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 1 - Pavés de Kangourous
La forme particulière des kangourous de ce puzzle est un motif qui permet de réaliser un
pavage du plan, c'est-à-dire un recouvrement du plan par des figures qui s'emboitent les
unes dans les autres de sorte qu'il ne reste pas d'espace vide.
Un pavage du plan est périodique quand il est
invariable par translation, c'est-à-dire que si
on déplace le motif on peut retrouver le
même pavage. Un pavage périodique est de
plus régulier s’il est constitué de la
répétition de polygones superposables les uns
aux autres.
Il n'existe que 3 pavages réguliers du plan. Ils
sont fréquemment utilisés comme motifs de
carrelages.
Pavage d'oiseaux basé sur un pavage carré
Pour construire un tel pavage, on part d'un
pavage régulier classique, et on le déforme
symétriquement pour obtenir une nouvelle
figure qui a la même surface que le pavé
régulier de départ. Ces nouvelles figures sont
toujours superposables les unes aux autres et
s’emboîtent régulièrement.
Le pavé « kangourou » est obtenu en partant
d'un pavé carré. Les étapes de construction
de ce pavé sont illustrées sur ce site :
Les trois types de pavages réguliers.
http://therese.eveilleau.pagesperso-orange.fr
/pages/jeux_mat/textes/pav_cons.htm
L'artiste néerlandais Maurits Cornelis Escher
est célèbre pour avoir imaginé des formes de
tuiles très complexes et les avoir intégrées
régulièrement dans ses œuvres. Certains de
ces pavages sont réguliers et semblent
pourtant bien différents des 3 types cités
précédemment. Il s'avère que ce sont des
déformations de ces motifs.
On trouve aussi des pavages périodiques réguliers dans la
nature. Par exemple, les alvéoles d'une ruche constituent un
pavage hexagonal.
2 – Pavés de Penrose
Avec des pavés de deux formes différentes, on peut composer un pavage de même forme
que la table (décagonal) ou en étoile.
Un pavage est non périodique quand les
pavés qui le composent ne se répètent pas
par translation.
Dans les années 70, le mathématicien anglais
Roger Penrose étudia des pavages non
périodiques. Il proposa plusieurs exemples de
figures.
Par exemple, le pavage non périodique cidessous est constitué de pentagones, de
pentagrammes (étoiles à 5 branches), de
« bateaux » (environ 3/5 d'un pentagramme)
et de losanges.
Ces deux figures s'emboîtent pour constituer
un losange avec lequel on pourrait construire
un pavage périodique du plan, mais des
règles précises définies par Penrose ne
permettent pas cet assemblage.
Pour représenter ces règles, on peut dessiner
des arcs de cercles comme sur la figure
précédente : 2 figures peuvent être
assemblées si les arcs forment une courbe
continue. Ainsi l'assemblage évident du cerfvolant et de la fléchette n’est pas possible.
Une autre méthode pour
imposer ces règles est
utilisée pour les pavés de
la manipulation :
les encoches sur le côté
des pièces empêchent les
assemblages interdits.
Seuls 7 assemblages sont effectivement
possibles
et
respectent
les
règles
d'assemblage spécifiques aux pavés de
Penrose.
Premier pavage non-périodique de Penrose
Un second exemple de figures étudiées par
Penrose est celui des pavés de la
manipulation. Il s’agit de 2 quadrilatères, l'un
convexe et l'autre
concave, avec des
angles bien précis,
appelés le cerfvolant
et
la
fléchette.
Les 7 configurations possibles
Tout pavage réalisé avec ces pavés
particuliers
sera
nécessairement
non
périodique.
Le cerf-volant et la fléchette
Bien avant que Sir Roger Penrose les étudie, des pavages nonpériodiques apparaissent dans l'architecture islamique médiévale.
On y trouve même des pavages « cerf-volants/fléchettes » presque
parfaits, réalisés au XIIème siècle, comme sur cette tour à
Maragha, en Iran.
3 – La quadrature du rectangle
L'objectif de cette manipulation est d'utiliser les 9 carrés de tailles différentes pour
reconstruire un rectangle de taille 33x32.
Ce problème a été étudié dès 1925 par le
Polonais Zbigniew Moroń. Il décomposa tout
d’abord 2 rectangles, dont celui de la
manipulation. Il prouva notamment qu'il
n'existait
aucune
décomposition
d'un
rectangle en moins de 9 carrés.
La suite de Fibonacci permet d’obtenir une
suite de rectangles décomposables en carrés.
● Les deux premiers termes de cette suite
sont égaux à 1.
● Ensuite, chaque terme est la somme des
deux termes précédents, ce qui donne 1, 1,
2, 3, 5, 8, 13, 21, etc…
Rectangle de 33 x 32
Décomposé en 9 carrés différents
Sur la figure ci-dessus, un premier rectangle
a été formé avec 2 carrés de côté 1, puis un
rectangle plus grand a été formé en accolant
aux premiers un carré de côté 2, puis un plus
grand en accolant un carré de côté 3, etc…
Au final, le rectangle 34 x 21 se décompose
en 8 carrés dont les côtés sont 1, 1, 2, 3, 5,
8, 13 et 21, c’est à dire les termes successifs
de la suite de Fibonacci.
Mais avec cette méthode, tous les carrés ne
sont pas de tailles différentes, puisqu’il y a
toujours 2 carrés de côté 1.
Rectangle de 65 x 47
décomposé en 10 carrés différents
Le titre de cette manipulation a été choisi en écho au problème de la
quadrature du cercle qui passionne les mathématiciens depuis
l’Antiquité : construire, à la règle et au compas, un carré de même
aire qu’un cercle donné. On sait depuis 1882 que c’est impossible.
L’expression : « chercher la quadrature du cercle » évoque des
tentatives vaines pour résoudre un problème qui est de toute façon
insoluble.
4 – Troubles oculaires
Ce tableau présente 14 anomalies optiques : soit des erreurs de représentation en
perspective, soit des illusions d’optique.
L'art de la perspective consiste à représenter
sur une surface plane, à 2 dimensions, un
objet en 3 dimensions.
Il existe plusieurs types de représentation en
perspective, notamment :
● La perspective centrale, dans laquelle
l’objet est représenté avec une de ces faces
parallèle au plan du dessin, et où il y a un
seul point de fuite.
Il y a alors deux façons de voir le cube. La plus
fréquente est de voir le carré de gauche
comme la face avant ; le cube est alors vu du
haut. Mais on peut aussi voir le carré de droite
comme face avant ; le cube est alors vu de
dessous.
En dessinant toutes les arêtes verticales
comme étant au premier plan et passant audessus des arêtes horizontales, on obtient un
cube « impossible », que l'on trouve par
exemple dans la lithographie Belvédère de
M.C. Escher.
Cube en
perspective
centrale
● La perspective cavalière, cas particulier de
perspective oblique, dans laquelle les droites
parallèles dans la réalité sont représentées
par des droites parallèles sur la figure, et où
il n’y a pas de point de fuite.
Cube en
perspective
cavalière
La figure ci-dessus est la représentation d’un
cube en perspective cavalière sans aucune
arête tracée en pointillés, et donc sans
aucun indice de profondeur. Cette figure
ambigüe a été publiée en 1832 par le Suisse
Louis Albert Necker, et est appelée depuis
« cube de Necker ».
Triangle de Penrose à Perth, Australie
Cube
impossible
En 1956, le psychiatre anglais Lionel Penrose
et son fils, le mathématicien Roger Penrose,
publièrent un article sur les figures
impossibles. Les plus connues sont sans doute
l’ « Escalier de Penrose » et le « Triangle de
Penrose ». Malgré leur nom, le précurseur de
ces figures impossibles fut le suédois Oscar
Reutersvärd, dès 1934. Certaines de ces
figures sont reprises dans le tableau.
Escalier de Penrose
Il est possible de construire des
maquettes en 3D de ces objets
impossibles. C'est le cas de cette
sculpture de la ville de Perth en
Australie qui vue sous un certain angle
semble être un Triangle de Penrose.
Les figures impossibles sont repérées par une flèche
sur le petit format de l’image.
5 – Des cadres qui s'emboîtent
Trois cadres sont présentés dans cette manipulation. Le cadre bleu est le plus petit,
pourtant le cadre jaune peut s'emboîter à l'intérieur. Le cadre rouge est le plus grand, et
pourtant il passe dans le cadre jaune.
Ce jeu illustre la difficulté du cerveau
humain à apprécier les dimensions des
objets. Notre première impression visuelle
est que le plus grand cadre ne peut pas
s’emboîter dans un plus petit. En fait, cela
est possible grâce à une astuce au niveau de
l’épaisseur des cadres.
De nombreuses illusions d'optique sont aussi
basées sur ces erreurs d’interprétation par
notre cerveau de la taille des objets.
Par exemple, sur la figure ci-dessous, les
deux segments ont exactement la même
longueur. Mais, en fonction de l’orientation
des branches des flèches, notre perception
de la longueur est modifiée. Le segment
inclus entre les flèches ouvertes (à droite)
paraît plus long.
Le psychologue Roger Shepard a conçu plusieurs
illusions d'optique devenues célèbres, comme
celle des deux tables représentées ci-dessous.
Les plateaux des 2 tables sont exactement les
mêmes, même s'il est difficile de s'en
convaincre. Ici, plusieurs facteurs entraînent
cette illusion. Entre largeur et hauteur, la
hauteur est généralement exagérée par notre
cerveau. Ici la table de gauche paraît plus
allongée que celle de droite. D'autre part,
2 tables qui seraient représentées ainsi
auraient en trois dimensions des tailles et des
formes très différentes.
Le cerveau humain manipule moins bien les aires que
les longueurs.
Les 2 graphiques ci-contre représentent la même série
statistique. Sur le diagramme en bâtons, il est
relativement facile de classer « à l’œil » les 4 bâtons
du plus grand au plus petit. Sur le diagramme
circulaire, c'est beaucoup plus difficile.
Ainsi, au cours d’une présentation, le choix du type de
diagramme peut permettre d’accentuer ou de diminuer
les différences entre les séries, selon le message que
l’on souhaite faire passer.
6 – C'est dans la boîte
Dans cette manipulation, les 3 solides semblent à première vue plus volumineux que la
boîte cubique transparente. Ce n'est pas le cas, on peut faire rentrer chacun des solides
dans cette boîte.
En fait, notre cerveau juge du volume des
objets par rapport à leur forme. Un solide
coloré présentant des angles aigus nous
paraît plus volumineux qu’une boîte
transparente et creuse.
Les objets de cette manipulation sont des
polyèdres. Un polyèdre est un solide en 3
dimensions, constitué de faces planes.
● Un polyèdre est dit convexe si tous ces
sommets sont en pointe.
● Un polyèdre est dit régulier quand ses
faces ont toutes la même forme et ses arêtes
ont toutes la même longueur.
Il n'existe que 5 polyèdres convexes réguliers,
qui sont appelés « solides de Platon » :
Le tétraèdre
(4 faces triangulaires)
L'octaèdre
(8 faces triangulaires)
Le cube
(6 faces carrées)
Le dodécaèdre
(12 faces hexagonales)
2 tétraèdres peuvent
être construits à partir
d'un cube, en reliant les
sommets opposés de
chaque face du cube.
Chaque arête de ces
tétraèdres
est
une
diagonale des faces du
Un tétraèdre
dans un cube
cube. C'est ainsi qu'a été construit le solide
rouge de la manipulation.
Le solide résultant de la
surimposition de ces deux
tétraèdres est appelé
octaèdre étoilé. C'est le
solide
bleu
de
la
manipulation.
Ses 8 sommets extérieurs
sont
simplement
les
Un octaèdre étoilé
sommets
du
cube.
dans un cube
Le solide jaune de la
manipulation
est
un
cuboctaèdre. Il possède 6
faces carrées, comme un
cube,
et
8
faces
triangulaires, comme un
octaèdre, d'où son nom.
Un cuboctaèdre
On peut obtenir ce solide
dans un cube
en coupant les 8 sommets
d'un cube, chacun de ces
sommets
étant
alors
remplacé par un triangle.
Il ne s'agit pas d'un solide
de Platon, puisque ses
faces n'ont pas toutes la même forme, mais
d'un solide d'Archimède.
L'icosaèdre
(20 faces triangulaires)
Les 5 solides de Platon ont une place symbolique importante dans sa
philosophie. Il associait la terre avec le cube, le feu avec le tétraèdre,
l’eau avec l’icosaèdre, l’air avec l’octaèdre, et l’univers avec le
dodécaèdre.
Ces formes étaient connues avant lui et apparaissent, par exemple, plus de
1000 ans plus tôt sous forme de statues chez des peuples néolithiques
d'Écosse.
7 – La tour d'Ionah
Cette manipulation est une version « inversée » du problème des tours de Hanoï dont les
règles sont les suivantes :
● On ne peut déplacer qu'un disque à la fois.
● On déplace le disque du dessus d'une des aiguilles vers une autre en le posant sur les
disques qui s'y trouvent déjà.
● Il est interdit de placer un disque sur un disque plus petit.
Quel est le nombre minimal de mouvements
nécessaires pour déplacer une colonne de n
disques ? La réponse est 2n-1. Dans le cas du
jeu, il y a 5 disques, donc le nombre minimal
de coups est 31.
Pour démontrer ce résultat, on utilise une
démonstration par récurrence.
Le principe peut s’illustrer par la chute d’une
chaîne de dominos : pour faire tomber tous
les dominos, il faut s'assurer d’une part de
faire tomber le premier domino et d’autre
part que la chute d'un domino entraîne bien
la chute du suivant.
Appliquons ce principe aux tours de Hanoï.
● Tout d’abord, il faut vérifier que la formule
marche pour une tour de 1 disque (cela
revient à faire tomber le premier domino).
Le nombre minimal de mouvement est 1, qui
est bien égal à 21-1. La formule que l’on
cherche à démontrer est donc vraie pour une
tour de 1 disque.
● Ensuite, il faut prouver que si la formule
est vraie pour n-1 disques, elle l'est aussi
pour n disques (cela revient à prouver que la
chute d’un domino fait bien tomber le
suivant). Supposons donc que pour déplacer
une tour de n-1 disques, il faut 2n-1-1 coups.
On peut alors décomposer le déplacement de
n disques en 3 étapes.
Étape 1 : Déplacement d'une tour de n-1
disques vers la tour intermédiaire
Nombre de coups nécessaire : 2n-1-1
Étape 2 : Déplacement du plus grand disque
vers la tour finale
Nombre de coups nécessaire : 1
Étape 3 : Déplacement d'une tour de n-1
disques vers la tour finale
Nombre de coups nécessaire : 2n-1-1
Le nombre de mouvements minimal pour
déplacer une tour de n disques est donc bien
égal à 2n-1-1+1+ 2n-1-1=2x2n-1-1= 2n-1.
On a ainsi prouvé que si la formule est vraie
pour une tour de n-1 disques, elle est vraie
pour une tour de n disques.
Le problème des tours de Hanoï aurait été créé par Edouard Lucas en
1893. Dans le grand temple de Bénarès, les prêtres de Brahma doivent
déplacer les 64 disques d'or d'une tour à une autre. « Quand tout sera fini,
la tour et les brahmes tomberont, et ce sera la fin des mondes ! »
En supposant que les prêtres déplacent un disque par seconde, il faudrait
donc 264-1 secondes pour déplacer les 64 disques, soit à peu près 600
milliards d'années. L'âge de l'univers étant actuellement évalué à environ
15 milliards d'années, la fin du monde n'est pas pour demain !
8 – Lumières !
Dans cette manipulation, il y a 7 ampoules pouvant présenter deux états : éteint ou
allumé. Le but du jeu est de passer de la configuration où toutes les ampoules sont
éteintes à celle où toutes les ampoules sont allumées.
Au départ, toutes les ampoules sont éteintes,
la première étape est d'appuyer sur l'un des
interrupteurs, ce qui allume 3 ampoules.
● Il y a 4 configurations où 3 ampoules sont
éteintes / allumées
En appuyant sur
un interrupteur on
obtient la
configuration cicontre.
Le nombre total de combinaisons possibles
est égal à 27=128 (il y a 2 états pour les 7
ampoules). Cependant, puisque les ampoules
sont placées sur un cercle, plusieurs
configurations sont en fait équivalentes.
● Il y a 1 seule configuration où :
- toutes les ampoules sont éteintes /
allumées ;
- une seule ampoule est éteinte / allumée.
● Il y a 3 configurations où 2 ampoules sont
éteintes / allumées.
On peut ainsi étudier le déroulement possible
du jeu et construire le graphe des différentes
combinaisons possibles. Deux configurations
sont reliées par un trait quand on peut passer
de l'une à l'autre en appuyant sur un seul
interrupteur.
Pour réussir à allumer toutes les ampoules il
faut donc suivre sur ce graphe un chemin qui
mène de la première configuration à la
dernière.
Quelques remarques :
● Il est impossible d'allumer toutes les
ampoules en moins de 7 coups.
● Le premier et le dernier coup sont imposés.
● Il y a plusieurs chemins pour passer de la
première à la dernière configuration.
● Le graphe est symétrique : à partir de la
troisième étape, on peut suivre les mêmes
étapes à l'envers.
Pour étudier le déroulement de ce jeu, on a fait appel à la
théorie des graphes. Cette branche des mathématiques a été
abordée pour la première fois par le mathématicien suisse Euler
qui se pencha sur le problème des 7 ponts de Konigsberg :
existe-t-il un circuit passant par chacun de ces ponts une et une
seule fois ?
La théorie des graphes intervient dans de nombreux domaines. En particulier l'algorithme
qui permet de déterminer le chemin le plus court d'un point à un autre est utilisé dans
les appareils de navigation GPS.
Attention, comme les lampes
sont placées en cercle,
plusieurs configurations sont
équivalentes par rotation.
9 – Un carré dans le vide ?
L'objectif dans cette manipulation est d'empiler des planches de sorte qu'elles soient en
équilibre avec la dernière totalement au-dessus du vide.
L’équilibre d'un objet est déterminé par la
position de son centre de gravité.
Un objet placé au bord d’une table bascule à
partir du moment où son centre de gravité
est situé au-dessus du vide.
● Dans le cas d’1 seule planche, son centre
de gravité étant situé en son centre, si l’on
avance la planche de plus de sa moitié audessus du vide, elle tombe.
● Dans le cas de 2 planches, pour décaler au
maximum la planche du dessus, il faut
équilibrer au mieux le poids des 2 planches.
Si le poids de chaque planche est égal à 1, le
poids des deux planches est égal à 2, il faut
donc que le poids total qui déborde de la
table soit égal à 1.
● La planche du dessous déborde de x et la
planche du dessus déborde de (x+y). Le poids
total au-dessus du vide est donc égal à
(x+x+y)=2x+y.
Il faut donc que 2x+y=1.
● Mais la planche du dessus ne peut pas être
décalée de plus de la moitié (sinon, elle
tombe) donc y est au maximum égal à ½.
● Il faut donc avoir 2x+½=1, c'est à dire x=¼.
L'extrémité de la planche du dessus dépasse
alors de 0,75, soit 75% de sa longueur.
● Avec 3 planches on démontre de façon
similaire que la situation optimale est
obtenue quand on décale la planche du
dessus de sa moitié, la planche du milieu
d’1/4 de sa longueur et la planche du
dessous, d’1/6 de sa longueur. L'extrémité de
la planche du dessus dépasse donc de
1/2+1/4+1/6=0,9167 (c’est-à-dire plus de
90% de sa longueur).
● Avec 4 planches on démontre que la
situation optimale est obtenue quand on
décale les 3 planches du dessus comme dans
le cas précédent, et la planche de dessous
d’1/8. La planche du dessus est alors
avancée de 1/2+1/4+1/6+1/8=1.0417 (c’està-dire que la planche du dessus est
totalement au-dessus du vide !)
En suivant le même raisonnement, on peut
calculer qu’il faut empiler 1674 planches
pour que les 4 planches du dessus de la pile
soient au-dessus du vide.
On rencontre des problèmes de stabilité dans notre quotidien. Par
exemple, une personne assise sur une chaise est en équilibre tant que
son centre de gravité est au-dessus du carré formé par les 4 pieds.
Un tabouret à 3 pieds ne sera jamais bancal car 3 points sont forcément
dans le même plan, ce qui n'est pas toujours le cas pour 4 points. Par
contre, la zone d'équilibre est alors un triangle, il est donc plus facile de
tomber, car en se penchant dans la direction opposée à un des pieds, le
centre de gravité sort facilement de cette zone.
10 – La table des 6 jeux
Sur cette table sont proposés 3 jeux en relief et 3 jeux à plat. Les jeux en relief sont des
puzzles 3D : il s'agit de constituer une pyramide en assemblant des solides. Les jeux à
plat sont des jeux d'assemblage.
La pyramide à construire dans les 3 jeux est
une pyramide à base triangulaire, c'est à dire
un tétraèdre.
Les pyramides d'Égypte sont des solides à 5
faces, une face carrée (la base) et 4 faces
triangulaires.
En mathématiques, une pyramide est un
polyèdre dont tous les sommets sauf un
appartiennent à un même plan. Le polygone
constitué des sommets coplanaires est la
base de la pyramide.
● Pyramide à 2 pièces : Dans ce jeu, il
de reconstituer la pyramide à partir
solides identiques, ayant chacun 1
carrée, 2 faces triangulaires et 2
trapézoïdales.
s'agit
de 2
face
faces
● Pyramide à 4 pièces : Il faut reconstruire la
même pyramide à partir de 4 blocs
identiques obtenus en découpant les solides
du jeu précédent en deux.
● Le T : Il faut reconstituer un T avec les 4
pièces.
Ce puzzle est en fait basé sur un puzzle
chinois beaucoup plus ancien, le puzzle de la
Croix d'Ivoire, publié en 1862 dans le livre de
George Arnold et Frank Cahill, The Magician's
Own Book.
Il faut reconstituer une croix à partir de 5
pièces qui, assemblées différemment,
peuvent aussi former un rectangle.
● Pyramide de boules : Une pyramide de 20
boules a été découpée en 4 parties, 2 lignes
de 4 boules et 2 rectangles de 2x3 boules. On
utilise les propriétés de symétrie du
tétraèdre pour le reconstruire.
● Les nains : En plaçant les 2 plaques du haut
différemment, on compte 14 ou 15 nains.
● Les couleurs : Ce jeu consiste à assembler
7 hexagones découpés en 6 triangles colorés,
de sorte que les couleurs coïncident sur tous
les côtés.
Les pièces du puzzle de la Croix d'Ivoire
11 – La table des 4 jeux
Sur cette table sont proposés 2 puzzles liés au cube et 2 puzzles à plat, dont le tangram,
célèbre jeu d'origine chinoise.
● Le cube Soma : créé par le danois Piet Hein
en 1933, ce jeu est constitué de 7 pièces qui
sont les arrangements de 3 ou 4 petits cubes,
à l'exclusion des pavés droits.
● Le tangram : Inventé en Chine à une
époque inconnue, mais certainement bien
avant qu'il soit introduit en Amérique en
1815, ce jeu de dissection est constitué de 7
pièces.
Les 7 pièces du cube Soma
Le but est de construire un cube de côté 3 (il
y a en fait 240 façons d'y parvenir) mais il est
également possible de construire de
nombreuses autres formes.
● Le cube de Conway : Ce jeu a été inventé
par John Conway, un des plus grands
mathématiciens contemporains. Il s'agit de
reconstruire un cube de taille 3 à partir de 3
petits cubes et de 6 pavés formés par 4 petits
cubes.
Les 7 pièces du tangram
Ici, le but est de former un carré.
On ne connait pas le nombre total de
possibilités du tangram, mais on sait qu'il est
fini et qu'il dépasse les 5900.
● Un carré et un triangle : Ce puzzle une
solution du problème d'Haberdasher. Il est
constitué de 4 pièces, avec lesquelles il est
possible de construire un carré mais aussi, en
les plaçant différemment, un triangle
équilatéral.
Les 9 pièces du cube de Conway
Il n'y a qu'une seule combinaison possible.
L'important est de trouver la place des petits
cubes !
Les 4 pièces solution du problème
d'Haberdasher
12 – Je suis une fonction mathématique
Votre déplacement le long du parcours est enregistré par un capteur de mouvement. En
avançant, en reculant, en accélérant, en ralentissant ou en vous arrêtant, vous créez une
courbe sur l’écran. Cette courbe représente l’évolution de votre position sur le parcours
en fonction du temps. Le but est d'essayer d'obtenir un tracé identique à la courbe
proposée.
En mathématiques, les fonctions sont
utilisées pour modéliser tous les phénomènes
où une variable dépend d'un paramètre.
Dans cette manipulation, c’est la position du
corps qui varie en fonction du temps. Pour
représenter graphiquement ce déplacement,
le temps qui se déroule est représenté par
l’axe des abscisses (horizontal) et le parcours
gradué le long duquel on se déplace
correspond à l'axe des ordonnées (vertical).
Par exemple, en se
plaçant
au
point
marqué 2 et en restant
immobile, on obtient
une droite horizontale.
En partant du point 0
et
en
avançant
jusqu'au point 4 avec
une vitesse constante,
on obtient une droite
croissante.
On obtiendrait une droite décroissante en
faisant le trajet dans l'autre sens.
En faisant varier la vitesse du déplacement,
c'est-à-dire en accélérant ou en ralentissant,
on modifie la pente de la courbe. C'est pour
cela que si la vitesse est constante tout au
long du déplacement, la courbe tracée est
une droite.
Un déplacement du
point 0 vers le point 4
en accélérant tout au
long du trajet donne
une courbe du genre
de celle dessinée cicontre.
Plus la vitesse est élevée, plus la pente de la
courbe est forte (sans tenir compte de
l'aspect croissant ou décroissant, qui dépend
seulement du sens du déplacement).
Les courbes proposées sont bien plus
compliquées,
et
imposent
plusieurs
changements de direction et de vitesse.
En avançant du point 0
au point 4 à une vitesse
constante
puis
en
revenant vers le point
0 à la même vitesse, on
trace
une
courbe
constituée de deux
segments de droite.
Les fonctions sont utilisées dans de très nombreux champs
scientifiques comme l'étude des phénomènes radioactifs.
Par exemple, le carbone 14 se désintègre à raison de 50% des
atomes tous les 5730 ans environ. La courbe ci-contre indique
le pourcentage d'atomes de carbone 14 restant en fonction du
temps. C'est cette fonction qui est utilisée pour la technique de
datation au carbone 14.
13 – Toucher les fonctions mathématiques
Les rambardes de ce pont prennent la forme de courbes mathématiques. L’idée de cette
manipulation est d’appréhender par le toucher certaines caractéristiques des fonctions
mathématiques. D’un côté, il s’agit d’une courbe continue, de l’autre, d’une courbe
discontinue.
Les fonctions mathématiques peuvent être
caractérisées de plusieurs façons. Une des
caractéristiques les plus faciles à observer
est la continuité.
Intuitivement, une fonction est continue si sa
courbe représentative peut être tracée sans
lever le crayon.
Pour observer des phénomènes discontinus, il
faut s'intéresser aux activités humaines. Par
exemple, si on étudie le solde d'un compte
bancaire en fonction du temps, on obtient une
fonction discontinue : chaque retrait ou dépôt
d'argent cause une discontinuité. Il s'agit d'une
fonction constante par morceaux.
Une fonction discontinue
Le concept de continuité est à la base d'un
théorème important en mathématiques, le
théorème des valeurs intermédiaires.
Une fonction continue
De façon plus précise, cela signifie que des
petites variations dans les valeurs du
paramètre entraîneront des petites variations
dans les résultats.
Un exemple classique de phénomène continu
est la croissance d'une plante. Si on mesure
la taille d'une plante en fonction du temps,
on obtient une fonction naturellement
continue : la plante ne peut passer
instantanément d'une taille à une autre taille
totalement différente.
En fait, tous les phénomènes naturels sont
continus.
Par exemple, si un enfant mesure 95 cm le jour
de ces 3 ans et 102 cm le jour de ses 4 ans.
Alors, il y a forcément eu un moment au cours
de l'année écoulée où il mesurait exactement
100 cm. En effet, puisque la croissance est un
phénomène continu, il n'est pas possible que
l'enfant soit passé directement de 99 cm à 101
cm.
A l'inverse, cette propriété n'est pas vraie pour
des phénomènes discontinus. Dans l'exemple du
compte bancaire, il est tout à fait possible que
celui-ci ne soit jamais égal à une valeur
précise, par exemple 2000 euros.
Le montant de l'impôt sur le revenu est calculé pour
chaque foyer en fonction des revenus et du nombre de
personnes. On utilise un système de tranches qui peut
faire penser que l'impôt est discontinu : en gagnant
légèrement plus, on risque de changer de tranche et de
payer beaucoup plus. Ce raisonnement est faux, car
l'impôt sur le revenu est continu : des petites
variations dans le revenu entraînent des petites
variations dans l'impôt et on peut tracer la courbe sans
lever le crayon.
14 - Le théorème de Pythagore en surface
En faisant pivoter les plaques, on peut vérifier visuellement le théorème de Pythagore
appliqué au triangle rectangle au centre de la table.
Avec 2 plaques on construit un carré de côté égal au côté jaune du triangle, et avec les 2
autres, un carré de côté égal au côté rouge. Et en assemblant les 4 plaques, on construit
un carré dont le côté est égal au plus grand côté du triangle : son hypoténuse.
Le fameux théorème de Pythagore affirme
que « le carré de l'hypoténuse d'un triangle
rectangle est égal à la somme des carrés des
deux autres côtés. » Géométriquement, cela
signifie que l'aire du carré construit sur
l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale
à la somme des aires des carrés construits sur
les deux autres côtés.
La
démonstration
présentée
sur
la
manipulation est basée sur un découpage des
carrés construits sur les deux plus petits
côtés et un réarrangement des pièces ainsi
obtenues pour former le carré de
l'hypoténuse.
Elle
présente
un
des
découpages possible. Un autre découpage est
proposé ci-dessous.
Une preuve géométrique du cas (3;4;5)
apparaît dans un texte chinois, le Zhou Bi
Suan Jing, datant du premier siècle avant
J.C.
Illustration de la démonstration géométrique
présente dans le Zhou Bi Suan Jing
Il y a 2 façons d’enlever 4 triangles
rectangles de côtés a, b, c, où c est
l'hypoténuse, à un carré de côté a+b.
Dans le premier cas, il reste un carré de côté
c. Dans le deuxième cas, il reste un carré de
côté a et un carré de côté b.
Ce fameux théorème est associé au
philosophe et mathématicien grec Pythagore.
Cependant, même s'il est certain que
Pythagore a travaillé sur ce sujet, la
propriété était connue bien avant, dans
plusieurs régions du monde.
Les surfaces restantes étant forcément
égales, on en déduit que c²=a²+b².
Il est facile de trouver trois entiers non nuls x, y, z, tels que x²+y²=z². Il suffit, d'après
le théorème de Pythagore, de prendre les longueurs des côtés d'un triangle rectangle.
Mais est-ce possible pour une puissance plus élevée, par exemple x 3+y3=z3 ?
Le mathématicien français Pierre de Fermat affirma en 1637 que c'était impossible. Mais
ce n'est qu'en 1994 que l'anglais Andrew Wiles parvint à le démontrer. La recherche d'une
démonstration a été pendant plus de 300 ans le moteur d'avancées essentielles en
mathématiques.
15 - Le théorème de Pythagore en poids
Cette manipulation est une démonstration expérimentale du théorème de Pythagore.
Les 3 pièces carrées colorées sont construites avec le même matériau et ont la même
épaisseur. Le côté de chacun de ces carrés est égal au côté de même couleur sur le
triangle au centre de la table.
On vérifie avec la balance que le poids du
grand carré (correspondant à l'hypoténuse du
triangle) s’équilibre avec celui des 2 autres
carrés ensemble. D'après le théorème de
Pythagore, la surface du carré construit sur
l'hypoténuse d'un triangle rectangle est égale
à la somme des surfaces des carrés construits
sur les 2 autres côtés.
On peut le démontrer pour une forme simple
comme le triangle.
Considérons un triangle rectangle et
construisons sur chacun de ses côtés un
triangle équilatéral.
Mais que se passe-t-il si l'on considère une
autre forme que le carré ?
3 triangles
équilatéraux
autour d'un
triangle rectangle
Dans la manipulation, les 3 étoiles à 5
branches correspondent chacune à un côté
du triangle de référence :
3 étoiles à 5 branches
autour d'un triangle
rectangle
L'aire du grand triangle est-elle égale à la
somme des aires des deux autres triangles ?
2 3
L'aire du grand triangle est égale à c
et
4
celles des deux autres triangles respectivement
2 3
2 3
à a
et b
.
4
4
Or, d'après le théorème de Pythagore, on sait
que c²=a²+b². Par conséquent
c
2
 3 = a2b2   3
4
4
et donc
On vérifie avec la balance que le poids de la
grande étoile est égal au poids total des 2
autres.
De manière générale, la propriété reste vraie
pour toutes figures planes de même forme
construites à partir des côtés d'un triangle
rectangle.
c
2
 3 =a2  3 b 2  3
4
4
4
La propriété est donc vraie aussi pour des
triangles équilatéraux. Elle l'est aussi pour
les plaques en forme de lapin, comme on
peut le vérifier avec la balance.
Des figures sont dites semblables si elles ont exactement la même
forme, mais pas forcément les même dimensions. C'est le cas des 3
étoiles ou des 3 lapins proposés dans la manipulation. Quand on
construit des figures semblables et de même épaisseur avec un même
matériau, leurs masses sont proportionnelles à leurs surfaces. On peut
ainsi vérifier le théorème de Pythagore, qui concerne les aires, en
pesant les figures.
16 – Le kaléidoscope géant
Ce kaléidoscope géant est constitué de 3 miroirs placés pour former un prisme vide dont
les angles mesurent 60°. Par le jeu des réflexions multiples et successives d’un miroir
vers l’autre, il se crée une infinité de reflets.
Dans le kaléidoscope de la manipulation,
c’est l’observateur qui, de par sa position au
centre du prisme, est l'objet des réflexions
successives.
Dans un kaléidoscope classique, l'observateur
regarde, à travers le tube formé par les 3
miroirs, les réflexions multiples d’un objet
positionné au bout du tube.
Le motif qui se reflète est un triangle
équilatéral (ouverture du tube). Il est répété
une première fois par symétrie sur chacun
des miroirs, puis chaque reflet se reflète à
son tour, créant une mosaïque infinie.
L'ensemble de l'image peut ainsi être
découpé en triangles équilatéraux.
On y trouve des symétries de deux types :
● axiales, avec comme axe les lignes
parallèles aux côtés du triangle initial ;
● par rotation de 120° (horaire ou
antihoraire) avec comme centre de rotation
tous les sommets des triangles.
En plaçant les 3 miroirs avec des angles
différents, on obtient des groupes de
symétries différents.
Avec un kaléidoscope à 3 miroirs, placés avec
des angles de 60° comme dans la
manipulation, on obtient des images comme
celle ci-dessous :
Par exemple, en choisissant les angles 30°,
60° et 90°, la figure de base est un triangle
rectangle, moitié d'un triangle équilatéral.
12 exemplaires de ce triangle forment un
hexagone.
L'étude des groupes de symétries est un
domaine historiquement très important des
mathématiques. C'est un des sujets qui a
donné naissance à la théorie des groupes.
On rencontre de nombreux objets symétriques dans la nature.
Par exemple, certaines fleurs possèdent les mêmes symétries qu'un
pentagone régulier. Certains flocons de neige présentent les
mêmes symétries que l'image obtenue avec un kaléidoscope 30°,
60°, 90°.
17 - Les films de savon fantastiques
Des armatures de formes géométriques différentes sont plongées dans un bac d’eau
savonneuse. Quand on les sort, les films de savon s’organisent selon une surface
différente.
En plongeant une armature métallique dans
de l'eau savonneuse, on impose des
contraintes au film et on obtient des formes
très diverses.
Les films de savon créés à partir des
armatures proposées sont des surfaces
minimales. En effet, le film de savon a
tendance à prendre la forme qui lui assure la
plus grande stabilité, c'est-à-dire telle que la
surface de contact avec l'air ambiant soit
minimale.
●
En
plongeant
une
armature
cubique,
on
obtient tout d'abord la
première
configuration
illustrée ci-dessous.
● Cette configuration n'est
pas stable et se déforme
petit à petit pour donner
celle
de
la
seconde
illustration.
Pour comprendre le problème, on peut
d'abord l'étudier en 2 dimensions. Pour une
aire donnée, quelle est la figure dont le
périmètre est minimal ? Par exemple si on
veut construire un enclos d'aire donnée,
quelle forme faut-il choisir pour utiliser la
plus courte longueur de clôture ?
● Considérons un carré de côté c. Son
périmètre est P=4c et son aire est A=c². Donc
c= A , ce qui permet d'exprimer le
périmètre en fonction de l'aire : P =4  A .
● Étudions à présent un cercle de rayon r.
Son périmètre est P=2πr et son aire est
A
A
A=πr². Donc r²=
c'est à dire r=


On peut alors exprimer le périmètre en
 A =2    A .
fonction de l'aire : P =2

Puisque 2 ≈3.5444 , le périmètre du
cercle est plus court que celui du carré. Donc,
le cercle est une meilleure solution que le
carré pour ce problème. C'est en fait la solution
optimale.
● Si l'on replonge alors
l'armature
dans
l'eau
savonneuse, on enferme un
certain volume d'air sous le
carré central, et on obtient
la troisième configuration.
Un carré et un cercle de même aire.
Le périmètre du cercle est plus court.
Sans aucune armature, la surface minimale
doit contenir un volume d'air donné. Le
problème revient donc à trouver la surface
minimale enfermant un volume donné. Cette
surface est la sphère.
De la même façon, on peut démontrer que
c’est la sphère qui est la forme optimale en 3
dimensions.
Le stade olympique de Munich a été construit pour les
jeux olympiques d'été de 1972 et était alors considéré
comme révolutionnaire par son design et les méthodes de
constructions utilisées. Son toit est composé de surfaces
minimales en plexiglas sur une armature de câbles
d'acier. Mais ce n'était pas la première utilisation des
surfaces minimales en architecture : l'igloo en est une, sa
forme optimise le volume à chauffer.
18 - A vous de construire !
En utilisant les pièces de ce jeu (Polydron), vous pouvez construire différents polyèdres.
Les polyèdres sont classés en plusieurs
familles, en particulier les polyèdres
convexes, dont tous les sommets sont
saillants.
● Les solides de Platon ont des faces
identiques et des arêtes de même longueur. Il
en existe 5.
Le dodécaèdre
est un solide de
Platon
● Les solides d'Archimède sont des solides
symétriques formés de faces d'au moins 2
types différents, avec des arêtes de même
longueur. Il en existe 13.
Le cuboctaèdre tronqué
est un solide d'Archimède.
Il a 12 faces carrées, 8 faces
hexagonales et 6 faces
octogonales
● Les prismes droits sont des polyèdres
constitués de deux faces parallèles,
polygones réguliers à n côtés, reliées par n
faces rectangulaires.
Un prisme droit
hexagonal.
● Les antiprismes droits sont comme les
prismes des polyèdres possédant 2 faces
parallèles, polygones réguliers à n côtés. Mais
ces 2 faces sont reliées par une bande de 2n
faces triangulaires alternées.
Un antiprisme
droit pentagonal.
● Les pyramides sont des solides dont tous
les sommets sauf un (l'apex) sont inclus dans
le même plan (la base). Le plus célèbre de
ces solides est la pyramide à base carré,
comme par exemple la grande pyramide de
Gizeh.
● Les solides de Johnson sont des solides
dont toutes les arêtes sont de mêmes
longueur, c'est-à-dire dont les faces sont des
polygones réguliers, et qui n'est ni un solide
de Platon, ni d'Archimède, ni un prisme, ni
un antiprisme. Certaines pyramides peuvent
être des solides de Johnson. Il s'avère que les
faces d'un solide de Johnson ne peuvent avoir
que 3, 4, 5, 6, 8 ou 10 côtés.
En 1966, Norman Johnson publia la liste des
92 solides qui portent depuis son nom, mais
sans démontrer que sa liste était complète.
Une pyramide à base
pentagonale est aussi un
solide de Johnson
L'un des solides d'Archimède les plus répandus est l'icosaèdre
tronqué. Les ballons de football sont construits sur ce
modèle. Les atomes du composé chimique
buckminsterfullerène (C 60) sont les sommets d'un icosaèdre
tronqué, ce qui lui vaut le nom de footballène.
25 – Décrypter le code
La série de lettres présentée est un code que vous devez décrypter. Chaque lettre du
message à trouver a été remplacée par une autre lettre.
La cryptographie est la science de dissimuler
des messages en utilisant des codes secrets.
Dans les messages proposés, l'alphabet a été
mélangé : il s'agit d'un code par substitution.
Comme chaque lettre est codée par une
unique lettre tout au long du message, il
s'agit d'un code mono-alphabétique.
Pour le décoder, on peut commencer par
étudier la fréquence d'apparition de chaque
symbole et comparer les résultats obtenus
avec les fréquences dans la langue du
message. On trouve facilement quel symbole
représente la lettre E, la plus fréquente en
français, puis par déductions successives les
autres lettres.
20
Par exemple, avec un décalage de 4, tous les
A deviennent des D, tous les B deviennent
des E et ainsi de suite. Le message VENI,
VIDI, VICI devient alors YHQL, YLGL, YLFL.
Cette technique assure un minimum de
sureté,
puisque
quelqu'un
apercevant
rapidement le message ne pourra pas le lire.
Mais une étude rapide permet facilement de
casser le code, car il n'y a que 26 possibilités.
Au cours des siècles, des codes plus complexes
ont été utilisés. On peut citer en particulier le
code de Vigenère, aussi connu sous le nom de
« Chiffre Indéchiffrable ». L'idée de ce code est
de changer d'alphabet de substitution tout au
long du message. Une même lettre du message
d'origine est alors codée par différentes lettres,
ce qui rend le décryptage plus difficile, mais
pas impossible.
15
10
5
0
A B C D E F G H I J K L MNO P Q R S T U VWX Y Z
Fréquences des lettres en français
L'un des premiers codes connus est le code
de César. Il s'agit simplement de décaler
toutes les lettres du message dans l'alphabet.
Pendant la seconde
guerre
mondiale,
l'Allemagne mit au
point la machine à
coder Enigma. A partir
d'une configuration de
départ, qui changeait
tous les jours, les
opérateurs
codaient
des messages en tapant
simplement sur un
clavier. Chaque fois Une machine Enigma
qu'une touche était enfoncée, la configuration
de la machine, et donc le code utilisé, étaient
modifiés. Grâce à un ingénieux système de
réflecteurs, pour décoder un message reçu il
suffisait de partir de la même configuration de
départ et de saisir les lettres du message codé.
Le principe du code de César
Même si un code doit être assez résistant pour ne pas être cassé
par quelqu'un qui intercepterait le message, il est toutefois
important qu'il soit décodable par le destinataire. Ce n'est pas
toujours le cas. Ainsi, plusieurs messages codés sont toujours
incompréhensibles plusieurs années après leur publication. On peut
citer par exemple les chiffres de Beale, le message d'Edgar Elgar à
Dora Penny ou le manuscrit de Voynich, dont un détail est
reproduit ci-contre.
19 – Le pont de Léonard de Vinci
Cette manipulation permet de construire un pont autoportant : pas besoin de vis, de
clous ou de colle pour le faire tenir. Le principe, découvert par Léonard de Vinci, est de
commencer à construire un petit pont en suivant le modèle puis de l’agrandir en répétant
la même technique.
Les étapes de construction sont montrées cidessous :
On évoque un objectif militaire pour ce
projet : fournir un pont facile à monter, dont
les éléments peuvent être transportés
aisément.
Cette idée semble correspondre à des écrits
de Léonard de Vinci, qui en 1482, dans une
lettre du duc Sforza, écrivait :
« Je peux construire des ponts très
légers, solides, robustes, incombustibles,
facilement transportables, donnant le
moyen de poursuivre et, quelquefois de
fuir l'ennemi . »
Parmi les schémas du Codex Atlanticus,
(recueil de travaux de Léonard de Vinci)
figure celui d'un pont qui semble être bâtit
sur ce principe.
Un tel pont a été construit à Fribourg, audessus d'une route.
Pont de Léonard de Vinci construit à Fribourg
Dessin original de Léonard de Vinci
L'interprétation classique de ce schéma est
qu'il présente un concept de pont
autoportant, qui ne nécessite aucun moyen
de fixation. C'est le propre poids de ses
parties qui assure la solidité et la stabilité du
pont.
Mais des problèmes se posent si l'on veut
utiliser cette méthode pour traverser une
rivière. En effet, les étapes de la
construction imposent que l'on ait des points
de support entre les deux extrémités finales
du pont.
Une autre interprétation des schémas de De Vinci est
proposée par Hugh Thomson. Cette hypothèse s'appuie sur
d'autres schémas du même feuillet du Codex Atlanticus. Il
s'agirait d 'un pont dépliable, avec des éléments de
fixation,mais facile à transporter et à installer avec un seul
point d’appui (au départ).
http://www.youtube.com/watch?v=L9d_ltQrrEw
20 – Quelle piste est la plus rapide ?
Le plus court chemin entre 2 points est la ligne droite. Mais est-ce le chemin le plus
rapide ? Lâchez simultanément des balles du haut des pistes proposées. Quelle piste
permet la descente la plus rapide ?
On a tendance à penser que c’est la piste
centrale qui est la plus rapide, car c’est la
plus courte. Mais en fait, ce sont les 2 pistes
latérales qui assurent le trajet le plus rapide.
La forme de ces pistes est appelée courbe
brachistochrone (du grec brachistos, le plus
court, et chronos, le temps).
Il s'agit donc de la courbe qui permet à un
objet de faire le trajet entre 2 points en un
minimum de temps, en supposant que sa
vitesse initiale soit nulle, qu'il ne puisse pas
dévier de sa trajectoire et qu'il ne soit
soumis qu'à la force de gravité.
C'est le mathématicien Suisse Jean Bernoulli
qui prouva en 1696 que cette courbe était
une cycloïde.
Cette courbe est obtenue en suivant le trajet
d'un point fixe sur un cercle, pendant que ce
cercle roule le long d'un axe. C'est par
exemple le parcours d'un chewing-gum collé
sur une roue de vélo !
La cycloïde définie par le
mouvement d'un cercle de rayon 1.
Pour arriver à ce résultat, Bernoulli s'inspira
d'une démonstration plus ancienne, celle de
la tautochrone. Il s'agissait de trouver une
courbe telle que le temps de parcours d'un
objet sur celle-ci jusqu'au point final soit
toujours le même, quel que soit le point de
départ.
Sur la figure ci-dessous, 4 objets partent au
même instant de 4 points différents placés à
des distances différentes le long de la
courbe.
Les 4 courbes tracées en haut à droite
représentent la distance parcourue par
chaque objet en fonction du temps :
● t est le temps écoulé depuis le départ des
objets ;
● s est la distance entre la position de l'objet
et l'extrémité gauche de la trajectoire.
A l'instant t=0, l'objet blanc est à l'extrémité
de la trajectoire, donc s=0. La courbe
correspondant à cet objet part donc du point
de coordonnées (0,0). Les autres courbes
partent du point d'abscisse 0 et d'ordonnée
égale à la distance entre le point de départ
de l'objet et l'extrémité gauche de la
trajectoire.
La vitesse de chaque objet est représentée
par la pente de sa courbe. On constate ainsi
que quand l'objet blanc rattrape le point de
départ du deuxième objet, il a atteint une
vitesse supérieure. Et on observe que les 4
objets atteignent le point d'arrivée au même
instant t.
Du fait de ses propriétés d'accélération, la brachistochrone
est utilisée dans certains sports de glisse, comme par
exemple pour construire les pistes de skateboard.
C'est aussi la forme des vagues qui permettent en surf
d'atteindre les vitesses les plus élevées.
21 – La roue carrée
Dans cette manipulation vous pouvez déplacer les roues carrées le long de la piste sans
qu'elles ne glissent ni ne se bloquent. Tout dépend de la forme de la piste !
Faire rouler une roue carrée sur une route
plane est impossible. Une fois qu'un des côtés
du carré est en contact avec la route, il est
difficile de poursuivre le mouvement. A
l'inverse quand un coin touche le sol, la
position est très instable.
On peut construire ainsi des routes adaptées
à n'importe quel polygone régulier. Il suffit de
coller des morceaux de « chaînettes »
appropriées. Cependant, en pratique, le cas
du triangle est impossible car la pointe
resterait coincée dans l'angle entre deux
courbes.
Un carré trop stable et un carré instable
Mais c'est toutefois possible à condition de
construire une route bien adaptée.
Ce principe a été mis en pratique pour
construire un vélo et une piste dans le
laboratoire de Merlin.
On peut noter que plus le polygone a de
côtés, autrement dit plus il ressemble à un
cercle, plus la route est plate.
On trouve aussi des
courbes très proches de
la
chaînette
en
architecture, comme la
Gateway Arch à St
Louis. Cette courbe
assure en effet une
très grande solidité
pour les voûtes.
Vélo à roue carrée du laboratoire de Merlin
Gateway Arch
On peut observer de nombreux exemples de chaînettes dans
la nature ou les activités humaines. Par exemple, les fils
de soie d'une toile d'araignée forment ce type de courbe.
22 – Drôles de roues !
Dans cette manipulation, vous pouvez faire rouler un plateau sur des roues de formes
surprenantes. Elles ne sont pas circulaires, et pourtant le plateau se déplace bien
horizontalement. Il s'agit de figures de largeur constante.
Une figure de largeur constante est une
figure que l'on peut faire rouler entre 2 plans
parallèles de telle sorte qu'elle reste
constamment en contact avec les 2 plans. La
plus simple figure de largeur constante est le
cercle.
La manipulation propose 2 autres figures de
largeur constante.
● Un heptagone (7 côtés)
Cette figure est constituée de 7 arcs de
cercle de même longueur et de même
courbure.
Comme dans le cas du triangle de Reuleaux, il
faut partir d'un heptagone et tracer sur chacun
de ses côtés un cercle centré au sommet
opposé.
● Le triangle de Reuleaux
Cette figure fut étudiée au 19ème siècle par
l'ingénieur allemand Franz Reuleaux, et porte
depuis son nom.
Le triangle de Reuleaux est constitué de 3
arcs de cercle de même longueur et de
même courbure.
Pour construire cette figure, il faut partir
d'un triangle équilatéral et tracer sur chacun
de ses côtés un arc de cercle centré au
sommet opposé.
Construction d'un heptagone de largeur constante
Cette forme est celle de la
pièce de 20 pence anglaise.
Du fait de sa largeur constante,
cette pièce est facilement
reconnue par les distributeurs
automatiques anglais. De plus,
elle ne peut pas se coincer.
Construction du triangle de Reuleaux
On peut appliquer la même technique à
partir de n'importe quel polygone régulier
dont le nombre de côtés est impair. Ce n'est
pas possible quand le nombre de côtés est
pair, car il faut que chaque côté soit opposé
à un sommet.
Pourquoi les couvercles de bouches d'égouts sont-ils ronds ?
Tout simplement pour éviter qu'ils tombent dans le trou quand on les
déplace. Cela pourrait arriver avec un trou de forme carrée, puisque
la diagonale est plus longue que le côté.
Mais n'importe quelle figure de largeur constante peut donc être
utilisée, et on trouve d'ailleurs à San Francisco des bouches d'égouts
proche du triangle de Reuleaux.
23 – Triangles projetés
Placez une armature triangulaire dans le faisceau lumineux. En le tournant, il faut
superposer son ombre sur le tableau avec l’un des triangles équilatéraux de l’affiche. Estce possible avec toutes les armatures ?
Dans cette manipulation, on observe des
ombres créées par une source ponctuelle de
lumière.
La taille de l'ombre dépend de la position de
l'objet entre la source et le tableau ainsi que
de l'angle entre l'objet et le tableau.
Pour obtenir une ombre équilatérale à partir
d'une armature triangulaire quelconque, il faut
prendre en compte le fait que chaque côté de
l'armature va se projeter différemment. Par
exemple quand un des côtés est parallèle au
tableau, les autres ne le sont pas forcément.
En variant la distance et l'angle, on peut donc
obtenir une ombre de n'importe quelle
longueur.
Lorsque la source lumineuse est le soleil,
l'ombre est modélisée différemment. En effet,
le soleil est situé tellement loin qu'on ne peut
pas le considérer comme une source
ponctuelle.
L'ombre est alors créée par des rayons
lumineux tous parallèles.
Considérons que l'objet placé dans la source
lumineuse est une tige droite.
● Si l'objet est parallèle au tableau et situé à
mi-chemin entre celui-ci et la source
lumineuse, l'ombre sera exactement 2 fois
plus longue que l'objet. Il s'agit d'un cas
particulier du théorème de Thalès.
● Si on approche l'objet de la source
lumineuse en le laissant parallèle au tableau,
la taille de l'ombre augmente. Si on
s'approche du tableau, elle diminue.
On peut aussi faire diminuer la taille de
l'ombre en inclinant l'objet par rapport au
tableau.
Quand la direction des rayons lumineux est
perpendiculaire à la surface de projection,
on parle de projection orthogonale, sinon de
projection oblique.
Une projection oblique avec un angle très
prononcé donne des ombres très allongées.
Cela correspond aux ombres sur le sol en
début et en fin de journée, quand l'angle des
rayons du soleil est le plus prononcé.
L'étude mathématique des
ombres a une application directe
dans la création d'images en 3D.
Une image sans ombre est
nettement moins réaliste.
24 – Estimer le nombre de bonbons
Peut-on compter le nombre de bonbons sur ce panneau sans se tromper ? C'est
pratiquement impossible. Mais on peut en obtenir une estimation en comptant le nombre
de bonbons dans un des cercles fournis.
Les cercles fournis ont une aire égale à
1/100ème de celle du panneau. Pour estimer
le nombre de bonbons sur le panneau, on
peut donc compter le nombre de bonbons
dans un cercle et multiplier le résultat par
100.
Le cercle représente en fait un échantillon
de la population totale de bonbons présente
sur le tableau.
On peut estimer le nombre de bonbons par
cette méthode car leur répartition est
homogène. Les valeurs trouvées en plaçant le
cercle à différentes positions seront proches les
unes des autres. Mais elles ne seront pas
égales. C'est ce phénomène qui est appelé
fluctuation d'échantillonnage.
En pratique, plus l'échantillon est petit, plus
les fluctuations sont grandes. Précisément,
on démontre que pour un échantillon de
taille n, les fluctuations sont de l'ordre de
1
. Pour un échantillon de taille 1000,
n
cela fait environ 3%.
Pour affiner l'estimation, on peut répéter
plusieurs fois l'opération et faire la moyenne
des résultats obtenus. Dans la manipulation,
on pourrait aussi recommencer l'estimation
avec des cercles de tailles différentes et
effectuer
la
moyenne
pondérée
de
l'ensemble des résultats.
On utilise cette technique dans de nombreux
domaines :
● Pour estimer la concentration de bactéries
dans un prélèvement biologique on prélève 3
échantillons de volumes respectifs 1 ml, 0,1 ml
et 0,01 ml et on compte les colonies de
bactéries de chacun de ces échantillons. Si l'on
obtient respectivement 28, 4 et 0 colonies, la
concentration, en nombre de colonies par ml
sera estimée à
2840
[C]=
=29
10,10,01
● C’est la même technique qui est utilisée
pour évaluer la concentration en plaquettes
dans le sang d'un patient.
La plupart des sondages d'opinion sont
effectués sur des échantillons de 1000
personnes. Les fluctuations sur les résultats
de tels sondages sont alors
de l'ordre de 3%. Un
Candidat
A
résultat annoncé de 52% Candidat
C
d'intentions
de
votes
Candidat
devrait donc être plutôt
B
donné sous la forme d'un
intervalle : entre 49% et
55%.
On désigne par l’anglicisme « subitiser » la capacité de juger d’un seul
coup d’œil un nombre d’objet sans avoir à les compter. Il semble
qu’elle soit limitée à 7 objets.
Par exemple il est possible de « subitiser » le nombre d’étoiles grises ou
noires mais pas le nombre total d’étoiles.
Dans une scène du film Rain Man, Dustin Hoffman dénombre d’un seul
coup d’œil 246 cure-dents tombés au sol. Il énonce : « 82...82...82...246
cure-dents ». Cela est en fait impossible.
26 – Mozart, le jeu de dés musical
Ce jeu, attribué à Mozart, permet de construire aléatoirement un menuet, courte pièce
musicale de 16 mesures. Pour cela, on lance 16 fois une paire de dés.
Cette manipulation est inspirée d'un jeu de
construction musicale, publié en 1792 par
l'éditeur berlinois de Mozart. Il n'est pas
certain que Mozart lui-même l'ait développé,
mais comme beaucoup de compositeurs de
l'époque, il était intéressé par ce genre de
procédés.
Un menuet est construit en 2 parties de 16
mesures chacune. On joue la première
partie, puis la deuxième (appelée trio), puis
on reprend la première.
Dans ce jeu, on construit la première partie
d'un menuet en lançant 2 dés.
Pour chaque mesure, on jette les 2 dés et on
fait la somme des chiffres. On obtient ainsi
un nombre entre 2 et 12, soit 11 possibilités.
Comme il y a 16 mesures, on recommence 16
fois.
Il y a ainsi 11 possibilités pour chacune des
16 mesures, ce qui fait 1116 possibilités en
tout.
Pour chaque mesure, le nombre obtenu
correspond à une portion musicale existante.
De plus, pour chaque mesure, les 11 portions
musicales à disposition sont différentes de
celles des autres mesures.
En tout, il y a donc 11x16=176 portions
musicales différentes qui peuvent intervenir
dans la composition.
L'ordinateur joue la première partie de menuet
ainsi constituée, en mettant bout à bout les 16
portions musicales correspondant aux 16
lancers. On entend ainsi l'une des 1116 versions
possibles.
Mais toutes ces versions n'ont pas autant de
chances de se produire. En effet, l'utilisation
de 2 dés ne donne pas des résultats
équiprobables. Par exemple, pour obtenir la
somme 2, la seule possibilité est d'obtenir 2
fois le chiffre 1. Par contre, il y a 6 façons
d'obtenir le chiffre 7 : 1+6, 2+5, 3+4, 4+3,
5+2 et 6+1.
Dans le jeu publié en 1792, la deuxième partie
du menuet, le trio, est construite avec un seul
dé. Pour chaque mesure, il y a 6 possibilités, ce
qui fait en tout 616 versions possibles.
Le nombre total de menuets possibles est
donc égal à 1116 x 616, c'est à dire plus de
1029 : un 1 suivi de 29 zéros !
Le
site
internet
de
John
Chuang
http://sunsite.univie.ac.at/Mozart/dice/
permet de créer des menuets aléatoires
suivant cette méthode et de les écouter.
D'autres œuvres artistiques sont basées sur le même principe.
En 1961, le poète français Raymond Queneau publia un recueil
de 10 pages intitulé Cent Mille Milliards de Poèmes.
Chaque page contient un sonnet de 14 vers, mais elle est
découpée de sorte qu'on puisse constituer un nouveau sonnet en
choisissant des pages différentes pour chaque vers. Il y a donc
bien 1014 poèmes possibles, c'est-à-dire cent mille milliards.
27 – La planche de Sir Galton
Dans ce jeu, une bille est lâchée en haut d'une planche à clous. En arrivant sur chaque clou,
la bille peut tomber à droite ou à gauche. Il est donc impossible de prévoir à l'avance dans
quel godet elle tombera en bas de la planche. A vous de parier !
Dans
cette
manipulation
, il y a 10
rangées
de
clous et 11
réceptacles
dans lesquels
elles peuvent
aboutir
à
l’issue
de
leur chute.
Ce dispositif
a été inventé par le scientifique anglais
Francis Galton et est connu depuis sous le
nom de « planche de Galton ». Son objectif
était d'illustrer en pratique le théorème
central limite.
La bille n'a pas autant de chances de tomber
dans chacun des réceptacles :
Sur chaque clou, la bille a autant de chance
d’aller à droite (D) qu’à gauche (G), et
comme le parcours est une succession de 10
chutes, il y a en tout 210 parcours possibles.
 Il n’y a qu’une seule possibilité pour que la
bille tombe dans le réceptacle le plus à
gauche. Il faut qu'elle suive le parcours GG-G-G-G-G-G-G-G-G.
 Par contre, il y a 10 parcours qui mènent au
deuxième réceptacle en partant de la
gauche. La bille peut suivre le parcours DG-G-G-G-G-G-G-G-G ou G-D-G-G-G-G-G-GG-G ou … en fait tout parcours constitué
d'un D et de 9 G. Il y a donc 10 parcours qui
mènent à ce réceptacle.
 De manière analogue, pour que la bille
arrive dans le 3ème réceptacle à partir de la
gauche, il faut qu’elle suive un parcours qui
comporte 2 D et 8 G. Pour les compter, il
faut dénombrer le nombre de façons de
choisir les positions des 2 D parmi les 10
positions possibles.
En mathématiques, ce nombre est appelé le
nombre de combinaisons. Dont la formule
est :
Dans le cas où l’on cherche le nombre de
combinaisons possibles de p éléments dans
un ensemble de n éléments.
Dans notre cas, p =2 et n=10, donc on a :
ଵ଴ൈଽൈ଼ൈ଻ൈ଺ൈହൈସൈଷൈଶൈଵ
= 45 parcours possibles.
ଶൈଵൈሺ଼ൈ଻ൈ଺ൈହൈସൈଷൈଶൈଵሻ
On calcule de la même façon le nombre de
parcours menant aux autres réceptacles :
 4ème réceptacle : nombre de combinaisons
de 3 éléments parmi 10, soit 120
 5ème réceptacle : nombre de combinaisons
de 4 éléments parmi 10, soit 210
 6ème réceptacle : nombre de combinaisons
de 5 éléments parmi 10, soit 252
 Pour les réceptacles suivants, on retrouve
les mêmes valeurs par symétrie. Le tableau
ci-dessous donne l'ensemble des résultats.
I
II
III
IV
V
VI
VII VIII IX
X
XI
1
10 45 120 210 252 210 120 45 10
1
On peut observer que la somme de ces résultats
est bien égale à 210, soit 1024.
En effectuant un grand nombre de lancers,
on s'approche des pourcentages théoriques,
et on obtient une figure proche de celle-ci :
La courbe tracée en blanc est appelée courbe
de Gauss. On constate que la distribution des
billes
s'approche
de
cette
courbe.
La courbe de Gauss apparaît dans de nombreux
phénomènes naturels ou liés à l'activité humaine,
quand les valeurs se groupent autour de la valeur
moyenne, avec des valeurs extrêmes très rares.
C'est le cas par exemple pour les tests de QI. La
plupart des personnes ont un QI proche de la
moyenne, 100.
28 – Fais le bon choix !
L'une de ces trois caisses contient un trésor, les deux autres, une chèvre.
Etape 1 : choisissez une caisse.
Etape 2 : l’ordinateur révèle une des 2 autres caisses qui contient une chèvre.
Etape 3 : vous pouvez conserver votre choix initial ou changer d'avis.
Quelle est la bonne stratégie ?
 A l’étape 1, la probabilité d’avoir choisi la
caisse contenant le trésor est de 1/3. Celle
d’avoir choisi une caisse contenant une
chèvre est de 2/3.
 L’étape 2 est cruciale : parce que
l’ordinateur désigne forcément une caisse
qui contient une chèvre.
 A l’étape 3 : la probabilité de trouver la
bonne caisse est de 1/3 si vous gardez votre
choix initial et de 2/3 si vous changez votre
choix.
On a tendance à croire qu’à l’étape 3, la
probabilité de trouver le trésor est passée à
1/2, indépendamment du fait que l'on change
ou pas de choix, car il reste 2 caisses. Mais,
en fait, ce n'est pas le cas.
Pourquoi ? Car en révélant une caisse
« chèvre », l’ordinateur a fourni une nouvelle
information qui permet d’orienter votre
choix à l’étape 3.
 Si vous gardez votre choix, vous ne la
prenez pas en compte, et vous gardez la
probabilité initiale de gagner : 1/3
 Si vous la prenez en compte, il y a 2
possibilités :
-Vous aviez choisi la bonne caisse à
l’étape 1 (probabilité 1/3). Et dans ce
cas si vous changez votre choix, vous
perdez forcément.
- Vous aviez choisi une caisse « chèvre » à
l’étape 1. (probabilité 2/3). Et dans ce
cas, si vous changez, vous gagnez
forcément.
Donc, en changeant votre choix initial vous
avez 2 chances sur 3 de gagner le butin.
Etape 1 =
Votre choix
initial
Etape 2 =
Désignation
d’une mauvaise caisse
Etape 3
OPTION 1
Garder son
choix initial
GAGNÉ
Etape 3
OPTION 2
Changer
son choix
initial
PERDU
Probabilité :
1/3
Probabilité :
1/3
Probabilité :
1/3
PERDU
GAGNÉ
Probabilité :
2/3
Probabilité :
2/3
Probabilité :
2/3
PERDU
GAGNÉ
Probabilité :
2/3
Probabilité :
2/3
Probabilité :
2/3
La version d'origine est un jeu télévisé Let's
Make a Deal où il s’agissait de choisir parmi 3
portes cachant 2 chèvres et une voiture. Le
problème porte depuis le nom du
présentateur : « le paradoxe de Monty Hall ».
Ce problème devint célèbre quand Marilyn
vos Savant y répondit dans sa chronique
mensuelle du magazine Parade.
Ce résultat si peu naturel, trouvé par
Marilyn, fût remis en doute par certains en
mathématiciens. Pourtant, elle avait bien
raison, ce qui n'est pas surprenant quand on
sait que cette femme a un QI exceptionnel,
évalué à 228 !
Un paradoxe célèbre en probabilités est celui des anniversaires.
Est-il courant dans un groupe que 2 personnes aient la même date
d'anniversaire ? Plus qu’on a tendance à le croire ! Il suffit de 23
personnes pour que cette probabilité soit supérieure à 50%, et de
35 personnes pour qu'elle dépasse 75%.
BIBLIOGRAPHIE
45 bluffs logiques et amusants
Auteur(s) : Pierre Berloquin
Editeur : ACL éditions du Kangourou
Épatez vos ami(e)s avec ces 45 tours offerts par Pierre Berloquin ; tous se font avec un matériel toujours très simple : du papier, de l'eau, des verres, des pièces de monnaie, des allumettes, des cartes, des bouchons ou, parfois même, rien. À vous de briller selon les lieux et les publics, grâce à ce petit livre qui vous permet d'avoir plus d'un tour dans votre sac en fonction des circonstances ! Et, pour chaque tour, mettez au défi vos proches de réussir eux‐mêmes ce que vous prétendez savoir‐faire… Ils en seront d'autant plus «bluffés» ! Mathémagie des pliages
Auteur(s) : Didier Boursin , Valérie Larose
Editeur : ACL - Les éditions du Kangourou
Voici un livre pour les enfants et les adultes qui aiment manipuler des ciseaux et du papier en réfléchissant, pour les amateurs de casse‐tête et de défis ou tout naturellement pour tous ceux qui ont plaisir à créer des objets simples et mathémagiques. Tous les pliages proposés ici jouent avec des mathématiques et sont réalisables avec une enveloppe ou une feuille de papier. Les maths c’est magique !
Auteur(s) : Jonnhy Ball
Traducteur : Eve Spanjaard
Editeur : Nathan
Mais comment ça marche ? Pour plonger dans cet univers étonnant, ce livre explique les origines du calcul et explore tous les aspects des maths avec des énigmes, des jeux, et même de la magie... A découvrir : D'où viennent les nombres ? Comment débusquer des nombres premiers ? Pourquoi il y a 60 minutes dans une heure et 24 heures dans une journée. Comment fabriquer " un triangle de Pascal "... A savoir : Avant l'an 600, on vivait sans le zéro. Un gogolplex est un nombre si grand qu'on remplirait l'Univers en voulant l'écrire! Pi, phi, l'infini et au‐delà... les Maths, c'est tout un monde! La logique est un jeu, les mystères de la logique enfin expliqués
Auteur : Nathalie Ruaux
Éditeur : Librio
Combien faut‐il de poils pour faire une barbe ? Et de grains pour faire un tas ? Comment déceler les pièges d'un paradoxe ? Peut‐on sortir d'un cercle vicieux ? Ne vous mettez pas la tête à l'envers : cet ouvrage va vous guider dans le labyrinthe de la logique. D'un chapitre à l'autre, vous allez découvrir les différentes formes du raisonnement et les clefs pour comprendre les règles formelles de la pensée. A travers des jeux, des énigmes, des histoires, amusez‐vous à trouver le " bon bout de la raison ". Comme Sherlock Holmes, le logicien‐détective, vous pourrez bientôt vous exclamer : " Elémentaire mon cher Watson ! ". 100 choses fondamentales dont vous ignoriez que vous les
ignoriez
Auteur : John-D Barrow
Traducteur : Jean-Louis Bas Devant
Éditeur : Viubert
Ce petit livre est fait de bric et de broc : ce sont de petites histoires sortant de l'ordinaire de l'application des mathématiques à la vie quotidienne, et d'autres histoires qui n'en sont pas très éloignées. On peut lire ces cent histoires dans l'ordre qu'on veut : il n'y a aucun ordre caché ni fil d'Ariane sous‐jacent. On ne rencontrera le plus souvent que des mots, mais quelquefois aussi des nombres et, de temps en temps, de petites explications qui révèlent les formules dissimulées sous les apparences. Devant les profondeurs de la physique fondamentale et l'immensité de l'univers astronomique, on est habitué à l'idée que les maths sont indispensables. On découvrira très vite ici que des idées simples peuvent mettre en évidence quantité de faits qui, autrement, sembleraient d'une banalité assommante ou passeraient même inaperçus. La mathématique du chat
Auteur : John-D Barrow
Traducteur : Jean-Louis Bas Devant
Éditeur : Viubert
Cet ouvrage de 192 pages recense les interventions mathématiques du Chat, et les accompagne de textes d’interprétation de l’auteur. Les nombreux amateurs du chat vont découvrir qu'en fait, ils ont régulièrement fait des mathématiques sans le savoir et que cette science qui traduit si bien les angoisses existentielles du matou matheux, rend compte aussi des nôtres. Et puis surtout, ils y trouveront la réponse à la question qu'on leur renvoie sans cesse et qui les taraude : "À quoi servent les mathématiques ?" "À comprendre les albums du Chat, bien sûr !" La bosse des maths
Auteur : Stanislas Dehaene
Editeur : Odile Jacob
Oui, la bosse des maths existe ! Enfants ou adultes, calculateurs prodiges ou simples mortels, nous venons tous au monde avec une intuition des nombres. Peut‐on localiser des zones spécifiques du cerveau ? L'imagerie cérébrale permet‐elle d'identifier les neurones dédiés aux mathématiques ? Et comment aider l'enfant qui rencontre des difficultés à calculer ? Pour comprendre pourquoi vous n'arrivez pas à retenir 7 x 8, comment une lésion cérébrale peut vous faire oublier 3 ‐ 1 ou comment apprendre à extraire la racine cinquième de 759 375, suivez l'auteur dans les circonvolutions cérébrales de La Bosse des maths ! Mon cabinet de curiosités mathématiques
Auteur : Ian Stewart
Traduction : Laurence Decréau, Anthony Truchet
Editeur : Flammarion
Avis aux collectionneurs ! La science mathématique a aussi ses curiosités. Et Ian Stewart en sait quelque chose. À l'âge de la première addition, il accumulait les énigmes mathématiques comme d'autres les coléoptères ou les blagues de Carambar. Avec lui, les maths deviennent un rébus, un conte, un grand livre d'histoires cocasses ou fascinantes. Connaissez‐vous l'oracle de Kevin Bacon ? Le point commun entre Fibonacci et une marguerite ? entre la théorie du chaos et un lave‐vaisselle ? Vous frotteriez‐vous au théorème de Pick ? à la conjecture de Poincaré ? Quelle est, d'après vous, la valeur des nombres plastiques ? Êtes‐vous capable d'entendre la forme du tambour ? Le sol de votre salle de bain dissimulerait‐il, à votre insu, un pavage de Penrose ? De quoi stimuler vos neurones, avec d'autant plus de plaisir que l'humour est au rendez‐vous. Attention, passion contagieuse ! La chasse aux trésors mathématiques
Auteur : Ian Stewart
Traduction : Olivier Courcelle
Editeur : Flammarion
De quel côté tombe un chat avec une tartine beurrée sur le dos ? Quel est le bruit du mathématicien qui se noie ? Comment faire fortune au pub ? Qu'est‐ce qu'un ours polaire ? Casse‐tête, jeux, foires aux questions, curiosités, paradoxes, anecdotes, arcanes... tout y est ! Le professeur Ian Stewart intercale allègrement un problème dû à Euclide entre l'histoire d'un roi scandinave qui joue l'une de ses îles aux dés et le calcul de la probabilité qu'ont des singes de composer par hasard les œuvres complètes de Shakespeare. Il traite de sujets historiques, tels que les nombres babyloniens, les bouliers ou les fractions égyptiennes, mais aussi de la quatrième dimension. Dans ce second volume de miscellanées mathématiques, vous croiserez Euler, Feller, Lincoln, Newton, Byron, Wittgenstein, et même Frédéric II. Vous serez captivé, surpris, parfois désarçonné. Et vous vous amuserez au moins autant que vous vous instruirez ! Remue-méninges captivants
Auteur : Martin Gardner
Traduction : Claudine Azoulay
Editeur : Bravo Editions
Combattez le stress et l'ennui tout en faisant travailler vos méninges ! Ce livre comporte une variété de remue‐méninges classiques qui vous garderont en haleine. En plus de tester vos pouvoirs de déduction logique, vous retrouverez des énigmes visuelles captivantes. C'est une merveilleuse évasion ! Vous méritez quelques heures de détente. La magie des paradoxes Auteur : Martin Gardner Edition : Belin Le paradoxe est un conflit entre deux affirmations ou entre deux lois. Lorsque le Crétois Epiménides dit " je mens ", s'il ment en disant cela, il dit alors la vérité, mais ce faisant il avoue qu'il ment, donc il dit la vérité, mais alors... Ce maelström logique a remis en question les fondations des mathématiques : les paradoxes sont plus que de simples jeux. Martin Gardner recense si brillamment les paradoxes qu'après lecture de son livre, vous saurez les découvrir dans votre vie quotidienne, et ils vous intéresseront comme ils ont passionné les meilleurs logiciens. Le présent document a été écrit par Mickaël
Védrine, enseignant de mathématiques en
collaboration avec l’équipe de médiation de
l’Espace des sciences
Service des expositions et des animations
10 cours des Alliés
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