensionnel
2.1.
Quelques repères historiques sur les problèmes inverses en thermique
À la fin des années 1950, la résolution d’un problème inverse en conduction dans le but
d’estimer des transferts de chaleur lors du refroidissement des corps a été proposée dans [Stolz,
1960]. Par la suite de nombreux problèmes inverses en géométrie unidimensionnelle ont été
considérés [Burggraf, 1964], [Sparrow, et al., 1964], [Imber et Khan, 1972], [Shoji, 1973], [Garifo,
et al., 1975], [Ott et Hedrick, 1977], … En ce qui concerne la résolution des problèmes inverses
52
non-linéaires en conduction, les travaux suivants peuvent être cités comme précurseurs : [Beck et
Wolf, 1965], [Beck, 1970]. De plus, des avancées majeures dans le domaine de l’électronique ont
permis un développement rapide d’informatique ainsi que des outils de calculs numériques. Dans le
domaine thermique, l’émergence de nouveaux procédés a contribué à l’intégration de l’étude des
problèmes inverses de conduction dans les domaines académiques et industriels. Des problèmes
plus complexes ont alors été considérés. À titre d’exemple, dans les années 80, dans [Weber, 1981]
un problème inverse en thermique a été traité pour des géométries plus complexes (cylindre, plaque,
sphère) en proposant une nouvelle extension de la méthode des différences finies. Celle-ci a été
mise en œuvre dans [Hensel et Hills, 1986], [Raynaud et Bransier, 1986], [Carasso, 1992], …
À partir des années 90, plusieurs problèmes inverses de conduction de chaleur ont été traités
avec différentes méthodes de résolution [Chen et Chang, 1990] par exemple pour la méthode
hybride afin de résoudre un PICC. Dans [Serra, et al., 1993] une méthode semi-numérique a été
développée et adaptée à la résolution d’un exemple expérimental de PICC. Par ailleurs dans [Taler,
1996], une méthode transitoire pour la résolution d’un problème inverse en thermique a été
proposée. Dans [Monde, 2000] une méthode analytique a été utilisée pour la résolution d’un
problème inverse de transfert de chaleur en utilisant la transformation de Laplace. Dans l’ouvrage
très complet de [Tarantola, 2005] de nombreuses méthodes de résolution des problèmes inverses en
génie thermique (Monte-Carlo, moindres carrés, …) sont décrites. Enfin, plusieurs exemples
d’identification paramétriques ont été menés à bien dans un contexte thermique en utilisant la
méthode de régularisation itérative du gradient conjugué ([Alifanov, 1994], [Alifanov, et al., 2009])
,…
Dans ce qui suit un problème inverse de conduction de la chaleur est présenté dans un cas
académique (géométrie unidimensionnelle).
2.2.
Problème direct
Considérons un phénomène de conduction de chaleur au sein d'un fil de titane (de section
négligeable) et de longueur L = 0.2 m (voir Figure 2. 4). Initialement, à t = 0 s , la température
initiale du fil est constante et notée θext égale à la température extérieure (ambiante). À la frontière
x = 0 (voir Figure 2. 4), une condition de type Dirichlet est imposée sous forme d’une température
notée θ D . À la frontière x = L , une densité de flux de chaleur dépendant du temps et notée φ ( t ) (en
W.m -2 ) est imposée (condition de type Neumann non homogène). λ est la conductivité thermique
en W.m -1.K -1 . Les propriétés thermo-physiques du fil sont considérées comme indépendantes de la
température.
53
Figure 2. 4. Barre unidimensionnelle.
Cette configuration physique peut se modéliser mathématiquement par l’ensemble des équations
aux dérivées partielles suivantes :
 ∂θ ( x; t )
∂ 2θ ( x; t )
=α
∀ ( x; t ) ∈ Ω × T

∂x 2
 ∂t

θ ( x; 0 ) = θ ext ∀x ∈ Ω


θ ( 0; t ) = θ D ∀t ∈ T

 ∂θ ( x; t )
 −λ
= −φ ( t ) ∀t ∈ T
∂x x = L

(2. 1)
avec : x ∈ Ω = ]0, L[ la variable d’espace en m et t ∈ T = 0, t f  la variable temporelle en s,
θ ( x; t ) la température en Kelvin au point x ∈ Ω à l’instant t ∈ T ,
α la diffusivité thermique du matériau en m 2 .s -1 .
Les notations et définitions des paramètres thermo-physiques du système étudié ainsi que leurs
valeurs numériques sont données dans le tableau suivant :
Tableau 2. 1. Notations et définition des paramètres.
longueur de la barre
L en m
0.2
température imposée
θ D en x = 0 en K
293
diffusivité thermique
α en m 2 .s -1
9.32 10−6
instant final
t f en s
100
conductivité thermique
λ en W.m -1.K -1
21.9
température initiale (ambiante)
θext en K
293
Sur la Figure 2. 5, le tracé du flux de chauffe φ ( t ) en fonction du temps t est présenté.
54
10
φ(t) en W.m
-2
x 10
4
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 5. Flux de chauffe imposé en x = L .
Lorsque l’ensemble des paramètres P = { L, t f , λ , α , φ , θ ext , θ D } est connu, la résolution du problème
est dite directe et permet de connaître l’état (ici la température) θ ( x; t ) . Pour ce faire, la
discrétisation peut s’appuyer par exemple sur l’utilisation des formules de Taylor [Patankar, 1980]
qui permettent d’approcher les opérateurs aux dérivées partielles décrivant le phénomène thermique
d’une manière discrète en temps et en espace. Un schéma de discrétisation explicite par le biais de
la méthode des différences finies a été mis en œuvre, en notant :
∆x le pas d’espace : les points (coordonnées) xi ( i variant de 1 à N − 1 ) avec x1 = ∆x et
xN −1 = L − ∆x ; ∆x =
L
, sont régulièrement espacés dans [ 0, L ] ,
N
∆t le pas de temps,
θik la température calculée au point xi = i∆x à l’instant tk = k ∆t .
Afin de discrétiser l’équation de la chaleur (équation (2. 1)), un schéma d’ordre 1 a été choisi pour
évaluer la dérivée temporelle et un schéma centré d’ordre 2 a été choisi pour évaluer le gradient en
k
k +1
k
 ∂ 2θ  θik+1 − 2θik + θik−1
 ∂θ  θi − θi
espace, tels que : 
=
et
.
 2 =

∆t
∆x 2
 ∂t i
 ∂x i
k
Ainsi, l’équation de la chaleur discrète se formule :
θik +1 = βθik+1 + (1 − 2β ) θik + βθik−1
avec β =
α∆t
( ∆x )
2
le nombre adimensionnel de Fourier.
(2. 2)
55
Pour décrire numériquement la condition de Neumann imposée en x = L , une différence finie
d’ordre 1 est choisie :
∂θ
∂x
k
=
θ Nk − θ Nk −1
x=L
∆x
−λ
−λ
∂θ
∂x
, il vient alors :
k
x=L
θ Nk − θ Nk −1
∆x
θ Nk
= −φ ( tk )
= −φ k
=
θ Nk −1 +
∆x
λ
φk
Ainsi, la discrétisation du système s’écrit :

i = 1 : θ k +1 = βθ k + (1 − 2 β ) θ k + βθ k
1
2
1
D

k +1
k
k
i = 2 : θ 2 = βθ3 + (1 − 2 β ) θ 2 + βθ1k

M
M
M
i = N − 2 : θ k +1 = βθ k + 1 − 2 β θ k + βθ k
(
) N −2
N −2
N −1
N −3


 ∆x k 
k +1
k
k
i = N − 1: θ N −1 = (1 − β ) θ N −1 + βθ N − 2 + β  φ 
 λ


Considérant le Tableau 2. 1, en obtenant avec
β=
α∆t
( ∆x )
2
= 0.37 ,
θ D 
θ 
 1 
θ 2 


M 
θ 
 N −2 
θ N −1 
φ 


k +1
∆x = 0.005 m
(2. 3)
( N = 40 )
et
∆t = 1 s,
β ∆x
= 8.5 10 −5 . Le système matriciel à résoudre s’écrit :
λ
k
0
0
L
0 
1
θ D 
 β 1 − 2β

β
0 L
0 

 θ1 

0
β
1 − 2β β 0 L
0  
θ

 2 
M
M
M
M
M
M
M
M
M
M 
=



0
L
0 L β 1 − 2β
0 
β

 θ N −2 

∆x  

β
β θ N −1 
0
L 0
1− β

λ 

 φ 
0
0
L
0
1

14444444444
4244444444444
3
A
ou encore X k +1 = AX k avec X k = θ D k
(2. 4)
tr
θ1k L θ Nk −1 φ k  l’état augmenté. Sachant que θ D est
constante et connaissant à chaque instant le flux de chauffe, il est possible de déterminer l’évolution
de température depuis la température initiale (connue). Les résultats de la résolution numérique du
problème direct sont présentés sur la figure suivante.
56
Température θ en K
360
340
320
300
280
100
80
60
40
Temps en secondes
20
0
0.1
arre
la b
e
d
0
ur
gue
Lo n
0.2
en m
Figure 2. 6. Résultat du problème direct.
Dès lors qu’au moins un des paramètres est inconnu, il est possible d’essayer à partir de mesures de
l’état du système d’identifier ce paramètre inconnu. Dans ce qui suit, le flux de chauffe φ ( t ) est
supposé inconnu et doit être identifié à l’aide de mesures de température. Ces dernières sont
obtenues à l’aide d’un capteur de température (thermocouple par exemple) C placé dans le
matériau en xC = L − ∆x = 0.195 m et qui permet de mesurer la température θ ( xC ; tk ) = θCk à chaque
seconde. De plus, des bruits de mesures v ( tk ) suivant une loi Gaussienne N ( 0, σ θ ) sont
considérés. Dans la figure suivante, un exemple de telles « mesures », simulées avec le flux φ ( t )
défini par la Figure 2. 5 est montré pour σ θ =1 K.
Température mesurée θ(C,t) en K
57
350
340
330
320
310
300
290
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 7. Exemple de mesures θCk en K pour σ θ =1 K.
Deux méthodes de résolution de ce problème inverse de conduction dans une géométrie 1D
(PICC-1D) sont proposées dans ce qui suit.
3. Résolution du PICC-1D
Les deux méthodes présentées ci-après sont le filtre de Kalman discret et la méthode de
régularisation itérative du gradient conjugué.
3.1.
Filtre de Kalman discret (PICC-1D)
L’hypothèse d’un flux de chauffe φ ( t ) constant par morceaux (voir un exemple similaire
dans [Daouas, et al., 2000]) introduit une erreur de modèle sachant qu’expérimentalement le flux
serait continu. Compte tenu des opérateurs utilisés, cette erreur de modèle est bornée. Dans
[Labarrere, et al., 1982], [Scarpa, et al., 1995] et [Daouas, et al., 2000] il est supposé que celle-ci
peut être compensée en introduisant dans l’équation dynamique du paramètre un bruit utile blanc de
type Gaussien N ( 0, σ φ ) noté wk :
φ k +1 = φ k + wk
(2. 5)
Considérant la discrétisation précédente qui a conduit au système (2. 4), le problème thermique peut
être représenté sous forme matricielle (2. 6) :
 x k +1 = Ax k + Bu k + Gwk
 k
k
k
 y = Cx + v
(2. 6)
58
où :
k représente l’itération relative à l’instant t k = k ∆t ,
xk ∈
n
et y k ∈
m
sont respectivement les vecteurs d’état et de sortie (mesure ou observation)
du système à l’instant t k ,
uk ∈
l
wk ∈
l
est l’entrée du système,
est le bruit du modèle (système) et v k ∈
m
est le bruit de mesure. Ces bruits sont
supposés Gaussiens et de moyennes nulles, et leurs matrices de covariance sont notées
respectivement W et V .
avec :
x k = θ1k L θ Nk −1 φ k 
A = AN × N
tr
β
1 − 2 β
 β
1 − 2β

 M
M

=
L
 0

 0

 0
0 
M 
G = GN ×1 =  
0 
 
1 
;
u k = θ Dk
;
y k = θ Ck
;
0 L
β
M
0
M
L
M
M
M
0 L β
1 − 2β
β
L
β
1− β
L
0
0
0 
0 
M 

0 
∆x 
β
λ 
1 
;
β 
0
B = BN ×1 =  
M
 
0
C = [ 0 L 0 1 0]i =1,L, N
Après avoir modélisé le comportement du phénomène thermique sous forme discrète,
l’algorithme du FKD (voir chapitre 1) peut être mis en œuvre dans le but d’identifier le flux de
chauffe φ ( t ) . Les résultats obtenus sont présentés sur les figures suivantes.
59
Température en K
350
340
330
320
310
300
290
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Flux de chauffe en W.m-2
Figure 2. 8. Comparaison entre températures estimées et mesurées pour σ φ = 5000 .
10
x 10
4
Flux réel
Flux estimé
8
6
4
2
0
-2
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 9. Comparaison entre flux estimé et flux théorique pour σ φ = 5000 .
Afin de vérifier la précision des résultats obtenus, les deux figures suivantes illustrent
respectivement l’évolution des résidus en température et en flux en fonction du temps.
60
Résidu de température en K
2
1
0
-1
-2
-3
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Résidu du flux en W.m-2
Figure 2. 10. Résidus de température en K .
2
x 10
4
1
0
-1
-2
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 11. Résidus en flux de chauffe en W.m -2 .
La valeur moyenne des résidus de température est d’environ −1.7 10 −4 K et la valeur moyenne des
résidus du flux de chauffe est d’environ −64.9 W.m -2 ; les deux écart-types de température et du
flux de chauffe sont respectivement 0.72 K et 7498 W.m -2 . Les résultats obtenus montrent que les
valeurs du résidu de flux de chauffe sont faibles (compte tenu de la valeur maximale du flux de
chauffe qui est de 105 W.m -2 ). Le biais temporel provient d’une part du schéma aux différences
finies et d’autre part du filtre de Kalman qui introduisent un retard dans la résolution numérique.
Les résultats obtenus (voir Figure 2. 8 et Figure 2. 9) montrent une convergence satisfaisante
pour identifier le flux de chauffe considéré. Les bruits de mesures n’affectent pas dramatiquement
l’identification. Toutefois, il est nécessaire de mentionner que la précision de ce filtre dépend du pas
61
d’échantillonnage en temps et en espace ainsi que des variances supposées connues des bruits de
mesure et de système. L’emplacement du (ou des) point(s) de mesure est aussi crucial. Tout ceci est
autant de limitations à la mise en œuvre du FKD dont l’intérêt principal réside en une possible
identification en ligne des paramètres.
3.2.
Méthode du gradient conjugué (PICC-1D)
3.2.1.
Principe de mise en œuvre
Le problème inverse qui consiste à identifier le flux φ ( t ) à partir de mesures de températures
θC réalisées au point C d’abscisse xC = 0.195 m (la barre faisant L = 0.2 m) peut être résolu en
minimisant un critère quadratique noté J (φ ( t ) ) qui décrit l’écart entre les mesures de température
et les résultats prédits par le modèle mathématique (problème direct) θ ( xC ; t ; φ ( t ) ) .
tf
(
)
2
1
J (φ ( t ) ) = ∫ θ ( xC ; t ; φ ( t ) ) − θC ( t ) dt
20
(2. 7)
Parmi les diverses méthodes de résolution des problèmes inverses en thermique, la méthode
de régularisation itérative du gradient conjugué (MGC) peut être mise en œuvre. Cette méthode
s’avère particulièrement pertinente lorsque le nombre de paramètres inconnus est grand ou encore
lorsque le modèle ou les mesures sont incertains (bruités). Elle a été déjà mise en œuvre avec succès
pour des systèmes dynamiques non linéaires et dans des géométries complexes (1D et 2D) (voir par
exemple [Abou-Khachfe et Jarny, 2000 & 2001], [Beddiaf, 2011] et [Silva Neto et Özisik, 1993 (a)
& (b)], …).
Pour la mise en œuvre de l’algorithme (voir chapitre 1), il est essentiel de calculer le gradient
∇J (φ ( t ) ) de la fonctionnelle à minimiser. Le flux φ ( t ) peut être approché par une fonction
linéaire continue par morceaux (sur des intervalles de longueur de 25 secondes, par exemple).
Aussi, pour l’intervalle de temps [ 0,100] secondes, le flux de chauffe peut s’exprimer sur la base
des fonctions chapeaux (voir Figure 2. 12) par :
Nt +1
φ ( t ) = ∑ φi si ( t )
(2. 8)
i =1
où N t est le nombre de pas de temps (nombre de pas d’échantillonnage) et qui vaut 4 dans la
présente étude (voir Figure 2. 12).
62
Figure 2. 12. Base des fonctions chapeaux.
Le paramètre inconnu à identifier est donc le vecteur φ = (φ1 ,K , φ5 ) ∈
5
. Le gradient de la
 ∂J 
. La méthode du gradient conjugué consiste à calculer à
fonctionnelle est le vecteur 

 ∂φi i =1,L, Nt +1
chaque itération k le gradient de la fonctionnelle ∇J (φ k ) , ce qui permet par la suite de calculer la
r
direction de descente notée d k , la profondeur de descente γ k et la nouvelle valeur de l'itéré φ k +1 .
Algorithme de la méthode du gradient conjugué (MGC)
1. Initialisation k = 0 : avec la valeur initiale du paramètre inconnu φ k =0 .
2. Résolution du problème direct pour calculer la température au point de mesure puis calculer le
( )
critère J φ k .
− Si J (φ k ) ≤ J stop , alors : arrêter la procédure d’itération et φ k est considéré comme
un estimateur satisfaisant du paramètre inconnu φ * ;
− Sinon, si J (φ k ) > J stop , alors : continuer la procédure itérative.
3. Résolution du problème adjoint afin de déduire le gradient de la fonctionnelle : ∇J k (φ k ) et la
uuur k
r
r
prochaine direction de descente d k +1 = ∇J + β k d k où β k = ∇J k
2
∇J
k −1
2
∈
+
(avec . la
norme Euclidienne et β k = 0 = 0 ),
4. Résolution du problème de sensibilité pour calculer la profondeur de descente
r
γ k +1 = Arg min J φ k − γ d k +1 dans la direction de descente.
γ∈
∗
(
)
r
5. Estimation de la nouvelle valeur du paramètre recherché φ k +1 tel que : φ k +1 = φ k − γ k +1 d k +1 .
6. k ← k + 1 et poursuivre à l’étape 2.
63
L’ensemble de ces démarches nécessite la résolution itérative de trois problèmes successifs
(considérés comme bien posés au sens d’Hadamard [Hadamard, 1932]).
1. Résoudre le problème direct pour calculer le champ de température prédit par le modèle
mathématique et la valeur du critère J (φ k ) à l'itération k .
2. Résoudre le problème adjoint (issu d’une formulation Lagrangienne [Jarny, et al., 1991],
[Abou-Khachfe, 2000], et [Gillet, 2009]) associé au paramètre inconnu φ k afin de calculer
r
l’expression du gradient ∇J (φ k ) et la prochaine direction de descente d k .
r
3. Résoudre le problème de sensibilité dans la direction d k pour calculer la profondeur de
descente γ k ; puis déduire la nouvelle valeur de l’itéré φ k +1 .
L'ensemble de ces démarches est détaillé ci après.
3.2.2.
Le problème direct (PICC-1D)
La résolution de ce problème (voir (2. 1)) permet de calculer le champ de température noté
θ ( x ; t ) à chaque instant t et en chaque point x ∈ Ω connaissant le flux φ k . Une fois ce problème
résolu, il est aisé de calculer le critère J (φ k ) .
3.2.3.
Le problème de sensibilité (PICC-1D)
La résolution de ce problème permet d'évaluer la sensibilité notée δθ ( x; t ) du champ de
température à une variation du flux δφ . La résolution de ce problème permet aussi de calculer la
profondeur de descente γ . Deux méthodes peuvent être employées pour estimer la sensibilité.
a.
Méthode par différences finies
Cette méthode consiste à étudier la sensibilité de la température aux paramètres en comparant
les températures simulées de deux problèmes directs : l’un pour θ + (la température obtenue avec le
flux varié) et l’autre pour θ (la température obtenue avec le flux nominal) puis à faire la différence
entre les deux. À titre d’exemple, pour étudier la sensibilité de θ lorsque le flux φ varie de ε , la
θ + (φ + ε φ ) − θ (φ )
sensibilité est approchée par : δθ =
.
ε
64
b.
Méthode par résolution du problème de sensibilité
Cette méthode consiste à formuler un nouvel ensemble d’équations aux dérivées partielles
satisfait par les fonctions dites de sensibilité (voir un exemple dans [Abou-Khachfe, 2000]). Soit le
vecteur du flux de chauffe φ ( t ) varié d’une valeur de φ ( t ) + εδφ ( t ) où ε est un réel positif. La
température obtenue lors de cette variation est notée θ + = θ (φ ( t ) + εδφ ( t ) ) et satisfait :
 ∂θ + ( x; t )
∂ 2θ + ( x; t )
−α
= 0 ∀ ( x; t ) ∈ Ω × T

∂t
∂x 2


θ + ( x; 0 ) = θext ∀x ∈ Ω


θ + ( 0; t ) = θ D ∀t ∈ T

 ∂θ + ( x; t )
 −λ
= − (φ ( t ) + εδφ ( t ) ) ∀t ∈ T
∂x

x=L
La comparaison avec le système non varié (2. 1) conduit à :
(
)
(
)
 ∂ θ + ( x; t ) − θ ( x; t )
∂ 2 θ + ( x; t ) − θ ( x; t )

−α
=0
∂t
∂x 2


θ + ( x; 0 ) − θ ( x;0 ) = 0


θ + ( 0; t ) − θ ( 0; t ) = 0


∂ θ + ( x; t ) − θ ( x; t )

−λ
= −εδφ ( t )
∂x

x=L

(
∀ ( x, t ) ∈ Ω × T
∀x ∈ Ω
∀t ∈ T
)
∀t ∈ T
θ (φ + εδφ ) − θ (φ )
θ + −θ
La fonction de sensibilité est donnée par : δθ = lim
= lim
. Ainsi, lorsque
ε →0
ε →0
ε
ε
ε tend vers 0, alors θ + − θ = εδθ . La fonction de sensibilité δθ ( x; t ) est solution de :
 ∂δθ ( x; t )
∂ 2δθ ( x; t )
−
=0
α

2
∂
t
∂
x

δθ ( x;0 ) = 0


δθ ( 0; t ) = 0


∂δθ ( x; t )
= −δφ (t )
 −λ
∂x

x=L
∀ ( x, t ) ∈ Ω × T
∀x ∈ Ω
∀t ∈ T
∀t ∈ T
(2. 9)
65
À noter que de même que φ ( t ) =
flux est δφ = (δφ1 ,K , δφ5 ) ∈
5
Nt +1
Nt +1
i =1
i =1
∑ φi si ( t ) , alors δφ ( t ) = ∑ δφi si ( t ) . Le vecteur variation de
. La résolution de ce problème de sensibilité permet de calculer la
valeur de la profondeur de descente notée γ k +1 à chaque itération k + 1 .
La profondeur de descente γ k +1
La profondeur de descente γ k +1 est la valeur réelle correspondant au pas optimal dans la
ur k +1
direction de descente de la nouvelle valeur de l’inconnu du flux de chauffe φ k +1 = φ k − γ k +1 d .
r
Cette grandeur γ k +1 minimise le critère J φ k − γ d k +1 :
(
)
((
tf
r k +1
r
1
J φ −γd
= ∫ θ xC ; t ; φ k − γ d k +1 − θC ( t )
20
r
L’expression de θ xC ; t ; φ k − γ d k +1 peut se mettre sous la forme :
(
)
k
(
)
2
dt
(2. 10)
)
r
(
)
θ xC ; t ; φ k − γ d k +1 ≈ θ ( xC ; t ; φ k ) − γ δθ dr
(
)
( x ; t; φ )
k
k +1
C
)
où δθ dr k +1 xC ; t ; φ k est la variation de température induite par la variation du flux dans la direction
r
r
de descente d k +1 . En remplaçant l’équation précédente dans l’expression de J φ k − γ d k +1 , il
(
)
vient :
tf
r k +1
1
J φ −γ d
≈ ∫ θ ( xC ; t ; φ k ) − γδθ dr k +1 ( xC ; t ; φ k ) − θC ( t )
20
(
(
)
k
tf
(
tf
)
)
2
dt
(
)
2
1
≈ ∫ θ ( xC ; t ; φ k ) − θC ( t ) dt − γ ∫ θ ( xC ; t ; φ k ) − θC ( t ) δθ dr k +1 ( xC ; t ; φ k ) dt
20
0
+
γ2
2
tf
∫ (δθ ( x
r
d k +1
C
)
; t ; φ k ) dt
0
2
Comme mentionné précédemment, la valeur de la profondeur de descente γ est obtenue en
r k +1
k
∂
J
φ
−
γ
d
r
minimisant le critère J φ k − γ d k +1 . Il s’agit donc de résoudre :
= 0 , ce qui est
∂γ
(
(
)
)
équivalent à écrire :
tf
(
− ∫ θ ( xC ; t ; φ
0
tf
k
) − θ ( t ) ) δθ ( x ; t;φ ) dt + γ ∫ (δθ ( x ; t;φ ) )
C
r
d k +1
k
r
d k +1
C
k
C
2
dt = 0
0
Ce qui implique que la profondeur de descente γ k +1 calculée à chaque itération k + 1 doit être :
66
tf
∫ (θ ( x
C
γ k +1 =
)
; t ; φ k ) − θC ( t ) δθ dr k +1 ( xC ; t ; φ k ) dt
0
tf
∫ (δθ ( x
r
d k +1
C
; t;φ k )
0
)
2
dt
Afin de résoudre le problème de sensibilité, il est indispensable de connaître le vecteur des
r
directions de descente d k +1 . Pour ce faire, il est nécessaire de calculer le gradient en résolvant par
exemple le problème adjoint.
3.2.4.
Le problème adjoint (PICC-1D)
Ce problème consiste à construire une fonction dite adjointe ψ ( x; t ) qui permet de déterminer
l’expression du gradient ∇J (φ ) de la fonctionnelle à minimiser J (φ ) ; se référer par exemple à
[Abou-Khachfe, 2000], [Alekseev et Navon, 2005], [Vintrou, 2009] ou encore [Jarny, et al., 1991].
Soit l (φ ,θ ,ψ ) le Lagrangien associé au problème direct de la conduction de chaleur, défini par :
 ∂θ ( x; t )

l (φ , θ ,ψ ) = J (θ , φ ) + ∫ ∫  ρ c
− λ∆θ ( x; t )  ψ ( x; t ) dx dt
∂t

0 0
tf L
L’expression de la variation du Lagrangien δ l (φ ,θ ,ψ ) est :
δ l (φ ,θ ,ψ ) =
Si ψ ( x; t ) est fixe, alors :
∂l
∂l
∂l
δθ + δφ +
δψ
∂θ
∂φ
∂ψ
∂l
∂l
∂l
δψ = 0 , et donc δ l (φ ,θ ,ψ ) devient : δ l (φ ,θ ,ψ ) = δθ + δφ .
∂ψ
∂θ
∂φ
Le choix de la fonction multiplicateur de Lagrange ψ ( x; t ) se fait pour que l’équation suivante soit
satisfaite :
∂l
δθ = 0 ∀δθ , ce qui implique que l’expression de la variation du Lagrangien
∂θ
δ l (φ ,θ ,ψ ) devient : δ l (φ ,θ ,ψ ) =
∂l
δφ .
∂φ
De plus, si θ ( x, t ) est une solution de l’ensemble des équations qui décrivent le problème direct (2.
1), alors l (φ ,θ ,ψ ) = J (φ ) , ce qui implique que : δ l (φ ,θ ,ψ ) = δ J (φ ) . L’expression du gradient de
la fonctionnelle ∇J (φ ) peut être obtenue grâce à la formulation suivante :
67
δ l (φ ,θ ,ψ ) = δ J (θ )
=
Nt +1
i =1
=
 J (φi + εδφi ) − J (φi ) 

ε



∑ lim
ε
Nt +1
→0
∂J
∑ ∂φ δφ
i =1
i
i
Considérant le problème unidimensionnel à résoudre, il est nécessaire de calculer les 5 composantes
 ∂J 
∂l
du gradient ∇J i (φ ) = 
. Afin de fixer ψ ( x; t ) de sorte que
δθ = 0 ∀ δθ la variation

∂θ
 ∂φi i =1,...,5
du Lagrangien δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) est :
δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) =
tf L
∫ ∫ (θ ( x ; t ) − θˆ ( x ; t ) ) δθ ( x; t ) δ ( x − x ) dx dt
C
C
D
C
0 0
 ∂δθ ( x; t )

+ ∫ ∫  ρc
− λ∆δθ ( x; t ) ψ ( x; t ) dx dt
∂t
0 0

tf L
où δ D ( x − xC ) est la distribution de Dirac associée au capteur d’abscisse xC . La fonction erreur
(
)
E ( x; t ) étant définie de la manière suivante : E ( x; t ) = θ ( xC ; t ) − θˆ ( xC ; t ) δ D ( x − xC ) , alors
δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) devient :
tf L
tf L

∂δθ ( x; t )
0 0
0 0

∂t
δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) = ∫ ∫ E ( x; t ) δθ ( x; t ) dx dt + ∫ ∫  ρ c

− λ∆δθ ( x; t )  ψ ( x; t ) dx dt

Soient les deux intégrales I1 et I 2 définies respectivement par :
tf
I1 = ∫ ρ c
0
∂δθ ( x; t )
∂t
L
ψ ( x; t ) dt et I 2 = ∫ −λ ∆δθ ( x; t ) ψ ( x; t ) dx
0
tf
En intégrant par parties I1 il vient : I1 =  ρ c δθ ( x; t ) ψ ( x; t )  0 − ∫ ρ c
tf
0
∂ψ ( x; t )
∂t
δθ ( x; t ) dt
L’intégration par partie pour calculer I 2 donne :

∂δθ ( x; t )  
∂ψ ( x; t )  L
∂ 2ψ ( x; t )
λ
δθ
λ
δθ
I 2 =  −λ ψ ( x; t )
x
t
x
t
dx
+
;
−
;
( )
( )
 
 ∫
2
∂
x
∂
x
∂
x

0 
0 0
L
L
En remplaçant I1 et I 2 par leurs expressions respectives dans l’équation δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) il vient :
68
δ l (θ , φ ,ψ ) =
tf L
L
0 0
0
L
∫ ∫ E ( x; t ) δθ ( x; t ) dx dt + ∫ ρ c δθ ( x; t f ) ψ ( x; t f ) dx − ∫ ρ c δθ ( x; 0 ) ψ ( x;0 ) dx
tf L
− ∫ ∫ ρc
∂ψ ( x; t )
0 0
∂t
tf
+ ∫ λδθ ( L; t )
0
tf
δθ ( x; t ) dx dt + ∫ −λψ ( L; t )
∂δθ ( L; t )
∂x
0
∂ψ ( L; t )
0
∂x
tf
dt − ∫ λδθ ( 0; t )
∂ψ ( 0; t )
∂x
0
tf
dt − ∫ −λψ ( 0; t )
∂δθ ( 0; t )
0
tf L
dt − ∫ ∫ λδθ ( x; t )
∂ 2ψ ( x; t )
∂x 2
0 0
∂x
dt
dx dt
Considérant les équations du problème de sensibilité formulées en (2. 9), l’expression précédente de
δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) se simplifie :
δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) =

∂ψ ( x; t )
∂ 2ψ ( x; t ) 
∫0 ∫0  E ( x; t ) − ρ c ∂t − λ ∂x 2  δθ ( x; t ) dx dt


tf L
tf
L
+ ∫ ρ c δθ ( x; t f ) ψ ( x; t f ) dx + ∫ λψ ( 0; t )
0
tf
0
tf
− ∫ δφ ( L; t ) ψ ( L; t ) dt + ∫ λδθ ( L; t )
0
Afin que
∂δθ ( 0; t )
∂x
∂ψ ( L; t )
0
∂x
dt
dt
∂l
δθ = 0 ∀ δθ , il est nécessaire que la fonction adjointe ψ ( x; t ) soit solution du
∂θ
problème adjoint suivant :
 ∂ψ ( x; t )
∂ 2ψ ( x; t )
c
+
= E ( x; t )
ρ
λ

∂t
∂x 2


ψ ( x; t f ) = 0


ψ ( 0; t ) = 0


∂ψ ( x; t )

−λ
=0

∂x
x= L

∀ ( x, t ) ∈ Ω × 0, t f 
∀x ∈ Ω
∀t ∈ 0, t f 
(2. 11)
∀t ∈ 0, t f 
Il est important de noter que ce problème adjoint est un problème "purement" mathématique (il ne
décrit pas un problème thermique) et que sa résolution se fait d’une manière rétrograde par rapport
au temps.
Lorsque ψ ( x; t ) est solution de (2. 11) alors δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) devient :
69
tf
δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) = − ∫ ψ ( L; t ) δφ (t ) dt
0
tf
 Nt +1

= − ∫ ψ ( L; t )  ∑ δφi si (t )  dt
 i =1

0
et comme δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) =
Nt +1
(2. 12)
∂J
∑ ∂φ δφ
i =1
i
i
Ainsi,
tf
∂J
= − ∫ ψ ( L; t ) si ( t ) dt
∂φi
0
(2. 13)
Suite à la formulation de ces trois problèmes (problème direct, problème de sensibilité et
problème adjoint) dans le but de résoudre le problème inverse unidimensionnel proposé,
l’algorithme du gradient conjugué est prêt à la mise en œuvre. Cependant, cet algorithme nécessite
de déterminer un test d’arrêt permettant de mettre fin à la procédure itérative pour une valeur
optimale du paramètre à identifier.
3.2.5.
Test d’arrêt J stop
Afin d’obtenir le meilleur estimateur du paramètre à identifier possible en dépit des bruits de
mesure ou de modèle, plusieurs études proposent différents tests d’arrêt selon le niveau du bruit.
Dans le cas où le niveau de bruit est connu, il est possible de se référer à [Alifanov et al., 1995],
[Engl, et al., 1996], [Gilyazov et Goldman, 2000], [Hanke, 1995], [Nemirovski, 1986], [Plato, 1998
& 1999] et [Plato et Vainikko, 2001]). Dans le cas où aucune information préalable sur le niveau de
bruit n’est considérée, la règle de Hanke-Raus [Hanke et Raus, 1996] peut s’appliquer. Le cas
intermédiaire où le niveau de bruit est approximativement connu, la règle proposée par [Hämarik et
Raus, 2005] peut être choisie.
Lorsque les erreurs de modèle, les erreurs de mesure et les erreurs numériques (lors de la
résolution des trois problèmes bien posés) sont négligeables, le critère d’arrêt J stop peut être choisi
proche de 0.
En considérant un bruit de mesure additif de type Gaussien et d’écart type σ , le test d’arrêt
proposé dans ([Alifanov, et al., 1995], [Huang et Chen, 1999] et [Perez, et al., 2007]) est
70
J stop =
1
N C N m σ 2 , où N C (resp. N m ) est le nombre de capteurs (resp. le nombre de mesure par
2
capteur).
Lorsque la solution φ * ( t ) est connue (uniquement dans les situations académiques ; voir
Figure 2. 5) une information supplémentaire peut être considérée : le calcul de l’Erreur de Poursuite
( EP ) .
( ) = ∫ (φ ( t )
Il s’agit de la distance EP φ
tf
k
k
)
2
− φ * ( t ) dt , où φ ( t )
0
k
est le flux estimé à
l’itération k et φ * ( t ) le flux à identifier.
3.2.6.
Résultats numériques
Dans cette sous-section, la procédure d’identification est mise en place afin de reconstruire le
vecteur du flux de chauffe inconnu φ . Pour ce faire, la méthode du gradient conjugué est mise en
()
œuvre pour calculer la nouvelle valeur de l’itéré φ en minimisant le critère quadratique J φ à
chaque itération k . De plus, il est important de noter que lors de la mise en œuvre numérique de la
MGC un rafraichissement de la direction de descente [Powell, 1977] a été considéré.
Le test d’arrêt est défini par une valeur moyenne du résidu de température inférieure à 0.003
K (dans le cas non bruité) et en utilisant la formule donnée en [Alifanov et al., 1995] (voir
paragraphe 3.2.5) pour le cas bruité.
Cas 1 : sans bruit de mesure
Soit φ k =0 ( t ) = 0 : à l’initialisation de l’algorithme, le flux de chauffe est nul pour t ∈ [ 0,100]
secondes. Les résultats de la mise en œuvre de la MGC afin d’identifier la puissance de chauffe en
()
10
10
10
5
EP(φ(t))
J(φ(t))
minimisant le critère quadratique J φ sont présentés par les deux figures suivantes :
4
10
3
10
10
10
10
6
5
2
1
0
0
2
4
6
8
10
12
Itérations k
Figure 2. 13. Évolution du critère en fonction
des itérations k .
10
4
0
2
4
6
8
10
12
Itérations k
Figure 2. 14. Évolution de l’erreur de
poursuite en fonction des itérations k .
71
Les valeurs du critère et de l’erreur de poursuite sont respectivement résumées dans le tableau
suivant :
Tableau 2. 2. Les valeurs de la fonctionnelle J (φ ( t ) ) et de l’erreur de poursuite EP (φ ( t ) )
Itération k
J (φ ( t ) )
EP (φ ( t ) )
(cas non bruité).
2
3
0
1
4
5
6
40745.6
3216.5
1143.9
841.8
50
35.7
34.9
500000
373570
235224.4
207468.6
76432.9
74706
68551.3
7
32
64332.6
8
17.2
43504.7
9
10.8
21849.6
10
3.02
19511.4
11
2.86
19704.5
12
2.8
19942.9
13
2.6
19273.2
Une comparaison entre le flux de chauffe désiré (réel) et identifié après 13 itérations est présentée
12
x 10
4
φ(t)
φ(t)
10
13
8
6
4
2
0
-2
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 15. Flux de chauffe réel φ ( t ) et flux
de chauffe identifié φ k =13 ( t ) .
Résidu du flux de chauffe en W.m-2
Flux de chauffe φ(t) en W.m
-2
par les Figure 2. 15 et Figure 2. 16.
4000
3000
2000
1000
0
-1000
-2000
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 16. Résidu du flux de chauffe en
fonction du temps t .
La comparaison entre la température simulée avec le flux de chauffe identifié après 13
itérations et la température mesurée est présentée sur la Figure 2. 17. Le tracé du résidu de
340
Température en K
température est proposé par la Figure 2. 18.
330
320
310
0.4
0.2
0
-0.2
-0.4
-0.6
300
290
0
-0.8
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 17. Température mesurée et simulée
après 13 itérations.
-1
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 18. Résidu de température en K .
72
Tableau 2. 3. Valeurs moyennes et écart-types des résidus de température.
Valeur moyenne Écart-type
Résidu de température
0.002
0.23
Résidu de flux de chauffe
471.3
1658.2
Analyse des résultats
Les résultats obtenus montrent une convergence satisfaisante de l’algorithme. Le flux identifié
tend vers le flux désiré lors de la minimisation du critère quadratique associé à ce problème inverse
( J (φ ( t ) ) ) .
Cas 2 : en présence de mesures bruitées
Soit la même configuration que précédemment en présence d’un bruit additif de type
Gaussien N ( 0,1) sur la température mesurée par le capteur (voir Figure 2. 23). Dans ce cas le test
d’arrêt J stop est fixé à 50 d’après la définition (voir paragraphe 3.2.5). Les résultats obtenus sont
10
10
10
10
10
5
EP(φ(t))
J(φ(t))
illustrés par les figures et le tableau suivant :
10
6
4
3
10
5
2
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Itérations k
Figure 2. 19. Évolution du critère et de
l’erreur de poursuite en fonction des itérations
k.
10
4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Itérations k
Figure 2. 20. Évolution de l’erreur de
poursuite en fonction des itérations k .
Tableau 2. 4. Les valeurs de la fonctionnelle J (φ ( t ) ) et de l’erreur de poursuite EP (φ ( t ) )
Itération k
J (φ ( t ) )
EP (φ ( t ) )
0
40445.7
en fonction des itérations (cas bruité).
1
2
3
4
3121.1
1573.6
923.1
372.5
…
7
…
303.1
500000
373623.6 265143.6 222191.3 102594.2
…
86452.3
8
278.5
91329.7
9
255.1
92287.1
…
…
…
17
49.7
53116.1
10
238.2
90238.3
…
…
…
15
70.7
64144.3
73
Les deux figures suivantes présentent respectivement le flux de chauffe identifié et le résidu entre le
x 10
4
φ(t)
k=17
φ(t)
8
6
4
2
0
-2
0
-2
10
Différence du flux en W.m
-2
flux de chauffe identifié (obtenu après 17 itérations) et le flux de chauffe désiré.
2000
1000
0
-1000
-2000
-3000
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 21. Flux de chauffe réel φ ( t ) et
flux de chauffe identifié φ k =17 ( t ) .
-4000
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 22. Résidu du flux de chauffe en
Les valeurs du flux de chauffe identifié permettent d’obtenir une évolution de température donnée
par la Figure 2. 23. L’écart entre la température simulée (solution du (2. 1) avec un flux de chauffe
340
Température en K
donné par φ k =17 ( t ) ) et la température mesurée est présenté sur la Figure 2. 24.
330
320
310
300
290
0
3
2
1
0
-1
-2
20
40
60
80
100
Temps en secondes
après 17 itérations.
-3
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 2. 24. Résidu de température en
La convergence du critère est obtenue après 17 itérations J (φ k =17 ) < J stop . Compte tenu du
bruit de mesure considéré, ce critère ne peut pas converger vers 0. Le flux de chauffe identifié à
l’itération 17 peut être considéré comme le meilleur estimateur du flux inconnu au regard de l’écart
entre température simulée et température mesurée.
74
Les résultats obtenus confirment la robustesse de la MGC pour résoudre ce type de problème
inverse unidimensionnel (PICC-1D). L’objectif est atteint après quelques itérations. Le tableau
suivant résume les résultats obtenus en termes de résidus en température et en flux.
Tableau 2. 5. Valeurs moyennes et écart-types des résidus de température.
Valeur moyenne Écart-type
Résidu de température
-0.0624
0.9900
Résidu de flux de chauffe
-375.7492
4736
Il est utile d’observer que l’écart type du résidu de température est de même ordre de grandeur
que l’écart-type du bruit de mesure proposé, ce qui confirme la robustesse de la MGC pour résoudre
ce type de problème inverse.
Dans ce chapitre, une attention particulière a été portée à l’identification paramétrique en
génie thermique. Pour ce faire, un bref exposé sur les différents modes de transfert de chaleur, les
méthodes de mesure de température ainsi que les divers types de conditions aux limites a été
proposé. Un exemple de PDCC-1D a également été présenté et résolu.
Dans la deuxième partie de ce chapitre, un problème d’identification paramétrique (PICC-1D)
associé au PDCC-1D (proposé précédemment) a été formulé. Deux méthodes d’identification
paramétrique ont été retenues. Chacune de ces méthodes a été définie et mise en œuvre afin
d’atteindre l’objectif visé. La robustesse et la précision de chacune ont été exposées dans le cadre de
mesures incertaines. Les résultats obtenus par la mise en œuvre numérique de chaque méthode ont
été analysés. Malgré les résultats satisfaisants obtenus par chaque méthode, il est facile d’observer
que la méthode itérative du GC a été la seule à offrir de fortes potentialités sur la qualité du
paramètre estimé avec une convergence satisfaisante du critère à minimiser. En effet, elle constitue
moins de connaissances a priori du système étudié. Le chapitre suivant propose une étude de la
résolution d’un PICC dans une géométrie plus complexe (3D) pour identifier la puissance d’une ou
plusieurs sources chauffantes.
CHAPITRE 3
Identification du flux de chauffe d’une source
surfacique en géométrie 3D
Sommaire
1.
Identification paramétrique du flux de chauffe d’une source fixe ou mobile en géométrie 3D 76
1.1.
Problème direct .................................................................................................................. 77
1.2.
1.3.
Résultats numériques ......................................................................................................... 87
1.4.
Analyse des résultats .......................................................................................................... 95
2. Identification paramétrique du flux de chauffe de deux sources de chauffe mobiles en
géométrie 3D ...................................................................................................................................... 95
2.1.
Problème direct .................................................................................................................. 95
2.2.
2.3.
2.4.
Les démarches nécessaires à la mise en œuvre de la méthode de régularisation itérative du
gradient conjugué ont été décrites dans le précédent chapitre afin d’identifier un flux en frontière
d’une géométrie 1D. L’approche présentée requiert la résolution itérative de trois problèmes bien
posés au sens d’Hadamard (problème direct, problème adjoint et problème de sensibilité). Dans ce
qui suit, l’identification du flux de chauffe délivré par une source fixe ou mobile en surface d’une
plaque (géométrie tridimensionnelle) est considérée. D’autres exemples de problèmes inverses de
conduction de la chaleur (PICC) dans différents contextes thermiques ont été traités dans [Huang et
Chen, 2000], [Rouquette, et al., 2007 (a)], [Zhou, et al., 2010], [Feng, et al., 2011] et [Zhou, et al.,
2012 (a) & (b)]).
Le présent chapitre est organisé comme suit : la section suivante permet de situer l’objectif
visé (identification du flux de chauffe surfacique) par rapport à des précédents travaux relatifs à des
problématiques similaires. Dans la sous section 1.1, le phénomène thermique considéré sera
présenté, modélisé et le problème direct résolu numériquement (en considérant la méthode des
éléments finis et le solveur de Comsol Multiphysics™ interfacé avec Matlab®). Dans le deuxième
76
Chapitre 3. Identification du flux de chauffe d’une source surfacique en géométrie 3D
paragraphe, le problème inverse est formulé et les problèmes de sensibilité et adjoint sont présentés.
Enfin, différents résultats numériques seront présentés et l’effet du bruit de mesure sera
analysé. Dans la deuxième partie de ce chapitre, un PICC-3D sera formulé et résolu afin d’identifier
des flux de chauffe inconnus délivrés par deux sources de chauffe mobiles. La démarche suivie pour
estimer ces inconnus est basée sur la mesure des températures obtenue à l’aide de cinq capteurs.
Plusieurs configurations numériques sont exposées afin de valider l’approche suivie. Enfin, un bilan
succinct clôt ce chapitre.
1. Identification paramétrique du flux de chauffe d’une source fixe ou
mobile en géométrie 3D
L’identification du flux thermique en frontière d’un domaine est une problématique répandue
en génie thermique. Dans le même contexte, il est possible de citer les études récentes suivantes :
La mise en œuvre de la méthode de spécification de fonction au sein d’un problème
unidimensionnel et bidimensionnel de la conduction de chaleur pour identifier le flux et la
surface de chauffe a été réalisée par [Gilles, et al., 1998].
Dans [Monde, 2000], une méthode analytique (à l’aide de la transformée de Laplace) a été
utilisée pour identifier le flux de chauffe au sein d’un problème inverse de la conduction de
chaleur. Cette technique a été validée par simulation numérique pour deux géométries
différentes (géométrie infinie et semi-infinie). La même année, dans [Le Niliot, et al., 2000]
une démarche d’identification de la puissance de plusieurs sources linéiques au sein d’un
problème bidimensionnel de diffusion de la chaleur est proposée à l’aide de la méthode des
éléments de frontière. Un schéma aux différences finies est mis en œuvre pour la simulation
numérique et les effets du bruit des mesures ont été analysés.
Dans [Battaglia, et al., 2001], l’estimation du flux de chauffe surfacique par la méthode
séquentielle de spécification de fonction développée par [Beck, et al., 1985] a été étudiée.
L’estimation du flux de chauffe délivré par une source de chaleur interne au sein d’une
géométrie bidimensionnelle a été obtenue à l’aide d’une transformée de Laplace et de la
méthode de différences finies [Han-Taw, et al., 2001].
Toujours en 2001, l’analyse complète d’une source de chaleur dans des procédés de diffusion
thermique considérant la résolution de divers problèmes inverses de transfert de chaleur a été
traitée par [Su et Silva Neto, 2001]. Trois problèmes inverses ont été résolus (problème
unidimensionnel cylindrique, problème bidimensionnel cylindrique et un problème inverse
unidimensionnel avec deux plaques) par la mise en œuvre de la méthode du gradient conjugué
77
sans aucune information a priori sur la dépendance (temporelle ou spatiale) de la puissance du
flux.
[Lin et Ching-yu, 2007] ont combiné une discrétisation par différences finies avec une méthode
modifiée de Newton-Raphson afin d’identifier le flux de chauffe dans un PICC-1D.
Plus récemment, dans [Girault, et al., 2010] la Méthode d’Identification Modale (MIM) a été
mise en œuvre pour identifier des puissances de deux flux de chauffe temporels fournis par
deux sources de chaleur. Cette technique a été validée par une démarche expérimentale.
Ce sujet de recherche demeure très étudié pour des géométries simples et il est possible de se
référer à [Alemdar et Pektaş, 2013] pour une démarche basée sur la mise en place de la MGC pour
identifier le flux de chauffe au sein d’un PICC-1D et basant uniquement sur la mesure de
température fournie à l’instant final. Néanmoins, la résolution de tels problèmes inverses au sein de
géométries plus complexes reste un sujet moins abordé dans la littérature. Parmi les initiatives de
résolution des problèmes inverses tridimensionnels en thermique, il est possible de mentionner
l’étude proposée dans [Huang et Chen, 2000] pour l’estimation d’un flux de chauffe surfacique en
tenant compte de la convection forcée (les résultats numériques ont été obtenus à l’aide du
programme commercial CFX 4.2 - Computational Fluid Dynamics).
Dans ce qui suit, la démarche pour la résolution d’un PICC en 3D est détaillée. Il s’agit
d’identifier l’intensité d’un flux de chauffe délivré par une source chauffante (pour deux
configurations : source fixe ou mobile). Plusieurs cas seront évalués (avec et sans bruit de mesure).
1.1.
Problème direct
Dans cette section, la modélisation du phénomène thermique est présentée. Considérons une
plaque carrée Ω ⊂
3
, de coté L et d’épaisseur e , voir (Figure 3. 1. a). La variable de temps est
 − L L   −e e   − L L 
t ∈ T = 0, t f  en seconde et la variable d’espace est ( x, y, z ) ∈ Ω = 
, ×  , × 
, 
 2 2   2 2  2 2 
en mètre. La frontière du domaine Ω est notée ∂Ω ⊂
2
. La température en K (Kelvin) est notée


θ ( x, y, z; t ) . L’échantillon considéré est chauffé sur sa face inférieure Γchauffe =  x,

−e 
, z  ∈ ∂Ω 
2 

par une source mobile (ou fixe). Cette source fournit un flux de chauffe noté φ ( t ) (en W.m -2 ), ce
dernier étant supposé uniforme sur un disque D ⊂ Γchauffe de centre I ( t ) et de rayon r = 2 10−3 m .
L’expression du flux de chauffe Φ ( x, z; t ) est ainsi définie par :
78
φ ( t ) si ( x, z ) ∈ D ( I ( t ) , r )
Φ ( x, z ; t ) = 
sinon
0
−e 

Rappelons que la source est placée sur la face inférieure de la plaque  y =
m .
2 

Il est supposé que la source de chauffe mobile suit une trajectoire circulaire sur la face
−e 

inférieure de la plaque  YS =
m  telle que I ( t ) = ( R cos (ω t ) , R sin (ω t ) ) où R est le rayon de
2 

la trajectoire de la source en ( m ) et ω est la vitesse angulaire en ( rad/s ) . À noter que si R = 0 , la
source est fixe et placée au centre de la face inférieure. L’expression du flux peut être approchée de
manière analytique et dérivable à l’aide de la fonction trigonométrique de l’arc tangente telle que :
Φ ( x, z ; t ) ≈ −
où :
( X (t ) , Z (t ))
φ (t ) 

atan  µ
π 

( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
2
 π
− µr  − 
 2
sont les coordonnées du centre de la source à l’instant t . Une attention
particulière doit être apportée au paramètre µ afin de décrire au mieux la discontinuité du flux de
chauffe considéré.
De plus, un transfert de chaleur par convection naturelle est considéré ∀ ( x, y, z ) ∈ ∂Ω le
coefficient d’échange convectif étant noté h en W.m -2 .K -1 . La géométrie tridimensionnelle (3D)
considérée est présentée sur la Figure 3. 1.
(a)
(b)
Figure 3. 1. (a). Géométrie de la plaque, (b). Trajectoire de la source.
79
Afin de mettre en évidence des transferts thermiques 3D, une petite plaque isolante (verre) est
choisie : coté L = 5 10 −2 m et épaisseur e = 2 10 −3 m . Les caractéristiques thermiques du matériau
isolant ainsi que certains paramètres d’entrée sont définis dans le tableau suivant.
Tableau 3. 1. Données du problème.
conductivité thermique
λ en W.m -1.K −1
1.2
chaleur volumique
ρ c en J.m -3 .K −1
2 106
température initiale θ0 en K
293
coefficient d’échange convectif
h en W.m -2 .K −1
20
temps final t f en s
300
En prenant en compte la température initiale de la plaque notée θ0 (égale à la température
ambiante) et l’ensemble des paramètres d’entrée {λ , ρ c, h, Φ, L, e} , le problème direct associé à ce
phénomène a pour objectif de déterminer l’évolution de la température θ ( x, y, z; t ) qui satisfait
l’ensemble des EDPs suivantes :
  ∂ 2θ (.) ∂ 2θ (.) ∂ 2θ (.) 
∂θ (.)
+
+
= ρc
λ 
2
2
2 
∂y
∂z 
∂t
  ∂x

θ ( x, y, z;0 ) = θ0
 ∂θ .
−λ r( ) = h (θ (.) − θ0 ) − Φ ( x, z; t )

∂n

∀ ( x, y, z; t ) ∈Ω× T
∀ ( x, y, z ) ∈Ω
(3. 1)
∀ ( x, y, z; t ) ∈∂Ω× T
r
sachant que n est un vecteur unitaire normal dirigé vers l’extérieur à ∂Ω . Le flux de chauffe
Flux de chauffe φ(t) en W.m-2
considéré est présenté sur la figure suivante :
x 10
4
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
Figure 3. 2. Flux de chauffe.
250
300
Temps en secondes
80
Le problème direct (3. 1) peut être résolu en utilisant la méthode des éléments finis
implémentée par le solveur Comsol MultiphysicsTM interfacé avec Matlab®.
Deux exemples numériques sont présentés ci-après : le premier correspond à une source fixe
( R = 0 m) ,
tandis
que
( trajectoire circulaire : R = 1.5
le
second
décrit
le
cas
de
la
source
mobile
)
10−2 m . Pour le premier cas, la source fixe est localisée au centre
de la face inférieure de la plaque (ce qui est correspond à une configuration axisymétrique). Sur la
Figure 3. 3. (a), l’évolution de la température en fonction du temps t ∈ T est tracée au centre de la
face inférieure et supérieure de la plaque. Un exemple de distribution spatiale de la température
500
Centre de la face inférieure
Centre de la face supérieure
400
0.02
450
380
0.01
400
Z en m
obtenue à l’instant t = 150 s est exposé sur la Figure 3. 3. (b).
350
360
0
340
-0.01
320
300
-0.02
300
-0.02
250
0
50
100
150
(a)
200
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
250
300
Temps en secondes
(b)
Figure 3. 3. (a). Évolution de la température pour une source fixe (problème direct),
(b). Distribution spatiale de la température sur la face supérieure à t = 150 s .
En considérant à présent que la source de chauffe est mobile et suit une trajectoire circulaire
( R = 1.5 10−2 m , ω =
2π
rad.s −1 ). L’évolution de la température est tracée en fonction du temps
300
t en cinq points de mesure correspondants à cinq capteurs Cm =1,...,5 placés sur la face supérieure de
la plaque (voir Figure 3. 4).
(
C1 0,10−3 ,0
81
)
(
)
(
)
(
)
(
)
C2 2 10−2 ,10−3 ,0
C3 0,10−3 , −2 10−2
C4 −2 10−2 ,10−3 ,0
C5 0,10−3 , 2 10−2
Face supérieure
Face inférieure
(a)
(b)
Figure 3. 4. (a). Positions des capteurs de température (face supérieure),
(b). Trajectoire de source (face inférieure).
Sur la Figure 3. 5, il est montré que la température la plus élevée est délivrée par le capteur
C4 à l’instant t = 168 s avec une valeur de θ ( C4 ;168 ) = 322.5 K . Un tel résultat est évidemment en
adéquation avec la trajectoire de la source : le flux de chauffe atteint une valeur maximale à
t = 168 s avec une localisation très proche du capteur ( C4 ) .
330
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
θ(C ;t)
4
θ(C ;t)
5
320
310
300
Température θ(C1;t) en K
290
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
301
300
299
298
297
296
295
294
293
0
Figure 3. 5. Évolution de la température sur la face supérieure de la plaque
(problème direct-source mobile).
82
Sur la figure suivante, quelques exemples de distributions spatiales de température sur la face
supérieure de la plaque à ( t = 60 s, t = 120 s, t = 180 s, t = 240 s et t = 300 s ) sont exposés.
à t = 60 s .
à t = 120 s .
300
0.02
360
0.02
299
350
0.01
298
340
Z en m
Z en m
0.01
297
0
330
0
296
-0.01
320
-0.01
295
310
294
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
-0.02
0.02
300
-0.02
-0.01
à t = 180 s .
0
X en m
0.01
0.02
à t = 240 s .
370
0.02
0.02
335
330
360
0.01
340
0
330
320
-0.01
325
320
Z en m
350
0
315
310
-0.01
305
310
-0.02
300
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
300
-0.02
295
-0.02
0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
à t = 300 s .
301
0.02
300
0.01
Z en m
Z en m
0.01
299
298
0
297
296
-0.01
295
294
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 3. 6. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque.
83
Dans ce qui suit, l’identification de la densité surfacique inconnue du flux de chauffe est
étudiée considérant les observations de la température obtenues à chaque seconde (un seul point de
mesure localisé sur le centre de la face supérieure de la plaque est considéré). Pour le cas de la source
fixe, le thermogramme présenté sur la Figure 3. 3. (a) (la courbe continue) est pris en compte tandis
que pour la source mobile, la température observée par le capteur C1 est considérée (Figure 3. 5).
1.2.
Problème inverse
1.2.1.
Formulation du problème inverse de la conduction de chaleur
Supposons que la puissance du flux de chauffe notée φ ( t ) délivrée par la source fixe ou
mobile est inconnue (alors que sa localisation est supposée parfaitement connue). Dans le but
d’estimer cette inconnue, un problème tridimensionnel de la conduction de la chaleur (PICC-3D) est
formulé comme un problème classique d’optimisation qui consiste à la minimisation d’un critère
quadratique noté J (φ ( t ) ) . Ce critère décrit la différence quadratique entre la température simulée
(solution du problème direct (3. 1)) et la température mesurée θˆ ( t ) fournie par le capteur C1 . Le
problème d’identification peut alors se formuler comme un problème inverse :
Déterminer la puissance du flux de chauffe φ * ( t ) tel que la fonctionnelle quadratique
J (φ ( t ) ) soit minimale :
2
tf

1   e

φ ( t ) = Arg min J (φ ( t ) ) = Arg min ∫  θ  0, , 0; t ; φ  − θˆ ( t )  dt
2
2
2
φ∈L (T )
φ∈L (T ) 2 0  


*
L’espace fonctionnel
L2 (T )
(3. 2)
est l’espace des fonctions carrées intégrables sur
T :


L2 (T ) = φ | ∫ φ 2 ( t ) dt < +∞  . Une paramétrisation de la fonction inconnue φ ( t ) à l’aide des
 T

fonctions linéaires continues par morceaux est considérée. Pour ce faire, le flux de chauffe φ ( t ) est
défini
∀t ∈ T = [ 0,300]
secondes le long de
N t = 10
intervalles de temps tels que
I n = [ pn−1 , pn ] = 30 ( n − 1) ,30n  avec n = 1,L , N t et un pas d’échantillonnage ∆t = pn − pn −1 = 30 s
84
où φ ( t ) =
N t +1
∑ φ s (t ) = φ . s (t )
i =1
i
i
tr
avec φ = (φ1 ,L , φ11 ) ∈
11
, s ( t ) = ( s1 ( t ) ,L , s11 ( t ) ) et tr est
l’opérateur transposé. Les fonctions de bases si ( t ) sont définies par :
 t − pi − 2
 ∆t

 p −t
si ( t ) =  i
 ∆t
0


si
t ∈ [ pi − 2 , pi −1 ]
si
t ∈ [ pi −1 , pi ]
sinon
Ces fonctions de bases si ( t ) sont présentées sur la figure suivante :
Figure 3. 7. Fonctions de base si ( t ) .
D’où le problème inverse discrétisé qui conduit à l’estimation du flux inconnu :
tf
2

∆t   e

φ = Arg min J (φ ) = Arg min ∫  θ  0, , 0; t ; φ  − θˆ ( t )  dt
11
11
2 0  2
φ∈
φ∈


*
(3. 3)
Sachant que θ ( x, y, z; t ; φ ) est la solution du problème direct (3. 1).
Dans le but de résoudre le précédent problème inverse mal posé, la méthode du gradient
conjugué est adoptée ; voir l’algorithme du GC présenté dans le chapitre 2 (voir section 3.2). Celuici requiert la résolution itérative de trois problèmes bien posés : problème direct (3. 1), problème de
sensibilité et problème adjoint.
1.2.2.
85
Problème de sensibilité
Ce problème consiste à déterminer la variation de température δθ ( x, y, z; t ) introduite par la
variation du flux de chauffe δφ ( t ) =
N t +1
∑ (δφ ) s ( t )
i =1
i
i
(des applications de calcul variationnel sont
présentées par [Weinstock, 1952]). En considérant l’ensemble des EDPs satisfait par
θ ( x, y, z; t ) + εδθ ( x, y, z; t ) (voir le problème direct (3. 1) avec un flux de chauffe donné par
φ ( t ) + εδφ ( t ) ) et en utilisant une des méthodes de formulation du problème de sensibilité
mentionnées dans le chapitre 2 (sous-section 3.2.3), soit δθ ( x, y, z; t ) la solution du problème de
sensibilité suivant :
  ∂ 2δθ (.) ∂ 2δθ (.) ∂ 2δθ (.) 
∂δθ (.)
+
+
λ 
 = ρ c
2
2
2
∂y
∂z 
∂t
  ∂x

δθ ( x, y, z;0 ) = 0
 ∂δθ .
()
 −λ
r = hδθ (.) − δΦ (.)

∂n

∀ ( x, y, z; t ) ∈Ω× T
∀ ( x, y, z ) ∈Ω
(3. 4)
∀ ( x, y, z; t ) ∈∂Ω× T
Pour la présente étude, la variation du flux de chauffe s’exprime :
Nt +1
tr

δφ ( t ) = ∑ (δφi ) si ( t ) = δφ . s ( t )
δΦ ( x, z; t ) = 
i =1
0

Sachant que y =
si
( x, z ) ∈ D ( I ( t ) , r )
sinon
−e
m (la source est placée sur la face inférieure de la plaque)
2
L’expression analytique de cette variation du flux de chauffe peut s’écrire par :
δΦ ( x, z; t ) = −
δφ ( t ) 

atan  µ

π 

( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
2
 π
− µr  − 
 2
En utilisant la formulation du problème de sensibilité, la profondeur de descente peut être
facilement explicitée. Rappelons qu’à chaque itération k , la profondeur de descente γ k +1 est
calculée afin de déterminer la nouvelle valeur de la puissance du flux de chauffe :
uuuur
φ k +1 = φ k − γ k +1 d k +1 .
86
En se basant sur les démarches mentionnées dans la sous-section 3.2.3 du chapitre 2 et en
prenant en compte le nombre des capteurs (fixé lors de cette étude à N C = 1 ), l’expression de la
profondeur de descente est :
tf
γ k +1 =
 
e
∫ θ  0, 2 , 0; t;φ
 ˆ  uuuur  e
k 
 − θ ( t )  δθ d k +1  0, , 0; t ; φ  dt

 2


k
0
tf
(3. 5)
2

 e

∫0  δθ duuuurk +1  0, 2 , 0; t   dt
Le calcul de la profondeur de descente nécessite la résolution du problème de sensibilité dans
la direction de descente. Cette dernière est déterminée suite à la résolution du problème adjoint.
1.2.3.
Problème adjoint
Considérons ψ ( x, y, z; t ) la fonction adjointe (solution du problème adjoint) et l (θ , φ ,ψ ) le
Lagrangien associé au problème direct défini par :
 ∂θ (.)

l (θ , φ ,ψ ) = J (φ ) + ∫ ∫  ρ c
− λ∆θ (.)  ψ (.) dt d Ω
∂t
0 Ω

tf
(3. 6)
En suivant la même procédure que celle évoquée lors du chapitre 2, sous-section 3.2.4 et en
prenant en compte l’ensemble des équations décrivant le problème de sensibilité décrit par (3. 4),
l’expression de la variation Lagrangienne δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) se simplifie comme suit :
tf

∂ψ (.)
0 Ω

∂t
δ l (θ , φ ,ψ ) = ∫ ∫  E (.) − ρ c

− λ∆ψ (.)  δθ (.) dt d Ω + ∫ ρ c δθ (.; t f ) ψ (.; t f ) d Ω
Ω

f
f
∂ψ (.)
+ ∫ ∫ λδθ (.) r d ∂Ω dt + ∫ ∫ h δθ (.) ψ (.) d ∂Ω dt − ∫ ∫ δΦ (.) ψ (.) d ∂Ω dt
∂n
0 ∂Ω
0 ∂Ω
0 Γ chauffe
tf
t
t
(
(3. 7)
)
où E ( x, y, z; t ) est la fonction erreur exprimée par : E ( x, y, z; t ) = θ ( x, y, z; t ) − θˆ ( t ) δ D ( C1 ) . Soit
ψ ( x, y, z; t ) la solution du problème adjoint décrit par :
 ∂ψ (.)
+ λ∆ψ (.) = E (.)
ρc
∂t


ψ ( x, y, z; t f ) = 0

−λ ∂ψ r(.) = h ψ .
()

∂n
∀ ( x, y, z; t ) ∈Ω× T
∀ ( x, y, z ) ∈Ω
∀ ( x, y, z; t ) ∈∂Ω× T
(3. 8)
87
Ce problème ne décrit pas un problème thermique et sa résolution se fait de manière
rétrograde par rapport au temps t . Si ψ est solution du problème adjoint décrit par (3. 8), alors
l’équation (3. 7) devient :
tf
δ l (θ , φ ,ψ ) = − ∫
∫
δΦ ( x, z; t ) ψ ( x, y, z; t ) d ∂Ω dt
0 Γchauffe
tf
=∫
∫
0 Γ chauffe
δφ ( t ) 

atan  µ

π 

( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
 tf
s (t ) 

= ∑  δφi ∫ ∫ i
atan  µ

π 

i =1 
 0 Γchauffe
Nt +1
De plus, δ l (θ , φ ( t ) ,ψ ) = δ J (φ ( t ) ) =
Le gradient de la fonctionnelle noté
tf
∂J
1

=∫ ∫
atan  µ

∂φi 0 Γchauffe π 

 π
− µ r  −  ψ (.) d ∂Ω dt
 2
( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
Nt +1
∑ δφ
i =1
2
i
2
(3. 9)

 π
− µ r  − ψ (.) d ∂Ω dt 

 2

∂J
.
∂φi
∂J
s’exprime ainsi par :
∂φi
( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
2
 π
− µ r  −  ψ ( x, y, z; t ) si ( t ) d ∂Ω dt
 2
(3. 10)
L’ensemble des étapes nécessaires pour mettre en œuvre l’algorithme de la MGC (voir
chapitre 2, section 3.2.1) est désormais défini. Dans ce qui suit, les résultats numériques obtenus par
la mise en œuvre de la MGC pour différents cas sont présentés.
1.3.
Cette sous-section est dédiée à présenter et analyser les résultats numériques obtenus par la
résolution du PICC-3D (3. 2) dans le but d’estimer l’intensité du flux de chauffe φ ( t ) dans deux
situations différentes (cas d’une source de chauffe fixe et d’une source de chauffe mobile). Ces
résultats numériques sont obtenus par la mise en œuvre de la MGC en interfaçant les logiciels de
calcul numérique Comsol-MultiphysicsTM et Matlab®. Le test d’arrêt J stop est arbitrairement fixé à
3 10−3 (pour les cas non bruités) et un rafraichissement de la direction de descente [Powell, 1977] a
été pris en compte lors de la simulation numérique.
88
1.3.1.
Source de chauffe fixe
Cas A. 1 : sans bruit de mesure
Considérant les mesures de température présentées sur la Figure 3. 3 (a) (courbe bleue) et soit
φ k =0 (t ) = 0 l’intensité du flux à l’itération initiale k = 0 . Les résultats numériques de la mise en
œuvre de la MGC sont présentés par l’évolution du critère à minimiser en fonction des itérations
J(φ(t))
k :
10
10
10
10
10
10
6
4
2
0
-2
-4
0
5
10
15
20
Itérations k
Figure 3. 8. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas A. 1 : source de chauffe fixe).
Sur la Figure 3. 9 le flux de chauffe identifié après 24 itérations et le flux de chauffe désiré (réel)
sont représentés en fonction du temps t :
12
x 10
4
φ*(t)
φk=24(t)
10
8
6
4
2
0
-2
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 9. Flux de chauffe identifié (Cas A. 1 : source de chauffe fixe).
La figure précédente illustre que les deux courbes des flux de chauffe identifié et désiré sont
confondues, ce qui atteste une identification satisfaisante de l’inconnue recherchée.
89
À l’itération 24, une comparaison entre la température mesurée et la température calculée est
réalisée :
θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
max θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t ) = 0.022 K ; max
≈ 0.007 % ;
t∈T
t∈T
θˆ ( t )
θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
2
L2 (T )
= 2 J (φ 24 ) = 0.0043
Ces résultats attestent bien des performances de la méthode d’identification.
Cas A. 2 : avec bruit de mesure
Pour ce deuxième cas, la même configuration que celle du Cas A. 1 précédent est considérée
en présence d’un bruit de mesure additif de type Gaussien N ( 0,1) (voir Figure 3. 10). La valeur du
test d’arrêt dans le cas présent donne J stop = 150 (selon la définition donnée dans du chapitre 2,
sous-section 3.2.5).
440
420
400
380
360
340
320
300
280
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 10. Température bruitée (Cas A. 2 : source de chauffe fixe
avec des mesures bruitées).
L’évolution du critère à chaque itération k est présentée dans le tableau suivant :
Tableau 3. 2. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas A. 2).
Itération k
J (φ k ( t ) )
0
1
2
3
4
5
6
998722
12479
830
393
244
205
178
7
163
8
159
9
155
12
150.1
13
149
10
11
153.19 152.71
90
x 10
4
-2
12
φ*(t)
φk=13(t)
10
8
6
300
200
100
0
-100
4
-200
-300
2
-400
0
-2
0
Résidu de flux de chauffe φ(t) en W.m
-2
Le flux de chauffe identifié est présenté ci après :
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 11. Flux de chauffe (Cas A. 2 :
source de chauffe fixe avec des mesures
bruitées).
-500
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 12. Résidu de flux (Cas A. 2 : source
de chauffe fixe avec des mesures bruitées).
Les précédents résultats confirment que 13 itérations sont suffisantes pour identifier le flux de
chauffe en prenant en compte la valeur du test d’arrêt J stop . Pour vérifier les résultats obtenus, les
deux figures suivantes présentent respectivement une comparaison entre la température mesurée et
la température simulée (avec le flux de chauffe identifié) et le résidu entre ces deux valeurs de
440
θ(φ*(t))
420
θ(φk=13(t))
température.
400
380
360
340
320
2
1
0
-1
-2
-3
300
280
0
3
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
(Cas A. 2 : source de chauffe fixe avec des
mesures bruitées).
-4
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 14. Résidu de température
(Cas A. 2 : source de chauffe fixe avec des
mesures bruitées).
91
Tableau 3. 3. Erreurs de température pour une source fixe en présence du bruit de mesure
(Cas A. 2).
max θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
t∈T
max
t∈T
3.17
θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
θˆ ( t )
θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
1.08 %
2
L2 ( T )
298.11
La valeur d’erreur moyenne de température est proche de -0.016 K, avec un écart type égal à
0.995 K. Notons que la valeur d'écart type entre la température mesurée et simulée est du même
ordre de grandeur que l’écart type du bruit de mesure proposé, ce qui confirme la robustesse de la
MGC pour résoudre ce type du problème.
1.3.2.
Source de chauffe mobile
Cas B. 1 : sans bruit de mesure
Pour cet exemple, la source mobile suit une trajectoire circulaire de rayon R = 1.5 10−2 m
(cf. Figure 3. 1, b). Dans ce cas, la valeur du flux de chauffe à l’itération initiale est φ k =0 (t ) = 0 . La
résolution du PICC-3D en utilisant la MGC et en se basant sur les valeurs de température mesurées
par le capteur C1 (voir Figure 3. 5) est effectuée. La Figure 3. 15 montre que le critère atteint une
J(φ(t))
valeur minimale (inférieure à J stop choisi) après 31 itérations.
10
10
10
10
10
4
2
0
-2
-4
0
5
10
15
20
25
30
Itérations k
Figure 3. 15. Évolution du critère en fonction des itérations
(Cas B. 1 : source de chauffe mobile).
92
Le flux de chauffe estimé à cette itération est présenté sur la Figure 3. 16.
12
x 10
4
φ*(t)
φk=31(t)
10
8
6
4
2
0
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 16. Flux de chauffe (Cas B. 1 : source de chauffe mobile).
L’erreur moyenne entre le flux de chauffe désiré et celui identifié est 217.61 W.m −2 , et l’écart entre
la température mesurée θˆ ( t ) et la température simulée θ ( C1 , t ) est faible :
θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
max θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t ) = 0.180 K ; max
≈ 0.058 % ;
t∈T
t∈T
θˆ ( t )
θˆ ( t ) − θ ( C1; t )
2
L2 (T )
(
)
= 2 J φ k =31 = 1.75
Les résultats sont satisfaisants alors que la source est mobile et que les variations de température
relevées Figure 3. 5 sont treize fois plus faibles que celles obtenues avec la source fixe (Figure 3. 3).
Cas B. 2 : avec bruit de mesure
Ce dernier cas consiste à résoudre le même précédent problème (Cas B. 1) mais en présence
d’un bruit additif de mesure de température de type Gaussien défini par N ( 0,1) (voir Figure 3. 17).
À noter que ce bruit de mesure est plus élevé (relativement aux températures observées) que celui
présenté sur la Figure 3. 10 (même si l’écart type demeure égal à 1).
93
304
302
300
298
296
294
292
290
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 17. Température bruitée (Cas B.2 : source de chauffe mobile
avec des mesures bruitées).
Les valeurs du critère en fonction des itérations sont résumées par :
Tableau 3. 4. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 2).
Itération k
(
J φ (t )
k
)
0
1
2
3340.63 326.12 129.13
Les tracés du flux de chauffe désiré et identifié après 2 itérations sont présentés sur la Figure 3. 18,
12
x 10
4
φ*(t)
φk=2(t)
10
8
6
4
Résidu du flux de chauffe en W.m-2
tandis que le résidu entre ces deux flux de chauffe est donné par la Figure 3. 19 :
2
x 10
4
1.5
1
0.5
0
-0.5
2
-1
0
-2
0
-1.5
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 18. Flux de chauffe (Cas B.2 :
source de chauffe mobile avec des mesures
bruitées).
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 19. Résidu de flux (Cas B. 2 : source
de chauffe fixe avec des mesures bruitées).
94
Les erreurs entre température mesurée et température simulée après 2 itérations sont calculées et
présentées par le Tableau 3. 5.
Tableau 3. 5. Erreurs de température pour une source mobile en présence du bruit de mesure
(Cas B. 2).
max θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
t∈T
2.85
max
θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
θˆ ( t )
t∈T
θˆ ( t ) − θ ( C1 ; t )
0.95%
2
L2 ( T )
258.26
La figure suivante montre les résidus après ces deux itérations entre la température mesurée et la
304
θ(φ*(t))
302
θ(φk=2(t))
température simulée.
300
298
296
3
2
1
0
-1
294
-2
292
290
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
(Cas B. 2 : source de chauffe fixe avec des
mesures bruitées).
-3
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 3. 21. Résidu de température (Cas B. 2 :
source de chauffe fixe avec des mesures
bruitées).
La valeur moyenne du résidu de température est égale à 0.031 K avec un écart-type de 0.93 K,
ce dernier est proche de l’écart-type du bruit de mesure (ce qui valide les résultats obtenus). En
considérant l’ensemble des résultats précédents, il est montré que le comportement de la méthode
est satisfaisant. La convergence de l’algorithme est obtenue après deux itérations alors que onze
paramètres inconnus sont recherchés. Le flux est correctement identifié compte tenu des bruits de
mesure.
1.4.
95
Dans cette étude, la méthode du gradient conjugué est efficacement mise en œuvre afin
d’estimer le flux de chauffe dans plusieurs situations différentes (une source fixe ou mobile, sans ou
en présence de mesures bruitées). Le PICC-3D associé à chaque situation a été résolu avec succès.
L’intensité du flux de chauffe est correctement identifiée dans chaque cas. Les diverses situations
traitées montrent la grande robustesse de la MGC pour traiter de tels problèmes d’identification
paramétrique. En restant toujours dans le cadre de l’identification paramétrique du flux de chauffe,
l’étude suivante illustre l’identification simultanée de deux intensités de flux de chauffe fournies par
deux sources mobiles.
2. Identification paramétrique du flux de chauffe de deux sources de
chauffe mobiles en géométrie 3D
Dans ce paragraphe, il s’agit d’identifier les flux de chauffe fournis par deux sources mobiles
se déplaçant sur la face inférieure d’une plaque en utilisant des observations de l’évolution de
température fournie par cinq capteurs de température sur la face supérieure (voir Figure 3. 22).
Cette étude est structurée de manière identique à l’étude précédente et les références mentionnées
dans le précédent paragraphe sont également retenues.
2.1.
Problème direct
Considérons une plaque de type et de dimension identique à celle utilisée dans la première
étude de ce chapitre (voir section 1.1). Cette plaque est soumise sur sa face inférieure à deux flux de
chauffe notés φS j ( t ) (avec j ∈ {1, 2} ) fournis par deux sources chauffantes mobiles notées S j de
rayon identique r (où j décrit le numéro de la source chauffante). L’expression du flux de chauffe
Φ ( x, z; t ) appliqué sur la face inférieure de la plaque est donnée par :
φS ( t )
si
 1

Φ ( x, z; t ) = φS2 ( t )
si

sinon
 0
sachant que YS j = −
Chacune
(
des
( x, z ) ∈ DS
1
( x, z ) ∈ DS
2
( I (t ) , r )
( I (t ) , r )
S1
S2
e
m.
2
sources
suit
)
une
trajectoire
notée
IS j (t )
définie
par
I S j ( t ) = R j cos (ω j t ) , R j sin (ω j t ) où R j est le rayon de la trajectoire de la source S j en ( m ) et
96
ω j est la vitesse angulaire en ( rad/s ) . Cette configuration du flux de chauffe peut être décrite
(approchée) d’une manière analytique et dérivable telle que :
NS
Φ ( x, z ; t ) ≈ ∑
j =1
−φS j ( t ) 

 atan  µ
π 

(x − X
Sj
(t ))
2
(
+ z − Z S j (t )
)
2
 π
− µr  − 
 2
où N S est le nombre des sources de chauffe (égal à 2 dans cette étude). Les coordonnées du centre
de la source S j à l’instant t sont
(X
Sj
(t ) , ZS (t ))
j
avec YS j ( t ) = −
e
en m . Cette situation est
2
schématisée par la figure suivante :
(
C1 0,10−3 ,0
)
(
C2 10−2 ,10−3 ,10−2
)
(
)
(
)
C3 10−2 ,10−3 , −10−2
C4 −10−2 ,10−3 , −10−2
(
C5 −10−2 ,10−3 ,10−2
)
Face supérieure
Face inférieure
(b)
(a)
Figure 3. 22. (a). Positions des capteurs de température (face supérieure),
(b). Trajectoire de deux sources chauffantes (face inférieure).
où O1 et O2 sont les centres des trajectoires circulaires des deux sources fixés respectivement sur la
−e 

face inférieure de la plaque  Y =
 en
2 

( 0.5
10−2 , 0 ) et
( −0.75
10 −2 , 0 ) en mètre. Les
évolutions des deux densités surfaciques de flux de chauffe fournies par les deux sources de chauffe
en fonction du temps sont données par la Figure 3. 23.
( S1 et S2 )
x 10
4
φ (t)
1
10
φ (t)
2
8
6
4
2
0
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 3. 23. Densités des deux flux de chauffe en W.m -2 .
97
La résolution numérique du problème direct permet de déterminer l’évolution de la température à
chaque seconde sur les cinq points de mesures : voir Figure 3. 25.
325
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
θ(C ;t)
θ(C ;t)
4
5
320
315
310
305
300
295
290
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 3. 24. Évolution de la température sur la face supérieure de la plaque (problème
direct-deux sources mobiles).
Sur la figure suivante, quelques exemples de distributions spatiales de température sont
proposés.
à t = 40 s .
0.02
320
0.02
0.01
315
0.01
310
0
305
-0.01
Z en m
Z en m
à t = 20 s .
350
340
330
0
320
-0.01
310
-0.02
300
300
-0.02
295
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
98
à t = 60 s .
à t = 80 s .
360
0.02
340
0.02
350
330
340
330
0
320
-0.01
310
300
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.01
320
Z en m
Z en m
0.01
0
310
-0.01
300
-0.02
0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
à t = 100 s .
0.02
304
302
Z en m
0.01
300
0
298
-0.01
296
-0.02
294
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
2.2.
Problème inverse
Il est supposé que les deux intensités du flux de chauffe sont inconnues. La MGC est mise en
œuvre afin d’estimer ces deux fonctions en minimisant le critère quadratique défini par :
(
J φS1 ( t ) , φS2 ( t )
)
tf
( (
)
)
2
1
= ∫ θ C1,...,5 ; t ; φS1 ; φS2 − θˆ ( t ) dt
20
(3. 11)
Une discrétisation sur la base des fonctions chapeaux est proposée. Pour ce faire le choix du
pas de temps est fixé à ∆t = 10 s le long d’un intervalle de temps défini par T = [0, t f ] = [0,100]
secondes.
2.2.1.
99
Ce problème reste identique au précédent problème décrit par (3. 4). En revanche, le seul
changement est donné par l’expression de la variation du flux qui devient :
Nt +1
tr

 δφS1 ( t ) = ∑ (δφi ) S1 si ( t ) = δφS1 . s ( t )
i =1

Nt +1

tr
δΦ ( x, z; t ) = δφS2 ( t ) = ∑ (δφi ) S si ( t ) = δφS2 . s ( t )
2
i =1


0


où YS j = −
si
( x, z ) ∈ DS
1
( I (t ) , r )
si
( x, z ) ∈ DS
2
( I (t ) , r )
S1
S2
sinon
e
m (avec j ∈ {1, 2} ).
2
L’expression analytique de la variation de flux s’écrit par :
NS
δΦ ( x, z; t ) ≈ ∑
j =1
−δφS j ( t ) 

 atan  µ
π


(x − X
Sj
(t ))
2
(
+ z − ZS j (t )
)
2
 π
− µr  − 
 2
Comme il a été mentionné précédemment, ce problème se résout à chaque itération k dans la
direction de descente. Cette dernière est déterminée grâce à la résolution du problème adjoint
associé au présent problème inverse.
2.2.2.
Problème adjoint
Les équations décrivant ce problème restent identiques à celles données en (3. 8), tandis que
la variation Lagrangienne s’écrit :
tf
δ l (θ , φS , φS ,ψ ) = − ∫
1
2
tf
=∫
∫
0 Γ chauffe
δΦ (.) ψ (.) d ∂Ω dt
0 Γchauffe
δφS ( t ) 

 atan  µ
∑
π 
j =1

NS
j
 NS 
= ∑  ∑  (δφi ) S
j
i =1  j =1 
 
Nt +1
∫
tf
∫ ∫
0 Γchauffe
(x − X
Sj
(t ))
si ( t ) 

 atan  µ
π 

2
(
+ z − ZS j (t )
(x − X
Sj
(t ))
2
)
(
2
 π
− µ r  −  ψ (.) d ∂Ω dt
 2
+ z − ZS j (t )
)
2


 π

− µ r  − ψ (.) d ∂Ω dt 


 2


100
En se basant sur la relation suivante :
δ l (θ , φS ( t ) , φS ( t ) ,ψ ) = δ J (θ , φS ( t ) , φS ( t ) ) =
1
2
1
2
N t +1 N S
∂J
∑ ∑ (δφ ) ( ∂φ )
i =1
i S
j
j =1
,
i S
j
Le gradient de la fonctionnelle associé à chaque inconnue peut s’écrire :
tf
 ∂J
1

=∫ ∫

 atan  µ

 ( ∂φ i ) S1 0 Γchauffe π 

tf
1
 ∂J

=∫ ∫
 atan  µ
 ∂φ
π

 ( i ) S2 0 Γchauffe 
2.3.
( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
S1
2
S1
( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
S2
S2
2
 π
− µ r  +  ψ ( x, y, z; t ) si ( t ) d ∂Ω dt
 2
 π
− µ r  +  ψ ( x, y, z; t ) si ( t ) d ∂Ω dt
 2
Dans cette sous-section, plusieurs exemples de simulations numériques sont présentés afin
d’analyser le comportement et la robustesse de la MGC pour résoudre un PICC-3D (identification
de deux densités de flux de chauffe délivrées par deux sources mobiles). Le test d’arrêt J stop est
choisi arbitrairement égal à 3 10−2 pour les cas non bruités, alors que pour les cas bruités, la
formule donnée dans le chapitre 2, sous-section 3.2.5 est retenue. Dans ces deux situations, la
formule de rafraichissement de [Powell, 1977] est prise en compte.
Cas C. 1 : sans bruit de mesure
Les deux flux de chauffe à l’itération initiale ( k = 0 ) de l’algorithme de minimisation sont
nuls : φSk1 =0 (t ) = φSk2 =0 (t ) = 0 . Les résultats de la minimisation du critère sont présentés par la figure et
le tableau suivants :
J(φS1(t), φS2(t))
10
10
10
10
10
6
4
2
0
-2
0
10
20
30
40
50
60
Itérations k
Figure 3. 26. Évolution du critère en fonction des itérations.
101
Tableau 3. 6. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 1).
Itération k
J φSk1 ( t ) , φSk2 ( t )
(
)
0
1
2
3
…
6
…
14
…
41106
3426.6
1085.4
398.9
…
80.8
…
9.09
…
26
1.12
27
0.88
…
…
49
0.11
50
0.1
52
0.092
…
…
65
0.037
66
0.029
Cette minimisation du critère est caractéristique de la convergence des deux densités estimées
vers les valeurs désirées (réelles) des deux densités des deux sources chauffantes. Les figures
12
x 10
4
φ* (t)
S1
φk=66(t)
S1
10
8
6
4
Flux de chauffe φS2(t) en W.m-2
suivantes illustrent la comparaison entre les densités des flux estimées et celles désirées.
10
x 10
4
φ* (t)
S2
φk=66(t)
8
S2
6
4
2
2
0
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
0
0
Figure 3. 27. Densité du flux de chauffe
φS1 ( t ) .
20
40
60
80
100
Temps en secondes
φS2 ( t ) .
Les Figure 3. 27 et Figure 3. 28 illustrent la convergence des densités du flux vers les deux
(
)
intensités du flux désirées. En outre, les résidus des deux flux de chauffe φS1 ( t ) et φS2 ( t ) sont
Résidu du flux de chauffe φ2(t) en W.m-2
Résidu du flux de chauffe φS1(t) en W.m-2
donnés par Figure 3. 29 et Figure 3. 30.
1000
500
0
0
-1000
-500
-1000
-2000
-1500
-3000
-2000
-2500
0
1000
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 3. 29. Résidu du flux de chauffe φS1 ( t ) .
-4000
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
102
Les valeurs moyennes des deux résidus des flux de chauffes sont égales respectivement à
−239.17 W.m -2 et 42.20 W.m -2 , et leurs écarts-types sont 714.28 W.m -2 et 1309.11 W.m -2 . Les
valeurs obtenues ont un ordre de grandeur faible par rapport à l’ordre de grandeur des puissances
réelles. Sur la figure suivante les résidus de températures sont tracés pour chaque capteur en
fonction du temps.
0.05
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
Rθ(C4;t)
Rθ(C5;t)
0
-0.05
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 3. 31. Évolution des résidus de températures.
D’après cette figure, il apparaît que les valeurs des résidus de température obtenues pour
chaque capteur de mesure sont comprises entre ±0.05 K . Ces résultats sont complétés par le tableau
suivant :
Tableau 3. 7. Valeurs des résidus températures pour chaque capteur Cm (Cas C. 1).
Valeur moyenne du résidu de
température en K
Écart-type du résidu de
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
Capteur C4
Capteur C5
0.007
0.0015
-0.0057
-0.003
0.0035
0.0125
0.0035
0.0039
0.00995
0.0138
D’après l’ensemble des résultats exposés précédemment, la convergence du critère a permis
d’identifier de manière satisfaisante les deux densités du flux de chauffe. Dans ce qui suit, un cas
d’identification de ces deux flux est proposé en présence de bruit de mesure.
103
Cas C. 2 : en présence de mesures incertaines
La même problématique traitée dans le Cas C. 1 est considérée en présence de mesures de
Température mesurée en K
température bruitées par un bruit additif de type Gaussien défini par N ( 0,1) (voir Figure 3. 32).
θ(C ;t)
330
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
θ(C ;t)
θ(C ;t)
4
5
325
320
315
310
305
300
295
290
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 3. 32. Température mesurée en présence du bruit de mesure.
Les flux de chauffe proposés à l’itération initiale restent identiques à ceux proposés dans le
Cas C. 1. Le test d’arrêt J stop est choisi égal à 250 (voir sous-section 3.2.5 du chapitre 2). Les
J(φS1(t),φS2(t))
résultats de la mise en œuvre numérique sont proposés dans le tableau et la figure suivants.
10
10
10
10
5
4
3
2
0
2
4
6
8
10
Itérations k
Figure 3. 33. Évolution du critère en fonction des itérations.
104
Itération k
J φSk1 ( t ) , φSk2 ( t )
(
0
)
1
41131.1 3623.4
8
260.8
2
3
4
5
6
7
1285.8
607.7
419.2
342.3
297
276.4
9
252.3
10
237.7
Les valeurs des deux densités du flux qui mènent à cette minimisation sont présentées
12
x 10
4
12
φ* (t)
S1
φk=10(t)
10
S1
8
6
4
2
respectivement par les Figure 3. 34 et Figure 3. 35.
x 10
4
φ* (t)
S2
10
φk=10(t)
S2
8
6
4
2
0
0
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
-2
0
Figure 3. 34. Densité du flux de chauffe φS1 ( t ) .
20
40
60
80
100
Temps en secondes
φS2 ( t ) .
Afin d’évaluer la robustesse des résultats obtenus, les résidus des deux densités de flux de
x 10
4
-2
3
Résidu du flux de chauffe φS2(t) en W.m
Résidu du flux de chauffe φS1(t) en W.m-2
chauffe fournies par les deux sources mobiles sont montrés sur les deux figures suivantes.
2.5
2
1.5
1
0.5
0
-0.5
-1
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
5
x 10
4
4
3
2
1
0
-1
-2
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Les valeurs moyennes des deux résidus des flux de chauffe imposés sont respectivement
égales à −1264 W.m -2 et 3114 W.m -2 , et leurs écarts-types sont 8662 W.m -2 et 15187 W.m -2 . Les
105
valeurs obtenues sont plus élevées que celles obtenues dans le Cas C.1 ; ces écarts sont dus au
niveau de bruit imposé sur les températures. Les résidus des températures aux cinq points de mesure
sont tracés sur la figure suivante :
4
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
Rθ(C4;t)
Rθ(C5;t)
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 3. 38. Évolution des résidus de températures.
Les valeurs moyennes ainsi que les écarts-types des résidus de température sont donnés dans
le tableau ci-après.
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
Capteur C4
Capteur C5
-0.05
-0.09
-0.1
-0.07
0.18
0.87
0.95
0.95
1.07
0.98
Ce tableau atteste également que les écarts-types des résidus de température sont du même
ordre de grandeur que celui du bruit de mesure considéré.
2.4.
Que ce soit avec des mesures non bruitées ou bien en présence de perturbations, l’algorithme
issu de la MGC permet la reconstruction des deux flux de chauffe (22 paramètres inconnus) délivrés
par deux sources mobiles. En respectant la formule de définition du test d’arrêt J stop donné pour des
observations bruitées, des résultats satisfaisants sont obtenus après quelques itérations (10
itérations). Dans ce cas, malgré les écarts sur les valeurs des densités des flux par rapport aux
densités réelles, les écarts-types de résidus de température restent du même ordre que l’écart type de
bruit de mesure. À noter que pour avoir des valeurs plus précises des deux densités du flux
identifiées par rapport à celles imposées, il serait souhaitable par la suite de réduire le pas
d’échantillonnage ∆t afin de décrire au mieux le comportement de ces deux densités.
106
Dans ce chapitre, l'identification de l’évolution temporelle de la puissance de flux de chauffe
généré par une ou plusieurs sources de chauffe (fixe ou mobiles) a été traitée dans une géométrie
tridimensionnelle. L'algorithme du gradient conjugué a été appliqué avec succès pour un tel
problème mal posé. À chaque itération, les directions de descente sont calculées en résolvant le
problème adjoint (issu de la formulation Lagrangienne), tandis que la profondeur de descente est
obtenue à partir de la résolution du problème de sensibilité. Considérant des mesures bruitées, la
régularisation itérative est fiable et l'algorithme de minimisation montre une grande robustesse lors
de la procédure d’identification du flux. De plus, la convergence est obtenue rapidement (quelques
itérations sont suffisantes pour atteindre des densités de flux proches des flux réels). Une
communication internationale relative à la première étude considérée dans ce chapitre pour un autre
type de matériau est disponible dans [Beddiaf, et al., 2012 (a)]. Les résultats obtenus dans chapitre
ont été diffusés dans un journal international [Beddiaf, et al., 2013 (c)].
Après avoir validé la robustesse de la méthode du gradient conjugué pour identifier
l’évolution temporelle de la puissance d’un ou plusieurs flux de chauffe au sein d’un problème
tridimensionnel de la conduction de chaleur, la localisation d’une ou plusieurs sources chauffantes
fixes est détaillée dans le prochain chapitre.
CHAPITRE 4
Localisation de sources chauffantes
en géométrie 3D
Sommaire
1.
Identification paramétrique de la position de sources chauffantes fixes ................................. 108
1.1.
Problème direct ................................................................................................................ 109
1.2.
1.3.
1.4.
2. Localisation en temps réduit .................................................................................................... 122
2.1.
2.2.
3. Identification de la trajectoire d’une source de chauffe mobile .............................................. 136
3.1.
Problème direct ................................................................................................................ 136
3.2.
3.3.
3.4.
Dans le précédent chapitre, l’identification d’une ou plusieurs densités du flux de chauffe
surfaciques a été réalisée en mettant en œuvre la méthode de régularisation itérative du gradient
conjugué dans une géométrie tridimensionnelle. Dans ce qui suit, la localisation (l’identification des
coordonnées) d’une ou plusieurs sources fixes ainsi que l’identification de la trajectoire d’une
source mobile sont étudiées. À travers les divers cas proposés, plusieurs capteurs de température
ainsi que plusieurs sources de chauffe seront utilisés. Trois configurations sont traitées : la
localisation de deux sources de chauffe fixes (avec un temps de résolution suffisamment long pour
les localiser), l’estimation des coordonnées d’une ou plusieurs sources chauffantes fixes en temps
réduit et enfin l’identification de la trajectoire d’une source mobile.
Pour ce faire, le présent chapitre est organisé comme suit. Dans la première section, la
résolution d’un PICC-3D est réalisée par la mise en œuvre de la MGC afin d’identifier la position
de deux sources chauffantes fixes, des exemples de résolution numérique sont fournis et l’influence
du bruit de mesure est présentée. Dans la deuxième section, la localisation d’une ou plusieurs
108
Chapitre 4. Localisation de source chauffante en géométrie 3D
sources de chauffe stationnaires a été également effectuée en considérant un intervalle de temps
réduit. Dans la troisième section, il est supposé que la trajectoire d’une source de chauffe mobile est
inconnue. Plusieurs cas sont présentés avec diverses situations (différentes trajectoires initiales et
désirées, diverses formes de densité du flux, sans et avec des mesures incertaines). Les résultats
numériques présentés sont basés sur l’utilisation du solveur de Comsol-Multiphisics™ interfacé
avec Matlab®.
Pour chacune de ces études, un PICC-3D mal posé au sens d’Hadamard sera formulé et résolu
par la MGC. Cette dernière nécessite la résolution itérative de trois problèmes successifs bien posés
au sens d’Hadamard (problème direct, problème adjoint et problème de sensibilité) ; voir chapitre 2,
section 3.2. Quelques éléments bibliographiques sont préalablement présentés afin de positionner la
présente démarche par rapport aux précédents travaux de même nature.
1. Identification paramétrique de la position de sources chauffantes fixes
Durant les deux dernières décennies, différentes méthodes ont été appliquées avec succès afin
d’estimer la localisation d’une ou plusieurs sources chauffantes en géométrie unidimensionnelle et
bidimensionnelle. La progression chronologique suivante peut être considérée : en 1993, dans les
travaux de [Silva Neto et Özisik, 1993 (a)], la puissance ainsi que la profondeur d’une source
chauffante ont été identifiées dans une géométrie unidimensionnelle (des mesures de température
étant effectuées sur les deux extrémités du domaine).
Puis en 2000, la localisation et la détermination de la puissance de deux sources ponctuelles
au sein d’un domaine bidimensionnel ont été menées à bien dans [Abou-Khachfe et Jarny, 2000]
par la mise en œuvre d’une méthode de régularisation itérative du gradient conjugué.
Dans les travaux de [Le Niliot et Lefèvre, 2001], de multiples sources de chaleur linéiques
sont positionnées. Un problème de diffusion avec une application expérimentale dans une géométrie
bidimensionnelle a été proposé et résolu en utilisant la méthode d’intégrale de frontière (BIF :
Boundary Integral Formulation) combinée à des fonctions de Green.
Dans [Yi et Murio, 2004], l’identification d’un terme source au sein d’un PICC-1D est
effectuée par l’utilisation d’une procédure de régularisation basée sur "The Mollification Method,
and a marching scheme".
Durant la même année 2004, se basant sur la référence [Beck et Arnold, 1977] et utilisant
également la méthode des éléments de frontière (BEM : Boundary Element Method), un problème
d’identification paramétrique a été résolu par [Le Niliot et Lefèvre, 2004] afin d’identifier des
109
sources de chauffe ponctuelles. Quelques résultats numériques et expérimentaux sont présentés par
ces deux auteurs au sein d’une géométrie bidimensionnelle.
Plus récemment, les travaux de [Renault, et al., 2008 & 2010] sont dédiés à la résolution d'un
PICC-2D. Enfin, l’identification spatiale d’une source chauffante au sein d’un PICC-1D a été
réalisée par l’utilisation d’une méthode de troncature et en se basant sur la solution analytique de
l’équation de chaleur [Xiao-Xiao et Fan, 2011].
Dans ce qui suit, la méthode itérative du gradient conjugué a été retenue afin de résoudre le
PICC-3D. Cette étude est organisée de la même manière que le chapitre précédent. Le prochain
paragraphe est dédié à la modélisation du système physique.
1.1.
Problème direct
Considérons une plaque de titane tridimensionnelle carrée Ω ⊂
3
, de dimensions identiques
à celles présentées dans le chapitre 3 (voir Figure 3. 1. (a)). Rappelons que θ ( x, y, z; t ) est la
température en Kelvin ( K ) et que θ0 est la température initiale de la plaque. Un phénomène de
convection est considéré sur toutes les frontières de la plaque ( ∀ ( x, y, z ) ∈ ∂Ω ) . De plus, cette
 −e 

plaque est chauffée sur sa face inférieure Γchauffe =  x, , z  ∈ ∂Ω  par plusieurs sources fixes
 2 

notées S j (où j = 1,..., N S , avec N S le nombre de sources).
Chacune des sources fournit un flux de chaleur temporel connu et noté φS j ( t ) (en W.m -2 ),
(
ces flux sont supposés uniformes sur des disques DS j ⊂ Γchauffe des centres I S j X S j , Z S j
rayons égaux à r = 2 10−3 m (avec YS j =
)
et des
−e
m ). Cette configuration réaliste peut être réalisée en
2
considérant une chauffe radiative sans contact (laser ou ampoule par exemple).
Dans le cadre de cette étude, le flux de chauffe Φ ( x, z; t ) est défini par :
(
φ ( t ) si ( x, z ) ∈ D I , r
Sj
Sj
Φ ( x, z ; t ) =  S j
sinon
0
)
Dans ce qui suit, le nombre des sources est fixé à deux ( N S = 2 ) . L’expression du flux peut
être approchée de manière analytique et dérivable comme suit :
Φ ( x, z ; t ) ≈
φS ( t )
φS ( t )
FS ( x, z ) +
FS ( x, z )
π
π
1
2
1
2
(4. 1)
110
( (
))
où : FS j ( x, z ) = −atan µ ξ S j ( x, z ) − r +
π
2
, avec µ ∈
+
et ξ S j ( x, z ) =
(x − X ) +(z − Z )
2
Sj
Sj
2
. Le
paramètre de régularisation µ , utilisé dans l’expression de Φ ( x, z; t ) , a été choisi de manière
adéquate afin de décrire la discontinuité des flux de chauffe.
L’évolution de la température est décrite par le système d’EDPs (4. 1). Les notations et les
grandeurs thermo-physiques du matériau choisi sont détaillées dans le tableau suivant :
Tableau 4. 1. Données du problème.
conductivité
thermique
λ en W. m-1. K-1
température
chaleur
coefficient d’échange
temps final
initiale (ambiante)
volumique
convectif h
t f en s
ρ c en J. m-3.K-1
θ0 en K
en W. m-2. K-1
2.35 106
21.9
20
293
300
Lorsque tous les paramètres d’entrée du modèle sont connus, ce problème direct peut être
résolu numériquement en utilisant la méthode des éléments finis (Comsol-Multiphisics© interfacé
avec Matlab©). La température θ ( x, y, z; t ) peut alors être calculée et sera considérée comme
"température mesurée θˆ ( Cm ; t ) " (en l’absence de dispositif expérimental) dans les sections
suivantes qui sont consacrées à la résolution d’un PICC-3D. Considérons par exemple deux sources
−e 

chauffantes sur la face inférieure de la plaque  YS j =
m  placées respectivement en
2 

I S1 ( 0.01, 0.01) et I S2 ( −0.01, −0.01) (voir Figure 4. 1. (a)). Les valeurs de la température mesurée
sont fournies par trois capteurs
( N C = 3)
sur la face supérieure de la plaque et de coordonnées
e
e
 e





C1  0, , 0.006  , C2  −0.0052, , −0.003  et C3  0.0052, , −0.003  (Figure 4. 1. (b)).
2
2
 2





(a)
(b)
Figure 4. 1. (a). Positions des sources et (b). Positions des capteurs.
Les flux de chauffe sont définis selon les deux cas suivants.
111
x 10
5
-2
10
Flux de chauffe en W.m
-2
8
φ (t)
6
4
10
x 10
5
φ (t)
S1
φ (t)
S2
8
6
4
2
2
0
0
50
100
150
200
0
0
250
300
Temps en secondes
Figure 4. 2. Cas A : Les flux de chauffe
φS1 ( t ) = φS2 ( t ) = φ ( t ) .
(
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 4. 3. Cas B : Les flux de chauffe
φS1 ( t ) et φS2 ( t ) sont distincts.
)
La résolution numérique du problème direct permet d’obtenir l’évolution des températures pour le
1200
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
3
1000
0.02
800
0.01
600
0
820
800
Z
780
760
740
-0.01
400
720
-0.02
200
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
900
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
700
-0.02
Figure 4. 4. Évolution de la température
(problème direct – Cas A).
Cas A (Figure 4. 4 et Figure 4. 5) et pour le Cas B (Figure 4. 6).
-0.01
0
X
0.01
0.02
Figure 4. 5. Exemple de la distribution
spatiale (Cas A, pour t = 200 s )
θ(C ;t)
3
800
700
600
500
400
300
200
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 4. 6. Évolution de la température (problème direct – Cas B).
112
Dans le cas où les positions I S j des centres de deux sources sont inconnues, une procédure
basée sur la résolution d’un problème inverse peut être mise en place afin d’identifier ces paramètres
inconnus à partir des valeurs de température délivrées à chaque seconde par les trois capteurs de
mesure Figure 4. 1. (b).
1.2.
Problème inverse
−e


Supposons que les coordonnées des centres des deux sources I S* j  X S* j , , Z S* j 
soient
2

 j =1,2
(
) {
}
inconnues. Afin de déterminer I * = I S*1 , I S*2 = X S*1 , Z S*1 , X S*2 , Z S*2 , un problème inverse est résolu en
minimisant un critère quadratique J ( I ) qui décrit la différence entre les températures calculées et
les températures mesurées par chaque capteur de mesure [Abou-Khachfe et Jarny, 2000 & 2001],
[Beddiaf, et al., 2012 (b) & (c)].
tf
(
)
2
1 NC
J ( I ) = ∫ ∑ θ ( Cm ; t ; I ) − θˆ ( Cm ; t ) dt
2 0 m=1
(4. 2)
où les points de mesures sont notés Cm (définis précédemment, Figure 4. 1. (b)) et la température
mesurée au capteur Cm est θˆ ( Cm ; t ) . Les valeurs des coordonnées des centres des sources sont
obtenues en minimisant cette fonctionnelle quadratique : I * = Argmin J ( I ) . Le critère (4. 2) peut
4
s’écrire également d’une manière discrète (en considérant un pas d’échantillonnage en temps ∆t ),
tel que :
Jd ( I ) =
(
∆t f NC
∑∑ θ ( Cm ; tn ; I ) − θˆ ( Cm ; tn )
2 n =1 m=1
t
)
2
La minimisation de ce critère s’effectue en utilisant l’algorithme de la MGC.
(4. 3)
113
1.2.1.
Méthode du gradient conjugué pour la localisation des sources
La structure de l’algorithme du gradient conjugué reste similaire à celle donnée dans la
(
) doivent être déterminées à chaque itération, ce
coordonnées { X , Z , X , Z } . La formule de calcul est
section 3. 2 du chapitre 2. Deux positions I Sk1 , I Sk2
k
S1
qui est équivalent à estimer quatre
( )
k
S1
( )
k
S2
k
S2
uuuur
uuuur
donnée par X Sk j+1 = X Sk j − γ k +1 d Sk j+1 , Z Sk j+1 = Z Sk j − γ k +1 d Sk j+1 , avec
1
2
(( ) ( ) )
uuuur
uuuur
d Sk j+1 , d Sk j+1
1
étant les
2
deux coordonnées de la direction de descente associée à la source de chauffe S j . Il est important de
noter que
( ) (
uuuur
d Sk j+1
1
( ))
uuuur
resp. d Sk j+1
fait référence à la première composante (resp. la deuxième
2
uuuur
composante) du vecteur de direction de descente d Sk j+1 qui sera utilisée pour déterminer la première
coordonnée notée X S j (resp. la deuxième coordonnée notée Z S j ) du centre I S j .
Chaque
uuuur
β k = ∇J k
2
direction
uuuuur 2
∇J k −1 ∈
uuuur  ∂J
∂J
∇J k = 
,
 ∂X S ∂Z S
j
j

de
+*
 k k
 X S j , ZS j


(
descente
.
(avec
)
j =1,L, N S
est
exprimée
la
norme
par
uuuur uuuur
uuur
d Sk j+1 = ∇J Sk j + β k d Sk j
Euclidienne
et
β k =0 = 0 )
où
et
est le gradient de la fonctionnelle J ( I ) (en rappelant que lors
de cette étude N S = 2 ).
Dans les sections suivantes, le problème de sensibilité ainsi que le problème adjoint sont
présentés.
1.2.2.
Soit δθ ( x, y, z; t ) la variation de température induite par une variation des paramètres
{
}
inconnus δ I = δ X S1 , δ Z S1 , δ X S2 , δ Z S2 . La valeur de δθ ( x, y, z; t ) est obtenue par la résolution du
problème de sensibilité ci-après. Notons que l’ensemble des équations décrivant le problème de
sensibilité est identique à (3. 4) (voir chapitre 3), tandis que la variation du flux de chauffe peut
s’exprimer par :
(
δ Φ ( x, z ; t ) = φS ( t ) 1 D
1
+
S1 \ DS1
−1 D
+
S1 \ DS1
) + φ (t ) (1
S2
DS+2 \ DS2
−1 D
S2
\ DS+2
)
114
1 si ( x, z ) ∈ A et ( x, z ) ∉ B
où : 1 A\ B ( x, z ) = 
et DS+j est le disque de rayon r et de centre varié
0 sinon
I S j + δ I S j (sachant que la coordonnée YS j est fixée sur la face inférieure de la plaque YS j =
−e
m)
2
Cette variation de flux peut aussi être exprimée de manière analytique à partir de (4. 1) comme suit :
δ Φ ( x, z ; t ) ≈
avec : δ FS j ( x, z ) =
où : AS j ( x, z ) =
(
φS ( t )
φS ( t )
δ FS ( x, z ) +
δ FS ( x, z ) ,
π
π
)
( x, z ) 1 + ( µ (ξ

1
2
1
(
2
(
−µ δ X S j X S j − x + δ X S j X S j − z
ξS
j
(
−µ X S j − x
( (
( x, z ) − r ) )
Sj
)
))

ξ S j ( x, z )  1 + µ ξ S j ( x , z ) − r

2



2



)) = A
Sj
( x, z ) δ X S
et BS j ( x, z ) =
+ BS j ( x, z ) δ Z S j
j
(
−µ Z S j − z
( (
)

ξ S j ( x, z )  1 + µ ξ S j ( x , z ) − r

))
2



.
Finalement, il vient :
NS
δ Φ ( x, z ; t ) ≈ ∑
φS ( t )
j =1
j
π
(A
Sj
( x, z ) δ X S
+ BS j ( x, z ) δ Z S j
j
)
(4. 4)
Pour déterminer la profondeur de descente à la prochaine itération :
(
uuuur
γ k +1 = Arg min J I k − γ d k +1
γ∈
*
)
((
)
uuuur
2
 1 t f NC

= Arg min  ∫ ∑ θ Cm ; t ; I k − γ d k +1 − θˆ ( Cm ; t ) dt 
 2 0 m =1

γ∈ *


)
En suivant les démarches mentionnées dans la sous-section 3.2.3 du chapitre 2, l’expression de la
profondeur de descente est :
tf N
C
γ
k +1
=
∫ ∑ (θ ( C
0 m =1
m
)
)
(
)
; t ; I k − θˆ ( Cm ; t ) δθ uuuur
Cm ; t ; I k dt
k +1
d
tf N
C
∫ ∑ (δθ ( C
0 m =1
uuuur
d k +1
m
; t; I
k
) ) dt
(4. 5)
2
Le problème de sensibilité (3. 4) (Chapitre 3) (avec la variation du flux donnée par (4. 4)) sera
uuuur uuuuur
résolu numériquement à chaque itération k dans la direction de descente d k +1 = d1,kL+1,4 afin de
calculer la profondeur de descente γ k +1 donnée par l’équation précédente.
115
1.2.3.
Afin
de
Problème adjoint
calculer
à
uuuur  ∂J ∂J ∂J
∂J
∇J k = 
,
,
,
 ∂X S ∂Z S ∂X S ∂Z S
1
1
2
2

chaque
itération
le
gradient
de
la
fonctionnelle
noté
 k k
k
k
 X S1 , Z S1 , X S2 , Z S2 , la procédure de formulation du problème

(
)
adjoint a été suivie (chapitre 2, sous-section 3.2.4). Ce problème reste identique à celui exprimé par
tf
(4. 8). La variation du Lagrangien s’exprime ici par : δ l (θ , φ ,ψ ) = − ∫
∫ ψ (.) δΦ (.) d ∂Ω dt
où la
0 ∂Ω
variation du flux de chauffe δ Φ ( x, z; t ) est exprimée en (4. 4). D’où, il vient :
tf
NS
δ l (θ , φ ,ψ ) = − ∫ ∫ ψ (.) ∑
0 ∂Ω
uuur
Comme ∇J , δ I
L2 ( ∂Ω×T )
j =1
φS ( t )
j
π
(A
Sj
( .) δ X S
j
)
+ BS j (.) δ Z S j d ∂Ω dt
(4. 6)
= δ J (.) = δ l (.) , l’expression du gradient de la fonctionnelle est :
tf

φS ( t )
∂J
= − ∫ ∫ ψ ( .) j
AS j (.) d ∂Ω dt
∇J X S j =
π
∂X S j
uuuur 
0 Γ chauffe
∇J k = 
tf
φS j ( t )
∂J

ψ
∇
J
=
=
−
.
BS j (.) d ∂Ω dt
(
)
 Z S j ∂Z
∫0 Γ ∫
π
S

j
chauffe
(4. 7)
Le gradient de la fonctionnelle étant calculé à l’aide de (4. 7), la prochaine direction de descente peut
être déduite facilement (voir l’algorithme de la MGC (paragraphe 1.2.1)).
1.3.
Afin de résoudre le présent PICC-3D, un test d’arrêt a été choisi arbitrairement égal à 0.1 pour
les cas non bruités et selon la formule de la sous-section 3. 2. 5 du chapitre 2 pour les cas en
présence de mesures bruitées.
La méthode du gradient conjugué est mise en œuvre pour deux configurations (selon les deux
valeurs du flux de chauffe (voir Cas A. (Figure 4. 2) et Cas B. (Figure 4. 3)) comme suit :
116
Supposons que les coordonnées initiales des deux sources sont données respectivement par :
I Sk1=0 ( 0.015, 0.015 ) et I Sk2=0 ( −0.015, −0.015) avec YS1 = YS2 = −0.001 m . Les flux de chauffe sont
définis par le Cas. A (voir Figure 4. 2). La température mesurée est donnée par la résolution du
problème direct (Figure 4. 4) avec les valeurs désirées de positions des deux sources (voir Figure 4.
1. (a)).
L’évolution des valeurs du critère en fonction des itérations est présentée par la figure et le
J(IS1,IS2)
tableau suivants :
10
10
10
10
10
10
8
6
4
2
0
-2
0
1
2
3
4
(
5
6
7
Itérations k
)
Figure 4. 7. Évolution de la fonctionnelle J I S1 , I S2 en fonction des itérations k (Cas A. 1).
Tableau 4. 2. Valeurs du critère (Cas A. 1).
Itération k
J I S1 , I S 2
(
)
0
2.34 10
1
6
2
3
4
5
6
7
12086 25.3 13.2 1.7 1.1 0.18 0.023
Les coordonnées des centres de deux sources identifiées à chaque itération sont données par :
Tableau 4. 3. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas A. 1).
Itération k
X S1
0
1
2
3
4
5
6
7
0.015
0.0096
0.0099
0.01
0.01
0.01
0.0099
0.01
Z S1
0.015
0.0098
0.0101
0.01
0.01
0.01
0.01
0.01
X S2
-0.015 -0.0097
-0.01
-0.01
Z S2
-0.015 -0.0095 -0.0099 -0.0099 -0.0099 -0.0099
-0.0099 -0.0099 -0.0099 -0.01
-0.001
-0.01
117
La convergence est satisfaisante et l’efficacité de l’algorithme du gradient conjugué qui mène
à l’obtention des positons correctes après quelques itérations est montrée.
Considérons la même configuration du Cas A. 1 en présence d’un bruit Gaussien défini par
Température meusrée en K
N ( 0,5 ) sur les valeurs de la température mesurée par chaque capteur (voir Figure 4. 8).
1200
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
3
1000
800
600
400
200
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 4. 8. Évolution de température mesurée en fonction du temps t .
Les résultats obtenus sont présentés par le Tableau 4. 4 et le Tableau 4. 5 (où J stop est fixé à 11250
d’après la sous-section 3. 2. 5, chapitre 2).
Tableau 4. 4. Valeurs du critère (Cas A. 2).
Itération k
J I S1 , I S2
(
)
0
1
2
2346049
22962
10982
Tableau 4. 5. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas A. 2).
Itération k
X S1
0
1
2
0.015
0.0096
0.0100
Z S1
0.015
0.0098
0.0101
X S2
-0.015
-0.0097
-0.0100
Z S2
-0.015
-0.0095
-0.0099
118
Afin d'analyser si les coordonnées identifiées sont satisfaisantes, la figure suivante présente
l’évolution temporelle du résidu entre la température mesurée (considérant les coordonnées exactes
des deux sources chauffantes) et la température simulée (par la résolution du problème direct en
utilisant les coordonnées identifiées).
15
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
10
5
0
-5
-10
-15
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 4. 9. Évolution des résidus des températures fournies par chaque capteur.
Les valeurs moyennes des résidus de température ainsi que leurs écart-types sont égales à :
Tableau 4. 6. Résidus de température (Cas A. 2).
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
0.36
0.05
-0.43
4.82
4.77
5.16
L’écart type des résidus de température est du même ordre de grandeur que l’écart type du
bruit de mesure considéré. Les résultats obtenus dans les deux précédentes situations montrent une
convergence rapide du critère et une précision satisfaisante des coordonnées identifiées même en
présence de mesures bruitées.
Dans ce cas, le flux de chauffe est donné par le Cas B (voir Figure 4. 3) et les coordonnées
initiales sont fixées à I Sk1=, S02 ( 0, 0 ) où YS1 , S2 = −0.001 m . Considérant les valeurs de la température
(Figure 4. 6) délivrées par les trois capteurs (Figure 4. 1. (b)), les valeurs du critère obtenues par la
mise en œuvre de la MGC sont résumées par le tableau suivant :
119
Tableau 4. 7 . Valeurs du critère (Cas B. 1).
Itération k
J I S1 , I S2
(
)
0
1
2
3
4
5
2726089 2156691 1919170 530944 244019
J(IS1,IS2)
10
8983.5
10
10
10
10
10
10
11
15634.1
12
4598.5
13
2721.7
14
307.4
6
197679 154745
15
89.3
16
58.6
…
9
…
69051
…
…
21
0.0377
8
6
4
2
0
-2
0
5
10
(
15
20
Itérations k
)
Figure 4. 10. Évolution de la fonctionnelle J I S1 , I S2 en fonction des itérations k (Cas B. 1).
et les coordonnées identifiées en fonction des itérations sont décrites par :
Tableau 4. 8. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas B. 1).
Itération k
X S1
0
0
1
0.0012
2
0.0037
3
0.0091
4
0.0131
5
0.0153
…
…
21
0.01
Z S1
0
0.0029
0.0008
0.0001
0.0009
0.0018
…
0.01
X S2
0
-0.0006
-0.0018
-0.0048
-0.0061
-0.0063
…
-0.01
Z S2
0
-0.0038
-0.0051
-0.0122
-0.0148
-0.0138
…
-0.01
Les résultats présentés pour les deux sources sont satisfaisants.
Cas B. 2 : avec bruit de mesure
Lorsque les mesures de température sont perturbées par la présence d’un bruit additif
Gaussien défini par N ( 0,5 ) (Figure 4. 11) le critère d'arrêt J stop est fixé à 11250.
120
900
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
800
700
600
500
400
300
200
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 4. 11. Évolution des températures mesurées en fonction du temps t .
Les deux tableaux suivants présentent respectivement le comportement du critère et des
coordonnées estimées en fonction des itérations k le long de la procédure de minimisation.
Tableau 4. 9. Valeurs du critère (Cas B. 2).
Itération k
J I S1 , I S2
(
)
0
1
2
3
4
2667217
2052449
234432
13881
10637
Tableau 4. 10. Coordonnées identifiées à chaque itération (Cas B. 2).
Itération k
X S1
0
1
2
3
4
0
0.0023
0.0075
0.0099
0.0103
Z S1
0
0.0029
0.0073
0.0092
0.0096
X S2
0
-0.0036
-0.0077
-0.0096
-0.0097
Z S2
0
-0.0030
-0.0080
-0.0104
-0.0105
Malgré les mesures bruitées, les résultats de l’identification obtenus semblent satisfaisants. La
figure suivante présente l’évolution des résidus de température en fonction de temps.
121
15
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
10
5
0
-5
-10
-15
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 4. 12. Évolution du résidu de température en fonction du temps t .
Le tableau suivant présente les valeurs moyennes et les écart-types des résidus de température
en chaque point de mesure Cm .
Tableau 4. 11. Résidus de température (Cas B. 2).
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
-0.85
-0.50
1.01
4.63
5.00
4.72
Les résultats obtenus confirment la convergence des coordonnées estimées vers les coordonnées
désirées.
1.4.
Dans cette étude, la méthode du gradient conjugué est efficacement mise en œuvre dans le but
d’identifier les positions (coordonnées) de centres de deux sources de chauffe fixes (en surface d’un
domaine tridimensionnel). Considérant les mesures fournies par les trois capteurs (placés sur une
frontière différente de celle où les deux sources interviennent), un PICC-3D a été formulé et résolu
avec succès. Diverses situations et résultats numériques sont exposés afin de vérifier la robustesse
de cette méthode même en présence de mesures bruitées. Dans ce qui suit, l’identification de
coordonnées d’une ou plusieurs sources chauffantes en temps d’estimation réduit (ou minimal) est
réalisée.
122
2. Localisation en temps réduit
Après avoir identifié dans le paragraphe précédent le centre des coordonnées de deux sources
de chauffe fixes, ce paragraphe concerne la localisation (le centre des coordonnées) d’une, deux et
trois sources de chauffe fixes en temps de résolution réduit. Cet objectif sera atteint par la mise en
œuvre de la MGC. Les problèmes direct, de sensibilité et adjoint sont les mêmes que ceux définis
dans l’étude précédente. Afin de quantifier la qualité de la localisation, un critère supplémentaire est
considéré. Il s’agit de l’Erreur de Poursuite notée EP (cf. sous-section 3.2.5, chapitre 2) qui est
défini au regard des inconnus recherchés par :
( )
NS
EP I k = ∑
(
j =1
(
X Sk j − X S* j
) (
2
+ Z Sk j − Z S* j
)
2
) est la position estimée du centre de la source chauffante I ( X
où les positions I ( X , Z ) sont connues, la valeur de EP
où I Sk j X Sk j , Z Sk j
configuration
*
Sj
*
Sj
*
Sj
*
Sj
*
Sj
)
, Z S* j . Dans la
représente une
information pertinente pour étudier le comportement de l’algorithme. La valeur de EP est utilisée
dans cette étude pour illustrer l’identification en temps réduit. Cette erreur de poursuite est
considérée comme un test d’arrêt de l’algorithme de la MGC. Ce dernier s’arrêtera si
(
( )
EP I k < 10 −3 m . Cependant en pratique, les positions I S* j X S* j , Z S* j
) étant inconnues et les erreurs
de mesure non négligeables, le test d’arrêt J stop est fixé comme mentionné dans [Alifanov, 1994].
2.5.
Cas A. 1 : la plaque est chauffée par une seule source chauffante
Dans ce premier exemple, la plaque est chauffée par une seule source ( N S = 1) placée en
I S* ( 0.01,0.01) en m avec YS =
−e
m (voir Figure 4. 13).
2
123
Figure 4. 13. Localisation de la source chauffante.
En considérant que le temps final t f = 1 s . Les résultats du problème direct sont présentés sur les
294
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
302
θ(C ;t)
3
0.02
301
293.8
300
0.01
293.6
299
Z en m
figures suivantes :
293.4
293.2
298
0
297
296
-0.01
295
293
-0.02
292.8
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps en secondes
294
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 4. 14. Résolution du problème direct (Cas A. 1).
Considérons que les observations sont délivrées à chaque 0.1 seconde et que la température
(θˆ (C ; t )) est obtenue numériquement en chaque point de mesure C
m
m
(cf. Figure 4. 1. (b)).
Dans ce qui suit, les coordonnées de la source sont inconnues. Dans le but d’identifier ces
coordonnées inconnues, le PICC-3D (sous-section 1.2) est résolu. Considérons pour l’algorithme de
minimisation que l’initialisation est I Sk =0 ( 0.01, 0 ) m (rappelons que la source est placée sur la face
inférieure de la plaque YS =
−e
m ). La résolution du PICC est effectuée en appliquant la MGC et
2
( )
les résultats obtenus sont présentés ci-après. L’algorithme s’arrête lorsque J I k ≤ J stop = 10 −3 .
124
10
10
10
0
0.01
-2
0.005
-4
0
EP(IS) en m
J(IS)
1
2
3
4
Itérations k
5
6
7
0
8
Figure 4. 15. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations
(Cas A. 1).
Itération k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
J (I )
0.4956 0.0737 0.0227 0.0178 0.0047 0.0023 0.0018 0.0016 0.0007
Sur la figure précédente, il est montré qu’après 8 itérations, le critère J ( I k ) converge vers
une valeur plus petite que le test d’arrêt. De plus, l’évolution de l’erreur de poursuite décroît à
chaque itération ce qui confirme un comportement correct de l’algorithme.
Pour J ( I k ) < J stop = 10 −3 , l’erreur de poursuite a une valeur inférieure à 10 −3 m . L’évolution
des coordonnées recherchées (en fonction des itérations k ) de la source concernée est présentée
dans la figure suivante :
0.02
Z en m
0.01
Ik=8
S
0
Ik=0
S
-0.01
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 4. 16. Évolution des coordonnées sur la face inférieure de la plaque (Cas A.1).
Les coordonnées identifiées du centre de la source sont présentées par le Tableau 4. 13.
125
Tableau 4. 13. Coordonnées de source en fonction des itérations k (Cas A. 1).
Itération k
0
1
2
3
4
5
6
7
8
XS
0.010 0.0124 0.0144 0.0153 0.0083 0.0076 0.0082 0.0081 0.0108
ZS
0
0.0015 0.0029 0.0048 0.0141 0.0130 0.0129 0.0125 0.0095
Ces précédents résultats montrent que les coordonnées de source de chauffe sont identifiées
après huit itérations avec un temps d’observation égal à une seconde. Le choix de cette valeur du
temps minimal de résolution dépend du nombre d’information délivrée par les capteurs de mesures.
Pour des mesures bruitées, le temps final sera adapté afin d’obtenir la convergence désirée et donc
la localisation correcte.
Cas A. 2 : en présence d’un bruit de mesure N ( 0, 0.5 )
Les températures prédites dans la même configuration du Cas A.1 sont bruitées par un bruit
additif de type Gaussien défini par N ( 0, 0.5 ) . Les observations obtenues par les trois capteurs sont
présentées sur la figure suivante pour un temps final de t f = 2 s .
295.5
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
295
294.5
294
293.5
293
292.5
292
0
0.5
1
1.5
2
Temps en secondes
Figure 4. 17. Température bruitée pour t f = 2 secondes (Cas A. 2).
L’évolution du critère et l’évolution de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k sont
présentées ci après :
Tableau 4. 14. Valeurs du critère et erreur de poursuite en fonction des itérations k
(Cas A. 2).
2
0.972
3
0.898
4
0.847
5
0.753
6
0.729
7
0.727
…
…
12
0.727
Itération k
J t f =2 s
0
4.285
1
1.256
EPt f =2 s
0.01
0.0086 0.0081 0.0046 0.0072 0.0059 0.0069 0.0068 … 0.0005
126
5
0.01
4
0.008
3
0.006
2
0.004
1
0.002
0
0
2
4
6
Itération k
8
10
EP(IS)
J(IS)
0
12
(Cas A. 2).
Il est montré que la convergence de l’algorithme est obtenue en douze itérations avec une
convergence de l’erreur de poursuite telle que EP ( I Sk ) < 10−3 . Dans le but d’illustrer que le temps
final t f = 1s ne fournit pas assez d’observations, l’erreur de poursuite est comparée pour t f = 1s et
Erreur de poursuite en m
pour t f = 2 s comme il est montré sur la figure suivante :
10
10
10
-2
EPtf=1s
EPtf=2s
-3
-4
0
2
4
6
8
10
12
Itération k
Figure 4. 19. Erreur de poursuite pour différentes valeurs du temps final (Cas A. 2).
La figure précédente montre que pour t f = 1s , l’erreur de poursuite est quasi constante pour
k ≥ 6 , ce qui implique qu’il ne semble pas possible de localiser correctement le centre de la source
de chauffe. Pour t f = 2 s , l’erreur de poursuite obtenue après douze itérations est inférieure à la
précision désirée. L’évolution des coordonnées de source en fonction des itérations est exposée par
le Tableau 4. 15.
127
Tableau 4. 15. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Cas A. 2).
Itération k
XS
0
0.01
0
ZS
1
0.0128
0.0018
2
0.0146
0.0033
3
0.0142
0.0082
4
0.0067
0.0164
5
0.0052
0.0135
…
…
…
12
0.0089
0.0105
Cas A. 3 : en présence d’un bruit de mesure N ( 0,1)
Un bruit Gaussien d’écart type plus important que le Cas A.2 précédent est considéré ici ; ce
bruit est défini par N ( 0,1) . L’impact de ce bruit sur les valeurs de température mesurée est
présenté par Figure 4. 20.
297
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
296
295
294
293
292
291
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Temps en secondes
Figure 4. 20. Température bruitée pour t f = 3 secondes (Cas A.3).
Les deux courbes d’évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k sont
20
0.01
10
0.005
0
0
1
2
3
4
Itération k
5
6
EP(IS) en m
J(IS)
présentées par la figure et les tableaux ci-après (sachant que le temps final est t f = 3s ).
0
7
(Cas A.3).
128
Tableau 4. 16. Valeurs du critère et d’erreur de poursuite
en fonction des itérations k (Cas A.3).
Itération k
0
J t f =3 s
1.381
EPt f =3s
0.01
1
5.105
2
4.074
3
3.968
4
3.968
5
3.958
6
3.755
7
3.596
0.0081 0.0053 0.0047 0.0047 0.0045 0.0026 0.0008
Tableau 4. 17. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Cas A.3).
Itération k
0
1
2
3
4
5
6
7
XS
0.01 0.0129 0.0137 0.0124 0.0124 0.0120 0.0103 0.0103
ZS
0
0.0024 0.0062 0.0059 0.0059 0.0059 0.0074 0.0093
Sur la figure suivante, considérant le niveau de bruit pris en compte, l’évolution de l’erreur de
poursuite en fonction des itérations k est présentée selon plusieurs valeurs du temps final.
0.01
EPtf=1s
EPtf=3s
EPtf=2s
0.008
0.006
0.004
0.002
0
0
1
2
3
4
5
6
7
Itération k
Figure 4. 22. Erreur de poursuite pour plusieurs valeurs du temps final (Cas A. 3).
Les résultats obtenus montrent que trois secondes ( t f = 3s ) sont suffisantes pour identifier les
coordonnées de la source chauffante considérant des températures « mesurées » bruitées par un
bruit Gaussien N ( 0,1) , tandis que 2 secondes ne semblent pas capables de fournir assez
d’observations pertinentes pour identifier les positions correctes. De plus, l’effet de régularisation
de la MGC est illustré lorsque les données bruyantes sont prises en compte pour l’identification.
129
Cas B. 1 : la plaque est chauffée par deux sources chauffantes
−e


Soient deux sources chauffantes fixes placées respectivement en I S1  0.01, , 0.01 et
2


−e


I S2  −0.01, , 0.01 en m (voir Figure 4. 23).
2


Figure 4. 23. Positions des sources.
La distribution spatiale ainsi que les valeurs de la température simulée (considérée comme
295
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
302
0.02
301
294.5
300
0.01
Z en m
température mesurée lors de la procédure d’identification) sont présentées par la figure suivante :
294
299
0
298
297
-0.01
296
293.5
295
-0.02
293
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Temps en secondes
294
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 4. 24. Résolution du problème direct (Cas B. 1).
Dans le but de résoudre le présent problème inverse, la MGC sera appliquée. Pour ce faire, En
considérant pour l’algorithme de minimisation que l’initialisation est I Sk1=0 ( 0.01, 0 ) et I Sk2=0 ( −0.01, 0 )
en m avec YS1,2 =
−e
m . Les résultats obtenus sont présentés par la figure et le tableau suivants :
2
130
10
10
10
10
10
2
0.02
0
0.015
-2
0.01
-4
0.005
-6
0
EP(IS1,IS2) en m
J(IS1,IS2)
1
2
3
4
5
Itérations k
6
7
8
0
9
(Cas B. 1).
Tableau 4. 18. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 1).
Itération k
(
J I S1 , I S2
)
0
1
2
3
4
…
7
8
1.1443 0.1787 0.0736 0.0578 0.0469 … 0.0016 0.0016
9
4.2859 ×10 −5
L’évolution des coordonnées identifiées pour les deux sources chauffantes est présentée ci après.
0.02
Z en m
0.01
0
Ik=9
2
Ik=9
1
Ik=0
2
Ik=0
1
-0.01
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 4. 26. Évolution des coordonnées des deux sources sur la face inférieure de la plaque
(Cas B.1).
131
Tableau 4. 19. Coordonnées des sources en fonction des itérations k (Cas B.1).
Itération k
X S1
0
0.01
1
0.0124
2
0.0143
3
0.0148
4
0.0091
5
0.0068
6
0.0072
…
…
9
0.0099
Z S1
0
0.0015
0.0028
0.0057
0.0155
0.0125
0.0135
…
0.0101
X S2
Z S2
-0.01 -0.012 -0.0143 -0.0147 -0.0090 -0.0067 -0.0072 … -0.0099
0
0.0014 0.0028 0.0057 0.0155 0.0126 0.0135 … 0.0102
Les résultats obtenus montrent que les observations effectuées durant une seule seconde
(t
f
= 1s ) sont suffisantes pour identifier la position des deux sources en minimisant l’écart
quadratique entre les mesures observées et les valeurs de température simulées à chaque itération.
Cas B. 2 : en présence d’un bruit de mesure N ( 0, 0.5 )
Considérant que la température mesurée est affectée par un bruit Gaussien d’une valeur
N ( 0, 0.5 ) , l’évolution de la température mesurée est montrée sur la Figure 4. 27.
297
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
296
295
294
293
292
0
0.5
1
1.5
2
Temps en secondes
Figure 4. 27. Température bruitée durant t f = 2 secondes (Cas B.2).
Les évolutions du critère et d’erreur de poursuite sont présentées à travers la figure et le tableau
suivants :
132
J(IS1,IS2)
0.025
0.02
0.015
EP(IS1,IS2) en m
0.01
10
0.005
0
0
5
10
Itération k
15
0
20
Figure 4. 28. Évolution du critère et erreur de poursuite en fonction des itérations
(Cas B.2).
Tableau 4. 20. Valeurs du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations k
(Cas B.2).
Itération k
(
(I
J t f =2 s I S1 , I S2
EPt f =2 s
S1
)
)
, I S2
0
1
2
3
4
5
…
23
9.1839
2.1753
1.5705
1.3159
1.6817
2.1721
…
0.6727
0.02
0.01745 0.01614 0.00582 0.01894 0.01392 … 0.00064
Les coordonnées obtenues pour la localisation des deux sources sont données par le tableau suivant.
Tableau 4. 21. Coordonnées de la source en fonction des itérations k .
Itération k
X S1
0
0.01
…
…
3
0.0127
4
0.0066
5
0.0041
…
…
10
0.0153
11
0.0035
12
0.0063
…
…
Z S1
0
…
0.0115
0.0187
0.0133
…
0.0084
0.0176
0.0151
…
X S2
-0.01 … -0.0123 -0.0058 -0.0033 … -0.0173 -0.0016 -0.0053 …
Z S2
0
…
0.0115
0.0186
0.0126
…
0.0094
0.0169
0.0147
…
15
16
17
…
23
0.0118 0.0080 0.0075 … 0.0096
0.0093 0.0143 0.0135 … 0.0107
-0.0136 -0.0073 -0.0067 … -0.0096
0.0101 0.0139 0.0131 … 0.0103
Dans le but de justifier le choix du temps final ( t f = 2 s ) , une comparaison entre les valeurs d’erreur
de poursuite obtenues pour ( t f = 1s ) et pour ( t f = 2 s ) en fonction des itérations k est présentée par
la figure suivante :
133
10
10
10
10
-1
EPtf=1s
EPtf=2s
-2
-3
-4
0
5
10
15
20
Itération k
Figure 4. 29. Évolution d’erreur de poursuite en fonction du temps final (Cas B.2).
Il est montré dans la Figure 4. 29 que pour un bruit de mesure N ( 0, 0.5 ) que les observations
effectuées durant une seconde ne sont pas suffisantes pour identifier les coordonnées de deux
sources chauffantes. En effet, dans une telle situation le rapport signal/bruit est trop faible et la
MGC ne parvient pas à extraire l’information pertinente sur cette durée trop courte. Pour un temps
final égal à t f = 2 s , la convergence obtenue est satisfaisante et les coordonnées inconnues sont
correctement identifiées.
Cas B. 3 : en présence d’un bruit de mesure N ( 0,1)
Dans le cas où le bruit de mesure est donné par N ( 0,1) , l’évolution de la température
Tempértaure mesurée en K
mesurée par les trois thermocouples est présentée par la Figure 4. 30 :
315
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
310
305
300
295
290
0
2
4
6
8
10
Temps en secondes
Figure 4. 30. Température mesurée pour t f = 10 secondes (Cas B.3).
134
La convergence de la MGC est obtenue pour un temps final t f = 10 secondes , les résultats
J(IS1,IS2)
10
3
0.02
0.015
10
2
EP(IS1,IS2) en m
sont présentés par les figures et les tableaux suivants :
0.01
0.005
10
1
0
2
4
6
Itération k
8
0
10
Figure 4. 31. Évolution du critère et d’erreur de poursuite en fonction des itérations
(Cas B. 3).
Les valeurs numériques de l’évolution du critère et de l’erreur de poursuite sont résumées
respectivement dans les deux prochains tableaux.
Tableau 4. 22. Valeurs du critère et de l’erreur de poursuite
en fonction des itérations k (Cas B. 3).
Itération k
(
(I
J t f =10 s I S1 , I S2
EPt f =10 s
S1
0
)
)
…
3
384.34 … 49.92
, I S2
0.02
4
40.28
5
…
27.05 …
7
8
…
11
26.37
26.37
…
12.84
… 0.007 0.0014 0.012 … 0.0085 0.0035 … 0.0005
Les valeurs des coordonnées identifiées sont présentées ci après :
Tableau 4. 23. Coordonnées de la source en fonction des itérations k (Cas B. 3).
Itération k
X S1
0
0.01
1
0.0138
2
0.0148
3
0.0106
4
0.0064
5
0.0058
…
…
11
0.0095
Z S1
0
0.0022
0.0052
0.0135
0.0157
0.0143
…
0.0111
-0.01 -0.0138
-0.0148
-0.0105
-0.0061
-0.0056
…
-0.0095
0.0052
0.0134
0.0156
0.0142
…
0.0108
X S2
Z S2
0
0.0022
Les résultats numériques obtenus pour un temps final t f = 10 secondes confirment la
robustesse et l’efficacité de l’algorithme dans le but d’identifier les coordonnées des centres de deux
135
sources chauffantes. Afin de justifier le choix du temps final ( t f = 10 s ) , la figure suivante présente
les valeurs d’erreur de poursuite entre les coordonnées réelles et les coordonnées estimées pour
différentes valeurs de temps final.
10
10
10
10
-1
EPtf=2s
EPtf=5s
EPtf=7s
EPtf=9s
EPtf=10s
-2
-3
-4
0
2
4
6
8
10
Itération k
Figure 4. 32. Évolution de l’erreur de poursuite pour différentes valeurs du temps final
(Cas B. 3).
Un autre test sur l’évolution des valeurs d’erreur de poursuite en fonction des itérations a été
établi pour k = 20 itérations et pour trois valeurs différentes de temps final ( t f = 5s ) , ( t f = 7 s ) et
(t
f
= 9s ) .
Les résultats obtenus montrent que l’erreur de poursuite est toujours supérieure à 0.0012 m.
Lorsque ( t f = 10 s ) , les coordonnées sont identifiées en 11 itérations.
Une dernière configuration de la mise en œuvre de la MGC pour localiser trois sources
chauffantes fixes est présentée dans l’annexe A (les résultats numériques obtenus sont présentés
sans ou en présence de bruit de mesure).
2.6.
À travers cette étude, un problème inverse tridimensionnel de la conduction de chaleur
(PICC-3D) a été formulé et résolu dans le but d’estimer la position d’une ou plusieurs sources en
surface d’une géométrie tridimensionnelle en utilisant la méthode du gradient conjugué (MGC). Les
résultats numériques sont établis dans le but de mettre en évidence l’effet du nombre de sources, de
bruit de mesures et de temps final pour avoir des résultats d’identification précis. La robustesse de
l’algorithme proposé est illustrée si le nombre des observations est suffisant ; l’identification est
obtenue en quelques itérations. Le nombre adéquat d’observations est directement lié au temps final
(temps de résolution) et au niveau du bruit de mesure. Dans un contexte expérimental, il est
136
envisageable de déterminer le temps final et le nombre d’observations en tenant compte du rapport
signal sur bruit et du nombre d’inconnus (i.e. le nombre des coordonnées à déterminer). Plusieurs
perspectives peuvent être mises en place à la suite de cette étude et seront discutées à dans le bilan
de ce chapitre.
Après l’étude de la localisation d’une ou plusieurs sources fixes, il est naturel de s’interroger :
"est-il possible d’identifier la trajectoire d’une source de chauffe mobile par la mise en œuvre de la
méthode du gradient conjugué ?" La réponse à cette question est l’objet de l’étude suivante.
3. Identification de la trajectoire d’une source de chauffe mobile
Ce paragraphe est dédié à l’identification de la trajectoire d’une source de chauffe mobile. De
manière plus générale, l’identification (ou la reconstruction) de la trajectoire revêt une importance
particulière dans différents domaines industriels et scientifiques tels que la robotique,
l’aéronautique, l’aérospatiale, la chimie, la médicine et le multimédia… Pour avoir une idée plus
précise sur l’identification de la trajectoire dans l’un de ces domaines, il est possible de se référer à
[Leonard et Durrant-Whyte, 1991], [Facius, et al., 1990], [Atkins, et al., 1998], [Guo, et al., 2007],
[Berg, 1983], [Da Silva, et al., 2010], [Bouktir, et al., 2008], ... Néanmoins, ce sujet est encore
rarement abordé dans le domaine du génie thermique. Une initiative a été proposée par [Yang,
2006] dans le but d’étudier simultanément l’identification de la puissance et de la position de deux
sources mobiles au sein d’une géométrie bidimensionnelle en utilisant 32 capteurs de températures
situés sur la frontière d'un domaine carré.
Dans ce qui suit, la trajectoire d’une source de chauffe mobile en surface d’une géométrie
tridimensionnelle est identifiée en résolvant trois problèmes bien posés au sens d’Hadamard :
problème direct, problème adjoint et problème de sensibilité. Plusieurs situations seront traitées et
présentées afin de valider la robustesse de la méthode appliquée (sans et en présence de bruits de
mesures, pour différentes initialisations).
3.1.
Problème direct
Une plaque de titane de dimensions identiques à celles présentées Figure 3. 1. (a) est
considérée. Rappelons que θ ( Cm ; t ; I ( t ) ) est la température en K ; Cm désigne l’emplacement des
capteurs placés sur la face supérieure de la plaque, voir Figure 4. 1. (a). La température initiale de la
plaque (température ambiante) est notée θ0 . Des transferts thermiques par convection naturelle sont
137
 −e 

supposés sur toutes les faces de la plaque. Sur la face inférieure Γchauffe =  x, , z  ∈ ∂Ω  de la
 2 

plaque, une source de chauffe mobile délivre un flux de chauffe φ ( t ) uniforme sur un disque
D ∈ Γchauffe , de rayon r = 2 10−3 m et de centre mobile I ( t ) . La trajectoire est définie par :

I ( t ) = ( X ( t ) , Z ( t ) ) ,  avec

y=
−e 
-2
 . Le flux de chauffe Φ ( x, z; t ) en W.m peut s’exprimer :
2 
φ ( t ) si ( x, z ) ∈ D ( I ( t ) , r )
Φ ( x, z; t ) = 
sinon
0
Cette expression du flux peut être approchée d’une manière analytique et dérivable par :
Φ ( x, z ; t ) ≈
(
)
où : F ( x, z; t ) = −atan µ (ξ ( x, z; t ) − r ) +
π
2
φ (t )
F ( x, z ; t )
π
, avec : ξ ( x, z; t ) =
(4. 8)
( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
2
et µ est
un paramètre de régularisation. En outre, la puissance du flux de chauffe φ ( t ) est connue dans ce
paragraphe et fixée à φ ( t ) = 105 W.m -2 . Le modèle mathématique présenté dans le Chapitre 3 et
décrit par l’ensemble des EDPs (4. 1) reste valable pour décrire l’évolution de la température.
L’ensemble des notations et valeurs est détaillé dans le Tableau 4. 1, excepté pour le temps final t f
fixé à 60 secondes. Comme il est signalé précédemment, I ( t ) est la trajectoire de la source
décrivant la position des coordonnées du centre de la source de chauffe à chaque instant et noté
I ( t ) = ( X ( t ) , Z ( t ) ) . La trajectoire peut être discrétisée sur la base de fonctions linéaires et
continues par morceaux (en utilisant la base des fonctions chapeaux) telle que :
N t +1
tr

 X ( t ) = ∑ X i si ( t ) = X s ( t )

i =1

N t +1
tr
Z (t ) =
Z i si ( t ) = Z s ( t )
∑

i =1
avec N t est le nombre de pas de temps (fixé à 4) le long de l’intervalle de temps T = 0, t f  , où
chaque pas de temps est défini par l’intervalle 15 ( n − 1) , 15n  avec n = 1,L , N t , ( ∆t = 15 est le
138
pas temporel de discrétisation de la trajectoire). La figure suivante (Figure 4. 33) présente la base
des fonctions chapeaux en fonction des pas de temps choisis.
Figure 4. 33. Base des fonctions chapeaux.
En fonction de la vitesse de la source et de la complexité de la trajectoire, il est toujours
possible de diminuer le pas de temps et d’augmenter ainsi le nombre d’inconnues. Sur la figure
suivante, une trajectoire simple suivie par la source chauffante sur la face inférieure est présentée :
Face inférieure
Figure 4. 34. Trajectoire de la source mobile.
La
trajectoire
précédente
est
parfaitement
définie
par
la
donnée
de :
X = 10−3 ( −1.5,1.5,1.5, −1.5 ) m et Z = 10−3 (1.5,1.5, −1.5, −1.5) m. Le modèle mathématique de ce
système thermique est décrit par (4.1) avec le flux de chauffe (délivré par la source mobile) formulé
par (4. 8), et l’ensemble des paramètres thermo-physiques présentés dans le Tableau 4. 1. Les
139
résultats de la résolution du problème direct (en utilisant le solveur de Comsol-MultiphysicsTM
interfacé avec Matlab®) sont présentés par l’évolution des températures obtenues à chaque seconde
en chaque point de mesure.
325
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
320
315
310
305
300
295
290
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 4. 35. Évolution de la température en fonction du temps.
Ces résultats montrent la différence entre les valeurs de température délivrées par chaque
capteur de mesure en fonction du temps t . La température notée θ ( Cm ; t ; I ( t ) ) dépend bien
évidemment de la localisation de la source par rapport aux positions des capteurs. À titre
d’exemple, à t = 30 s : la valeur de la température la plus élevée est délivrée par le capteur C3 , ce
qui confirme qu’à cet instant la source est plus proche de ce point (à noter toutefois que dans le cas
présenté le flux φ ( t ) est constant). Pour avoir une idée plus précise de l’impact de la localisation de
la source sur les valeurs de température, la figure suivante présente un exemple de distribution
spatiale de la température aux instants 15, 30, 45 et 60 secondes :
140
à t = 15 s .
à t = 30 s .
312
0.02
312
0.02
310
310
308
306
0
308
0.01
Z en m
Z en m
0.01
304
306
0
304
302
302
-0.01
-0.01
300
300
298
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
298
-0.02
296
-0.02
à t = 45 s .
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
à t = 60 s .
312
0.02
312
0.02
310
310
308
0.01
306
0
308
0.01
Z en m
Z en m
296
304
306
0
304
302
302
-0.01
-0.01
300
300
298
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
298
-0.02
296
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
296
Dans ce qui suit, il est supposé que la trajectoire de cette source est inconnue. Pour procéder à
son identification, un PICC est résolu par la MGC.
3.2.
Problème inverse
Dans le but d’estimer la trajectoire de la source notée I * ( t ) , un problème inverse de
conduction de la chaleur sera formulé comme un problème classique d’optimisation dans le but de
minimiser un critère quadratique notée J ( I ( t ) ) :
tf
(
1 NC
I ( t ) = Arg min J ( I ( t ) ) = Arg min ∫ ∑ θ ( Cm ; t ; I ( t ) ) − θˆ ( Cm ; t )
2 0 m =1
*
)
2
dt
(4. 9)
La fonctionnelle à minimiser peut être approchée d’une manière discrète comme suit :
((
∆t f NC
J I = ∑∑ θ Cm ; tn ; I − θˆ ( Cm ; tn )
2 n =1 m =1
()
t
)
)
2
(4. 10)
141
Après avoir formulé le problème direct dans le paragraphe précédent, le problème de
sensibilité et le problème adjoint sont présentés dans les deux paragraphes suivants.
3.2.1.
Ce problème a pour objectif d’étudier la variation de température δθ ( x, y, z; t ; δ I ( t ) ) due à la
variation de la trajectoire δ I ( t ) = (δ X ( t ) , δ Z ( t ) ) . Ce problème peut s’exprimer par le même
ensemble d’équations aux dérivées partielles donné en (4. 4) sachant que la variation du flux de
chauffe δΦ ( x, z; t ) est formulée par :
 φ (t )


δΦ ( x, z; t ) = −φ ( t )

 0

rappelons que YS =
( x, z ) ∈ ( D + ( I + ( t ) , r ) − D ( I ( t ) , r ) )
si
( x, z ) ∈ ( D ( I ( t ) , r ) − D + ( I + ( t ) , r ) )
si
(4. 11)
sinon
−e
,
2
avec I + ( t ) = I ( t ) + εδ I ( t ) et D + est le disque varié de la source de chauffe dû à la variation
I + ( t ) . L’expression analytique de la variation du flux de chauffe δ Φ ( x, z; t ) est donnée par
l’équation suivante:
 −φ ( t ) (δ X ( t ) ) ( X ( t ) − x ) + (δ Z ( t ) ) ( Z ( t ) − z )  µ



2
2
δ Φ ( x, z ; t ) = 
π 1 + µ ( ξ ( x, z ; t ) − r ) ξ ( x, z ; t )


0
)
(
où ξ ( x, z; t ) =
( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
2
si
y=−
e
2
(4. 12)
sinon
. En utilisant la base des fonctions chapeaux, l’expression
de la variation du flux de chauffe devient :
−φ ( t )  Nt +1
  Nt +1
  Nt +1
  Nt +1

δ Φ ( x, z ; t ) =
 ∑ δ X i si ( t )   ∑ X i si ( t ) − x  +  ∑ δ Z i si ( t )   ∑ Z i si ( t ) − z   A (.)
π  i =1
  i =1
  i =1
  i =1

µ

2

2


avec : A ( x, z; t ) =  ξˆ ( x, z; t ) 1 + µ ξˆ ( x, z; t ) − r 



0

(
2
)
2
N t +1
Nt +1

 

et ξˆ ( x, z; t ) =  x − ∑ X i si ( t )  +  z − ∑ Z i si ( t )  .
i =1
i =1

 

si
sinon
y=−
e
2
(4. 13)
142
Après avoir résolu le problème de sensibilité dans la direction de descente et en se basant sur la
procédure mentionnée précédemment lors de la sous-section 3.2.3 du chapitre 2, alors l’expression
de la profondeur de descente est :
tf N
C
γ
k +1
=
∫ ∑ (θ ( C
0 m =1
m
)
)
(
)
; t ; I k ( t ) − θˆ ( Cm ; t ) δθ uuuur
Cm ; t ; I k ( t ) dt
k +1
d
tf N
C
∫ ∑ (δθ ( C
uuuur
d k +1
0 m =1
m
; t; I
k
(4. 14)
( t ) ) ) dt
2
Pour calculer la direction de descente, il est nécessaire de calculer le gradient de la
fonctionnelle J . Pour ce faire, le problème adjoint est présenté ci-après.
3.2.2.
Problème adjoint
En suivant les démarches mentionnées précédemment (voir sous-section 3.2.4 du Chapitre 2),
le lagrangien l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) (associé au problème direct (3. 1) avec le flux de chauffe exprimé dans
cette étude par (4. 8)) est défini par :
f
 ∂θ (.)

l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) = J ( I ( t ) ) + ∫ ∫  ρ c
− λ Δθ (.)  ψ (.) dt dΩ
∂t
0 Ω

t
(4. 15)
où J ( I ( t ) ) est le critère à minimiser qui peut s’exprimer :
tf
(
)
NC
2
1
J ( I ( t ) ) = ∫ ∫ ∑ θ ( Cm ; t ; I ( t ) ) − θˆ ( Cm ; t ) δ D ( Cm ; t ) dt d Ω
2 0 Ω m =1
(4. 16)
avec δ D est la distribution de Dirac.
Si θ est une solution de (3. 1), alors :
l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) = J ( I ( t ) ) ⇒ δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) = δ J ( I ( t ) )
(4. 17)
La variation du Lagrangien est définie par :
δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) =
=
∂l (.)
∂θ (.)
∂l (.)
∂θ (.)
δθ (.) +
∂l (.)
∂I ( t )
N t +1
 ∂l (.)
δθ (.) + ∑ 
i =1
δ I (t ) +
 ∂X i
∂l (.)
∂ψ (.)
δ Xi +
δψ (.)
∂l (.)
∂Z i

δ Zi  +
∂l (.)
 ∂ψ (.)
δψ (.)
143
Le calcul de cette variation lorsque ψ ( x, y, z; t ) est fixé donne :
δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) =
tf
∂l (.)
∂θ (.)
NC
= ∫ ∫∑
0 Ω m =1
δθ (.) +
∂l (.)
∂I ( t )
δ I (t )
f
 ∂δθ (.)

ˆ
θ ( Cm ; t ; I ( t ) ) − θ ( Cm ; t ) δ D (.; Cm ) dt dΩ + ∫ ∫  ρ c
− λ Δδθ (.)  ψ (.) dt dΩ
∂t
0 Ω

(
t
)
Notons E ( I ( t ) ;θ ) la fonction erreur définie par :
NC
(
)
E ( I ( t ) ;θ ) = ∑ θ ( Cm ; t ; I ( t ) ) − θˆ ( Cm ; t ) δ D (.; Cm )
m =1
En intégrant par partie par rapport au temps et par rapport à l’espace, l’ensemble des équations
décrivant le problème de sensibilité (4. 4), la variation δ l ( I ( t ) , θ ,ψ ) peut s’écrire :
tf

∂ψ (.)
0 Ω

∂t
∫
∂ψ (.)
λ δθ (.) r d ∂Ω dt +
∂n
δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) = ∫ ∫  E (.) − ρ c
tf
−∫
0 ∂Ω

− λ Δψ (.)  δθ (.) dt dΩ + ∫ ρ c δθ (.; t f )ψ (.; t f ) dΩ
Ω

tf
∫∫
0 ∂Ω
tf
h δθ (.) ψ (.) d ∂Ω dt − ∫
Rappelons que, le choix du multiplicateur de Lagrange ψ
∫ δ Φ (.) ψ (.) d ∂Ω dt
(4. 18)
0 ∂Ω
se fait pour que l’équation
∂l
δθ = 0 ∀δθ soit satisfaite (voir sous-section 3.2.4 chapitre 2), ce qui implique que
∂θ
Nt +1
 ∂l (.)
δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) = ∑ 
i =1
 ∂X i
δ Xi +
∂l (.)
∂Z i

δ Z i  . En utilisant l’expression de δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) donnée par

(4. 18), le problème adjoint s’écrit par le même ensemble des EDPs (4. 8). La variation
lagrangienne δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) devient alors :
tf
δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) = − ∫ ∫ δΦ (.) ψ (.) d ∂Ω dt
0 ∂Ω
= δ J ( I (t ))
(4. 19)
En remplaçant l’expression de δ Φ ( x, z; t ) donnée par (4. 13) dans l’équation (4. 19), il vient :
144
tf
δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) = − ∫ ∫ δΦ (.) ψ (.) d ∂Ω dt
0 ∂Ω
−φ ( t )  Nt +1
 Nt +1
  Nt +1
  Nt +1

X
s
t
X
s
t
−
x
+
Z
s
t
δ
δ
(
)
(
)
(
)
 ∑
 ∑ i i
  ∑ i i   ∑ Z i si ( t ) − z   A (.) ψ (.) d ∂Ω dt
i i
∫
π  i =1
 i =1
  i =1
  i =1

0 ∂Ω
tf
= −∫
Le développement de cette expression donne :
δ l ( I ( t ) ;θ ;ψ ) =
φ (t )
 N +1
 N +1

δ
X
s
t
(
)
∑
 ∑ X i si ( t ) − x  A (.) ψ (.) d ∂Ω dt
i i
∫
∫
π 0 ∂Ω  i =1
 i =1

tf
t
t
φ (t )
 N +1
  N +1

+
Z
s
t
δ
(
)
 ∑ i i   ∑ Z i si ( t ) − z  A (.) ψ (.) d ∂Ω dt
∫
∫
π 0 ∂Ω  i =1
  i =1

tf
t
t
(4. 20)
φ ( t ) N +1 
 N +1

δ

X
s
t
∑
i ∫ ∫ ( i ( ) )  ∑ X i si ( t ) − x  A ( .) ψ ( .) d ∂Ω dt
π i =1 
 i =1

0 ∂Ω

=



tf

φ ( t ) Nt +1 
 Nt +1

+
Z
s
t
δ

∑
i ∫ ∫ ( i ( ) )  ∑ Z i si ( t ) − z  A ( .) ψ ( .) d ∂Ω dt 

π i =1 
 i =1

0 ∂Ω

tf
t
De plus, δ l ( I ;θ ;ψ ) = δ J ( I ;θ ) =
t
N t +1
∂J (.)
i =1
∂I i
∑ δ Ii
=
Nt +1
∂J (.)
i =1
∂X i
∑ δ Xi
N t +1
∂J (.)
i =1
∂Z i
+ ∑ δ Zi
.
Ainsi, le gradient de la fonctionnelle J ( I ( t ) ;θ ) s’écrit :
 ∂J φ ( t ) t f  Nt +1

=

 ∑ X i si ( t ) − x  A (.) ψ (.) si ( t ) d ∂Ω dt
∫
∫
π 0 ∂Ω  i =1
 ∂X i

∂J 
=
et
∂I i 
tf
 Nt +1

 ∂J = φ ( t )
 ∑ Z i si ( t ) − z  A (.) ψ (.) si ( t ) d ∂Ω dt
∫
∫
 ∂Z i
π 0 ∂Ω  i =1


(4. 21)
À ce stade, l’algorithme de la MGC utilisé dans les précédents chapitres (étude de la section 1
et de la section 2) peut être mis en œuvre afin d’identifier la trajectoire inconnue. L’expression du
uur
k +1
k
nouveau vecteur décrivant la trajectoire estimée à l’itération k + 1 est donnée par I = I − γ k +1 d k ,
uuuur 2
∇J k
uuuur uuuur
uur
avec d k +1 = ∇J k + β k d k le vecteur des directions de descente, et β k = uuuuur 2 ∈
∇J k −1
+*
le rapport
145
entre les normes des deux gradients successifs. Le gradient de la fonctionnelle est défini par
uuur k uuuuuuuuuuur
k
 ∂J ∂J 
 ∂J   ∂J 
∇J = grad J I =   = 
=
,
∈ Nt +1 en considérant que β k =0 = 0 .


 ∂ I   ∂I i i =1,L, Nt +1  ∂X i ∂Z i i =1,L, Nt+1
( )
Passons maintenant à la mise en œuvre numérique dans le but d’estimer la trajectoire d’une
source de chauffe mobile par la résolution d’un PICC-3D.
3.3.
Les résultats numériques sont obtenus avec un test d’arrêt fixé arbitrairement à 0.1 dans les
cas non bruitées et selon la définition donnée dans le chapitre 2, sous-section 3.2.5 pour les cas
bruités. Il est nécessaire de mentionner que lors de la mise en œuvre numérique, il est supposé que
les positions initiales et finales de la source chauffante mobile sont identiques mais inconnues (cas
A et B). De plus, un rafraîchissement de la direction de descente [Powell, 1977] a été pris en
compte lors de la mise en œuvre numérique de l’algorithme.
Cas A. 1 : trajectoire initiale sous forme d’un carré
Les températures « mesurées » sont celles données par la Figure 4. 35. Pour l’initialisation de
l’algorithme, la trajectoire initiale de la source de chauffe est définie par la courbe pointillée en vert
I k =0 (voir Figure 4. 38). La résolution du problème inverse permet d’identifier la trajectoire
inconnue (8 paramètres recherchés) de la source chauffante en minimisant le critère quadratique
J ( I ( t ) ) (cf. (4. 16)) à chaque itération k . Les résultats de la minimisation du critère sont présentés
par la Figure 4. 37 et le
J(I(t))
Tableau 4. 24.
10
10
10
10
4
2
0
-2
0
2
4
6
8
10
12
Itérations k
Figure 4. 37. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas A. 1).
146
Itération k
J ( I (t ))
0
1
2
3
4
5
6
7
1430.3
4.56
11.70
3.39
2.76
1.11
0.855
0.766
8
0.655
9
0.360
10
0.241
11
0.146
12
0.116
13
0.093
La trajectoire identifiée après treize itérations I ( t )
(trajectoire réelle) et la trajectoire initiale I ( t )
I*(t)
k =0
I(t)k=0
k =13
ainsi que la trajectoire désirée I * ( t )
sont présentées sur la Figure 4. 38.
I(t)k=13
0.02
S(0s), S(60s)
S(15s)
S(0s), S(60s)
S(15s)
S(45s)
S(30s)
Z en m
0.01
0
-0.01
S(45s)
S(30s)
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 4. 38. Évolution des trois trajectoires ( I ( t ) = I ∗ : trajectoire réelle (désirée),
I (t )
k =0
: trajectoire initiale et I ( t )
k =13
: trajectoire identifiée
après 13 itérations en fonction du temps t ).
La convergence est obtenue après 13 itérations et l’efficacité de l’algorithme du gradient
conjugué qui mène à l’obtention de la trajectoire désirée après quelques itérations est montrée. De
plus, la figure suivante confirme la précision des résultats obtenus à travers le tracé du résidu de
température décrivant la différence entre les températures mesurées (Figure 4. 35) et la température
simulée avec la trajectoire identifiée.
147
0.06
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
0.04
0.02
0
-0.02
-0.04
-0.06
-0.08
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 4. 39. Résidu de température en fonction du temps.
Les résidus de température fournis par les trois capteurs sont inclus dans un intervalle de
température très faible
( ]−0.08, 0.06[ en K )
par rapport aux valeurs de température obtenues par la
résolution du problème direct (température mesurée (cf. Figure 4. 35)).
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
0.0061
0.0084
-0.0140
Ces faibles valeurs des résidus de température (valeurs moyennes) confirment la qualité des
résultats obtenus. Dans l’exemple suivant, la MGC est mise en œuvre en considérant des mesures
incertaines.
Cas A. 2 : trajectoire initiale sous forme d’un carré en présence des mesures bruitées
Pour ce deuxième cas, la même configuration que précédemment est considérée en tenant
compte de mesures affectées par un bruit additif de type Gaussien (défini par N ( 0,1) ) sur les
mesures de température (voir Figure 4. 40).
148
330
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
325
2
θ(C ;t)
3
320
315
310
305
300
295
290
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 4. 40. Évolution de la température bruitée (Cas A. 2).
La MGC dans le but d’identifier la trajectoire de la source mobile dans ces conditions
(mesures bruitées) et en prenant en compte la valeur du test d’arrêt déterminé selon la formule
donnée dans le chapitre 2, sous-section 3.2.5 à J stop = 90 dans le cas présent, est mise en œuvre :
Les valeurs du critère minimisé sont données aussi dans le Tableau 4. 26.
Itération k
0
1
2
J ( I ( t ) ) 1557.1 112.9 76.7
Pour ce cas, les trajectoires : désirée, initiale et identifiée sont présentées par Figure 4. 41, les
résidus de températures fournies par chaque capteur de mesure sont exposés sur la Figure 4. 42 :
I(t)k=0
I(t)k=2
S(15s)
S(0s), S(60s)
S(0s), S(60s)
0.01
Z en m
I*(t)
0.02
S(15s)
0
-0.01
3
Rθ(C1,t)
Rθ(C2,t)
Rθ(C3,t)
2
1
0
-1
S(30s)
S(45s)
-2
S(30s)
S(45s)
-0.02
-3
0
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 4. 41. Évolution temporelle des
(
trajectoires I * ( t ) , I ( t )
k =0
, I (t )
k =2
).
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 4. 42. Évolution du résidu de
température en fonction du temps t .
149
D’après la Figure 4. 42, les résidus de température sont compris dans l'intervalle ]−3,3[ en K .
Cette différence de température (entre la température mesurée et simulée avec la trajectoire
identifiée) est bien évidemment due à l’impact du bruit de mesure sur les températures mesurées.
Néanmoins, ces perturbations n'affectent pas dramatiquement la procédure d’identification et donc
le paramètre estimé (cf. Figure 4. 41) grâce au principe de régularisation de la MGC. Afin de
confirmer ces résultats, le tableau suivant présente les valeurs numériques des moyennes et des
écart-types des résidus de température.
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
0.005
0.011
-0.107
1.005
1.006
0.853
température en K
température en K
Ce tableau confirme également que les écart-types des résidus de température ont le même
ordre de grandeur que l’écart type du bruit de mesure. Afin de confirmer la qualité des résultats
obtenus, le tableau suivant présente les résidus des coordonnées (estimées et réelles) du centre de la
source chauffante pour quelques instants de temps tn .
Tableau 4. 28. Résidus des coordonnées de la trajectoire.
tn = 0 s ou tn = 60 s
tn = 15 s
tn = 30 s
tn = 45 s
Résidu de la première
coordonnée X ( tn ) en m
−0.0036
−2.7 10−4
−0.0011
4.61 10−4
Résidu de la seconde
coordonnée Z ( tn ) en m
0.0011
−6.02 10−4
3.31 10−4
0.0011
Ces faibles écarts entre les coordonnées réelles et les coordonnées estimées de la trajectoire
confirment la robustesse de la méthode du gradient conjugué pour estimer la trajectoire de cette
source chauffante mobile même en présence de mesures bruitées.
En annexe B, des exemples supplémentaires sont présentés et attestent de l'intérêt de la
méthode proposée :
Cas B : identification de la trajectoire (carré) de la source mobile avec une initialisation
différente (avec et sans bruit de mesure).
Cas C : identification de la trajectoire (un 4) considérant un flux de chauffe connu qui
varie en fonction du temps (avec et sans bruit de mesure).
150
3.4.
L’ensemble des résultats obtenus dans les cas non bruités (Cas A. 1, et en annexe B les Cas B.
1 et Cas C. 1) confirme la robustesse de la MGC pour identifier la trajectoire d’une source de
chauffe mobile. En présence de bruits de mesure, les résultats obtenus dans les Cas A. 2, Cas B. 2 et
Cas C. 2 (ces deux derniers en annexe B) montrent que la reconstruction de trajectoire est
satisfaisante. La convergence est toujours obtenue avec des résidus dont l’écart type est de l’ordre
de grandeur du bruit de mesure. Ainsi la méthode de régularisation itérative du gradient conjugué a
été efficacement mise en œuvre pour la reconstruction de trajectoire d’une source mobile dans une
géométrie 3D à l’aide de 3 capteurs ponctuels.
À travers ce chapitre, la résolution de divers problèmes inverses dans une géométrie
tridimensionnelle a été menée à bien dans le but de localiser une ou plusieurs sources fixes ou
mobiles. L’algorithme du gradient conjugué a été adapté à chaque étude afin de répondre aux
objectifs visés. La minimisation du critère défini a été atteinte dans chaque étude avec une
convergence satisfaisante vers les coordonnées recherchées.
Dans le cadre de la première étude qui consiste à localiser deux sources chauffantes fixes, la
MGC est efficacement mise en œuvre dans le but d’identifier les positions (les coordonnées) de
deux sources de chauffe fixées à la surface d’un domaine tridimensionnel. Considérant les mesures
fournies par trois capteurs ponctuels (placés sur une frontière différente), le problème inverse
associé à cette étude a été résolu avec succès. Plusieurs cas sont traités afin de vérifier la robustesse
de cette méthode même en présence des mesures bruitées.
Parmi les perspectives qui sont explorées : la localisation d’une ou plusieurs sources
chauffantes en temps réduit (et qui représente l’objectif de la seconde étude proposée dans ce
chapitre), l’identification de la trajectoire d’une source mobile (troisième étude abordée dans ce
chapitre) ...
Dans la deuxième partie de ce chapitre, la localisation d’une ou plusieurs sources fixes a été
réalisée en un temps réduit. Ce dernier est mis en évidence en considérant la convergence de
l’erreur de poursuite. Divers cas sont traités sans ou en présence de bruits de mesures. Une
perspective importante de cette étude pourrait être la détermination d'un critère (en relation avec le
151
rapport signal/bruit reçu par l'ensemble des capteurs) qui permettrait de choisir le temps minimal
afin d’identifier les inconnues recherchées.
L’identification de la trajectoire d’une source mobile fait l’objet de l’étude abordée dans la
troisième partie de ce chapitre (et complétée en annexe). Plusieurs situations numériques ont été
considérées : à partir de diverses trajectoires initiales et finales (désirées), en présence ou non de
bruits de mesures et avec divers types de densité du flux de chauffe. Les résultats obtenus ont été
analysés et permettent de valider la robustesse de la MGC.
Dans le chapitre suivant, l'identification simultanée de la trajectoire et de la puissance est
proposée.
CHAPITRE 5
Identification simultanée du couple
puissance & position
Sommaire
1.
Estimation simultanée du flux de chauffe et de la localisation d’une source fixe. .................. 153
1.1.
Problème direct ................................................................................................................ 155
1.2.
1.3.
1.4.
Analyses des résultats ...................................................................................................... 168
2. Estimation simultanée du flux de chauffe et de la trajectoire d’une source mobile ................ 168
2.1.
Problème direct ................................................................................................................ 169
2.2.
2.3.
2.4.
Analyses des résultats ...................................................................................................... 181
Les deux précédents chapitres traitaient de l'identification du flux de chauffe (chapitre 3) et de
la localisation (chapitre 4) d'une ou plusieurs sources (fixes ou mobiles). L'expérience acquise est
exploitée dans ce nouveau chapitre afin d’identifier simultanément le couple (puissance &
trajectoire) en résolvant un PICC-3D à l'aide d’une méthode séquentielle de régularisation itérative
du gradient conjugué. Deux études sont présentées dans ce chapitre. La première consiste à
identifier simultanément la puissance et la position d’une source de chauffe fixe. La seconde étude
porte sur l’identification simultanée de la puissance et de la trajectoire d’une source mobile.
L’organisation du présent chapitre est identique à celle des deux précédents. Divers exemples
numériques sont proposés afin de valider les résultats obtenus.
1. Estimation simultanée du flux de chauffe et de la localisation d’une
source fixe.
Dans cette étude, l’emplacement d’une source de chauffe fixe ainsi que le flux de chaleur
(variant en fonction du temps) qu'elle émet, sont identifiés à l'aide de quelques "mesures" de
température. Mentionnons tout d’abord quelques jalons bibliographiques relatifs à cette
154
Chapitre 5. Identification simultanée du couple puissance & position
thématique : une des premières études a été présentée par [Silva Neto et Özisik, 1993 (a)] où
l'estimation du flux de chaleur temporel et la localisation d'une source ponctuelle dans un domaine
unidimensionnel a été menée à bien (les températures sont mesurées aux deux extrémités). Dans
l’étude proposée par [Silva Neto et Özisik, 1994], la MGC a été choisie afin d’estimer
simultanément l’intensité et la position d’une source chauffante dans une géométrie
unidimensionnelle (plusieurs cas sont traités en présence de bruit de mesure et en analysant l'effet
du nombre et de l’emplacement des capteurs sur la précision des résultats). Une étude
expérimentale a été réalisée et proposée par [Le Niliot, et al., 2000] pour l’estimation simultanée de
la position et de la puissance d’une source chauffante au sein d’un problème bidimensionnel de
diffusion de la chaleur en mettant en œuvre la méthode des éléments de frontière. Dans [Le Niliot et
Lefèvre, 2001 & 2004], le flux de chauffe et la localisation de plusieurs sources de chauffe linéiques
sont identifiés alors que le nombre de sources est inconnu (une démarche expérimentale au sein
d’un domaine bidimensionnel a été proposée). Une étude plus récente a été présentée dans [Yang,
2006], où la puissance et la position de deux sources mobiles ont été déterminées considérant des
erreurs de mesures et en utilisant 32 capteurs situés sur la frontière d’un domaine carré. Dans
[Renault, et al., 2008], la reconstruction de la position et de la puissance d’une source chauffante
dans une géométrie bidimensionnelle a été réalisée. Plus récemment, dans [Yun-Jie, et al., 2012],
une démarche basée sur la mise en œuvre de la MGC a été mise en œuvre afin d’estimer une source
chauffante (qui dépend simultanément au temps et à l’espace) dans une géométrie
unidimensionnelle pour un problème de diffusion et de la conduction de chaleur. Dans l'étude
proposée par [Hasanov, 2012], la puissance et la position d’une source chauffante fixe au sein d’un
PICC-1D ont été estimées considérant la température mesurée à l’instant final en utilisant la MGC.
Divers exemples numériques (sans et en présence des données bruitées) ont été présentés afin
d’examiner l’efficacité et la précision de l’approche suivie. Une démarche similaire a été proposée
dans [Yang, et al., 2012].
Dans d’autres contextes thermiques, plusieurs travaux relatifs à l’identification paramétrique
simultanée d’un ou plusieurs paramètres (condition initiale, paramètres thermo-physiques, …)
peuvent être citées : [Tarzia, 1983], [Le Niliot et Callet, 1998], [Liu, 2000], [Coles et Murio, 2001],
[Colaço, et al., 2004], [Rodrigues et al., 2004], [Telejko, 2004], [Gonçalves, et al., 2006], [Tomasz,
2006], [Zanoelo, 2007], [Yu-Ching, et al., 2007], [Thomas, et al., 2010], [Haw-Long, et al., 2012],
[Liu, et al., 2012], [Toivanen, et al., 2012], [Wei et Wang, 2012], …
155
Dans la présente étude, l'estimation simultanée de l’emplacement et de la puissance
temporelle d’un flux de chauffe délivré par une source fixe est réalisée en résolvant un PICC-3D par
la méthode de régularisation itérative du gradient conjugué proposée sous forme séquentielle. Pour
ce faire, en considérant :
d'une part sur les travaux présentés dans [Beddiaf, et al., 2012 (a)] pour l'identification du flux
de chauffe délivré par une source de chauffe fixe ou mobile,
d'autre part sur les études présentées par [Beddiaf, et al., 2012 (b) & (c)] dans le but d’estimer
l’emplacement de deux sources chauffantes fixes au sein d’un parallélépipède.
Ces deux démarches sont combinées afin d’estimer à la fois le flux et la position d’une source
chauffante fixe.
1.1.
Problème direct
Considérons que l’évolution de la température notée θ ( x, y, z; t ) au sein d’une géométrie
tridimensionnelle dans le domaine présenté précédemment (Figure 3. 1. (a)) est décrite par
l’ensemble des EDPs paraboliques (4. 1) avec une condition initiale θ0 et des conditions aux limites
de type mixte (condition de type de Dirichlet et de Neumann). Les variables d’espace sont notées
( x, y , z ) ∈ Ω ⊂
3
,
∂Ω ⊂
2
est
la
frontière
du
domaine
Ω
défini
par
 −L L 
 −L L 
avec ( 0, 0, 0 ) le centre de ce domaine ; t ∈ T = 0, t f  = [ 0,100 ] en
Ω=
,  × ]0, e[ × 
,
 2 2
 2 2 
secondes est la variable du temps.
Le domaine géométrique étudié (une plaque parallélépipédique) est présenté sur la Figure 3.
1. (a) et les propriétés thermo-physiques de l’échantillon choisi (plaque de titane) sont données dans
le Tableau 4. 1.
Le flux de chauffe Φ ( x, z; t ) en W.m -2 dépend de la position de la source fixe et du temps. À
titre d’exemple, pour une seule source fixe (localisée sur la face inférieure de la plaque ( y = 0 m ) ),
une distribution spatiale du flux, uniforme sur un disque D (de centre I ( X , Z ) et de rayon
r = 2 10−3 m ), peut s’écrire :
Φ ( x, z ; t ) ≈ −
(
φ (t ) 
atan µ
π 
(x − X ) +(z − Z)
2
2
)
− µr −
π

2
(5. 1)
156
Rappelons que µ est le paramètre de régularisation (sa valeur est choisie arbitrairement dans
le but de décrire la discontinuité spatiale du flux de chauffe avec précision sur la frontière de
disque). Une formulation discrète de cette distribution en fonction du temps peut être envisagée
par :
 Nt +1
 φi si ( t ) si ( x, z ) ∈ D
Φ ( x, z ; t ) =  ∑
i =1
0
sinon

(5. 2)
L’équation (5. 2) est décrite pour N t pas de temps sur la base des fonctions chapeaux si ( t ) . Soit
par exemple
( Nt = 5)
avec un pas d’échantillonnage en temps (pas de discrétisation) ∆t = 20
secondes et un flux de chauffe surfacique donné par φ = ( 0 , 15 , 50 , 50 , 25 , 15 ) kW.m −2 . Ce flux
est tracé sur la Figure 5. 1.
-2
x 10
4
5
4
3
2
1
0
-1
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 1. Flux de chauffe.
En prenant en compte les propriétés thermo-physiques présentées par le Tableau 4. 1, le
problème direct donné en (4. 1) (avec un flux de chauffe exprimé par (5. 1) ou (5. 2)) est résolu
numériquement en utilisant le solveur de Comsol-Multiphyisics™ interfacé avec Matlab®.
Considérons par exemple que la source de chauffe est placée en ( 0.005, 0, 0.005 ) m (voir Figure 5.
2), et que les coordonnées des capteurs restent identiques à celles utilisées dans le chapitre
précédent (voir Figure 4. 1 (b)). L'évolution temporelle de la température et la distribution spatiale
(à t = 100 s ) sont représentées sur la Figure 5. 3 et la Figure 5. 4.
157
310
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
308
3
0.02
307
305
0.01
306
Z en m
Figure 5. 2. Position de la source chauffante.
300
0
305
-0.01
304
295
303
-0.02
290
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 3. Évolution de la température.
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
302
Figure 5. 4. Distribution spatiale de
température à t = t f .
En considérant que la position de source I = ( X , Z ) (sachant que la source est placée sur la
face inférieure de la plaque, ç.à.d Y = 0 m ) ainsi que la puissance du flux de chauffe
φ = (φi )i =1,L, N +1 sont toutes deux inconnues, une méthode de régularisation itérative basée sur mise
t
en œuvre séquentielle de la méthode du gradient conjugué (MGC) ([Alifanov, et al., 1995] et
[Tarantola, 2005]) est choisie dans le but d’identifier ces inconnues en résolvant un PICC-3D. Cet
algorithme est construit afin de minimiser le critère quadratique qui décrit l’écart entre les
températures mesurées θˆ et les températures calculées par la résolution du problème direct (4. 1) à
chaque itération k . Dans le cadre de la présente configuration (en absence de mesures
expérimentales), les valeurs des températures "mesurées" aux trois capteurs Cm
et à chaque seconde sont issues de la résolution du problème direct "exact".
( où
m ∈ {1, 2,3})
158
1.2.
Problème inverse
Le problème inverse mal posé est résolu grâce à la résolution itérative de trois problèmes bien
posés : problème direct (pour calculer la valeur du critère à minimiser), problème adjoint (issu de la
formulation lagrangienne afin d'estimer le gradient de la fonction de coût) et problème de sensibilité
(pour déterminer la profondeur de descente). L’identification simultanée des paramètres inconnus
(
)
Φ = X , Z ; φi =1,L, Nt +1 est effectuée considérant la minimisation du critère quadratique J défini par :
tf
(
)
2
1 NC
J ( X , Z ; φ ( t ) ) = ∫ ∑ θ ( Cm ; t ; X , Z ; φ ( t ) ) − θˆ ( Cm ; t ) dt
2 0 m=1
(5. 3)
Rappelons que θˆ ( Cm ; t ) est la température mesurée en Cm et N C est le nombre de capteurs
(égal à 3 dans ce chapitre).
Une approche séquentielle est proposée dans ce qui suit afin d’estimer ces inconnues
(φ
i =1,L, N t +1
)
et
(X,Z)
de natures différentes où l'étiquette qui correspond à l'identification de la
puissance de flux de chauffe est notée ( FC ) tandis que l'étiquette qui correspond à l'identification
des coordonnées de la source est notée ( CS ) . L'algorithme du gradient conjugué est adapté de la
manière suivante :
1.2.1.
Méthode séquentielle du gradient conjugué
Algorithme séquentiel du gradient conjugué
1. Initialisation : nombre des itérations k = 0 , compteur interne n = 0 et une valeur arbitraire du
(
)
flux de chauffe φ k =0 ( t ) et de la position initiale de la source de chauffe I k =0 = X k = 0 , Z k =0 ,
avec Y = 0 m . L’identification initiale est dédiée par exemple à l’identification de la puissance
du flux de chauffe ( FC = 1; CS = 0 ) .
(
2. Résolution du problème direct et calcul de J φ k ( t ) ; I k
(
)
)
− Si J φ k ( t ) ; I k ≤ J stop , alors : arrêter la procédure d’itération et les valeurs actuelles de
(φ ( t ) , I ) sont considérées comme des estimateurs satisfaisants de la puissance du flux et
k
k
de la position de la source de chauffe.
(
)
− Sinon, si J φ k ( t ) ; I k > J stop , alors continuer la procédure d’itération.
159
3. Résolution du problème adjoint
− Si
( FC = 1; CS = 0 ) ,
uuur uuuuur
déterminer le gradient de la fonctionnelle ∇J = ∇Jφ (t ) , tandis que
uuuur
∇J Ik = 0 ⇔ ∇J Xk = ∇J Zk = 0 et δ I = 0 ⇔ δ X = δ Z = 0 ,
uuuur uuuur
− Si ( FC = 0 ; CS = 1) , déterminer le gradient de la fonctionnelle ∇J k = ∇J Ik , tandis que
uuuuur
∇Jφ ( t ) = 0 et δφ ( t ) = 0 ,
uuuur uuuur
uur
uuuur
− Calcul de la direction de descente d k +1 = ∇J k + β k d k où β k = ∇J k
2
uuuuur 2
∇J k −1 ∈
+*
(avec . la norme Euclidienne et β k = 0 = 0 ),
4. Résolution du problème de sensibilité dans la direction de descente
uuuur
− Calcul de la variation de température δθ ( x, y, z; t ) dans la direction de descente d k +1 ,
(
)
uur
uuuur
k +1
k
Calcul
de
la
profondeur
de
descente
−
γ = Arg min J Φ − γ d k +1 .
γ∈
∗
5. Calcul de la nouvelle valeur de l’itéré selon le cas :
uuuur
− Si ( FC = 1; CS = 0 ) la nouvelle valeur du flux de chauffe est : φ k +1 ( t ) = φ k ( t ) − γ k +1 dφk +1 .
uuuur
− Si ( FC = 0 ; CS = 1) la nouvelle valeur de la position de source est : I k +1 = I k − γ k +1 d Ik +1
6. n ← n + 1 ,
− Si ( FC = 1; CS = 0 ) et n = nFC : alors ( FC = 0 ; CS = 1) ; n = 0 ; β k +1 = 0
− Si ( FC = 0 ; CS = 1) et n = nCS : alors ( FC = 1; CS = 0 ) ; n = 0 ; β k +1 = 0
7. k ← k + 1 et poursuivre à l’étape 2.
Remarque 5.1.
Dans le but de fixer les valeurs de nFC et nCS (les nombres maximums d’itérations
successives dédiées à chaque problème FC ou CS ), l’approche présentée par [Powell, 1977] sera
utilisée afin de réinitialiser la valeur de la direction de descente ( β = 0 ) . Dans le présent exemple,
nFC est égal à la dimension du vecteur discrétisé du flux de chauffe φ
( nFC = 6 ) et
à la dimension du vecteur des coordonnées ( X , Z ) de la source chauffante.
nCS = 2 est égal
160
Dans les deux sous-sections suivantes, le problème de sensibilité et le problème adjoint sont
explicités.
1.2.2.
Ce problème consiste à déterminer la variation de température δθ ( x, y, z; t ) introduite par la
variation de la puissance du flux de chauffe δφ ( t ) et de la position de la source δ I (δ X , δ Z ) .
Considérant les équations aux dérivées partielles du système satisfait par la variation de température
θ ( x, y, z; t ) + εδθ ( x, y, z; t ) (voir le problème direct donné en (3. 1) avec un flux de puissance
φ ( t ) + εδφ ( t ) et de position δ I = I + εδ I = ( X + εδ X , Z + εδ Z ) ), alors si ε → 0 , le problème de
sensibilité est décrit par l’ensemble des EDPs (3. 4). La variation du flux de chauffe δΦ ( x, z; t )
induite par une variation de flux δφ ( t ) et une variation de position δ I (δ X , δ Z ) est exprimée par :


π 
−1  µφ ( t ) ( (δ X )( X − x ) + (δ Z )( Z − z ) )

δΦ ( x, z; t ) = 
+ δφ ( t )  atan µ (ξ (.) − r ) +  
2
2 
π 

ξ (.) 1 + µ 2 (ξ (.) − r )


)
(
où ξ ( x, z ) =
(x − X ) +(z − Z )
2
(
2
)
(5. 4)
.
L’expression de la profondeur de descente est (voir chapitres précédents) :
tf N
C
γ
k +1
=
∫ ∑ (θ ( C
0 m =1
m
)
)
∫ ∑ (δθ ( C
; t; Φ
(
)
Cm ; t ; Φ k dt
; t ; Φ k − θˆ ( Cm ; t ) δθ uuuur
k +1
tf N
C
0 m =1
uuuur
d k +1
m
d
k
))
(5. 5)
2
dt
La profondeur de descente γ k +1 sera calculée à chaque itération k en considérant le problème
de sensibilité décrit par (3. 4) avec la variation du flux de chauffe donnée en (5. 4) dans la direction
uuuur
de descente d k +1 . Afin d'estimer cette dernière à chaque itération, le calcul du gradient de la
uuur
fonctionnelle ∇J est réalisé en résolvant le problème adjoint présenté dans la section suivante.
161
1.2.3.
Problème adjoint
La fonction adjointe ψ ( x, y, z; t ) est introduite dans le but de déterminer le gradient de la
tr
uuur  ∂J ∂J

∂J
fonctionnelle noté ∇J = 
, ;
 . L'ensemble de la démarche présentée dans le
 ∂X ∂Z ∂φi =1,L, N +1 
t


chapitre 2, sous-section 3.2.4 est suivi. Le problème adjoint est défini par les équations (3. 8). La
variation Lagrangienne δ l (θ ,ψ , Φ (.) ) dans ce paragraphe est décrite par :
tf
δ l (θ ,ψ , Φ (.) ) = − ∫
δΦ (.) ψ (.) dt (.) d ∂Ω dt
∫
(5. 6)
0 Γchauffe
= δ J ( Φ ( .) )
En utilisant l’équation (3. 8) et l’équation (5. 6), l’ensemble des gradients s’expriment par :
tf

∂J 1
π

∇Jφ i =
= ∫ ∫  atan µ (ξ ( x, z ) − r ) −  ψ ( x, y, z; t ) si ( t ) d ∂Ω dt
∂φi π 0 Γchauffe 
2


tf

∂J
1
= − ∫ ∫ φ ( t ) ( X − x ) A ( x, z ) ψ ( x, y, z; t ) d ∂Ω dt
∇J X =
X
∂
π 0 Γchauffe


tf
∂J
1

∇J Z = ∂Z = − π ∫ ∫ φ ( t ) ( Z − z ) A ( x, z ) ψ ( x, y, z; t ) d ∂Ω dt
0 Γ chauffe

(
avec : A ( x, z ) =
(
)
−µ
ξ ( x, z ) 1 + µ 2 ( ξ ( x, z ) − r )
2
)
et ξ ( x, z ) =
(x − X ) +(z − Z )
2
(5. 7)
2
Dans ce qui suit, quelques exemples numériques de la mise en œuvre de la MGC sont
présentés et analysés.
1.3.
Le test d’arrêt dans les cas non bruités est arbitrairement fixé à 0.1, tandis que pour les cas
bruités le seuil est défini dans la sous-section 3.2.5 du chapitre 2. Deux cas sont présentés. Pour le
cas A, la position de la source est fixée en I * = ( X * , Z * ) = ( 0.005, 0.005 ) m et le flux de chauffe est
162
φ * = ( 0 , 15 , 50 , 50 , 25 , 15) kW.m −2 .
Pour
le
cas
B,
la
source
est
positionnée
en
I * = ( X * , Z * ) = ( 0.01, 0 ) m avec un flux qui vaut φ * = ( 0 , 100 , 0 , 100 , 0 ) kW.m −2 .
φ k =0 (t ) = 0
Considérons
la
valeur
initiale
du
flux
de
chauffe
et
I k =0 = ( X k =0 , Z k =0 ) = ( 0, −0.005 ) m la position initiale de la source chauffante. La résolution de ce
problème inverse par la MGC-séquentielle conduit aux résultats suivants. L’évolution du critère en
fonction des itérations effectuées k est présentée sur la Figure 5. 5. Le flux obtenu à l'itération 83
10
10
10
4
6
-2
10
J(φ(t);I)
est tracé Figure 5. 6
4
2
0
5
x 10
φ*(t)
φk=83(t)
4
3
2
1
0
10
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
80
Itérations k
Figure 5. 5. Évolution du critère (Cas A. 1).
-1
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 6. Flux identifié et flux réel
(Cas A. 1).
Les valeurs de la minimisation du critère sont données dans le tableau suivant
Itération k
J (φ ( t ) ; I )
0
1
16081.29 1522.68
…
…
3
…
7
8
9
… 39 …
737.23 … 482.49 44.86 9.32 … 0.95 …
83
0.09
Les coordonnées identifiées de la source chauffante sont présentées dans le Tableau 5. 2.
Tableau 5. 2. Coordonnées identifiées en fonction des itérations k (Cas A. 1).
Itération k
X
Z
0
0
-0.005
…
…
…
7
0.0029
-0.0027
8
0.0046
0.0045
…
…
…
15
0.0046
0.0046
16
0.0046
0.0047
…
…
…
83
0.0047
0.0047
163
La convergence du critère est satisfaisante. Un comportement particulier de ce dernier est
observé aux itérations k = 79 et k = 80 . Les coordonnées identifiées à partir de l’itération k = 78
ne varient plus. L'augmentation du critère à k = 79 et k = 80 est due uniquement à l'identification
du flux de chauffe. Ce dernier s'est provisoirement légèrement éloigné du flux de chauffe réel. Le
critère a ensuite poursuivi sa convergence en dessous du seuil retenu.
D’après les résultats obtenus, il est montré que le flux de chauffe et les coordonnées du centre
de la source sont déterminés avec précision. L’identification simultanée a été menée à bien et une
convergence satisfaisante du critère a été obtenue. Le prochain paragraphe traite du même exemple
en tenant compte d'observations bruitées.
Considérons la configuration précédente en présence de mesures bruitées par un bruit additif
Gaussien défini par N ( 0, 0.5 ) (voir Figure 5. 7).
310
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
305
300
295
290
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 7. Évolution de la température mesurée en fonction du temps t (Cas A. 2).
La mise en œuvre de la MGC-séquentielle permet d’estimer à la fois le flux et la position de
la source en minimisant le critère à chaque itération k .
Itération k
J (φ ( t ) ; I )
0
16060
1
1531
2
3
4
5
6
7
8
9
10
1212 780.5 725.3 699.4 697.7 526.6 67.8 40.1 35.6
Tableau 5. 4. Coordonnées identifiées en fonction des itérations k (Cas A. 2).
Itération k
X
Z
0
0
-0.005
…
…
…
7
0.0028
-0.0027
8
0.0046
0.0045
…
…
…
10
0.0046
0.0045
164
Le flux de chauffe obtenu à l’itération k = 10 est φ k =10 = ( −0.2 , 17.4 , 46.3 , 47.9 , 29.3 , 6.2 )
kW.m −2 . Le flux exact étant φ ∗ = ( 0 , 15 , 50 , 50 , 25 , 15) kW.m −2 . En quelques itérations, les
coordonnées de la source et le flux de chauffe sont estimées de manière satisfaisante malgré une
faible erreur due aux mesures bruitées. Afin de quantifier l’effet des erreurs de mesure sur les
coordonnées et le flux estimés, le résidu (écart entre la température mesurée bruitée et la
température calculée) est présenté Figure 5. 8.
1.5
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 8. Valeurs du résidu de température en fonction du temps (Cas A. 2).
Les faibles valeurs des résidus de température obtenus confirment la robustesse de la méthode
utilisée. Le tableau suivant présente les valeurs moyennes et les écart-types des résidus de
température obtenus par chaque capteur de mesure.
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
-0.03
0.14
0.12
0.48
0.46
0.48
Les valeurs du précédent tableau montrent que les écart-types de températures obtenus ont le
même ordre de grandeur que l’écart type du bruit de mesure proposé. Un exemple différent de la
reconstruction simultanée de la position et de la puissance de chauffe est proposé ci après.
165
Dans ce cas, la position réelle de la source chauffante est fixée en I = ( X , Z ) = ( 0.01, 0 ) m
avec une puissance du flux de chauffe présentée Figure 5. 9. Cette fois-ci, le flux de chauffe est
décrit toutes les 25 secondes par un vecteur φ ∈
5
(ce qui implique que le nombre maximal
d’itérations successives pour identifier le flux de chauffe devient nFC = 5 ). La température fournie
10
x 10
4
par les 3 capteurs après la résolution du problème direct est présentée Figure 5. 10.
8
6
325
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
320
315
310
305
4
300
2
295
0
0
20
40
60
290
0
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 9. Intensité du flux de chauffe
(Cas B. 1).
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 10. Évolution de température
(Cas B. 1).
Les initialisations suivantes sont considérées : flux de chauffe nul (φ k = 0 (t ) = 0 ) et position
initiale définie par I k =0 = ( X k =0 , Z k =0 ) = ( −0.01, 0 ) m . L’algorithme séquentiel de la MGC (cf.
paragraphe 1.2.1) est mis en œuvre pour identifier simultanément la position de la source et le flux
10
10
10
10
4
6
J(φ(t);I)
de chauffe. Les résultats obtenus sont présentés par les figures et les tableaux suivants :
4
2
10
x 10
φ*(t)
8
φk=968(t)
6
4
2
0
0
10
-2
0
100
200
300
400
500
600
700
800
900
Itérations k
Figure 5. 11. Évolution du critère en fonction
des itérations (Cas B. 1).
-2
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 12. Flux de chauffe réel et identifié
(Cas B. 1).
166
Les valeurs de la fonctionnelle et la position de la source en fonction des itérations sont présentées
dans les tableaux suivants :
Tableau 5. 6. Valeurs du critère en fonction des itérations (Cas B. 1).
Itération k
J (φ ( t ) ; I )
0
1
39039.8 4112.8
260
2.98
…
…
…
…
418
1.02
49
50
51
52 … 100 … 192 …
1324.6 186.3 123.4 97.6 … 10.7 … 4.85 …
419
0.99
…
…
967
0.10
968
0.09
avec :
Tableau 5. 7. Valeurs des coordonnées en fonctions des itérations (Cas B. 1).
Itération k
0
…
48
…
192
…
271
273
…
318
…
-0.01
…
0.00633
…
0.00766
…
0.0082
0.00825
…
0.00848
…
X
0
… -0.00204 … 0.00005 … 0.00007 0.00008 … 0.00007 …
Z
705
706
…
850
…
855
…
900
…
968
511
…
0.0092 … 0.00952 0.0095 … 0.00964 … 0.00965 … 0.00968 … 0.00969
0.00005 … 0.00003 0.00003 … 0.00002 … 0.00002 … 0.00002 … 0.00001
Les résultats obtenus confirment encore la robustesse de la MGC pour identifier
simultanément le flux de chauffe et la position de la source fixe. Il est important de noter que le
nombre élevé d'itérations nécessaires pour obtenir la convergence vient d'une initialisation de la
position plus éloignée de la position réelle et d'une forme de flux plus complexe.
Cas B. 2 : en présence du bruit de mesure
Ce paragraphe correspond à la même configuration que celle du Cas B.1 mais en présence de
mesures bruitées (Figure 5. 13) par un bruit additif Gaussien N ( 0, 0.5 ) .
325
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
320
315
310
305
300
295
290
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 13. Évolution de la température mesurée en fonction du temps t (Cas B. 2).
167
Les résultats obtenus après la mise en œuvre numérique de l’algorithme séquentiel du GC sont
présentés ci-après.
Tableau 5. 8. Évolution du critère en fonction des itérations k (Cas B. 2).
Itération k
J (φ ( t ) ; I )
0
1
…
8
…
40
41
…
43
44
45 …
39044.9 4199.7 … 2708.7 … 2156.3 954.2 … 136.7 95.2 90.3 …
60
52.9
…
…
80
45.5
…
…
120
39.8
…
…
136
38.8
…
…
150
37.8
…
…
154
37.5
155
37.4
Tableau 5. 9. Évolution des coordonnées en fonction des itérations k (Cas B. 2).
0
…
7
8
…
15
16
…
41
42
…
Itération k
-0.01
…
-0.0112
-0.0076
…
-0.0061
-0.0062
…
0.00049
0.0050
…
X
0
… 0.0526 0.0051 … 0.006
0.006 … 0.0011 -0.0014 …
Z
117
69
70
…
0.0062
0.0062 … 0.0069
-0.00013 -0.00016 … 1.7 ×10 −5
68
0.0060
-0.0002
… …
153
… … 0.0075
… … 1.1×10−5
…
…
…
155
0.0075
8.6 × 10−5
Sur la figure suivante, le résidu de température est présenté.
1.5
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
20
40
60
80
100
Temps en secondes
Figure 5. 14. Valeurs du résidu de température en fonction du temps (Cas B. 2).
Le tableau suivant détaille les valeurs moyennes et les écart-types des résidu de température
pour chaque capteur Cm .
168
Tableau 5. 10. Résidus de température (Cas B. 2).
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
-0.057
0.106
-0.049
0.46
0.47
0.53
La précision des résultats obtenus est satisfaisante : les écart-types des résidus de températures
sont du même ordre de grandeur que le bruit de mesure ( N ( 0, 0.5 ) ) .
1.4.
Les résultats obtenus attestent que la méthode du gradient conjugué peut s’adapter avec
succès à l'identification du couple puissance & position (alors que ces inconnues ont des ordres de
grandeurs extrêmement différents). L’effet du bruit de mesure a également été considéré et la
robustesse de la méthodologie d’identification suivie est mise en évidence.
2. Estimation simultanée du flux de chauffe et de la trajectoire d’une
source mobile
Cette étude consiste à combiner les travaux de l’identification du flux de chauffe d’une source
mobile présentés dans le chapitre 3 (cf. [Beddiaf, et al., 2012 (a)]) et la démarche de l’identification
de la trajectoire qui fait l’objet de la troisième section du quatrième chapitre.
Dans une géométrie bidimensionnelle, l’identification de la trajectoire et la puissance d’une
source chauffante mobile a été réalisée par l’utilisation de la méthode des éléments de frontières
([Lefèvre et Le Niliot, 2002]). L'expérimentation était basée sur l'utilisation d'un scanner infrarouge
pour mesurer les températures de surface et les flux de chaleur.
Dans ce qui suit, l'identification du couple puissance & trajectoire est réalisée dans une
géométrie tridimensionnelle en mettant en œuvre de manière séquentielle la méthode de
régularisation itérative du gradient conjugué.
2.1.
169
Problème direct
Le système thermique étudié est modélisé dans la section 1.1 du chapitre 3 par l’ensemble des
EDPs (3. 1) :
∂Ω ⊂
2
( x, y , z ) ∈ Ω ⊂
3
 − L L   −e e   − L L 
sont les variables d’espace Ω = 
,
, ×
, ×
,
 2 2   2 2   2 2 
est la frontière du domaine Ω , t ∈ T = 0, t f  = [ 0, 60 ] secondes est la variable de temps
et θ ( x, y, z; t ) est la température en K . Le flux de chauffe fourni par la source de chauffe mobile
peut s’exprimer :
Φ ( x, z ; t ) ≈ −
φ (t ) 
atan  µ

π 

( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
2
π
− µ r  − 
 2
(5. 8)
où I ( t ) = ( X ( t ) , Z ( t ) ) décrit la trajectoire du centre de la source mobile sur la face inférieure
−e 

m  . La variation temporelle du flux de chauffe φ ( t ) est décrite par la Figure 5. 15. La
Y =
2 

trajectoire suivie par cette source est identique à celle présentée au chapitre 4 (Figure 4. 34).
10
x 10
4
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 5. 15. Puissance du flux de chauffe en W.m -2 .
Le flux de chauffe φ ( t ) est discrétisé toutes les 15 secondes sur la base des fonctions
chapeaux si ( t ) (voir Figure 4. 33), pour i = 1,L , N t + 1 ;
( Nt = 4 ) .
Considérant les paramètres
thermo-physiques du Tableau 4. 1 et les coordonnées des capteurs présentées sur la Figure 4. 1. (b),
170
l’évolution de température est obtenue par la résolution du problème direct en utilisant le solveur de
Température en K
Comsol-Multiphyisics™ interfacé avec Matlab®.
298
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
297
296
295
294
293
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 5. 16. Température fournie par les trois capteurs.
La figure suivante présente la distribution spatiale de température sur la face supérieure de la
plaque à quelques instants :
à t = 15 s .
à t = 30 s .
302
297
0.02
0.02
301
296.5
295.5
0
295
0.01
Z en m
Z en m
300
296
0.01
294.5
-0.01
299
298
0
297
296
-0.01
294
295
293.5
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
-0.02
0.02
294
-0.02
à t = 45 s .
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
à t = 60 s .
0.02
298
0.02
0.01
297
0.01
0
296
-0.01
295
294.2
294
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Z en m
Z en m
294
293.8
0
293.6
-0.01
293.4
-0.02
293.2
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
171
Dans ce qui suit, il est considéré que la trajectoire et le flux de chauffe de la source mobile
sont touts deux inconnus. Un problème inverse (PICC-3D) peut être formulé et résolu dans le but
d’identifier ces inconnus à l'aide de la méthode itérative du gradient conjugué (mise en œuvre de
manière séquentielle).
2.2.
Problème inverse
Afin d'estimer à la fois l’intensité du flux de chauffe et la trajectoire d’une source de chauffe,
la minimisation du critère quadratique suivant doit être réalisée.
tf
(
1 NC
J (φ ( t ) ; X ( t ) , Z ( t ) ) = ∫ ∑ θ ( Cm ; t ; φ ( t ) ; X ( t ) , Z ( t ) ) − θˆ ( Cm ; t )
2 0 m =1
)
2
dt
(5. 9)
Rappelons qu'en absence d’un dispositif expérimental, la température calculée par résolution
du problème direct avec les données exactes sera considérée comme température "mesurée"
θˆ ( Cm ; t ) par chaque capteur Cm à chaque seconde. L’algorithme du GC est structuré de la même
façon que l’algorithme présenté dans la sous-section 1.2.1 où I (la position de source dans
l’algorithme précédent) sera remplacée par I ( t ) (la trajectoire de la source mobile), ce qui implique
la substitution de X par X ( t ) et Z par Z ( t ) .
2.2.1.
Les équations décrivant ce problème ont pour objectif d’exprimer la variation de température
δθ ( x, y, z; t ) induite par la variation du flux de chauffe δφ ( t ) et par la variation de la trajectoire du
centre de la source δ I ( t ) (équivalente à (δ X ( t ) , δ Z ( t ) ) ). Ces équations sont décrites par le
système d'EDPs (3. 4), où la variation du flux de chauffe est donnée par :
δΦ ( x, z; t ) =
φ (t )
−µ
δ X ( t ) ) ( X ( t ) − x ) + (δ Z ( t ) ) ( Z ( t ) − z ) ) ×
(
(
2
π
ξ ( . ) 1 + µ 2 ( ξ ( .) − r )
(
δφ ( t ) 
π
−
 atan ( µ (ξ (.) − r ) ) − 
π 
2
avec : ξ ( x, z; t ) =
( x − X (t )) + ( z − Z (t ))
2
2
.
)
(5. 10)
172
L’expression de la profondeur de descente peut s’exprimer par la même expression (5. 5) où
Φ ( x, z; t ) est donné par (5. 8). La formulation du problème adjoint présenté ci-après permet de
calculer le gradient de la fonctionnelle et d'en déduire le vecteur de direction descente.
2.2.2.
Problème adjoint
La solution ψ ( x, y, z; t ) du problème adjoint permet de calculer le gradient de la
uuur 

∂J
∂J
∂J
fonctionnelle noté ∇J = 
,
;
 . En utilisant la procédure suivie dans
 ∂X i =1,L, N +1 ∂Z i =1,L, N +1 ∂φi =1,L, N +1 
t
t
t


les précédentes études (cf. chapitre 3 et chapitre 4), le problème adjoint est décrit par le système (3.
8) alors que le gradient de la fonctionnelle s’exprime :
tf

∂J 1
π

∇Jφ i =
= ∫ ∫  arctan µ (ξ (.) − r ) −  ψ ( x, y, z; t ) si ( t ) d ∂Ω dt
2
∂φi π 0 Γchauffe 


tf

 Nt +1

∂J
−1
=
t
X
s
t
−
x
φ
(
)
(
)
∇J X i =

 A ( x, z; t ) ψ ( x, y, z; t ) si ( t ) d ∂Ω dt
∑
i
i
∫
∂X i π ∫0 Γchauffe
 i =1



tf
 Nt +1

∂J −1

∇
J
=
=
t
Z
s
t
−
z
φ
(
)
(
)

 A ( x, z; t ) ψ ( x, y, z; t ) si ( t ) d ∂Ω dt
∑
Z
i
i
∫
∫
i

∂Z i π 0 Γchauffe
i =1



(
avec : A ( x, z; t ) =
(
)
−µ
ξ ( x, z ; t ) 1 + µ ( ξ ( x, z ; t ) − r )
2
2
)
(5. 11)
.
L’algorithme séquentiel de la méthode itérative du gradient conjugué présenté dans la soussection 1.2.1 du présent chapitre est mis en œuvre en remplaçant les coordonnées de la source fixe
(X,Z)
par ( X ( t ) , Z ( t ) ) (qui décrivent la trajectoire du centre de la source noté I ( t ) en fonction
du temps t ).
2.3.
Les résultats numériques sont obtenus avec un test d’arrêt choisi arbitrairement égal à 0.01
pour les cas non bruités et en utilisant la règle mentionnée dans le chapitre 2, sous-section 3.2.5
pour les cas bruités. Il est indispensable de noter aussi que pour les deux cas (Cas C et Cas D), les
coordonnées de départ et d'arrivée de la source sont identiques. Ainsi, la trajectoire est déterminée
par la position de la source en quatre points : ( X ( 0 ) , Z ( 0 ) ) = ( X ( 60 ) , Z ( 60 ) ) ; ( X (15) , Z (15) ) ;
( X ( 30 ) , Z ( 30 ) )
et
( X ( 45) , Z ( 45) ) .
fixées à nFC = 5 et nCS = 8 .
Les valeurs maximales des deux compteurs internes sont
173
Cas C. 1 : sans bruit de mesure
Initialement, il est supposé que le flux de chauffe est identiquement nulle φ k =0 (t ) = 0 et que la
trajectoire initiale est donnée par la courbe pointillée verte de la Figure 5. 19. La minimisation du
J(φ(t);I(t))
critère quadratique est illustrée sur la figure suivante :
10
10
10
10
10
4
2
0
-2
-4
0
200
400
600
800
1000
1200
Itérations k
Figure 5. 18. Évolution du critère en fonction des itérations k (Cas C. 1).
Quelques valeurs de ce critère sont exposées dans le tableau suivant :
Itération k
J (φ ( t ) ; I ( t ) )
0
564.5
1
310.3
…
…
1100
0.018
1101 …
0.0181 …
500
0.686
…
…
700
0.130
1200 … 1250
0.013 … 0.0117
…
…
1270 … 1293
0.0107 … 0.0098
300 …
1.822 …
…
…
900
0.041
… 1000
… 0.026
174
I(t)k=0
I*(t)
S(0s),
S(60s)
S(15s)
-2
S(0s),S(60s)
0.01
Z en m
4
0.02
I(t)k=1293
S(15s)
0
12
x 10
φ*(t)
10
φk=1293(t)
8
6
4
-0.01
S(45s)
S(30s)
S(45s)
2
S(30s)
0
0
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
20
30
40
50
60
Temps en secondes
0.02
Figure 5. 19. Trajectoires initiale I ( t )
réelle I * ( t ) et identifiée I ( t )
10
k =0
Figure 5. 20. Flux de chauffe réel φ * ( t ) et
,
identifié φ k =1293 ( t ) en fonction du temps t
(Cas C. 1).
k =1293
(Cas C. 1).
Les résultats obtenus montrent une convergence adéquate des paramètres identifiés par
rapport aux paramètres désirés tout en minimisant le critère J (φ ( t ) ; I ( t ) ) . L'erreur de position est
plus importante à 0 et 60 secondes. En effet, il est délicat d'identifier la position finale car les
mesures ne sont pas disponibles après 60 secondes. Toutefois, comme les positions initiales et
finales sont identiques et qu'elles influent sur les segments
[0,15]
et
[ 45, 60]
secondes,
l'identification donne des résultats relativement satisfaisants.
Cas C. 2 : en présence de mesures bruitées
La même situation est considérée en présence d'incertitudes (ajout d’un bruit Gaussien
N ( 0, 0.5 ) ). Les températures "mesurées" sont présentées par la Figure 5. 21).
298
297
296
295
294
293
292
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 5. 21. Évolution de la température mesurée (bruitée), Cas C. 2.
175
La mise en œuvre numérique de l’algorithme séquentiel de la MGC a été effectuée. La
minimisation du critère a été achevée (voir Tableau 5. 12) en prenant en considération le principe de
régularisation proposé dans la sous-section 3.2.5 du chapitre 2 afin de déterminer un test d’arrêt de
la procédure de minimisation. Ce dernier a été fixé dans ce cas par : J stop = 22.5 .
Itération k
J (φ ( t ) ; I ( t ) )
0
554.79
1
310.74
…
…
4
121.33
5
88.11
…
…
10
40.37
…
…
14
37.19
…
…
19
27.74
20
26.73
…
…
26
26.21
27
24.99
…
…
31
23.62
…
…
33
22.54
34
22.33
L'arrêt du critère en dessous du seuil J stop permet d'obtenir les valeurs suivantes du flux et de
la trajectoire : φ k =34 = ( 20.8 , 44.4 , 48.8 , 36 , 8.1) kW.m −2 ,
I
k =34
= ( X ( tn ) , Z ( tn ) )
k = 34
= ( ( −1.4,1.5 ) ; ( −1.5,1.6 ) ; ( −0.9, −0.98 ) ; ( −1.2, −0.77 ) ; ( −1.4,1.5 ) ) 10−2 m
Les résidus entre les températures "mesurées" et calculées sont montrés sur la figure suivante.
1.5
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 5. 22. Évolution des résidus de température en fonction du temps t (Cas C. 2).
Les résidus de température sont bornés entre ±1.5 K , ce qui traduit une convergence
satisfaisante de la fonction coût à minimiser (l'écart type du bruit de mesure est égal à 0.5 K ). Les
illustrations données par la figure précédente sont complétées par le tableau suivant :
176
Tableau 5. 13. Résidus de température (Cas C. 2).
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
2.3 10 −3
−0.11
−8.0 10 −3
0.46
0.53
0.48
Les valeurs moyennes des résidus de températures montrent une convergence satisfaisante de
la température calculée vers la température mesurée. L’ordre de grandeur de l’écart-type du résidu
est le même que celui du bruit de mesure.
Les écarts entre les trajectoires identifiée et réelle sont donnés dans le tableau suivant à
plusieurs instants.
Tableau 5. 14. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas C. 2).
0 s ou 60 s
15 s
30 s
45 s
−0.0013
−4.7 10−4
−0.0059
−0.0062
−1.7 10−4
−7.4 10 −4
−0.0052
0.0073
Ces écarts sont relativement importants. Cela provient des bruits de mesure relativement
importants comparés aux élévations de température de la Figure 5. 21. Cependant, l'allure observée
pour la trajectoire est globalement correcte et serait améliorée avec un meilleur rapport signal sur
bruit. Un exemple différent de l’identification de la trajectoire et du flux de chauffe est proposé
dans le paragraphe suivant.
Cas D. 1 :
Dans ce dernier cas, il est considéré que la trajectoire et la puissance du flux de chauffe de la
source mobile sont données respectivement par les deux courbes bleues de la Figure 5. 26 et la
Figure 5. 27. En utilisant ces valeurs exactes des paramètres φ ( t ) et I ( t ) , la résolution numérique
du problème direct (3. 1) a été effectuée via le solveur de Comsol-Multiphisics™ interfacé avec
Matlab®. Ces résultats sont présentés Figure 5. 23 pour l’évolution temporelle de la température
fournie par chaque capteur et Figure 5. 24 pour la distribution spatiale de la température à quelques
instants.
177
304
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
3
302
300
298
296
294
292
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 5. 23. Température simulée par la résolution du problème direct (Cas D. 1).
à t = 15 s .
à t = 30 s .
301
0.02
0.02
302
300
0.01
299
298
0
297
300
Z en m
Z en m
0.01
296
-0.01
0
298
-0.01
296
295
-0.02
-0.02
294
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
294
-0.02
à t = 45 s .
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
à t = 60 s .
0.02
0.02
295
302
0.01
0.01
0
298
Z en m
Z en m
300
294.5
0
294
-0.01
296
-0.02
294
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
-0.01
293.5
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 5. 24. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque
(Cas D. 1).
178
( k = 0)
Supposons que la source à l’état initial
est fixe au centre de la face inférieure
−e 

m  de la plaque i.e. I ( t ) = ( X ( t ) , Z ( t ) ) = ( 0, 0 ) avec une puissance du flux de chauffe
Y =
2 

(
)
identiquement nulle (φ ( t ) = 0 W.m -2 ) . L’estimation du couple puissance & trajectoire est réalisée à
l'aide de la méthode séquentielle du GC en minimisant le critère quadratique défini en (5. 9) à
J(φ(t);I(t))
chaque itération k (voir Figure 5. 25).
10
10
10
10
4
2
0
-2
0
200
400
600
800
1000
1200
Itérations k
Figure 5. 25. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas D. 1).
Quelques valeurs de ce critère en fonction des itérations sont exposées dans le tableau suivant :
Tableau 5. 15. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas D. 1).
Itération k
J (φ ( t ) ; I ( t ) )
0
2574.8
…
…
5
506.4
…
…
100
4.25
1100
0.18
…
…
1200
0.13
…
…
1273
0.099
…
…
454
1.01
Les inconnues estimées sont présentées par les deux figures suivantes :
455
0.97
…
…
1000
0.25
179
I(t)k=0
I*(t)
0.02
I(t)k=1273
4
S(0 s), S(60 s)
Z en m
0.01
I(t)
S(45 s)
0
k=0
S(15 s)
12
x 10
φ*(t)
10
φ(t)k=1273
8
6
4
-0.01
2
S(30 s)
-0.02
0
0
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
0.02
Figure 5. 26. Trajectoire désirée (réelle),
initiale et identifiée (Cas D. 1).
Figure 5. 27. Flux de chauffe réel et identifié
(Cas D. 1).
Les résultats obtenus montrent une convergence satisfaisante des paramètres estimés vers les
paramètres réels (désirés). La trajectoire de la source et la puissance du flux de chauffe ont été
déterminées de manière satisfaisante malgré une initialisation plus délicate de la trajectoire de la
source (source immobile à l’itération initiale). Le cas suivant propose une démarche similaire en
présence du bruit de mesure.
Cas D. 2 :
Considérons que les mesures sont affectées par un bruit additif Gaussien N ( 0, 0.5 ) . L’effet
de ce bruit sur les températures mesurées par chaque capteur de mesure est présenté sur la figure
suivante :
306
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
304
302
300
298
296
294
292
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 5. 28. Évolution de la température mesurée (Cas D. 2).
180
Le test d’arrêt basé sur le principe de régularisation de la MGC (sous-section 3.2.5, chapitre
2) est J stop = 22.5 . Le tableau suivant présente quelques valeurs du critère en fonction des
itérations :
Tableau 5. 16. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas D. 2).
Itération k
J (φ ( t ) ; I ( t ) )
0
2613.51
…
…
4
748.12
5
532.15
…
…
19
104.91
20
95.08
…
…
40
44.97
…
…
50
33.65
…
…
65
262.34
66
25.87
…
…
72
23.68
73
23.04
…
…
83
22.72
84
22.31
Une convergence adéquate vers les paramètres recherchés est obtenue après 84 itérations. Les
paramètres estimés (flux de chauffe et trajectoire) sont donnés respectivement par :
φ k =84 = ( 33.3 , 80.1 , 100.4 , 78.6 , 17.2 ) kW.m −2 ,
I
k =84
= ( X ( tn ) , Z ( tn ) )
k =84
= ( ( 0.6,1.8 ) ; (1.1, −0.02 ) ; ( 0.1, −1.1) ; ( −1, −0.2 ) ; ( 0.6,1.8 ) ) 10 −2 m
Une comparaison entre la température "mesurée" (bruitée) et la température calculée (en
considérant les valeurs des paramètres identifiés) est présentée Figure 5. 29.
1.5
Rθ(C1,t)
Rθ(C2,t)
Rθ(C3,t)
1
0.5
0
-0.5
-1
-1.5
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure 5. 29. Évolution du résidu de température en fonction du temps t (Cas D. 2).
Les faibles valeurs des résidus obtenus attestent la robustesse de l’approche séquentielle de la
MGC. Le tableau suivant présente les valeurs numériques de la moyenne et des écarts types des
résidus de température.
181
Tableau 5. 17. Résidus de température (Cas D. 2).
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
-0.05
0.04
-0.02
0.55
0.49
0.42
Les faibles valeurs moyennes des résidus et les valeurs des écarts types (du même ordre que
celles du bruit) attestent de l’efficacité du principe de régularisation de la méthode séquentielle du
GC.
Pour compléter, le tableau suivant présente les écarts de trajectoire à quelques instants.
Tableau 5. 18. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas D. 2).
0 s ou 60 s
15 s
30 s
45 s
−0.0055
0.0015
−0.0013
−0.0021
−0.0051
2.31 10−4
−0.0018
0.002
Les écarts observés proviennent du rapport signal/bruit trop faible qui empêche une
identification précise alors que les résidus de températures sont corrects. Cependant, les résultats
obtenus restent exploitables et globalement satisfaisants pour l'identification du couple puissance
trajectoire compte tenu de l'initialisation extrêmement éloignée des valeurs recherchées et du niveau
de bruit.
2.4.
Une adaptation particulière de la MGC a été effectuée dans cette étude afin d’estimer à la fois
la trajectoire et l’intensité du flux de chauffe. Un PICC-3D associé à l’objectif désiré a été résolu
avec succès et les inconnues identifiées, en minimisant itérativement le critère quadratique, sont
proches de leurs valeurs réelles. L’efficacité de l'approche séquentielle est montrée à l'aide de divers
exemples. Il est utile de noter que l’influence des mesures incertaines ne joue pas dramatiquement
sur les résultats obtenus grâce au principe de régularisation de la MGC qui permet de faire un choix
judicieux du test d’arrêt.
182
Ce chapitre avait pour objectif d’évaluer la robustesse de la méthode du gradient conjugué à
des fins d’identification paramétrique de deux inconnues de natures différentes : le couple puissance
& trajectoire d'une source chauffante. Deux études ont été proposées.
La première concerne l’identification simultanée de la position et du flux de chauffe
(dépendant du temps) fourni par une source fixe. Une configuration tridimensionnelle d’un
phénomène de transfert de chaleur par conduction a été proposée. L’objectif visé a été formulé et
présenté comme un problème d’optimisation classique qui consiste en la minimisation itérative d'un
critère quadratique représentant l’écart entre les températures calculées et mesurées. Cette
minimisation de l'erreur de sortie permet l’estimation des inconnues recherchées. Pour ce faire, une
extension particulière de la méthode du gradient conjugué a été retenue : la mise en œuvre
séquentielle de l’algorithme du GC afin d’estimer des paramètres de nature différente. Cet
algorithme a été mis en place avec succès pour la résolution numérique du PICC-3D via le solveur
de Comsol-Multiphyisics™ interfacé avec Matlab®. Divers exemples (en présence ou non de bruits
de mesures, pour diverses situations initiales et finales) sont exposés afin de valider l’approche
suivie. Les résultats numériques obtenus valident la robustesse et l’efficacité de la méthode
proposée. Une partie de ces résultats a fait l'objet d’une communication internationale [Autrique, et
al., 2012]. En outre, la participation à cette conférence a permis la sélection des résultats obtenus
pour publication dans une revue internationale [Beddiaf, et al., 2013 (a)].
La deuxième étude présentée dans ce chapitre correspond aux objectifs conjoints du chapitre 3
(pour l’identification du flux de chauffe d’une source mobile) et du chapitre 4 (pour la
reconstruction de la trajectoire d’une source de chauffe mobile, voir section 3 du chapitre 4). Dans
cette étude, la mise en œuvre séquentielle de la méthode de régularisation itérative du gradient
conjugué a été proposée. Les résultats numériques montrent une convergence satisfaisante du critère
à minimiser et donc une estimation satisfaisante des paramètres inconnus (couple puissance &
trajectoire).
Par la suite, diverses perspectives peuvent être proposées. À titre d’exemple, il est possible de
traiter les deux études précédentes en considérant plusieurs sources chauffantes dont le nombre est
aussi une inconnue du problème. Le problème de l'identification quasi en ligne (en utilisant un
intervalle temporel glissant) pourrait aussi faire l'objet d'une étude spécifique.
183
Afin de compléter les démarches méthodologiques et les mises en œuvre numériques des
précédents chapitres, le chapitre suivant sera consacré à la validation expérimentale de quelques
unes des approches suivies.
CHAPITRE 6
Aspects expérimentaux
Sommaire
1.
2.
Banc expérimental ................................................................................................................... 186
Identification paramétrique de la position d’une source chauffante fixe ................................ 189
2.1.
2.2.
2.3.
3. Identification simultanée de la position et du flux de chauffe d’une source fixe .................... 192
3.1.
3.2.
3.3.
Les résultats numériques présentés dans les précédents chapitres ont été obtenus alors que les
mesures étaient issues de simulations (bruitées ou non) du problème direct. Dans ce dernier
chapitre, un dispositif expérimental a été utilisé afin d’obtenir de vraies mesures et d’analyser la
pertinence de la méthode retenue en configuration « réelle ». En effet, il est important dans cette
phase de validation de ne pas négliger d’éventuelles erreurs de modèles et de ne pas subir d’effets
numériques (maillages, …) dans la « création » des mesures « simulées ».
Lors de cette étude, des cartographies expérimentales bruitées obtenues à l’aide d’une caméra
infrarouge sont considérées. Elles permettent de faire des tests en choisissant la position des
capteurs parmi l’ensemble des pixels proposés. L’objectif demeure bien évidemment de localiser la
source chauffante et d’identifier sa puissance à partir d’un nombre limité de capteurs (prendre la
totalité des pixels n’est pas l’option retenue ici). Dans une première partie, la méthode de
régularisation itérative du gradient conjugué est mise en œuvre (voir sous-section 1.2.1, chapitre 4)
pour localiser une source de chauffe fixe en considérant que la densité de chauffe est connue. La
MGC est ensuite programmée de manière séquentielle afin d’identifier simultanément (à partir des
mêmes mesures) la position du centre et l’évolution temporelle du flux de chauffe (cf. sous-section
1.2.1, chapitre 6). Ces études sont proposées sans aucune information a priori sur les entrées
(position et flux).
186
Chapitre 6. Aspects expérimentaux
Pour ce faire, ce chapitre est structuré comme suit. Dans le prochain paragraphe, une
description détaillée de l’expérimentation est présentée et les observations effectuées sont
analysées. Les transferts thermiques sont modélisés par un système d’équations aux dérivées
partielles afin de formuler le problème direct. La seconde section de ce chapitre concerne la
formulation et la résolution d’un PICC-3D pour la localisation d’une source fixe dans un contexte
expérimental. La troisième section présente l’étude de l’identification simultanée de deux inconnues
de natures différentes à partir des données expérimentales bruitées. À la fin de chaque étude, un
paragraphe dédié à la présentation des résultats numériques obtenus sera exposé. Enfin, une
conclusion générale clôt ce chapitre et quelques perspectives sont brièvement dressées.
1. Banc expérimental
Dans le cadre de la mise en œuvre de la MGC à des fins d’identification du couple position &
puissance, un banc expérimental a été développé au sein du laboratoire LISA. Celui-ci permet
d’observer sur la face supérieure d’une plaque la propagation de la chaleur provoquée par un flux de
chauffe délivré par une source fixe (lampe) placée sur la face inférieure de la plaque. Le montage
expérimental réalisé regroupe trois parties principales (voir Figure 6. 1) :
Figure 6. 1. Montage expérimental.
L’échantillon est une plaque carrée Ω ⊂
et d’épaisseur e = 10−3 m .
3
de titane (pureté 99.6%) de longueur L = 5 10 −2 m
187
L’excitation (flux de chauffe) est réalisée à l’aide d’une lampe quartz-tungstène-halogène
(400W – 36V). La face inférieure de la plaque de titane est placée dans le plan focal d’un dispositif
optique de Köhler composé de deux jeux de lentilles afin d’homogénéiser la distribution spatiale du
flux (voir Figure 6. 1). Dans le but de régler le diamètre de la tâche, un diaphragme est utilisé. Le
flux est ainsi appliqué sur un disque circulaire de rayon r = 4 10−3 m . La densité du flux de
chauffe peut être réglée grâce à une alimentation pilotée à l’aide d’un générateur de fonctions
(Figure 6. 2).
La caméra infrarouge permet d’effectuer des observations spatiales et temporelles des
distributions de température sur la face supérieure de la plaque. Cette expérimentation est réalisée à
l’aide d’une caméra infrarouge de type SC5000 FLIR (voir Figure 6. 1). L’objectif est de démontrer
l’intérêt de la mise en œuvre de la MGC en considérant quelques mesures ponctuelles. Aussi, les
cartographies de température peuvent être utilisées pour tester les limites de cette approche avec des
pixels plus ou moins loin de la source. Il est évident que la caméra infrarouge est « sur puissante »
dans le cadre de cette étude (la localisation de la source pouvant être réalisée par des techniques
d’imageries conventionnelles) mais elle permet de disposer d’une grande quantité de points de
mesure (candidats potentiels en tant que capteurs ponctuels). Lors de l’expérimentation présentée
ci-après, la fréquence d’acquisition est de 1Hz pendant 5 minutes.
Figure 6. 2. Schéma de dispositif.
À des fins d’identification, trois pixels ont été choisis. Ils définissent respectivement les
coordonnées des trois capteurs de mesure de température (voir Figure 6. 3) :
188
C1 ( −4.90, 0.5, 2.86 ) × 10−3 m
C2 ( 4.90, 0.5, 2.86 ) × 10−3 m
C3 ( 0, 0.5, −5.72 ) × 10−3 m
Figure 6. 3. Positions des capteurs (face supérieure de la plaque).
La plaque est supposée initialement à la température ambiante θ0 = 300.55 K . Des conditions
de convection naturelle sont considérées sur toutes ses faces. L’évolution spatio-temporelle de la
(
)
température durant 300 secondes t ∈ T = 0, t f  = [ 0,300] secondes fournie à chaque seconde par
les trois capteurs de température (Figure 6. 3) est tracée sur la figure suivante.
320
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
315
310
305
300
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 6. 4. Évolution de température en fonction de temps t .
L’analyse des bruits de mesures a permis de quantifier un écart type d’environ 0.05 K. En
considérant la Figure 6. 4, il est impossible de déduire "visuellement" la densité du flux délivrée par
la source chauffante ainsi que ses coordonnées précises. Afin d’identifier correctement la position
puis le couple position & flux de chauffe, deux PICC-3D peuvent être formulés puis résolus.
Considérant le phénomène décrit dans cette expérimentation, la description mathématique de
l’évolution de température peut être aussi donnée par l’ensemble des EDPs (3. 1). Les valeurs
189
numériques des entrées thermo-physiques du matériau choisi sont détaillées dans le Tableau 4. 1.
Notons aussi que la variable d’espace en mètre est définie dans ce chapitre par :
− L L   −e e   − L L 
, ×  , × 
,  . Le flux de chauffe est décrit par :
 2 2   2 2  2 2 
( x, y, z ) ∈ Ω = 
Φ ( x, z ; t ) ≈
−φ ( t ) 

 arctan  µ
π 

(
( x − X S ) + ( z − ZS )
2
2
)
π
− r  − 
 2
Rappelons que la notation φ ( t ) désigne la densité temporelle du flux de chauffe en W.m -2
délivré par la source S et que µ est un paramètre de régularisation permettant de décrire la
discontinuité du flux de chauffe (en théorie, la distribution spatiale est un disque circulaire de rayon
r et de centre I S ). Les coordonnées du centre de la source sont I S ( X S , Z S ) avec YS =
−e
car la
2
source est placée sur la face inférieure de la plaque. Lorsque l’ensemble des données du système (3.
1) est connu, le "problème direct" est parfaitement défini. En l’absence d’un ou plusieurs
paramètres d’entrées du problème direct, une démarche d’estimation basée sur les observations
effectuées (Figure 6. 4) peut être mise en place afin d’estimer les inconnues recherchées. Dans un
premier temps, le travail attendu consiste à localiser la source de chauffe en considérant que la
densité de flux de chauffe est constante (φ ( t ) = 104 W.m −2 ) . En pratique, cette valeur n’est pas
connue.
2. Identification paramétrique de la position d’une source chauffante
fixe
2.1.
Problème inverse
Après avoir formulé le problème direct dans la section précédente, considérons que la position
du centre de la source chauffante est inconnue. Cette problématique fait rappel à un cas similaire
traité dans la section 1 du chapitre 4. Dans ce cas, la description mathématique des problèmes
inverse, sensibilité et adjoint sont identiques aux problèmes définis dans le chapitre 4 (cf. section 1)
en considérant le cas d’une seule source chauffante.
190
La résolution de ce problème inverse est basée sur la mise en œuvre numérique de
l’algorithme du GC (voir sous-section 1.2.1, chapitre 4) via le solveur de Comsol-Multiphyisics™
interfacé avec Matlab®.
2.2.
Afin de résoudre le présent PICC, l’algorithme du GC est initié ( k = 0 ) avec une source
positionnée
(I
k =0
S
sur
le
centre
inférieure
(Y
S
= −0.5 × 10 −3 m )
de
la
plaque
)
= ( X Sk =0 , Z Sk =0 ) = ( 0, 0 ) m . Le premier résultat obtenu de la convergence du critère à
minimiser (5. 2) est donné par la figure et le tableau suivants :
4
J(IS)
10
10
10
3
2
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
Itérations k
Figure 6. 5. Évolution de la fonctionnelle J ( I S ) en fonction des itérations.
Tableau 6. 1. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Problème de la localisation).
Itération k
J ( IS )
0
3112.12
1
750.62
2
741.94
3
739.64
Après quelques itérations, le critère ne décroît plus et il est impossible par exemple d’atteindre
le seuil d’arrêt théorique qui serait ici d’environ 1.5. En réalité, le flux supposé connu et égal à
(φ ( t ) = 10
4
W.m −2 ) n’est pas correct et il est donc impossible de trouver les « bonnes » mesures.
Toutefois, il est évident que la position de la source est quand même correcte (il n’est pas possible
de trouver une autre position qui avec ce flux fixe erroné conduirait à de meilleures mesures). Ainsi,
191
même si le flux fixe n’est pas connu, la localisation est correcte. La convergence de la position du
centre de la source est montrée par la figure et le tableau suivants.
0.02
Z en m
0.01
Ik=0
S
0
Ik=3
S
-0.01
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure 6. 6. Évolution des coordonnées de la source sur la face inférieure de la plaque.
Tableau 6. 2. Coordonnées de la source en fonction des itérations k
(Problème de la localisation).
Itération k
XS
ZS
0
0
0
1
0.0049
-0.0025
2
0.0055
-0.0027
3
0.0052
-0.0026
À noter que pour cette expérimentation le flux de chauffe était constant (mais inconnu) et que
les coordonnées du centre du disque chauffant (obtenues par analyse classique des images
thermographiques) étaient 0.0051 m et −0.0025 m . Afin d’estimer la précision des paramètres
identifiés, l’erreur de poursuite entre les coordonnées identifiées et celles proposées par l’analyse
des images thermographiques a été calculée. La valeur obtenue est :
EP ( I S ) =
(X
− X S* ) + ( Z S − Z S* ) = 6.63 10−5 m .
2
S
2
Ce faible écart atteste une convergence satisfaisante des paramètres recherchés.
2.3.
À la fin de cette étude, les deux coordonnées du centre de la source sont efficacement
identifiées (les valeurs exactes étant obtenues par analyse des images thermographiques). La
robustesse de la méthode du GC dans un contexte d’estimation basée sur des données
expérimentales bruitées a été validée. Dans ce qui suit, l’identification simultanée de la position et
de la puissance est proposée.
192
3. Identification simultanée de la position et du flux de chauffe d’une
source fixe
Considérons que la densité du flux de chauffe φ ( t ) ainsi que les coordonnées du centre du
disque chauffant notées I S ( X S , Z S ) sont inconnues (rappelons que YS =
−e
). Dans le but
2
d’identifier ces inconnues, l’algorithme séquentiel de la MGC est mis en œuvre pour résoudre le
PICC-3D (cf. section 2.2, chapitre 5). Le présent travail est dédié à estimer simultanément la
position et la densité du flux de la source de chauffe (φ ( t ) , I ) en se basant sur les résultats des
mesures effectuées grâce à l’expérimentation détaillée dans la section 1.
3.1.
Problème inverse
Les problèmes inverse, sensibilité et adjoint sont identiques aux problèmes formulés dans la
section 1 du chapitre 5. Pour résoudre ce problème, l’algorithme séquentiel présenté dans la soussection 1.2.1 du chapitre 5 est considéré. L’estimation du flux de chauffe temporel le long de
l’intervalle du temps T nécessite une discrétisation basée sur les fonctions chapeaux, ce qui permet
de décrire la puissance du flux de chauffe par : φ ( t ) =
Nt +1
∑ φ s (t )
i =1
i
i
où N t est le nombre de pas de
d’échantillonnage (qui vaut 6 dans la présente étude). Cette discrétisation conduit à présenter le flux
comme une fonction continue et affine par morceaux. Dans cette étude, le pas de discrétisation est
choisi égal à ∆t = 50 secondes. Il est évident que si la puissance de la source varie
significativement pendant 50 secondes, alors le nombre de segments devra être augmenté. Une telle
erreur de modélisation pour le flux est détectable si le critère n’arrive pas à converger vers une
valeur satisfaisante.
Afin de proposer des paramètres de rafraîchissements nFC et nCS pertinents (nombre maximal
d’itérations successives dédiées respectivement au problème d’identification FC ou CS ),
l’approche présentée dans [Powell, 1977] est prise en compte. Pour rafraîchir la direction de
descente, nFC est égal à la dimension du vecteur du flux de chauffe φ
( nFC = 7 )
et nCS est égal à la
dimension du vecteur des coordonnées de centre de la source, soient ( X S , Z S ) donc nCS = 2 .
193
J(φ(t),IS)
3.2.
10
10
10
10
5
4
3
2
0
5
10
15
Itérations k
Figure 6. 7. Évolution de la fonctionnelle J (φ ( t ) ; I S ) en fonction des itérations.
Tableau 6. 3. Valeurs du critère en fonction des itérations k
(Problème d’estimation simultanée (φ ( t ) ; I S ) ).
Itération k
J (φ ( t ) ; I S )
0
1
2
3
4
5
6
7
71650.91 4945.69 3497.01 3095.39 2950.34 2898.29 2789.78 2752.63
8
1050.78
9
738.76
10
699.96
11
584.68
12
561.19
13
557.15
14
533.98
Le flux de chauffe identifié après 15 itérations est :
φ k =15 ( t ) = (13.2 , 10.9 , 8.7 , 10.3 , 8.5 , 10.9 , 7.5 ) kW.m −2 .
10
10
10
5
4
3
0
50
100
150
200
250
300
Temps en secondes
Figure 6. 8. Flux de chauffe identifié.
15
527.59
194
Les coordonnées du centre de la source identifiées sont données dans le tableau suivant :
Tableau 6. 4. Coordonnées de la source en fonction des itérations k
(Problème d’estimation simultanée (φ ( t ) ; I S ) ).
Itération k
XS
ZS
0
0
…
…
1
0.00518
…
…
15
0.00518
0
…
-0.00260
…
-0.00260
où l’erreur de poursuite entres les coordonnées estimées et celles désirées vaut
EP ( I S ) =
(X
− X S* ) + ( Z S − Z S* ) = 7.78 10−5 m .
2
S
2
Les résultats précédents montrent une bonne adéquation avec l’expérimentation.
3.3.
Les paramètres recherchés sont correctement déterminés malgré les entrées bruitées du
système. Dans cette étude, une confirmation de la robustesse de l’algorithme séquentiel de la MGC
a été attestée.
Le présent chapitre propose une validation expérimentale de la méthode du gradient conjugué
afin d’identifier un ou plusieurs paramètres inconnus (position, position et puissance de chauffe)
d’une source de chauffe fixe en surface d’une géométrie 3D.
La méthode du gradient conjugué est efficacement mise en œuvre dans le but d’identifier la
position (coordonnées) puis le couple position & puissance d’une source chauffante fixe surfacique
dans une géométrie tridimensionnelle. Considérant les mesures réelles fournies en trois points à
l’aide du banc expérimental développé au laboratoire, deux problèmes inverses de conduction de la
chaleur (PICC-3D) ont été résolus avec succès. Les résultats obtenus valident la robustesse de la
MGC en présence de mesures bruitées. La deuxième étude abordée dans ce chapitre (cf. section 3) a
fait l’objet d’une participation aux 5èmes Journées Doctorales et Journées Nationales du GDR
MACS (JD-JN-MACS 2013) [Beddiaf, et al., 2013 (b)]
Suite à cette étude, diverses perspectives sont à explorer comme l’identification des positions
et des flux de chauffe des sources fixes à l’aide d’un unique capteur mobile. Afin d’étudier des
sources chauffantes mobiles, une modification importante du banc expérimental est requise.
Conclusion & Perspectives
Les travaux réalisés lors de cette thèse avaient pour objectif l’identification
paramétrique en résolvant un Problème Inverse de Conduction de la Chaleur (dans une
géométrie tridimensionnelle) à l’aide de la méthode de régularisation itérative du gradient
conjugué. Divers exemples de problèmes inverses ont été résolus : dans un contexte
didactique (matrice d’Hilbert, circuit RLC, PICC-1D) puis relativement à la problématique
retenue (identification de la position et de la puissance de chauffes surfaciques par la
résolution d’un PICC-3D).
Le premier chapitre, proposant un état de l’art sur les problèmes inverses, permet
d’introduire les principales définitions et d’évoquer divers domaines d’applications (des
références bibliographiques sont associées à chaque champ applicatif). Les diverses méthodes
permettant de résoudre différents types des problèmes inverses ont été ensuite exposées.
L’algorithme qui décrit le principe de chaque méthode a été présenté (avec ses propriétés et
ses domaines d’applications). Un bref rappel sur les techniques de régularisation de
problèmes inverses a été proposé. Dans le contexte général des problèmes inverses, un
premier exemple d’identification d’un vecteur inconnu a été résolu par la mise en œuvre de la
MGC pour un système matriciel (matrice d’Hilbert). Lors de la résolution de ce problème,
plusieurs cas ont été considérés : sans et en présence de différents types d’erreurs (sortie du
système incertaine, matrice d’état bruitée et combinaison de ces deux erreurs). Les résultats
obtenus ont confirmé la robustesse de la MGC pour résoudre ce type de problème. Les erreurs
considérées ont provoqué des solutions erronées, ce qui a impliqué une réflexion particulière
sur le choix d’un test d’arrêt qui permet de mettre fin à la procédure itérative avant que les
solutions (calculées) s’éloignent des solutions désirées (réelles). Dans le deuxième exemple,
l’étude de l’identification d’un vecteur d’état (courant et tension) au sein d’un circuit RLC
monté en série a été menée à bien à l’aide du Filtre de Kalman Discret (FKD). Malgré les
bruits considérés sur le modèle traité, l’effet des erreurs ne provoque pas des erreurs
dramatiques sur le vecteur d’état estimé.
196
Le second chapitre de ce manuscrit a concerné l’identification paramétrique au sein des
problèmes de géométrie unidimensionnelle en relation avec le génie thermique. Après la
présentation de quelques notions simples relatives aux transferts de chaleur (convection,
conduction, rayonnement), un rappel succinct sur les techniques de mesure de température a
été proposé. Le deuxième point de ce chapitre était dédié aux Problèmes Inverses de
Conduction de la Chaleur (PICC) à travers quelques repères historiques. Dans le cadre d’un
transfert thermique dans une géométrie 1D, un modèle mathématique basé sur des équations
aux dérivées partielles (EDPs) a été formulé. Ce problème direct a été résolu numériquement
afin de décrire l’évolution de température en chaque point de domaine et à chaque instant.
Après la résolution de ce problème, il est supposé qu’une entrée imposée à une extrémité du
domaine est inconnue (flux imposé). Une démarche d’identification est alors mise en œuvre
afin d’estimer ce paramètre inconnu. Les résultats obtenus à l’aide de deux méthodes (MGC,
FKD) ont été comparés. La robustesse de la MGC justifie son choix pour la résolution des
problèmes inverses plus complexes abordés par la suite.
Le troisième chapitre de cette thèse a été consacré à la mise en œuvre de la MGC pour
résoudre un problème inverse de conduction de la chaleur dans une géométrie
tridimensionnelle (PICC-3D). Il s’agit d’identifier la densité d’un flux de chauffe fourni par
une ou plusieurs sources fixes ou mobiles. Deux études ont été réalisées : la première consiste
en l’identification de la densité de flux de chauffe d’une seule source fixe ou mobile en
utilisant la MGC et en se basant sur des mesures de température fournies par un seul capteur.
La deuxième étude a traité le cas de l’identification de la densité de chauffe de deux sources
mobiles à l’aide de cinq capteurs. Les résultats obtenus dans les deux études ont été exposés à
travers diverses situations numériques et permettent de valider l’approche suivie.
Le quatrième chapitre de cette thèse a illustré un cas particulier de l’identification
paramétrique pour la localisation des sources fixes ou mobiles. En effet, trois études ont été
proposées : la localisation de deux sources fixes en considérant un horizon d’observation
suffisamment long, la localisation d’une (ou plusieurs) sources chauffantes en temps réduit et
la dernière étude a concerné l’identification de la trajectoire d’une source mobile. La MGC a
été mise en oeuvre et divers exemples ont été traités en présence ou non de bruits de mesures.
En outre, deux annexes ont été proposées afin de présenter les résultats obtenus de la
localisation de trois sources fixes en temps réduit ainsi qu’un exemple dédié à l’identification
197
de la trajectoire d’une source chauffante mobile. La conclusion déduite à partir des résultats
obtenus a confirmé la robustesse de la MGC pour résoudre de tels types des problèmes.
Le cinquième chapitre de ce manuscrit est consacré aux problèmes d’identifications
simultanées : couple puissance & trajectoire. Une adaptation de la MGC a été proposée afin
d’identifier, de manière séquentielle, des inconnues de natures différentes. Malgré le caractère
mal posé des problèmes considérés et l’incertitude des mesures, les résultats obtenus à travers
les exemples numériques traités attestent l’efficacité de la méthode proposée.
Complétant les précédents travaux, une étude expérimentale a été réalisée au sein du
LISA afin de valider la robustesse de la MGC pour identifier un ou plusieurs paramètres
inconnus. Pour ce faire, la méthode de régularisation itérative du gradient conjugué a été mise
en œuvre pour deux cas différents (identification de la position de la source de chauffe et
identification simultanée du couple position & flux). Les mesures de températures sont issues
de cartographies thermiques prises par une caméra infrarouge et permettent de disposer d’un
grand choix de pixel (capteurs quasi ponctuels) pour tester différentes stratégies de
positionnement des capteurs. Dans ce cas aussi, la MGC montre une grande robustesse pour la
résolution des PICC-3D en présence des bruits de mesures réels. La conclusion et les
perspectives de ces travaux sont détaillées dans le bilan du chapitre.
Les résultats présentés dans ce document ont fait l’objet de deux publications en revue
internationale, quatre communications orales dans des conférences internationales et deux
communications dans des congrès nationaux.
L’approche généraliste développée durant cette étude pour résoudre des PICC-3D
permet d’envisager de nombreuses perspectives.
Il serait tout d’abord intéressant de compléter la démarche expérimentale réalisée dans
le dernier chapitre pour des configurations plus complexes. Une idée porte sur le
développement d’un banc expérimental (Annexe C) afin de déplacer une source de chauffe
(uniforme sur un disque de faible rayon) dont l’intensité varie dans le temps. La trajectoire de
la source sera obtenue en utilisant des platines de translation de type M-IMSPP (Newport)
permettant de déplacer la source de chauffe selon deux axes XY (voir les Figures 7.1 et 7.2).
Ce banc a été mis en place au sein du LISA : chaque axe de ces platines est de longueur
198
0.18 m , la précision est légèrement supérieure au micron, la vitesse maximale est de l’ordre
de 0.1 m s −1 et l'accélération de 0.4 m s −2 . Dans la configuration disponible actuellement, la
chauffe est assurée par une lampe halogène de puissance égale à 400 W. Un montage optique
de Köhler garantit l'uniformité de la distribution spatiale. Il est possible d’atteindre des
températures maximales d'environ 250°C. Pour obtenir des températures plus élevées, une
diode Laser pourrait être utilisée. Il est nécessaire de disposer d’une technique de mesure de
température (thermocouples, pyrométrie, caméra infrarouge) sur la face supérieure (opposée à
la chauffe) de l’échantillon considéré afin de décrire l’évolution de la température sur celle-ci.
Ce banc expérimental permettrait aussi l’identification simultanée de la puissance et de la
trajectoire de la source.
Figure 7. 1. Platine de translation
M-IMSPP
Figure 7. 2. Module de contrôle ESP301
des platines de translation.
Dans un cadre théorique, les problèmes résolus dans ce manuscrit pourront être menés
sur des horizons de temps glissants (fenêtres temporelles glissantes). L’objectif est d’utiliser
ces fenêtres afin d’examiner si le temps de résolution peut être réduit tout en conservant une
précision acceptable des résultats obtenus.
Une problématique différente concerne l’identification des instants de commutation
d’une ou plusieurs densités de flux de chauffe. Un tel objectif d’identification « d’instants »
exige une nouvelle formulation du problème de sensibilité et du problème adjoint.
Les perspectives mentionnées précédemment représentent des objectifs visés à court
terme. Plusieurs autres pistes théoriques et pratiques peuvent êtres envisagées à long terme :
199
Dans le cadre de l’estimation paramétrique et/ou géométrique, il serait possible
d’utiliser des drones en tant que capteurs mobiles dans des scènes tridimensionnelles afin
d’identifier des inconnues recherchées. En se basant sur la mise en œuvre de la MGC et la
nouvelle technique d’observation, divers objectifs peuvent être atteints tels que : la
surveillance des locaux ou des phénomènes naturels (la surveillance des volcans), la
reconstruction géométrique des endroits inaccessibles par les êtres humains comme : l’envoi à
une grande profondeur dans les océans, ou pour des applications aérospatiales par exemple,…
Un objectif théorique ambitieux porte sur l’utilisation de l’analyse par intervalle afin de
définir un intervalle garanti pour les paramètres identifiés. Dans le cadre des PICC-3D
présentés dans ce document, les méthodes garanties ne sont pas encore développées.
Enfin d’autres perspectives peuvent être envisagées à long terme. Un projet de
recherche dédié à l’identification et le suivi de phénomènes mobiles à l’intérieur d’un volume
(à partir d’observations surfaciques) serait particulièrement pertinent à la suite de ces travaux.
Cette thématique peut être considérée dans des situations où aucune information a priori n’est
donnée sur la trajectoire de ce corps mobile. On peut citer le cas du suivi de déplacement d’un
ver dans une pomme (exemple sans intérêt mais particulièrement illustratif) ; la même idée
peut être appliquée aux robots de forage… Cette technique pourrait s’avérer utile pour la
surveillance des robots mobiles qui se déplacent dans les tuyaux de gaz ou de pétrole pour des
missions de détection des fuites ou d’entretien.
ANNEXE A
Résultats complémentaires : localisation en
temps réduit (Chapitre 4)
Cette annexe est dédiée à présenter un exemple de la localisation de trois sources
chauffantes fixes en temps réduit par le biais de l’algorithme de la MGC.
Cas C. 1 : la plaque est chauffée par trois sources chauffantes
Dans cette dernière configuration, la MGC est mise en œuvre afin d’estimer la
localisation de trois sources de chauffe fixes ( S1 , S2 et S3 ) qui sont localisées respectivement
−e 

sur la face inférieure de la plaque  YS1 , S2 , S3 =
m  en I S1 ( 0.01, 0.01) , I S2 ( −0.01,0.01) et
2 

I S3 ( −0.005, 0 ) en m (voir Figure A. 1).
Figure A. 1. Positions des sources.
315
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
302
0.02
310
301
0.01
305
Z en m
La température fournie à chaque 0.1s par les trois capteurs est présentée sur la figure suivante.
300
300
299
0
298
297
-0.01
296
295
295
-0.02
290
0
294
1
2
3
4
5
6
7
Temps en secondes
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure A. 2. Résultat de la résolution du problème direct (Cas C.1).
202
Annexe A. Résultats complémentaires : localisation en temps réduit (Chapitre 4)
En considérant pour l’algorithme de minimisation que les positions initiales des sources sont
−e 

I Sk1=0 ( 0, 0 ) , I Sk2=0 ( 0, 0 ) et I Sk3=0 ( 0, −0.01) en m sachant que  YS1 , S2 , S3 =
m  . Les valeurs du
2 

critère à minimiser pour diverses valeurs de temps final sont présentées par la figure et le
J(IS1,IS2,IS3)
tableau suivants.
10
10
10
10
2
Jtf=5s
Jtf=6s
Jtf=7s
0
-2
-4
0
5
10
15
20
Itérations k
Figure A. 3. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas C.1).
Dans cette situation, un temps de 7 secondes permet d’obtenir un critère inférieur à la
valeur du test d’arrêt égal à 10−3 (dans ce paragraphe). Dans ce cadre les résultats obtenus
sont :
Tableau A. 1. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C.1).
Itération k
(
J I S1 , I S2 , I S3
)
0
1
2
3
4
…
21
22
23
70.16
31.83
12.93
11.01
8.33
…
0.002
0.0017
0.0009
0.02
0.01
Z en m
Ik=23
S1
Ik=23
S2
0
Ik=0
S2
Ik=23
Ik=0
S3
S1
-0.01
Ik=0
S3
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure A. 4. Évolution des coordonnées de sources sur la face inférieure de la plaque
(Cas C.1).
203
Tableau A. 2. Valeurs des coordonnées de sources en fonction des itérations k (Cas C.1).
Itération k
0
1
2
3
…
17
…
23
X S1
0.01
0.0119
0.0095
0.0088
…
0.0099
…
0.0098
Z S1
0
0.0011
0.0056
0.0062
…
0.0097
…
0.0099
X S2
-0.01
-0.0112
-0.0096
-0.0088
…
-0.0102
…
-0.0101
Z S2
0
0.0011
0.0056
0.0062
…
0.0096
…
0.0099
X S3
0
−9.4 × 10−6
-0.01
−6.47 × 10 −6
-0.0121
…
Z S3
−2.59 × 10−6
-0.0113
7.057 × 10−6
-0.0051
-0.0124
…
… 1.31× 10−6
… -0.0052
Cas C. 2 : en présence d’un bruit de mesure N ( 0, 0.5 )
Les valeurs de la température mesurée sont bruitées par un bruit additif de type Gaussien
N ( 0, 0.5 ) . Leurs évolutions en fonction du temps sont présentées par la Figure A. 5 :
320
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
315
310
305
300
295
290
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Temps en secondes
Figure A. 5. Température mesurée pour t f = 8 secondes (Cas C. 2).
Dans ce cas, le temps final est égal à 8 secondes.
La figure et le tableau suivants illustrent l’évolution du critère et de l’erreur de poursuite
en fonction des itérations effectuées. En outre, le Tableau A. 1 présente la convergence des
coordonnées estimées vers les coordonnées recherchées en fonction de ces itérations.
204
10
3
0.025
0.02
10
2
0.015
10
EP(IS1,IS2,IS3) en m
J(IS1,IS2,IS3)
0.01
1
0.005
10
0
0
2
4
6
8
10
Itération k
12
14
0
18
16
Figure A. 6. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations
(Cas C. 2).
Tableau A. 3. Valeur du critère et d’erreur de poursuite k (Cas C.2).
Itération k
(
(I
J t f =8 s I S1 , I S2 , I S3
EPt f =8 s
S1
)
)
, I S2 , I S3
0
1
2
3
4
5
…
18
101.375
47.371
20.036
17.170
13.685
11.622
…
2.963
0.025
0.02416 0.01557 0.01445 0.01425 0.01413 … 0.0008
Tableau A. 4. Coordonnées des sources en fonction des itérations k (Cas C.2).
Itération k
0
1
2
…
11
12
…
15
X S1
0.01
0.0113
0.0095
…
0.0096
0.0100
…
0.0096
Z S1
0
0.0012
0.0060
…
0.0063
0.0076
…
0.0081
X S2
-0.01
-0.0011
-0.0093
…
-0.0092
-0.0096
…
-0.0099
Z S2
0
0.0012
…
0.0062
0.0074
…
0.0079
…
8.67 × 10−5
…
-0.0072
X S3
0
Z S3
-0.01
−2.93 × 10
0.0059
−6
-0.01
−1.91× 10
−6
-0.0114
…
…
…
…
…
…
…
17
0.0099
0.0089
-0.0109
0.0094
−1.08 × 10−5
-0.0053
… 1.22 ×10
…
−6
-0.0088
-6.70 × 10
-0.0068
−5
18
0.0099
0.0102
-0.0105
0.0096
1.74 ×10 −5
-0.0051
À travers la figure suivante, l’évolution d’erreur de poursuite pour différentes valeurs de
temps final est présentée et il est montré que pour identifier ces trois sources de chauffe, il est
205
important d’avoir un temps plus long par rapport aux précédents cas (sans bruit de mesure)
(Cas A. 1 et Cas B.1).
10
10
10
10
-1
EPtf=2s
EPtf=4s
EPtf=7s
EPtf=8s
-2
-3
-4
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
Itération k
Figure A. 7. Évolution de l’erreur de poursuite pour plusieurs valeurs de temps final
(Cas C. 2).
Cas C. 3 : Pour ce cas final, un bruit additif de type Gaussien N ( 0,1) est considéré lors
de la mesure de température délivrée par les trois capteurs (voir Figure A. 8).
340
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
θ(C ;t)
3
330
320
310
300
290
0
2
4
6
8
10
12
14
16
Temps en secondes
Figure A. 8. Température bruitée pour t f = 16 secondes (Cas C. 3).
Les résultats obtenus sont présentés ci-après pour un temps final t f = 16 secondes .
206
3
0.025
J(IS1,IS2,IS3)
10
0.02
0.015
10
2
EP(IS1,IS2,IS3) en m
0.01
0.005
10
1
0
2
4
6
Itération k
8
10
0
Figure A. 9. Évolution du critère et de l’erreur de poursuite en fonction des itérations
(Cas C. 3).
Tableau A. 5. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 3).
Itération k
(
(I
J t f =16 s I S1 , I S2 , I S3
EPt f =16 s
S1
)
)
0
1
456.976 231.395
, I S2 , I S3
0.025
2
3
4
5
…
11
63.398
45.514
39.632
33.184
…
23.585
0.02388 0.01283 0.01233 0.01224 0.01167 … 0.00090
Les valeurs des coordonnées identifiées sont données par le Tableau A.6.
Tableau A. 6. Coordonnées des sources en fonction des itérations k (Cas C. 3).
Itération k
X S1
0
0.01
1
0.0115
2
0.0089
…
…
9
0.0090
10
0.0094
11
0.0096
Z S1
0
0.0014
0.0072
…
0.0070
0.0091
0.0099
X S2
-0.01
-0.0115
-0.0090 …
-0.0092
-0.0091
-0.0100
Z S2
0
0.0015
0.0071
0.0070
0.0091
0.0099
X S3
0
Z S3
-0.01
−1.87 × 10
-0.0115
−7
…
0.00001 …
-0.0118 …
où l’évolution d’erreur de poursuite est donnée par :
−5
2.12 × 10
-0.0094
−4
3.58 ×10
-0.0063
0.0004
-0.0052
10
10
10
10
207
-1
EPtf=7s
EPtf=10s
EPtf=12s
EPtf=14s
EPtf=15s
EPtf=16s
-2
-3
-4
0
2
4
6
8
10
Itération k
Figure A. 10. Évolution d’erreur de poursuite pour différents temps final (Cas C. 3).
La Figure A. 10 illustre que si ( t f < 16 s ) , l’erreur de poursuite ne converge pas vers une
valeur inférieure à la valeur désirée du test d’arrêt, ce qui implique que le choix de t f = 16 s
est nécessaire afin d’identifier les coordonnées inconnues.
Les résultats obtenus valident aussi la robustesse de la MGC pour localiser trois sources
en quelques itérations même en présence des mesures bruitées.
ANNEXE B
Résultats complémentaires : identification
de la trajectoire (Chapitre 4)
Dans cette annexe, l'identification de la trajectoire de la source chauffante (alors que sa
puissance est connue) est étudiée dans des configurations supplémentaires afin d'illustrer les
potentialités de la méthode mise en œuvre au chapitre 4, section 3.
Cas B : identification de la trajectoire (carré) de la source mobile avec une
initialisation différente (avec et sans bruit de mesure).
Cas C : identification de la trajectoire (un "4 digitalisé") considérant un flux de
chauffe connu qui varie en fonction du temps (avec et sans bruit de mesure).
Cas B. 1 : trajectoire initiale sous forme d’un losange
L’algorithme est initialisé avec une trajectoire initiale qui a la forme d’un losange (voir
courbe pointillée verte de la Figure B. 2). Une valeur minimale du critère ( J ≤ 0.1) a été
J(I(t))
obtenue après 133 itérations (Figure B. 1 et Tableau B. 1).
10
10
10
10
4
2
0
-2
0
20
40
60
80
100
120
Itérations k
Figure B. 1. Évolution du critère en fonction des itérations k (Cas B. 1).
210 Annexe B. Résultats complémentaires : identification de la trajectoire (Chapitre 4)
Tableau B. 1. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 1).
Itération k
J ( I (t ))
0
1
2
…
6
7
…
15
…
30
…
39
5895.9
351.8
218.1
…
122.3
98.5
…
39.6
…
28.1
…
20.0
72
5.6
…
…
…
…
132
133
0.101 0.096
…
…
60
10.4
61
9.9
…
…
91
1.9
…
…
103 104
1.0 0.83
Cette minimisation du critère conduit à une convergence de la trajectoire identifiée vers
la trajectoire désirée comme il est présenté par la Figure B. 2.
I(t)k=0
I*(t)
0.02
I(t)k=133
S(15s)
S(0s), S(60s)
Z en m
0.01
S(15s)
S(0s),
S(60s)
0
S(30s)
S(45s)
-0.01
S(30s)
S(45s)
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
(
0.01
Figure B. 2. Évolution des trajectoires I * ( t ) , I ( t )
k =0
0.02
, I (t )
k =133
) en fonction du temps t .
Le tracé des résidus de température est donné dans cette étude par :
0.1
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
30
40
Rθ(C3;t)
0.05
0
-0.05
-0.1
0
10
20
50
60
Temps en secondes
Figure B. 3. Résidu de température en fonction du temps.
Annexe B. Résultats complémentaires : identification de la trajectoire (Chapitre 4)
211
Les résidus de température sont bornés par ±0.1 K et leurs valeurs moyennes sont
présentées dans le tableau suivant :
Tableau B. 2. Résidus de température (Cas B. 1).
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
-0.00275
-0.0266
0.01437
température en K
Les résultats obtenus attestent de la robustesse de la MGC pour identifier la trajectoire
d’une source mobile.
Cas B. 2 : trajectoire initiale sous forme d’un losange en présence de bruit de mesure
Ce cas est identique au précédent en rajoutant des mesures de températures perturbées
par un bruit Gaussien défini par N ( 0,1) . Sachant que le calcul du test d’arrêt est réalisé à
partir de la définition donnée dans le chapitre 3, section 3.2.5 tel que : J stop = 90 .
325
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
320
315
310
305
300
295
290
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure B. 4. Évolution de la température bruitée (Cas B. 2).
J(I(t))
10
10
10
10
4
3
2
1
0
2
4
6
8
10
Itérations k
Figure B. 5. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas B. 2).
Tableau B. 3. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas B. 2).
Itération k
J ( I (t ))
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
5934.9 488.6 322.6 256.9 207.8 177.7 138 125.7 109.4 95.6 85.4
La trajectoire identifiée ainsi que les résidus de température obtenus avec cette trajectoire sont
présentés sur les deux figures suivantes.
I(t)k=0
S(0s), S(60s)
0.01
Z en m
I(t)k=10
S(15s)
I*(t)
0.02
S(15s)
S(30s)
S(0s),
S(60s)
0
3
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
2
1
0
-1
S(45s)
-0.01
-2
-0.02
S(30s)
S(45s)
-0.02
-3
0
-0.01
0
X en m
0.01
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
0.02
Figure B. 6. Évolution des trajectoires
( I * ( t ) , I k =0 ( t ) , I k =10 ( t ) ) en fonction du
Figure B. 7. Évolution du résidu de
temps t .
Les valeurs moyennes ainsi que les écart-types des résidus de température (Figure B. 7)
fournis par les trois capteurs de mesures de températures C1 , C2 et C3 sont :
213
Tableau B. 4. Résidus de température (Cas B. 2).
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
0.17528
-0.24884
0.05157
1.05037
1.05187
1.05187
Les valeurs des écarts-types obtenus ont le même ordre de grandeur que l’écart type du
bruit proposé. La précision des résultats obtenus est aussi illustrée par le tableau suivant
présentant les résidus des coordonnées identifiées et désirées.
Tableau B. 5. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas B. 2).
tn = 0 s
tn = 15 s
tn = 30 s
tn = 45 s
tn = 60 s
−2.4 10 −4
−4.2 10 −4
−2.3 10 −3
−1.4 10 −5
−0.0036
−3.3 10 −4
−1.2 10 −3
−2.2 10−3
−8.7 10−5
−3.3 10 −4
Ces faibles valeurs d’écart entre les coordonnées désirées (réelles) et les coordonnées
estimées valident également les résultats obtenus précédemment.
Cas C. 1 : le flux de chauffe varie en fonction du temps
Pour ce cas, il est supposé que la densité du flux de chauffe fournie par la source
chauffante est définie par la courbe suivante :
10
x 10
5
8
6
4
2
0
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure B. 8. Densité du flux de chauffe φ ( t ) .
Ce cas traite également la mise en œuvre de l’algorithme du GC à partir d’une
initialisation et d'une trajectoire désirée plus complexes que précédemment (voir courbe bleue
et verte de la Figure B. 12). Avant de commencer la résolution du PICC-3D, considérant la
densité du flux imposée (Figure B. 8) et la trajectoire réelle (Figure B. 12) suivie par la
source, les "mesures" de températures sont tracées sur la courbe suivante.
500
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
2
θ(C ;t)
3
450
400
350
300
250
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure B. 9. Résolution du problème direct.
La figure suivante expose quelques distributions spatiales de températures considérées à
divers instants.
à t = 15 s .
à t = 30 s .
0.02
0
330
-0.01
320
0.01
Z en m
340
390
380
350
0.01
Z en m
0.02
360
370
360
0
350
340
-0.01
330
310
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
-0.02
320
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
à t = 45 s .
à t = 60 s .
460
0.02
400
0.02
440
390
370
Z en m
Z en m
0.01
380
0.01
360
0
420
400
0
380
350
-0.01
340
-0.01
360
330
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
340
-0.02
320
-0.02
215
-0.02
0.02
-0.01
0
X en m
0.01
320
0.02
Figure B. 10. Distribution spatiale de la température sur la face supérieure de la plaque.
La procédure d’estimation de cette inconnue est basée sur la minimisation du critère
J(I(t))
J ( I (t )) .
10
10
10
10
10
6
4
2
0
-2
0
10
20
30
40
50
60
70
Itérations k
Figure B. 11. Évolution du critère en fonction des itérations (Cas C. 1).
Tableau B. 6. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 1).
Itération k
0
J ( I ( t ) ) 57138
53
110.7
1
42235.2
54
48
2
…
21
…
31
…
45
46
…
36239.4 … 9910.2 … 5686.6 … 1901.4 992.6 …
55
50.8
…
…
60
2.626
…
…
65
0.37
…
…
71
0.112
72
0.077
où la trajectoire initiale I k =0 ( t ) , désirée (réelle) I * ( t ) et identifiée I k =72 ( t ) sont données
par :
I(t)k=0
I*(t)
0.02
S(0s),
S(60s)
Z en m
0.01
I(t)k=72
S(30s)
S(0s),S(60s)
S(30s)
0
S(45s)
-0.01
S(15s)
S(45s)
S(15s)
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
0.02
Figure B. 12. Évolution des trajectoires ( I * ( t ) , I k =0 ( t ) , I k =72 ( t ) ) en fonction du temps t .
Sachant que les résidus de température sont exposés sur la Figure B. 13 :
0.15
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
0.1
0.05
0
-0.05
-0.1
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure B. 13. Résidu de température en fonction du temps.
Le tableau suivant présente les valeurs moyennes des résidus de température fournie par
chaque capteur.
Tableau B. 7. Résidus de température (Cas C. 1).
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
0.00156
-0.02325
0.01182
217
Tableau B. 8. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas C. 1).
tn = 0 s
tn = 15 s
tn = 30 s
tn = 45 s
tn = 60 s
−4.72 10−5
6.28 10−6
−1.54 10 −5
−6.13 10−6
−7.03 10 −6
−7.04 10 −5
1.06 10 −5
−1.97 10−5
1.6 10 −5
−1.59 10 −5
Pour cet exemple plus complexe, la mise en œuvre de l’algorithme du GC permet de
minimiser le critère quadratique et d'identifier avec une grande précision la trajectoire de la
source.
Cas C. 2 :
Cet exemple est similaire au précédent Cas C. 1, en considérant des mesures bruitées
par un bruit Gaussien N ( 0,1) . Le test d’arrêt reste identique aux Cas A. 2 (du chapitre 5) et
B. 2. (de la présente annexe).
500
θ(C ;t)
θ(C ;t)
1
θ(C ;t)
2
3
450
400
350
300
250
0
10
20
30
40
50
60
Temps en secondes
Figure B. 14. Mesures bruitées.
Les résultats de la mise en œuvre de la MGC sont présentés ci-après :
Tableau B. 9. Valeurs du critère en fonction des itérations k (Cas C. 2).
Itération k
J ( I (t ))
0
1
56763.3 41976.7
…
25
…
51
…
64
65
…
9799.5
…
970.7
…
92.6
89.85
La minimisation du critère conduit à l'identification de la trajectoire recherchée (Figure
B. 15). La convergence de la température simulée (avec la trajectoire identifiée) vers la
température mesurée est aussi obtenue (Figure B. 16).
S(0s),
S(60s)
Z en m
0.01
I(t)k=65
I*(t)
I(t)k=0
0.02
S(30s)
S(0s)
S(45s)
0
S(15s)
S(30s)
3
Rθ(C1;t)
Rθ(C2;t)
Rθ(C3;t)
2
1
0
-1
-0.01
-2
S(15s)
S(45s)
S(60s)
-3
0
-0.02
-0.02
-0.01
0
X en m
0.01
( I (t )
, I * (t ) , I (t )
k = 65
20
30
40
50
60
Temps en secondes
0.02
Figure B. 16. Évolution du résidu de
Figure B. 15. Évolution des trajectoires
k =0
10
) en fonction du
temps.
La convergence est satisfaisante malgré les mesurées bruitées. Les résidus de
température obtenus sont exposés dans le tableau suivant (valeur moyenne et écart-type pour
chaque capteur).
Tableau B. 10. Résidus de température (Cas C. 2).
température en K
température en K
Capteur C1
Capteur C2
Capteur C3
0.0432
0.196
-0.0231
1.0974
0.9421
0.9018
Les valeurs obtenues montrent que l’impact du bruit sur les températures simulées reste
du même ordre de grandeur que l’écart type du bruit proposé, ce qui confirme la robustesse de
la méthode. Les résidus des coordonnées de centre de la source sont déterminés en quelques
instant tn dans le tableau suivant :
Tableau B. 11. Résidus des coordonnées de la trajectoire (Cas C. 2).
tn = 0 s
tn = 15 s
tn = 30 s
tn = 45 s
tn = 60 s
−5.73 10 −4
5.57 10 −5
−3.5 10−5
2 10−4
−3.65 10−4
−0.0013
2.29 10−4
−1.42 10 −4
3.03 10−4
−7.51 10−4
219
Ce tableau confirme également que l'identification des coordonnées n'est pas affectée de
manière rédhibitoire par les mesures bruitées. Ces faibles valeurs entre les coordonnées réelles
et les coordonnées estimées de la trajectoire confirment la robustesse de la méthode du
gradient conjugué pour estimer la trajectoire de cette source chauffante mobile même en
présence des mesures bruitées.
ANNEXE C
Pilotage des platines de
translation
La présente annexe donne la possibilité de mieux découvrir le mécanisme ainsi que les
outils nécessaires au pilotage des platines de translation de type XZ en lien direct avec les
perspectives envisagées. Quelques exemples illustratifs sont proposés (voir le manuel du
contrôleur [ESP 301, 2008]).
1. Commande des platines XZ
D’une manière générale, il existe deux modes de pilotage :
1.1.
Mode local
Ce mode est basé sur l’acquisition manuelle des commandes en utilisant les touches du
panneau d’avant du contrôleur ESP 301 (voir Figure C. 1).
Figure C. 1. Panneau d’avant du contrôleur EPS 301.
En utilisant ce mode, l’utilisateur peut ajuster directement plusieurs paramètres comme
la vitesse de mouvement, l’accélération, … sans avoir besoin d’un autre terminal (ordinateur
par exemple). Dans ce qui suit, une description succincte du fonctionnement de quelques
boutons de panneau d’avant du contrôleur EPS 301 est donnée.
222
Annexe C. Pilotage des platines de translation
Commençons tout d’abord par le coté droit du contrôleur EPS 301 (voir Figure C. 1).
Motor ON/OFF : ce bouton permet de mettre la machine en marche ou en arrêt.
Menu/enter Button : ce dernier permet l’accès au menu de commande. Afin de
sélectionner une commande affichée dans cette liste de menu, il suffit d’appuyer sur
le bouton Menu qui permet l’exécution de la commande retenue.
UP/DOWN : ces deux boutons permettent de naviguer dans la liste des commandes
donnée dans le menu.
ESC : ce bouton permet de revenir au précédent menu.
Il utile de savoir que afin de bien naviguer dans les sous listes du menu, il est possible
d’utiliser les quatre touches (boutons numérotés respectivement 2, 4, 6 et 8). Ces derniers ont
le même rôle que les touches de direction de n’importe quel clavier d’ordinateur par exemple.
Ce qui facilite l’accès à tous les éléments disponibles dans le menu.
1.1.1.
Exemple d’application
Dans le but de déplacer le deuxième axe de la platine de translation vers la direction
gauche ou droite par exemple, il suffit d’utiliser les deux boutons 4 et 6. La valeur de
déplacement peut être fixée en utilisant dans le bouton Menu la liste de commande
tel que : le déplacement absolu ‘Move absolute’ par exemple. L’axe se déplace selon
la valeur de distance introduite par le clavier numérique (voir Figure C. 1).
Dans ce deuxième exemple, l’objectif visé consiste à changer la vitesse de
déplacement des deux platines de translation, il suffit de suivre le chemin suivant :
Bouton ‘Menu’, bouton ‘Down’ (afin de défiler dans le menu), commande
‘Configuration’, bouton ‘Menu’ (pour confirmer le choix de la précédente
commande). La liste qui s’affiche sur le panneau d’affichage (cf. Figure C. 1)
contient les commandes ‘Set velocities, Accel, Decel, …’. Le choix de la commande
‘Set velocities’ permet de définir une vitesse de déplacement des deux axes selon la
valeur introduite via le clavier numérique du contrôleur.
1.2.
Mode distant
Dans ce mode, le ESP 301 reçoit des commandes de mouvements par une de ses
interfaces de communication (USB) en utilisant un ordinateur ou un autre terminal. Le
paragraphe suivant fournit une explication détaillée de la mise en œuvre de quelques
déplacements en utilisant le mode distant
1.2.1.
223
Guide d’initiation au logiciel ESP Util 301 :
Le module de contrôle ESP 301 a été fournis avec un logiciel de pilotage ‘ESP Util
301’ qui permet de jouer le rôle d’un intermédiaire entre le contrôleur et l’utilisateur. Dans ce
qui suit quelques impressions d’écran sont proposées afin de faciliter l’explication.
Une fois l’ESP Util lancé, la fenêtre suivante s’ouvre :
Figure C. 2. Fenêtre de démarrage du logiciel.
Comme il est indiqué sur la Figure C. 2, la première étape est dédiée au choix de
l’interface de communication avec les platines de translation. Lorsque le pilotage est assuré
par un ordinateur portable, le choix est USP VCP.
Figure C. 3. Interface de communication.
La confirmation du mode de communication se réalise à travers le bouton ‘Open Port’,
pendant ce temps l’ESP 301 commence à initier ses paramètres d’entrées-sorties. Autrement
dit, le contrôleur est en phase de recherche de nombre des axes qui sont connectés à ses
interfaces de communication (cf. Figure C. 4).
224
Figure C. 4. Phase de recherche des axes.
Figure C. 5. Détection des axes connectés.
La Figure C. 5 montre qu’il y deux axes qui sont connectés au contrôleur et au terminal
aussi. Afin de confirmer cette détection, il suffit de cliquer sur ‘Ok’ (voir Figure C. 5).
Après avoir détecté les axes (les platines) connectés à l’ESP 301, l’étape suivante
consiste à mettre les deux moteurs des deux axes en marche. Dans la barre d’outils du
Logiciel (voir une des quatre figures précédentes), l’icône ‘Enable’ représente une touche ou
un bouton de démarrage/arrêt de tous les moteurs qui sont en communication avec l’ESP 301.
Dans la présente configuration, il est facile d’observer qu’il y a seulement deux boutons qui
sont indiqués en couleur beige, ce qui confirme la présence (la connexion) de deux axes de
déplacements. Le fait de choisir ‘All On’ permet de mettre les moteurs des deux bancs en
marche.
Figure C. 6. Démarrage de moteurs de deux bancs connectés.
Avant de commencer à manipuler les diverses fonctionnalités du contrôleur, il est
conseillé d’initier les positions de deux bancs en cliquant sur 0 comme il est montré sur la
Figure C. 7 (car l’ESP 301 garde toujours la position du dernier essai).
225
Figure C. 7. Remise à zéro de déplacement de deux bancs.
Pour résumer, les étapes précédentes permettent de préparer les bancs de translation
ainsi que leur interfaçage avec le contrôleur afin de les piloter par la suite.
Commençons tout d’abord par détailler quelques icones de la barre de commande
affichée via le périphérique d’interfaçage (ordinateur dans le présent document) :
L’icône ‘Jog’ représente la commande qui permet de déplacer les bancs de
translation sur un des deux axes vers n’importe quelle direction choisie (cf.
Figure C. 8).
Figure C. 8. Déplacement de deux bancs.
En détaillant un petit peu plus la figure précédente, deux modes de déplacement sont
proposés ‘Indexed’ (le mode indexé) et le ‘Free Run’(le mode de déplacement libre). Le
premier permet de choisir l’axe à déplacer en appuyant sur une direction avec des valeurs
précises de distance et de vitesse. Le deuxième mode prend la distance maximale possible de
déplacement des deux bancs avec la vitesse proposée par défaut par le contrôleur. Néanmoins
et afin d’arrêter le déplacement vers une direction précise en utilisant le mode libre, il suffit
d’enlever le doigt sur la commande sous traitement (par exemple, la direction choisie).
226
Avant d’approfondir les diverses fonctionnalités de pilotage en mode distant, il est utile
de préciser que les axes 1 et 2 dans l’interface du logiciel définissent respectivement des
déplacements selon les axes Ox et Oy. À titre d’exemple, le fait de cliquer sur le bouton ‘+x’
(resp. ‘+y’ pour l’axe Oy), le banc du premier axe se déplace vers la droite qui représente la
direction selon Ox (resp. le même phénomène se produit pour l’axe Oy).
La figure suivante illustre le cas de d’un cahier de charges qui consiste au déplacement
simultané en mode indexé des deux bancs de translation :
•
Pour l’axe Ox : une distance de déplacement de 2 10−2 m avec une vitesse de
5 10−2 m. s -1 ont été choisies.
•
Pour l’axe Oy : une distance de déplacement de 0.1 m avec la même vitesse que le
premier axe ont été considérées.
Le fait d’appuyer une seule fois sur un des quatre boutons ‘ ± x’ ou ‘ ± y’ (voir Figure C.
9), lance les platines concernées qui commencent à se déplacer directement vers le chemin
indiqué (à la vitesse choisie).
Pour des raisons de danger ou autres (erreur numérique,…), il est possible d’arrêter le
déplacement des deux bancs malgré qu’ils soient en cours de déplacement en utilisant le
bouton ‘Stop’ (voir Figure C. 9).
Figure C. 9. Arrêt d’urgence de déplacements.
Dans les deux précédents modes, le choix d’une distance supérieure à la longueur de
l’axe de déplacement (Mode Indexé) ou le fait de rester appuyé sur une direction malgré que
la platine soit arrivée à la fin de cet axe (la limite de cet axe est détectée) produit une erreur.
Sur les deux figures suivantes, un exemple en Mode Libre où la platine portée par l’axe 1 est
arrivée à sa limite de déplacement est montrée.
227
Figure C. 10. Détection de limite d’un axe.
Commande Cycle : dans ce cas, la platine a l’ordre de faire un déplacement d’allerretour sans arrêt. Pour démarrer cette déplacement, il faut choisir la commande
‘Start/Stop All axes’ où cette dernière se passe à la couleur verte pour indiquer que
les platines sont en mode marche (exécution). Pour arrêter ce déplacement, il suffit
de cliquer sur la même icone. Il est possible aussi de compter le nombre de cycles
effectués en utilisant le compteur ‘Cycle Count’. Néanmoins, il est nécessaire
d’initialiser le compteur avant toute utilisation (commande ‘Reset’). La figure
suivante montre le changement de nombre de cycles effectués avec un temps
d’attente entre deux cycles successifs qui vaut 2 secondes (‘Dwell=2’, voir Figure C.
11).
Figure C. 11. Lecture du nombre de cycles effectués.
Commande Home : la platine se déplace selon les sous commandes internes de la
commande ‘Home’ comme elles sont indiquées sur la figure suivante avec une
vitesse ajustable.
228
Figure C. 12. Option de la commande ‘Home’.
Après avoir exposé les principales commandes du logiciel EPS 301, le mode
programmation peut être aussi appliqué en tant que mode distant également.
1.2.2.
Mode programmation
Rappelons que L’ESP 301 est un système piloté par commande. En général, les
commandes sont composées d’une série de deux caractères ASCII (lettre) précédées par un
numéro d'axe et suivies par des paramètres spécifiques à la commande.
Le diagramme suivant illustre la syntaxe d’un programme écrit sous forme d’un fichier
de type .text (bloc note).
Figure C. 13. Programme à exécuter sous EPS 301.
Comme il est indiqué sur la figure précédente, une commande se compose de trois
principaux champs. Le premier champ décrit la valeur numérique ‘XX’ qui représente le
numéro de l’axe en mouvement ou à déplacer. Le deuxième champ se compose de deux
229
lettres ‘ASCII’ mnémoniques qui décrivant la commande à appliquer. Le troisième domaine
décrit la valeur numérique d’un tel mouvement ‘NN’.
•
À noter que si une commande ne nécessite pas une valeur ‘XX’ et/ou ‘NN’, ce champ
doit être remplacé par un blanc (espace). Dans un autre cas où une commande
nécessite plusieurs paramètres dans le troisième champ, tous ces paramètres doivent
être séparés par des virgules, par exemple la commande 1HN1,2. À signaler aussi que
plusieurs commandes peuvent être émises sur une seule ligne en les séparant par un
point-virgule ‘;’ (3Mo ; 3PA10.0 ; 3WS ; 3MF). Pour comprendre les commandes
proposées dans les précédents exemples, un tableau illustratif a été proposé dans [ESP
301, 2008].
•
À titre d’exemple soit une description de la commande suivante :
1PA+100 : déplacer le premier axe d’une valeur absolue de 100 unités vers la droite.
Une fois la structure de programme construite, l’étape d’enregistrement de ce dernier est
nécessaire avant l’exécution.
1.2.3.
Exemple d’application
Dans ce qui suit, les deux bancs de translation sont commandés à partir du mode
programmation.
Exemple 1 :
À travers cet exemple, le premier banc se déplace selon l’axe Ox d'une valeur de 30
unités. Dès que ce premier mouvement se réalise, le deuxième banc (selon l’axe 2 : axe Oy)
commence à se déplacer d'une valeur de -10 unités par rapport à son origine. Ce trajet peut
être effectué en exécutant le programme suivant :
Commande
1PA+30
1WS
2PR-10
Commentaire
Déplacer l'axe 1 selon une position absolue de 30 unités,
Faire une période d’attente,
Déplacer l'axe 2 selon une position relative de -10 unités.
À noter que la commande d’attente ‘WS’ (Waiting-second) est nécessaire afin
d’éliminer les effets de vibrations mécaniques (dues à la vitesse de changement de direction
de déplacement par exemple).
230
Exemple 2 :
Dans cet exemple, un cahier de charges est schématisé par la Figure C. 14. D’une
manière descriptive, il est planifié que la platine du premier axe suit la trajectoire donnée par
la figure suivante :
Figure C. 14. Exemple d’une trajectoire désirée d’une platine de translation.
Cette trajectoire se réalise via la mise en œuvre de l’algorithme suivant :
Commande
1PR+100
1WS
1PR -90
1WS
1PR +70
1WS
1PR -50
1WS
1PR +30
1WS
1PR -20
1WS
1PR +10
1WS
1PR -5
1WS
1PR +2
1WS
Commentaire
Déplacer l'axe 1 selon une position relative à la position initiale d’une valeur de
100 unités,
Période de repos d’une seule seconde,
Déplacer l'axe 1 relativement par rapport à la précédente position pour une valeur
de 90 unités,
Déplacer l'axe 1 selon une position relative à la dernière position pour valeur de
50 unités,
Déplacement relative de -50 unités au regard avec la précédente position,
Déplacement relative de 30 unités au regard avec la précédente position,
Déplacement relative de 10 unités au regard avec la précédente position,
Attente d’une seconde pour que le banc s'arrête,
Déplacement relative de +2 unités au regard avec la précédente position,
231
1PR -1
1WS
QP
Déplacement relative de -1 unité au regard avec la précédente position,
Attente d’une seconde pour que le banc s'arrête,
Mettre fin au mode programmation.
Le signe (-) signifie le sens opposé par rapport au dernier déplacement.
Exemple 2 :
Ce dernier exemple vise à piloter les deux platines de translation dans le but de faire un
cercle de rayon de 25 unités. Le principe est basé sur l’utilisation du groupe d’axes.
Commande
1hx
1hn1,2
1hv10
1ha40
1hd40
1ho
1hl0,0
1hw
1hc25,0,360
1hw
1hc25,0,-360
1hw
1hl0,0
1hw
qp
Commentaire
Suppression du groupe crée avant cette mise en œuvre,
Création d’un nouveau groupe indiqué par "groupe 1" en utilisant les deux axes,
Mettre la vitesse du groupe 1 à10 unités/s,
Mettre l'accélération du groupe 1 à 40 unités/s,
Mettre la décélération du groupe 1 à 10 unités/s,
Activation du groupe 1,
Déplacement de l'axe 1 et l'axe 2 vers les centres des deux axes (0,0),
Attente de fin du trajet de groupe 1,
Mettre l'axe 1 en marche pour faire un cercle de rayon=25 unités et l'axe 2 en 0 ;
puis faire un angle de balayage de 360°,
Attente afin que le groupe 1 termine son trajet,
Mettre l'axe 1 en marche pour faire un cercle de rayon=25 unités et l'axe 2 en 0 ;
Puis faire un angle de balayage de -360°,
Attente la fin de la trajectoire du groupe 1,
Déplacement de l'axe 1 et l'axe 2 vers les centres des deux axes (0,0),
Attente que le groupe 1 termine son trajet.
Mettre fin au mode programmation.
Cet algorithme a été fourni avec le contrôleur EPS031. D’utres déplacements aussi ont
été programmés afin d’initier l’utilisateur à réaliser diverses trajectoires telles que :
déplacement en ligne, trajectoire traçant le signe de l’infini
∞, …
Références
Abel N., (1826). Auflosung einer mechanichen Aufgabe, Journal de Crelle, vol. 1, pp. 153–
157.
Abel N., (1881). Solution d’un Problème de Mécanique, Œuvres Complètes de Niels Henrik
Abel I, ED Grøndahl & Søn, Christiana (Norvège), pp. 11–18.
Abou-Khachfe R., (2000). Résolution numérique de problème inverses 2D non linéaires de
conduction de la chaleur par la méthode des éléments finis et l’algorithme du gradient
conjugué – Validation expérimentale, Thèse préparée et soutenue à l’école polytechnique de
l’université de Nantes, École Doctorale n° 82, ordre n° 451, pp. 234.
Abou-Khachfe R. et Jarny Y., (2000). Numerical solution of 2-D nonlinear inverse heat
conduction problems using finite-element techniques, Journal of Numerical Heat Transfer –
Part B, vol. 37, n° 1, pp. 45–67.
Abou-Khachfe R. et Jarny Y., (2001). Determination of heat sources and heat transfer
coefficient for two-dimensional heat flow – numerical and experimental study, International
Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 44, n° 7, pp. 1309–1322.
Adili A., Hasni N., Kerkeni C. et Nasrallah S.B., (2010). An inverse problem based on
genetic algorithm to estimate thermophysical properties of fouling, International Journal of
Thermal Sciences, vol. 49, pp. 889–900.
Adomian G. et Vasudevan R., (1984). A stochastic approach to inverse scattering in
geophysical layers, Journal of Mathematical Modelling, vol. 5, pp. 339–342.
Adous M., (2006). Caractérisation électromagnétique des matériaux traités de génie civil
dans la bande de fréquences 50 Mhz – 13 Ghz, Thèse de doctorat de l’Université de Nantes,
Laboratoire Central des Ponts et Chaussées de Nantes, pp. 188.
Alemdar H. et Pektaş B., (2013). Identification of an unknown time-dependent heat source
term from overspecified Dirichlet boundary data by conjugate gradient method, Journal of
Computers and Mathematics with Applications, vol. 65, pp. 42–57.
Alekseev A.K. et Navon I.M., (2005). On a posteriori pointwise error estimation using
adjoint temperature and Lagrange remainder, International Journal of Computer Methods in
Applied Mechanics and Engineering, vol. 194, n° 18–20, pp. 2212–2228.
Alekseev A.S. et Mikhailenko B.G., (1999). Mathematical models of elastic wave processes
in seismology and seismic prospecting: forward and inverse problems, Journal of Simulation
Practice and Theory, vol. 7, pp. 125–151.
234
Références
Alestra S. et Srithammavanh V., (2010). First experiments of automatic differentiation on
some inverse problems in aerospace applications, 11th European Workshop on Automatic
Differentiation, Cranfield – UK.
Alifanov O.M., (1994). Inverse Heat Transfer Problems, ED Springer-Verlag, Berlin –
Germany, pp. 384.
Alifanov O.M., Artyukhin E.A. et Rumyantsev S.V., (1995). Extreme Methods for Solving
Ill Posed Problems with Applications to Inverse Heat Transfer Problems, ED Begell House,
New York – USA, pp. 306.
Alifanov O.M., Nenarokomov A.V. et Gonzalez V.M., (2009). Study of multilayer thermal
insulation by inverse problems method, Journal of Acta Astronautica, vol. 65, pp. 1284–1291.
Allaire G., (2006). Analyse Numérique et Optimisation, ED de l’École Polytechnique 91128
Plaiseau Cedex – France, pp. 459.
Angstrom A.J., (1861). Neue mezode warmeleitungsvermogen der korperzu bestimmen,
Annalen der Physik und Chemie, band GOT", n° 12, pp. 513–530.
Atkins E.M., Miller R.H., Van Pelt. T., Shaw K.D., Ribbens W.B., Washabaugh P.D. et
Bernstein D.S., (1998). An autonomous aircraft for flight control and trajectory planning
research, Proceedings of the American Control Conference, Philadelphian – Pennsylvania, pp.
689–693.
Autrique L., Beddiaf S., Perez L. et Jolly J–C., (2012), Simultaneous determination of
time-varying strength and location of fixed heat sources in 3D domain, 6th International
Conference "Inverse Problems: Modeling and Simulation", 21–26 May, Antalya – Turquie.
Averill M.G., Miller K.C., Randy Keller G., Kreinovich V., Araiza R. et Starks S.A.,
(2007). Using expert knowledge in solving the seismic inverse problem, International Journal
of Approximate Reasoning, vol. 45, pp. 564–587.
Azikri de Deus H.P., Ávila S. Jr C. R., Moura Belo I. et Beck A.T., (2012). The Tikhonov
regularization method in elastoplasticity, Journal of Applied Mathematical Modelling, vol. 36,
pp. 4687–4707.
Battaglia J.L., Cois O., Puigsegur L. et Oustaloup A., (2001). Solving an inverse heat
conduction problem using a non-integer identified model, International Journal of Heat and
Mass Transfer, vol. 44, pp. 2671–2680.
Battaglia J.L., Kusiak A. et Puiggali J.R., (2010). Introduction aux Transferts Thermiques,
ED Dunod, Paris – France, pp. 256.
Beck J.V., (1970). Nonlinear estimation applied to the nonlinear heat conduction,
International Journal of Heat Transfer, vol. 13, pp. 703–716.
Beck J.V. et Arnold K.J., (1977). Parameter Estimation in Engineering and Science, ED
Wiley Interscience, New York – USA, pp. 501.
Références
235
Beck J.V., Blackwell B. et St Clair C.K., (1985). Inverse Heat Conduction Ill-Posed
Problems, ED John Wiley and Sons Inc., New York – USA, pp. 336.
Beck J.V. et Wolf H., (1965). The nonlinear inverse heat conduction problem, ASME
(American Society of Mechanical Engineers) Paper, presented at the ASME/AIChE Heat
Transfer Conference and Exhibit, Los Angeles – USA, August 8–11, n° 65–HT: 40.
Beck J.V., Blackwell B. et Charles. R. S. C., (1985). Inverse Heat Conduction: Ill–Posed
Problems, ED John Wiley & Sons, pp. 308.
Beddiaf S., (2011). Un exemple d'identification paramétrique d’un problème
unidimensionnel de conduction de la chaleur (article, résumé et poster), 11èmes Journée des
Doctorants (JDOC-2011), 11 avril, Nantes – France.
Beddiaf S., Autrique L., Perez L. et Jolly J–C., (2012 a). Time-dependent heat flux
identification: Application to a three-dimensional inverse heat conduction problem, 4th
International Conference on Modelling, Identification and Control (IEEE Conference
Publications), June 24–26, Wuhan–China, pp. 1242–1248.
Beddiaf S., Autrique L., Perez L. et Jolly J–C., (2012 b). Heating sources localization
based on inverse heat conduction problem resolution, 16th IFAC Symposium on System
Identification – Part 1, vol. 16, July 11–13, Brussels–Belgium.
Beddiaf S., Autrique L., Perez L. et Jolly J–C., (2012 c). De l’identification de la position
de sources chauffantes, 7ème Conférence Internationale Francophone d'Automatique
(CIFA), 4–6 juillet, Grenoble–France.
Beddiaf S., Perez L., Autrique L. et Jolly J–C., (2013 a). Simultaneous determination of
time-varying surface heat flux and location of a fixed source in a three-dimensional domain,
International Journal of Inverse Problems in Science and Engineering (state: accepted).
Beddiaf S., Autrique L., Perez L. et Jolly J–C., (2013 b). Évaluation expérimentale de la
mise en œuvre de la méthode du gradient conjugué pour identifier simultanément la
puissance et la position d’une source de chauffe fixe en surface d’une géométrie 3D, 5èmes
Journées Doctorales et Journées Nationales du GDR MACS (JD–JN–MACS 2013), 11–12
juillet, Strasbourg – France.
Beddiaf S., Perez L., Autrique L. et Jolly J–C., (2013 c). Parametric identification of a
heating mobile source in a three dimensional geometry, International Journal of Inverse
Problems in Science and Engineering (state: accepted).
Behbahani-nia A. et Kowsary F., (2004). A dual reciprocity BE-based sequential function
specification solution method for inverse heat conduction problems, International Journal of
Heat and Mass Transfer, vol. 47, pp. 1247–1255.
Belonosov V.S. et Skazka V.V., (2008). The inverse dynamic problem of seismic sounding
low-frequency regularization, Journal of Applied Mathematics Letters, vol. 21, pp. 95–100.
Berg R.F., (1983). Estimation and prediction for maneuvering target trajectories, IEEE
Transactions on Automatic Control, vol. AC–28, n° 3, pp. 294-304.
236
Références
Bertero M. et Boccacci P., (1998). Introduction to Inverse Problems in Imaging, ED Taylor
& Francis, pp. 352.
Blanc C., Raynaud M. et Chau T.H., (1998). A guide for the use of the function
specification method for 2D inverse heat conduction problems, Revue de Génie thermique,
vol. 37, pp. 17–30.
Blump J., Gilbert C., Le Foll J. et Thooris B., (1986). Numerical identification of the
plasma current density from experimental measurements, Proceedings of the 8th Europhysics
Conference on Computational Physics, vol. 10–D, pp. 49–52.
Blump J., Gilbert J.C. et Thooris B., (1985). Parametric identification of the plasma current
density from the magnetic measurements and pressure profile, Proceedings of the 11th
International Conference on Numerical Simulation of Plasma, Montreal – Canada.
Boudreau R., Darenfed S. et Turkkan N., (1998). Étude comparative de trois nouvelles
approches pour la solution du problème géométrique direct des manipulateurs parallèles,
Journal of Mechanism and Machine Theory, vol. 33, n° 5, pp. 463–477.
Bouktir Y., Haddad M. et Chettibi T., (2008). Trajectory planning for a quadrotor
helicopter, 16th Mediterranean Conference on Control and Automation, pp. 1258–1263,
Congress Centre, Ajaccio – France.
Burggraf O.R., (1964). An exact solution of the inverse problem in heat conduction theory
and applications, Journal of Heat Transfer, vol. 86C, pp. 373–382.
Carasso A.S., (1992). Space marching difference schemes in the nonlinear inverse heat
conduction problem, Journal of Inverse Problems, vol. 8, n° 1, pp. 25–43.
Carrera J., Alcolea A., Medina A., Hidalgo J. et Slooten L.J., (2005). Inverse problem in
hydrogeology, Hydrogeology Journal, vol. 13, pp. 206–222.
Chantasiriwan S. (1999). Comparison of three sequential function specification algorithms
for the inverse great conduction problem, International Communication of Heat Mass
Transfer, vol. 26, n°1, pp. 115–124.
Chen H.K. et Chang S.M., (1990). Application of the hybrid method to inverse heat
conduction problem, International Journal of Heat Mass Transfer, vol. 33, n° 4, pp. 621–628.
Chen Y.L. et Wen J., (2012). Inverse estimation of indoor airflow patterns using singular
value decomposition, Journal of Applied Mathematical Modelling, vol. 36, pp. 2627–2641.
Colaço M.J. et Orlande H.R.B., (2004). Inverse natural convection problem of simultaneous
estimation of two boundary heat fluxes in irregular cavities, International Journal of Heat and
Coles C. et Murio D.A., (2001). Simultaneous space diffusivity and source term
reconstruction in 2D IHCP, International Journal of Computers and Mathematics with
Applications, vol. 42, pp. 1549–1564.
Références
237
Colton D., Ewing R. et Rundell W., (1990). Inverse Problems in Partial Differential
Equations, SIAM, Book review, Philadelphia, pp. 219.
Cordeiro Cavalcanti F., (2006). Caractérisation thermique de produits de l’état liquide à
l’état solide, Thèse de Doctorat de l’École Doctorale Mécanique, Énergétique, Génie Civil,
Acoustique, Laboratoire de recherche : Centre de Thermique de Lyon (CETHIL), n° d’ordre
2005 ISAL0006.
Corriou J.P., (2010). Méthodes Numériques et Optimisation : Théorie et Pratique pour
l’Ingénieur, ED Lavoisier TEC & DOC, Paris, pp. 445.
Courtial E., Dufour P. et Touré Y., (2004). Commande prédictive non linéaire sous
contraintes : une condition de faisabilité, Manuscrit publié dans "Sciences et Techniques de
l'Automatique (e-sta)", Conférence Internationale Francophone d’Automatique (CIFA 2004),
ISSN: 1954–3522.
Da Silva N.R., Zorzo Barcelos C.A., Ribeiro E. et Aurélio Batista M., (2010).
Identification of space time flows of moving objects, 17th International Conference on
Systems, Signals and Image Processing (IWSSIP), pp. 332–335.
Daouas N. et Radhouani M.S., (2000). Version étendue du filtre de Kalman discret
appliquée à un problème inverse de conduction de chaleur non linéaire, International Journal
of Thermal Sciences, vol. 39, pp. 191–212.
Davies A.J., Dixon L.C.W., Roy R. et Van Der Zee P., (1999). Regularisation and the
inverse problem, Journal of Advances in Engineering Software, vol. 30, pp. 557–562.
De Marsily C., Delhomme J.P., Delay F. et Buoro A., (1999). Regards sur 40 ans de
problèmes inverses en hydrogéologie, Article rédigé à l’invitation du Comité de Recherche
(C. R. Académie des Sciences. Paris, Sciences de la Terre et des Planètes / Earth & Planetary
Sciences), vol. 329, pp. 73–87.
De Verdière Y.C. et Truc J.P., (2009). Du problème du tobbogan d'Abel au problème
inverse semi-classique, Bulletin de l'Union des Professeurs de Spéciales, vol. 228, pp. 25–42.
http://hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/40/01/53/PDF/abel2706.pdf
Demoment G., Idier J., Giovannelli J.F. et Mohammad-Djafari A., (2001). Problèmes
inverses en traitement du signal et de l’image, Journal de Techniques de l’Ingénieur, Traité
Télécoms, vol. TE. 5235, pp. 1–25.
Devir Y.S., Rosman G., Bronstein A.M., Bronstein M.M. et Kimmel R. On reconstruction
of
non-rigid
shapes
with
intrinsic
regularization.
http://vista.eng.tau.ac.il/publications/DevRosBroBroKimNORDIA09.pdf.
Di Menza L., (2009). Analyse Numérique des Équations aux Dérivées Partielles, ED Cassini,
Paris, pp. 221.
École d’Hiver METTI (MEtrologie Thermique et Techniques Inverses)., (1999).
Métrologie thermique et techniques inverses, vol. 1, Presses Universitaires de Perpignan, 25–
30 janvier, Maison du lot, Odeillo – Font–Romeu, France, ISBN 2–908912–95–3.
238
Références
Engl H.W., Hanke M. et Neubauer A., (1996). Regularization of Inverse Problems, ED
Kleuwer Academic Publishers, Dordrecht, pp. 332.
ESP 301., (2008). Motion Controller/Driver, User’s Manual-Newport, pp. 309.
Facius R., Reitz G. Bücker H., Nevzgodina L.V., Maximova E.N., Kaminskaya E.V.,
Vikrov A.I., Marenny A.M. et Akatov Y.A., (1990). Reliability of trajectory identification
for cosmic heavy ions and cytogenetic effects of their passage through plant seeds,
International Journal of Radiation Applications and Instrumentation, Nuclear Tracks and
Radiation Measurements – Part D, vol. 17, n° 2, pp. 121–132.
Feng Z.C., Chen J.K., Zhang Y.W. et Griggs J.L., (2011). Estimation of front surface
temperature and heat flux of a locally heated plate from distributed sensor data on the back
surface, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 54, n° 15–16, pp. 3431–3439.
Fernández Martinez J.L., García Gonzalo E., Fernández Álvarez J.P., Kuzma H.A. et
Menéndez Pérez C.O., (2010). PSO: A powerful algorithm to solve geophysical inverse
problems: Application to a 1D-DC resistivity case, Journal of Applied Geophysics, vol. 71,
pp. 13–25.
Garifo L., Schrock V.E. et Spedicato E., (1975). On the solution of the inverse heat
conduction problem by finite difference, Journal of Energia Nucleare, vol. 22, pp. 452.
Gatecel J. et Weill G., (1962). Appareillages de mesure de la conductivité thermique des
semi-conducteurs ii. La méthode d’angström, Le Journal de Physique et le Radium, Physique
Appliquée, supplément au n° 6, Tome 23, pp. 95.
Gejadze I. et Jarny Y., (2002). An inverse heat transfer problem for restoring the
temperature file in a polymer melt flow through a narrow channel, International Journal of
Gilles B., Martin R. et The Hiep C., (1998). A guide for the use of the function specification
method for 2D inverse heat conduction problems, Revue de Génie Thermique, vol. 37, pp. 17–
30.
Gillet M., (2009). Analyse de systèmes intumescents sous haut flux : modélisation et
identification paramétrique, Thèse du Laboratoire d’Ingénierie des Systèmes Automatisées
(LISA), Université d’Angers, n° 984, pp. 242.
Gilyazov S.F. et Goldman N.L., (2000). Regularization of Ill-Posed Problems by Iteration
Methods, ED Kleuwer Academic Publishers, Dordrecht – Netherlands, pp. 352.
Girault M., Videcoq E. et Petit D., (2010). Estimation of time-varying heat sources through
inversion of a low order model built with the Modal Identification Method from in-situ
temperature measurements, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 53, pp.
206–219.
Goldberg D.E., (1989). Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning,
ED Addison Wesley Longman, pp. 432.
Références
239
Goldman D., Istrail S., Lancia G., Piccolboni A. et Walenz B., (2000). Algorithmic
strategies in combinatorial chemistry, International Proceedings of the 11th ACM (Association
for Computing Machinery)-SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics),
Symposium on Discrete Algorithms, pp. 275–284.
Golub G.H. et Van Loan C.F., (1996). Matrix computations, 3rd ED The Johns Hopkins
University Press, Baltimore, pp. 694.
Gonçalves C.V., Vilarinho L.O., Scotti A. et Guimarães G., (2006). Estimation of heat
source and thermal efficiency in GTAW process by using inverse techniques, Journal of
Materials Processing Technology, vol. 172, pp. 42–51.
Gray D.B. et Mcmechan G.A., (1995). Numerical investigation of an analytic solution of a
multi-dimensional Lippman-Schwdinger seismic inverse problem, Journal of Computational
Physics, vol. 119, pp. 195–205.
Gregory R.T. et Karney L.D., (1969). A Collection of Matrices for Testing Computational
Algorithms, ED John Wiley & Sons, United State of America, pp. 154.
Groetsch C.W., (1993). Inverse Problems in the Mathematical Sciences, 1st ED Vieweg,
Braunschweig/Wiesbaden, pp. 152.
Guillot E., (2009). Étude expérimentale des transferts de chaleur à une interface pièce - outil
de coupe, Thèse de Doctorat de l’École Polytechnique de l’Université de Nantes, École
Doctorale n° 498, pp. 176.
Guo T., Parrent A.G. et Peters T.M., (2007). Automatic target and trajectory identification
for deep brain stimulation (DBS) procedures, Medical Image Computing and Computer
Assisted Intervention – Part 1, vol. 10, pp. 483–490.
Gutiérrez Cabeza J.M., Martín García J.A. et Corz Rodriguez A., (2005). A sequential
algorithm of inverse heat conduction problems using singular value decomposition,
International Journal of Thermal Sciences, vol. 44, pp. 235–244.
Hadamard J., (1932). Le Problème de Cauchy et les Équations aux Dérivées Partielles
Linéaires Hyperboliques, ED Hermann et Cie, Paris, pp. 560.
Hämarik U. et Raus T., (2005). Choice of the regularization parameter in ill-posed problems
with rough estimate of the noise level of data, WSEAS Transactions on Mathematics, vol. 4,
n° 2, pp. 76–81.
Hambardzumyan V.A., (1929). Über eine frage der Eigenwertheorie, Zeitschrift für Physik,
vol. 53, pp. 690–695.
Hanke M. et Raus T., (1996). A general heuristic for choosing the regularization parameter
in ill-posed problems, The SIAM (Society for Industrial and Applied Mathematics) Journal on
Scientific Computing, vol. 17, n° 4, pp. 956–972.
Hanke M., (1995). Conjugate Gradient Type Methods for Ill-Posed Problems, ED Longman
House, Harlow, pp. 134.
240
Références
Han-Taw C., Shen-Yih L. et Lih-Chuan F., (2001). Estimation of surface temperature in
two-dimensional inverse heat conduction problems, International Journal of Heat and Mass
Transfer, vol. 44, pp. 1455–1463.
Hasanov A., (2012). Identification of spacewise and time dependent source terms in 1D heat
conduction equation from temperature measurement at a final time, International Journal of
Haw-Long L., Win-Jin C., Shu-Huang S. et Yu-Ching Y., (2012). Estimation of
temperature distributions and thermal stresses in a functionally graded hollow cylinder
simultaneously subjected to inner-and-outer boundary heat fluxes, Composites – Part B, vol.
43, pp. 786–792.
Hensel E. et Hills R.G., (1986). An initial value approach to the inverse heat conduction
problem, Transactions ASME (American Society of Mechanical Engineers) – Journal of Heat
Transfer, vol. 108, pp. 248–256.
Hensel E., (1991). Inverse Theory and Applications for Engineers, ED Prentice Hall, New
Jersey, pp. 322.
Herbin R., (2008). Cours d’analyse numérique, Licence de mathématiques – Université Aix
Marseille 1, pp. 250. http://www-gm3.univ-mrs.fr/polys/gm3-04/gm3-04.pdf
Hestenes M.R. et Stiefel E., (1952). Methods of Conjugate Gradients for Solving Linear
Systems, Journal of Research of the National Bureau of Standards, vol. 49, n° 6, pp. 409–
436.
Hofmann B., (1999). Mathematik inverser Probleme, Teubner, Stuttgart, pp. 32.
https://www.tuchemnitz.de/mathematik/inverse_probleme/Vorlesungsskripten/inverse_probleme_1.pdf
Huang C.H. et Chen W.C., (2000). A three-dimensional inverse forced convection problem
in estimating surface heat flux by conjugate gradient method, International Journal of Heat
and Mass Transfer, vol. 43, pp. 3171–3181.
Huang C.H. et Liu C.Y., (2010). A three-dimensional inverse geometry problem in
estimating simultaneously two interfacial configurations in a composite domain, International
Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 53, pp. 48–57.
Hunt B.R., (1970). The inverse problem of radiography, Journal of Mathematical
Biosciences, vol. 8, pp. 161–179.
Imber M. et Khan J., (1972). Prediction of transient temperature distributions with
embedded thermocouples, Journal of the American Institute of Aeronautics and Astronautics
(AIAA), vol. 10, pp. 784–789.
Jahn F., Cook M. et Graham M., (2008). Hydrocarbon Exploration and Production, 2nd ED
Elsevier, Amsterdam, pp. 456.
Références
241
Jarny Y., Ozisik M.N. et Bardon J.P., (1991). A general optimization method using adjoint
equation for solving multidimensional inverse heat conduction, International Journal of Heat
and Mass Transfer, vol. 34, pp. 2911–2919.
Johnston P.R., (2000). Computational Inverse Problems in Electrocardiography, ED
Lavoisier S.A.S. pp. 304.
Kalman R.E. et Bucy R.S., (1961). New results in linear filtering and prediction problems,
Transactions of the ASMA–Journal of Basic Engineering, n° 60, pp. 95–108.
Kalman R.E., (1960). A new approach to linear filtering and prediction problems,
Transactions of the ASME–Journal of Basic Engineering, n° 82 (Series D), pp. 35–45.
Karr C.L., Yakushin I. et Nicolosia K., (2000). Solving inverse initial-value, boundaryvalue problems via genetic algorithm, Journal of Engineering Applications of Artificial
Intelligence, vol. 13, pp. 625–633.
Keller J.B., (1976). Inverse Problems, Journal of American Mathematical Monthly, vol. 83,
pp. 107–118.
Kern M., (2002-2003). Problèmes Inverses
https://who.rocq.inria.fr/Michel.Kern/Teaching/ESILV/inverse.pdf
Khalil H., (2008). Matrices structurées et matrices de Toeplitz par blocs de Toeplitz en calcul
numérique et formel, Thèse préparée et soutenue à l’université Claude–Bernard, Lyon 1,
École Doctorale n° 135, pp. 234.
Kirsch A., (1996). An Introduction to the Mathematical Theory of Inverse Problems, ED
Springer, New York, pp. 282.
Kleefeld A. et Reibel M., (2011). The Levenberg–Marquardt method applied to a parameter
estimation problem arising from electrical resistivity tomography, Journal of Applied
Mathematics and Computation, vol. 217, pp. 4490–4501.
Kochikov I.V., Kuramshina G.M., Spiridonov V.P., Tarasov Y.I. et Yagola A.G., (2000).
Regularizing procedures for solving the general inverse problem of structural chemistry and
their applications, International Symposium on Inverse Problems in Engineering Mechanics
(ISIP 2000), Nagano, Japan. Elsevier Ltd.
Kress R. et Lee K.M., (2007). A second degree Newton method for an inverse obstacle
scattering problem, International Journal of Thermal Sciences, vol. 46, pp. 128–138.
Labarrere M., Krief J.P. et Gimonet B., (1982). Le Filtrage et ses Applications, 2ème ED
Cepadues, pp. 398.
Lagier G.L., Lemonnier H. et Coutris N., (2004). A numerical solution of the linear
multidimensional unsteady inverse heat conduction problem with the boundary element
method and the singular value decomposition, International Journal of Thermal Sciences, vol.
43, pp. 145–155.
242
Références
Laurent G., (2012). Optimisation sans contrainte de fonctions continues non linéaires, pp.
25, http://www.femto-st.fr/~guillaume.laurent/cours/Optimisation_Poly.pdf
Le Niliot C. et Callet P., (1998). Infrared thermography applied to the resolution of inverse
heat conduction problems: recovery of heat line sources and boundary conditions, Revue de
Génie Thermique, vol. 37, pp. 629–643.
Le Niliot C. et Lefèvre F., (2001). A method for multiple steady line heat sources
identification in a diffusive system: application to an experimental 2D problem, International
Le Niliot C. et Lefèvre F., (2004). A parameter estimation approach to solve the inverse
problem of point heat sources identification, International Journal of Heat and Mass
Transfer, vol. 47, pp. 827–841.
Le Niliot C., Rigollet F. et Petit D., (2000). An experimental identification of line heat
sources in a diffusive system using the boundary element method, International Journal of
Leborgne G., (2006). Introduction à la méthode du gradient conjugué (notes du cours
d'équations aux dérivées partielles de l'ISIMA, première année), pp. 17,
http://www.isima.fr/~leborgne/Isimathgradientconjugue/gradientconjugue.pdf
Lefèvre F. et Le Niliot C., (2002). Multiple transient point heat sources identification in heat
diffusion: application to experimental 2D problems, International Journal of Heat and Mass
Transfer, vol. 45, pp. 1951–1964.
Legrand A.C., (2002). Thermographie multi-spectrale haute et basse température :
Application au contrôle non destructif, Thèse de L’université de Bourgogne, Discipline :
instrumentation et informatique de l’image, pp. 343.
Leonard J.J. et Durrant-Whyte H.F., (1991). Mobile Robot Localization by tracking
geometric beacons, IEEE Transactions on Robotics and Automation, vol. 7, n° 3, pp. 376–
382.
Li H.Y. et Yan W.M., (2003). Identification of wall heat flux for turbulent forced convection
by inverse analysis, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 46, pp. 1041–
1048.
Lin D.T.W. et Ching-yu Y., (2007). The estimation of the strength of the heat source in the
heat conduction problems, Journal of Applied Mathematical Modelling, vol. 31, pp. 2696–
2710.
Liu D., Fu-Yun Z. et Han-Qing W., (2012). History recovery and source identification of
multiple gaseous contaminants releasing with thermal effects in an indoor environment,
International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 55, pp. 422–435.
Liu F.B., (2008). A modified genetic algorithm for solving the inverse heat transfer problem
of estimating plan heat source, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 51, pp.
3745–3752.
Références
243
Liu L.H., (2000). Simultaneous identification of temperature profile and absorption
coefficient in one-dimensional semitransparent medium by inverse radiation analysis,
International Communication of Heat and Mass Transfer, vol. 27, n° 5, PII: S0735–
1933(00)00145–7, pp. 635–643.
Liu L.H. et Tan H.P., (2001). Inverse radiation problem in three-dimensional complicated
geometric systems with opaque boundaries, Journal of Quantitative Spectroscopy &
Radiative Transfer, vol. 68, pp. 559–573.
Lum Wan J.A. et White L.R., (1991). The numerical solution of inverse problems of Fourier
convolution type, Journal of Applied Mathematical Modelling, vol. 15, n° 7, pp. 359–366.
Marescot L. Un algorithme d’inversion par moindres carrés pondérés : application aux
données géophysiques par méthodes électromagnétiques en domaine fréquence.
http://www.tomoquest.com/attachments/File/SVSN03_Marescot.pdf
Martin Garcia J.A., Gutiérrez Cabeza J.M. et Corz Rodriguez A., (2009). Twodimensional non-linear inverse heat conduction problem based on the singular value
decomposition, International Journal of Thermal Sciences, vol. 48, pp. 1081–1093.
Menke W., (1989). Geophysical Data Analysis: Discrete Inverse Theory, 2nd ED of
Academic Press, Inc., pp. 289.
Métivier L., (2011). Interlocked optimization and fast gradient algorithm for a seismic
inverse problem, Journal of Computational Physics, vol. 230, pp. 7502–7518.
Minkowycz W.J. et Sparrow E.M., (1997). Advances in Numerical Heat Transfer, ED
Taylor & Francis, pp. 427.
Minoux M., (2007). Programmation Mathématique : Théorie et Algorithmes, ED Tec &
Doc : Lavoisier, pp. 710.
Mohammad-Djafari A., (1997). Problèmes Inverses en Imagerie et en Vision –Tome 1, ED
Lavoisier, pp. 267.
Monard G., (2003). Introduction à la Modélisation Moléculaire, Formation Continue CNRS
– Nancy. http://gerald.monard.free.fr/Divers/Formation-CNRS/mm-papier.pdf
Monde M., (2000). Analytical method in inverse heat transfer problem using Laplace
transform technique, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 43, pp. 3965–
3975.
Morozov V.A., (1993). Regularization Methods for Ill-Posed Problems, ED CRC Press, 1st
ED, pp. 272.
Muniz W.B., D-Velho H.F. et Ramos F.M., (1999). A comparison of some inverse methods
for estimating the initial condition of the heat equation, Journal of Computational and
Applied Mathematics, vol. 103, pp. 145–163.
244
Références
Murio D.A., (1993). The Mollification Method and the Numerical Solution of Ill Posed
Problems, ED John Wiley & Sons, Inc, pp.249.
Museux N., Perez L., Autrique L. et Agay D., (2012). Skin burns after laser exposure:
Histological analysis and predictive simulation, International Journal of Burns, vol. 38, n° 5,
pp. 658–667.
Nassiopoulos A., (2008). Identification rapide de la température dans les structures du génie
civil, Thèse de Docteur de l’École Nationale des Ponts et Chaussées, spécialité : Mécanique,
soutenue publiquement le 28 janvier, pp. 296.
Nemirovski A.S., (1986). The regularizing properties of the conjugate gradient method in illposed problems, USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics, vol. 26, n° 2,
pp. 7–16.
Neumann V.J. et Goldstine H.H., (1947). Numerical inverting of matrices of high order,
Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 53, pp. 1021–1099.
Nguyen Y.T., Vu T.D., Wong H.K. et Yeow Y.L., (1999). Solving the inverse problem of
capillary viscometry by Tikhonov regularisation, Journal of Non-Newtonian Fluid
Mechanics, vol. 87, n° 2, pp. 103–116.
Nho Hào D., Trung Thành N. et Sahli H., (2009). Splitting-based conjugate gradient
method for a multi-dimensional linear inverse heat conduction problem, Journal of
Computational and Applied Mathematics, vol. 232, pp. 361–377.
Nordtvedt J.E., Nævdal G., Urkedal H., Berg A., Mannseth T. et Vefring E.H., (1999).
Experimental design: importance in petroleum engineering, 3rd International Conference on
Inverse Problems in Engineering: Theory and Practice, June 13–18, Port Ludlow, WA, USA.
Ott L.J. et Hedrick R.A., (1977). A one dimensional implicit approach to the inverse heat
conduction problem, ORNL/NUREG, Oak Ridge National Laboratory, pp. 23.
Özisik M.N. et B-Orlande H.R., (2000). Inverse Heat Transfer: Fundamentals and
Applications, ED Taylor & Francis, pp. 352.
Park H.M. et Lee J.H., (1998). A method of solving inverse convection problems by means
of mode reduction, Journal of Chemical Engineering Science, vol. 53, n° 9, pp. 1731–1744.
Patankar S.V., (1980). Numerical Heat Transfer and Fluid Flow, ED Hemisphere Publishing
Corporation, pp. 205.
Pereyra V., (1988). Numerical methods for inverse problems in three-dimensional
geophysical modelling, Journal of Applied Numerical Mathematics, vol. 4. pp. 97–139.
Perez L. Gillet M. et Autrique L., (2007). Parametric identification of a multi-layered
intumescent system, 5th International Conference: Inverse Problems (Identification, Design
and Control), Moscow, Russia.
Références
245
Petit D. et Maillet D., (2008). Techniques Inverses et Estimation de Paramètres (Partie 2),
ED. Techniques Ingénieur, pp. 1–24.
Plato R., (1998). The method of conjugate residuals for solving the Galerkin equations
associated with symmetric positive semidefinite ill-posed problems, The SIAM (Society for
Industrial and Applied Mathematics) Journal on Numerical Analysis, vol. 35, n° 4, pp. 1621–
1645.
Plato R., (1999). The conjugate gradient method for linear ill-posed problems with operator
perturbations, Numerical Algorithms, vol. 20, n° 1, pp. 1–22.
Plato R. et Vainikko G., (2001). On the fast and fully discretized solution of integral and
pseudo-differential equations on smooth curves, Calcolo, vol. 38, n° 1, pp. 25–48.
Potetyunko E.N., Herskowitz I., Srubshchik L.S. et Shcherbak E. N., (2005). The Inverse
Spectral Problems in the Detection of the Defects and Heterogeneities of the Civil Structures,
International Conference on Computing in Civil Engineering, July, 12–15, Cancun – Mexico
pp. 1–10.
Powell M.J.D., (1977). Restart procedures for the conjugate gradient method, Mathematical
Programming (North-Holland Publishing Company), vol. 12, pp. 241–254.
Prud’homme M. et Hung Nguyen T., (2001). Solution of inverse free convection problems
by conjugate gradient method: effects of Rayleigh number, International Journal of Heat and
Quarteroni A., Sacco R. et Saleri F., (2004). Méthodes Numériques : Algorithmes, Analyse
et Applications, (Traduit de l’italien par J-F Gerbeau-Inria, Rocquencourt), ED ©SpringerVerlag Italia, Milan, pp. 470.
Radenac E., (2006). Développement et validation d'une méthode numérique pour le couplage
fluide/structure en aérothermique instationnaire, Thèse de l’école L'école nationale
supérieure de l'aéronautique et de l'espace : thèse préparée au Département Modèles pour
l'Aérodynamique et l'Énergétique de l'ONERA Centre de Toulouse, n° d'ordre : 470, pp. 275.
Ramm A.G. et Ghosh Roy D.N., (1993). Inverse geophysical problems for some
noncompactly supported inhomogeneities, Journal of Applied Mathematical, vol. 6, n° 6, pp.
15–17.
Raudensky M., Horsky J. et Krejsa J., (1995). Usage of neural network for coupled
parameter and function specification inverse heat conduction problem, International
Communication of Heat and Mass Transfer, vol. 22, n° 5, pp. 661–670.
Raynaud M. et Bransier J., (1986). A new finite difference method for the non linear
inverse heat conduction problem, Journal of Numerical Heat Transfer, vol. 9, pp. 27–42.
Renault N., André S., Maillet D. et Cunat C., (2008). A two-step regularized inverse
solution for 2-D heat source reconstruction, International Journal of Thermal Sciences, vol.
47, pp. 834–847.
246
Références
Renault N., André S., Maillet D. et Cunat C., (2010). A spectral method for the estimation
of a thermomechanical heat source from infrared temperature measurements, Journal of
Rodrigues F.A., Orlande H.R.B. et Dulikravich G.S., (2004). Simultaneous estimation of
spatially dependent diffusion coefficient and source term in a nonlinear 1D diffusion problem,
Mathematics and Computers in Simulation, vol. 66, pp. 409–424.
Rouquette S., (2003). Identification des transferts thermiques par méthode inverse dans un
procédé de PACVD : approche méthodologique de la modélisation d'un processus complexe
régi par un système d'équations aux dérivées partielles non linéaires, Thèse de Doctorat de
l'université de Perpignan, pp. 239.
Rouquette S., Autrique L., Chaussavoine C. et Thomas L., (2007 a). Identification of
influence factors in a thermal model of a plasma-assisted chemical vapor deposition process,
Inverse Problems in Science and Engineering, vol. 15, n° 5, pp. 489–515.
Rouquette S., Guo J. et Le Masson P., (2007 b). Estimation of the parameters of a Gaussian
heat source by the Levenberg–Marquardt method: Application to the electron beam welding,
Sacadura J.F., (1993). Initiation aux Transferts Thermiques, ED Tech. & Doc : Lavoisier,
4ème tirage, Paris, pp. 442.
Santos J.E., (2002). On the solution of an inverse scattering problem in seismic while-drilling
technology, Journal of Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, vol. 191,
pp. 2403–2425.
Santosa F. et Weitzy B. An inverse problem
http://www.math.umn.edu/~santosa/papers/chem-net.pdf
in
reaction
kinetics,
Scarpa F. et Milano G., (1995). Kalman smoothing technique applied to the inverse heat
conduction problem, International Journal of Numerical Heat Transfer – Part B, vol. 28, pp.
79–96.
Scherzez O., Engl H.W. et Kunish K., (1993). Optimal a posteriori parameter choice for
tikhonov regularization for solving nonlinear ill-posed problems, SIAM (Society for Industrial
and Applied Mathematics) Journal on Numerical Analysis, vol. 30, n° 6, pp. 1796–1838.
Serra J.J., Gineste J.M., Serror S., Guilmard Y. et Cantarel M., (1993). Experimental
investigation of heat transfer in a gun barrel based on a space marching conduction method,
Conference of Inverse Problem on Engineering, Palm Coust – Florida, June 13–18.
Shewchuk J.R., (1994). An introduction to the conjugate gradient method without the
agonizing pain, School of Computer Science Carnegie Mellon University Pittsburgh,
http://www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2011/math/nummath_cse/Intro_CG.p
df, pp. 64.
Références
247
Shkarayev S., Krashanitsa R. et Tessler A., (2001). An inverse interpolation method
utilizing in-flight strain measurements for determining loads and structural response of
aerospace vehicles, Technical Report (http://dl.acm.org/citation.cfm?id=887608).
Shoji M., (1973). Study of inverse problem of heat conduction, Transaction of the
International Journal, Series A, Mechanics and Material Engineering (JSME), vol. 44, pp.
1633–1643.
Silva Neto A.J. et Özisik M.N., (1993 a). Simultaneous estimation of location and
Timewise-varying strength of a plane heat source, Numerical Heat Transfer – Part A, vol. 24,
pp. 467–477.
Silva Neto A.J. et Özisik M.N., (1993 b). Inverse problem of simultaneously estimating the
time-varying strengths of two plane heat sources, Journal of Applied Physics, vol. 73, n° 5,
pp. 2132–2137.
Silva Neto A.J. et Özisik M.N., (1994). The estimation of space and time dependent strength
of a volumetric heat source in a one-dimensional plate, International Journal of Heat and
Mass Transfer, vol. 37, n° 6, pp. 909-915.
Silva S.M.M.E.L., Vilarinho L., Scotti A. et Ong T.H., Guimaraes G., (2003). Heat flux
determination in the gas-tungsten-arc welding process by using a three-dimensional model in
inverse heat conduction problem, High Temperatures - High Pressures, vol. 35/36, pp. 117–
126.
Simon D., (2006). Optimal State Estimation (Kalman, H ∞ and Nonlinear approaches), ED
Wiley, pp. 526.
Sparrow E.M., Haji-Sheikh A. et Lundgren T.S., (1964). The inverse problem in transient
heat conduction, Journal of Heat Transfer, vol. 86E, pp. 369–375.
Stolk C.C., (2000). Microlocal analysis of a seismic linearized inverse problem, Journal of
Wave Motion, vol. 32, pp. 267–290.
Stolz G.Jr., (1960). Numerical solutions to an inverse problem of heat conduction for simple
shapes, Transactions of the ASME–Journal of Heat Transfer, vol. 82c, pp. 20–26.
Su J. et Silva Neto A.J., (2001). Two-dimensional inverse heat conduction problem of source
strength in cylindrical rods, Journal of Mathematical Modelling, vol. 25, pp. 861–872.
Su J., Lopes A.B. et Silva Neto A.J., (2000). Estimation of unknown wall heat flux in
turbulent circular pipe flow, International Communication of Heat and Mass Transfer, vol.
27, n°7, pp. 945–954.
Taler J., (1996). Theory of transient experimental technique for surface heat transfer,
International Journal of Heat Mass Transfer, vol. 39, no 17, pp. 3733–3748.
Tarantola A., (2005). Inverse Problem Theory and Methods for Model Parameter
Estimation, ED by SIAM Society for Industrial and Applied Mathematics, pp. 342.
248
Références
Trazia D.A., (1983). Simultaneous determination of two unknown thermal coefficients
through an inverse one-phase Lamé-Clapeyron (Stefan) problem with an over-specified
condition on the fixed face, International Journal of Heat and Mass Transfer, vol. 26, n° 8,
pp. 1151-1157.
Telejko T. et Malinowski Z., (2004). Application of an inverse solution to the thermal
conductivity identification using the finite element method, Journal of Materials Processing
Technology, vol. 146, pp. 145–155.
Telejko T., (2004). Analysis of an inverse method of simultaneous determination of thermal
conductivity and heat of phase transformation in steels, Journal of Materials Processing
Technology, vol. 155–156, pp. 1317–1323.
Thomas M., Boyard N., Lefèvre N., Jarny Y. et Delaunay D., (2010). An experimental
device for the simultaneous estimation of the thermal conductivity 3-D tensor and the specific
heat of orthotropic composite materials, International Journal of Heat and Mass Transfer,
vol. 53, pp. 5487–5498.
Thompson O.E. et Tripputi T.M., (1994). NWP-initialized satellite temperature retrievals
using statistical regularization and singular value decomposition methods, American
Meteorological Society, Boston, MA, USA, 1872 (Revue), vol. 122, n° 5, pp. 897–926.
Tikhonov R.E. et Arsenin V.Y., (1977). Solution of Ill-Posed Problems, ED Winston &
Sons Winston, Washington, DC, ISBN 0–470–99124–0, pp. 272.
Toivanen J.M., Kolehmainen V., Tarvainen T., Orlande H.R.B. et Kaipio J.P., (2012).
Simultaneous estimation of spatially distributed thermal conductivity, heat capacity and
surface heat transfer coefficient in thermal tomography, International Journal of Heat and
Tomasz Z., (2006). Simultaneous estimation of heat transfer coefficient and thermal
conductivity with application to microelectronic materials, Microelectronics Journal, vol. 37,
pp. 340–352.
Trujillo D.M. et Busby H.R., (1997). Practical Inverse Analysis in Engineering, CRC Press,
Boca Raton (Mechanical Engineering Series), pp. 256.
Tsai F.T. C, Sun N.Z. et Yeh W.W. G., (2005). Geophysical parameterization and parameter
structure identification using natural neighbors in groundwater inverse problems, Journal of
Hydrology, vol. 308, pp. 269–283.
Vintrou S., (2009). Contribution à l’étude du comportement thermique des composants
électronique, Thèse du Laboratoire de Thermique Interfaces Environnement (LTIE–EA 4415)
de L’université de Paris Ouest Nanterre de la Défense, pp.195.
Walter E. et Pronzato L., (1994). Identification de Modèles Paramétriques à Partir de
Données Expérimentales, ED Dunod, pp. 371.
Weber C.F., (1981). Analysis and solution of the ill-posed inverse heat conduction problem,
International Journal Heat Transfer, vol. 24, pp. 1783–1792.
Références
249
Wei T. et Wang J.C., 2012. Simultaneous determination for a space–dependent heat source
and the initial data by the MFS, Engineering Analysis with Boundary Elements, vol. 36, pp.
1848–1855.
Weinstock R.P., 1952. Calculus of Variations, ED McGraw, pp. 326.
Wippo V., Devrient M., Kern M., Jaeschke P., Frick T., Stute U., Schmidt M. et
Haferkamp H., (2012). Evaluation of a pyrometric-based temperature measuring process for
the laser transmission welding, Physics Procedia, vol. 39, pp. 128–136.
Woodbury K.A., (2002). Inverse Engineering Handbook: The Mechanical Engineering
Handbook Series, ED CRC Press, 2002, pp. 480.
Wrobel L.C. et Miltiadou P., (2004). Genetic algorithms for inverse cathodic protection
problems, Journal of Engineering Analysis with Boundary Elements, vol. 28, pp. 267–277.
Xiaoa X., Zhanga L. et Zhang J., (2009). A smoothing Newton method for a type of inverse
semi-definite quadratic programming problem, Journal of Computational and Applied
Mathematics, vol. 223, pp. 485–498.
Xiao-Xiao L. et Fan Y., (2011). The truncation method for identifying the heat source
dependent on a spatial variable, Journal of Computers and Mathematics with Applications,
vol. 62, pp. 2497–2505.
Xueliang L., Zimao L. et Lusheng W., (2003). The Inverse Problems for Some Topological
Indices in Combinatorial Chemistry, Journal of Computational Biology, vol. 10, pp. 47–55.
Yang C.Y., (2006). The determination of two moving heat sources in two-dimensional
inverse heat problem, Journal of Applied Mathematical Modelling, vol. 30, pp. 278–292.
Yang L., Jian-Ning Y., Guan-Wei L. et Zui-Cha D., (2012). Reconstruction of a space and
time dependent heat source from finite measurement data, International Journal of Heat and
Yeh W.W.G., (1986). Parameter identification procedures in groundwater hydrology: the
inverse problem, Journal of Water Resources Research, vol. 22, n° 2, pp. 95.
Yi Z.H. et Murio D.A., (2004). Source Term Identification in 1D IHCP, Journal of
Computers and Mathematics with Applications, vol. 47, pp. 1921–1933.
Yu-Ching Y., Tser-Son W. et Eing-Jer W., (2007). Modelling of simultaneous estimating
the laser heat flux and melted depth during laser processing by inverse methodology,
International Communications in Heat and Mass Transfer, vol. 34, 440–447.
Yun-Jie M., Chu-Li F. et Yuan-Xiang Z., (2012). Identification of an unknown source
depending on both time and space variables by a variational method, Applied Mathematical
Modelling, vol. 36, pp. 5080–5090.
250
Références
Zanoelo E.F., (2007). A theoretical and experimental study of simultaneous heat and mass
transport resistances in a shallow fluidized bed dryer of mate leaves, Chemical Engineering
and Processing, vol. 46, pp. 1365–1375.
Zhao F.Y., Liu D. et Tang G.F., (2009). Numerical determination of boundary heat fluxes in
an enclosure dynamically with natural convection through Fletcher–Reeves gradient method,
Journal of Computers & Fluids, vol. 38, pp. 797–809.
Zhao Z. et Meng Z., (2011). A modified Tikhonov regularization method for a backward
heat equation, International Journal of Inverse Problems in Science and Engineering, vol. 19,
n° 8, pp. 1175–1182.
Zhou J., Zhang Y., Chen J.K. et Feng Z.C., (2010). Inverse estimation of surface heating
condition in a three-dimensional object using conjugate gradient method, International
Zhou J.H., Zhang Y.W., Chen J.K. et Feng Z.C., (2012 a). Inverse estimation of surface
temperature induced by a moving heat source in a 3-D object based on back surface
temperature with random measurement errors, Numerical Heat Transfer – Part A,
Application, vol. 61, n° 2, pp. 85–100.
Zhou J.H., Zhang Y.W., Chen J.K. et Feng Z.C., (2012 b). Inverse estimation of front
surface temperature of a plate with laser heating and convection-radiation cooling,
Sara BEDDIAF
Thèse de Doctorat de l’Université d’Angers.
Identification paramétrique de systèmes d’équations aux dérivées partielles paraboliques non
linéaires en géométrie 3D par une méthode de régularisation itérative
Résumé : S’inscrivant dans le cadre de l’identification paramétrique, les travaux présentés dans
ce manuscrit ont pour but de résoudre des Problèmes Inverses tridimensionnels de la Conduction de
Chaleur (PICC-3D). Diverses situations thermiques sont traitées : identification du flux de chauffe
délivré par une source fixe ou mobile, estimation des coordonnées de centre de deux sources de
chauffe fixes, identification des coordonnées de centre d’une ou plusieurs sources fixes en temps
réduit, estimation simultanée de la position et du flux de chauffe d’une source fixe, identification de la
trajectoire d’une source mobile et estimation simultanée de la trajectoire et de l’intensité du flux d’une
source de chauffe mobile. Une difficulté essentielle réside en ce que de tels problèmes inverses de
conduction de la chaleur (décrits par un système d’équations aux dérivées partielles non linéaires) sont
mal posés au sens d’Hadamard. Considérant les mesures de température fournies par un nombre limité
de capteurs placés sur une frontière différente de celle où les sources de chauffe interviennent, ces
PICC-3D ont été résolus avec succès par la mise en œuvre d’une Méthode de régularisation itérative
du Gradient Conjugué (MGC). La robustesse de la méthode est illustrée en considérant des bruits de
mesure réalistes. En outre, un dispositif expérimental a été utilisé afin de mesurer l’évolution du
champ de températures dans une plaque soumise à une source chauffante immobile. Les
expérimentations réalisées attestent de l’intérêt de la MGC dans le contexte proposé.
Mots-clés : Identification paramétrique, Problème Inverse tridimensionnel de la Conduction de
Chaleur (PICC-3D), Problème mal posé au sens d’Hadamard, Équations aux Dérivées Partielles
(EDPs), Méthode de régularisation itérative du Gradient Conjugué (MGC).
PhD thesis of Angers University.
Parametric identification of nonlinear parabolic partial differential equations systems in
3D-geometry based on an iterative regularisation method
Abstract: In the context of parametric identification, the work presented in this manuscript
is devoted to Inverse Heat Conduction Problem resolution in three-dimensional geometries (IHCP3D). The main objective of the resolution deals with identification of one or more unknown
parameters in various situations such as: heat flux identification of a fixed (or mobile source),
localization of two fixed heating sources, localizations in minimal time (for one or several heating
sources), simultaneous determination of time-varying heat flux and location of a fixed source, mobile
source trajectory identification, simultaneous estimation of strength heat flux and source mobile
trajectory in a three-dimensional domain. Such an inverse heat conduction problem (described by a set
of partial differential equations) is ill-posed in Hadamard’s sense. Considering the measured
temperature provided by few sensors (located on a different face from that on which sources heat),
IHCP-3D were successfully solved and the unknown parameters are identified considering the
implementation of an iterative regularization method: the Conjugate Gradient Method (CGM). The
robustness of the proposed identification method is illustrated considering realistic disturbances.
Moreover, an experimental bench is used in order to validate the robustness of the CGM in real
context.
Keywords: Parametric identification, Three-dimensional Inverse Heat Conduction Problem
(IHCP-3D), Ill-posed problem in Hadamard’s sense, Partial Differential Equations (PDEs), Iterative
regularisation method, Conjugate Gradient Method (CGM).
Sara BEDDIAF
Identification paramétrique de systèmes d’équations aux dérivées partielles paraboliques
non linéaires en géométrie 3D par une méthode de régularisation itérative
Résumé
Abstract
S’inscrivant dans le cadre de l’identification
paramétrique, les travaux présentés dans ce manuscrit
ont pour but de résoudre des Problèmes Inverses
tridimensionnels de la Conduction de Chaleur (PICC3D). Diverses situations thermiques sont traitées :
identification du flux de chauffe délivré par une source
fixe ou mobile, estimation des coordonnées de centre
de deux sources de chauffe fixes, identification des
coordonnées de centre d’une ou plusieurs sources fixes
en temps réduit, estimation simultanée de la position et
du flux de chauffe d’une source fixe, identification de
la trajectoire d’une source mobile et estimation
simultanée de la trajectoire et de l’intensité du flux
d’une source de chauffe mobile. Une difficulté
essentielle réside en ce que de tels problèmes inverses
de conduction de la chaleur (décrits par un système
d’équations aux dérivées partielles non linéaires) sont
mal posés au sens d’Hadamard. Considérant les
mesures de température fournies par un nombre limité
de capteurs placés sur une frontière différente de celle
où les sources de chauffe interviennent, ces PICC-3D
ont été résolus avec succès par la mise en œuvre d’une
Méthode de régularisation itérative du Gradient
Conjugué (MGC). La robustesse de la méthode est
illustrée en considérant des bruits de mesure réalistes.
En outre, un dispositif expérimental a été utilisé afin
de mesurer l’évolution du champ de températures dans
une plaque soumise à une source chauffante immobile.
Les expérimentations réalisées attestent de l’intérêt de
la MGC dans le contexte proposé.
In the context of parametric identification, the
work presented in this manuscript is devoted to
Inverse Heat Conduction Problem resolution in
three-dimensional geometries (IHCP-3D). The
main objective of the resolution deals with
identification of one or more unknown parameters
in various situations such as: heat flux
identification of a fixed (or mobile source),
localization of two fixed heating sources,
localizations in minimal time (for one or several
heating sources), simultaneous determination of
time-varying heat flux and location of a fixed
source, mobile source trajectory identification,
simultaneous estimation of strength heat flux and
source mobile trajectory in a three-dimensional
domain. Such an inverse heat conduction problem
(described by a set of partial differential
equations) is ill-posed in Hadamard’s sense.
Considering the measured temperature provided
by few sensors (located on a different face from
that on which sources heat), IHCP-3D were
successfully solved and the unknown parameters
are identified considering the implementation of
an iterative regularization method: the Conjugate
Gradient Method (CGM). The robustness of the
proposed identification method is illustrated
considering realistic disturbances. Moreover, an
experimental bench is used in order to validate the
robustness of the CGM in real context.
Mots clés
Identification
paramétrique,
Problème
Inverse
tridimensionnel de la Conduction de Chaleur (PICC3D), Problème mal posé au sens d’Hadamard, Équations
aux Dérivées Partielles (EDPs), Méthode de
régularisation itérative du Gradient Conjugué
(MGC).
Key Words
Parametric
identification,
Three-dimensional
Inverse Heat Conduction Problem (IHCP-3D), Illposed problem in Hadamard’s sense, Partial
Differential
Equations
(PDEs),
Iterative
regularisation method, Conjugate Gradient Method
(CGM).
L4un L’UNIVERSITÉ NANTES ANGERS LE MANS

Sara BEDDIAF Identification paramétrique de systèmes d

Transcription

Documents pareils

fiche produit

Bordeaux Transport 225 L

Fiche technique chauffe-eau électrique Blindé 100 l horizontal

Cheminée électrique

65.14 12-15 Kw

Bullerjan - Energies

Système sols Fassa Temps de maturation et procédure pour la mise

PLAN PAVILLON STE-JULIE #1 #6 #5 #4 #3 #2