Correction du dm9 TP 1 page 290. La chasse aux canards Partie A

Correction du dm9
TP 1 page 290. La chasse aux canards
Partie A.
Il faut lire les formules en relation avec la copie d’écran du fichier tableur ci-dessous.
Les résultats dépendent bien sûr des fonctions aléatoires en jeu et donc seront a priori différents à chaque
simulation.
Voici quelques-unes des formules utilisées :
1. Dans A2, B2 et C2 : =ALEA.ENTRE.BORNES(1;3)
2. Dans E2 : =NB.SI(A2:C2;1)
3. Dans F2 : =NB.SI(A2:C2;2)
4. Dans G2 : =NB.SI(A2:C2;3)
5. Dans H2, pour le nombre de survivant(s) : =NB.SI(E2:G2;0)
6. Dans I2, pour le nombre total de survivants sur 500 répétitions : =SOMME(H2:H501)
7. Dans I5 : =I2/500
8. Dans I10, pour le nombre de cas où il n’y a pas de survivant : =NB.SI(H2:H501;0)
Partie B.
Soit X la variable aléatoire correspondant au nombre de canards survivants.
1. Les valeurs prises par X sont 0, 1, et 2.
2. Il y a 33 = 27 issues possibles.
1
partout.
3
1
Il y a équiprobabilité, et la probabilité de chacune des 27 issues est donc
.
27
On a ajouté sur l’arbre la valeur de X correspondant à chaque issue.
Pour alléger, on n’a pas écrit les probabilités sur les branches. C’est
C1
b
b
b
b
C1
C2
b
b
b
b
b
C3
b
b
b
b
C1
b
b
b
b
C2
C2
b
b
b
b
b
b
C3
b
b
b
b
C1
b
b
b
b
C3
C2
b
b
b
b
b
C3
b
b
b
b
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
C1
C2
C3
=2
=1
=1
=1
=1
=0
=1
=0
=1
=1
=1
=0
=1
=2
=1
=0
=1
=1
=1
=0
=1
=0
=1
=1
=1
=1
=2
3. Calculer P (X = 2).
3
1
nb cas f avorables
=
= .
P (X = 2) =
nb cas total
27
9
4. Loi de probabilité de X.
6
2
18
2
De même, P (X = 0) =
= . P (X = 1) =
= .
27
9
27
3
xi
La loi de probabilité de X est résumée par le tableau :
pi
0
2
9
1
2
3
2
1
9
5. Calculer E(X).
E(X) =
X
= 0×
=
xi p i
2
1
2
+1× +2×
9
3
9
8
9
Cela est cohérent avec les observations faites en utilisant le tableur, où l’on a un nombre moyen de
canards tués un peu inférieur à 1. La fréquence observée sur 5000 répétitions de l’expérience (0,881)
8
est proche de la probabilité théorique ≈ 0, 8889.
9
Partie C.
On considère le canard C3.
3
8
2
=
(imaginer l’arbre associé).
1. Quelle est sa probabilité de survie ? p =
3
27
2. En déduire le nombre moyen de canards survivants.
8
8
8
E =3×
= , on retrouve bien E(X). En moyenne, le nombre de canards survivant est .
27
9
9
3. Dans le cas où l’on a 10 canards et 10 chasseurs, la probabilité de survie de chaque canard est
10
9
.
p=
10
10
9
910
= 9 ≈ 3, 49.
E(X) = 10 ×
10
10
Avec 10 canards et 10 chasseurs, en moyenne, il y a environ 3,49 canards qui survivent !