1 Vecteurs coplanaires 2 Repères, bases et

1
Vecteurs coplanaires
Théorème (admis)
Les définitions, règles de calcul et propriétés sur les vecteurs dans l’espace sont identiques à celles données
dans le plan.
Définition
Soit O un point de l’espace.
Trois vecteurs de l’espace sont dits coplanaires lorsque leurs représentants d’origine O ont leurs extrémités
dans un même plan passant par O.
# »
# » #» # »
Autrement dit, les points A, B et C étant définis par les égalités vectorielles #»
u = OA, #»
v = OB et w
= OC,
#»
#»
#»
les vecteurs u , v et w sont coplanaires lorsque les points O, A, B et C le sont.
Proposition
#» trois vecteurs de l’espace tels que #»
Soient #»
u , #»
v et w
u et #»
v ne sont pas colinéaires.
#»
#»
#»
#» = x × #»
u , v et w sont coplanaires si, et seulement si, il existe deux réels x et y tels que w
u + y × #»
v.
Preuve
# »
# »
# »
#» = OC.
Soient O, A, B et C quatre points tels que #»
u = OA, #»
v = OB et w
#»
u et #»
v n’étant pas colinéaires, O, A et B définissent un plan dont (O; #»
u , #»
v ) est un repère.
#»
#»
#»
Ainsi, u , v et w sont coplanaires si, et seulement si, C appartient au plan (OAB), c’est-à-dire si, et
# »
#» = OC
seulement si, il existe deux réels x et y tels que w
= x × #»
u + y × #»
v.
2
Repères, bases et coordonnées
Définitions
#»
Soient O un äpoint et #»
ı , #»
 et k trois vecteurs de l’espace.
Ä
#»
#»
O; #»
ı , #»
 , k détermine un repère de l’espace lorsque les vecteurs #»
ı , #»
 et k ne sont pas coplanaires.
#»
Dans ce cas, on dit que ( #»
ı , #»
 , k ) est une base des vecteurs de l’espace.
Proposition
Ä
#» ä
Si O; #»
ı , #»
 , k est un repère de l’espace alors pour tout point M de l’espace, il existe un unique triplet
#»
# »
(x; y; z) de réels tels que OM = x #»
ı + y #»
 +zk.
Preuve
#»
# »
# » #»
Existence : Soient I, J et K les points définis par OI = #»
ı , OJ = #»
 et OK = k .
#»
#»
ı et #»
 n’étant pas colinéaires (car, si tel était le cas, #»
ı , #»
 et k seraient coplanaires) O, I et J définissent
un plan dont (O; #»
ı , #»
 ) est un repère.
La parallèle à la droite (OK) passant par M est sécante au plan (OIJ) (car si elle lui était parallèle, #»
ı,
#»
#»
 et k seraient coplanaires) et le coupe en un point que l’on nomme N .
#»
#»
# »
# »
N M et k étant colinéaires, il existe donc un réel z tel que N M = z k .
# »
Par ailleurs, N appartenant au plan (OIJ), il existe deux réels x et y tels que ON = x #»
ı + y #»
.
# » # » # »
Ainsi : OM = ON + N M
#»
= x #»
ı + y #»
 +zk
#»
# »
ce qui prouve l’existence d’un triplet (x; y; z) de réels vérifiant OM = x #»
ı + y #»
 +zk.
Unicité : Raisonnons par l’absurde en supposant qu’il existe deux triplets distincts (x; y; z) et (x′ ; y ′ ; z ′ ) de
#»
#»
# »
réels tels que OM = x #»
ı + y #»
 + z k = x′ #»
ı + y ′ #»
 + z′ k .
#» #»
Sous ces conditions, (x − x′ ) #»
ı + (y − y ′ ) #»
 + (z − z ′ ) k = 0 .
Or, les deux triplets (x; y; z) et (x′ ; y ′ ; z ′ ) étant distincts, l’une au moins des trois différences (x − x′ ),
(y − y ′ ) et (z − z ′ ) est non nulle.
Supposons que x − x′ 6= 0.
y ′ − y #» z ′ − z #»
#»
#»
On a alors ı =
 +
k d’où #»
ı , #»
 et k sonnt coplanaires, ce qui est en contradiction avec
′
′
x−x
x−x
l’énoncé.
Ainsi, x − x′ = 0 soit encore x = x′ .
En procédant de même, on prouve que y ′ = y et z ′ = z, ce qui prouve l’unicité du triplet (x; y; z) vérifiant
#»
# »
OM = x #»
ı + y #»
 +zk.
Définitions
Ä
#» ä
ı , #»
 , k un repère de l’espace.
Soit O; #»
#»
# »
• L’unique tripletÄ (x; y; z) telä que OM = x #»
ı + y #»
 + z k est appelé triplet de coordonnées du point M
#»
dans le repère O; #»
ı , #»
 , k et on note M (x; y; z).
• ÄLes réels x,ä y et z sont respectivement nommés abscisse, ordonnée et cote de M dans le repère
#»
O; #»
ı , #»
, k .
Ö è
#»
# »
# » x
#»
#»
• x, y et z sont également les coordonnées du vecteur OM dans la base ( ı ,  , k ) et on note OM y .
z
Propositions Ä
#» ä
ı , #»
 , k de l’espace : Ö
Dans un repère O; #»
è
# » xB − xA
• si A (xA ; yA ; zA ) et B (xB ; yB ; zB ) alors AB yB − yA ;
zB − zA
• Å
si A (xA ; yA ; zA ) et B ã(xB ; yB ; zB ) alors le milieu de [AB]
xB + xA yB + yA zB + zA
;
;
;
2è
2 ′è
2
Ö
Ö
Ö
è
Ö è
x
x
x + x′
λx
#»
#»
#»
#»
#»
′
′
• si u y et v y alors u + v y + y et, pour tout réel λ, λ u λy .
z
z′
z + z′
a
pour
coordonnées
λz
Preuves
Très faciles, laissées à titre d’exercices.
3
Cas particulier des repères orthonormés
Définitions
Ä
#» ä
# » #» # » #» # » #»
Soient O; #»
ı , #»
 , k un repère de l’espace et I, J et K les points définis
par
OI
= ı , OJ =  et OK = k .
Ä
#» ä
#»
#»
• si (OI), (OJ) et (OK) sont deux à deux perpendiculaires alors O; ı ,  , k est un repère orthogonal
de l’espace ;
Ä
#» ä
• si, de plus, OI = OJ = OK = 1 alors O; #»
ı , #»
 , k est un repère orthonormal de l’espace.
Propositions
Ä
#» ä
#»
#»
Dans un
repère
orthonormal
O;
ı
,

,
k de l’espace :
Ö è
x
√
• si #»
u y alors || #»
u || = x2 + y 2 + z 2 .
z
»
# »
• si A (xA ; yA ; zA ) et B (xB ; yB ; zB ) alors AB = ||AB|| = (xB − xA )2 + (yB − yA )2 + (zB − zA )2 .
Preuves
Démontrons le premier résultat, le second en étant une conséquence directe.
# »
Soient M le point défini par OM = #»
u , A le projeté orthogonal de M sur (O; #»
ı , #»
 ) et B le projeté
#»
orthogonal de A sur (O; ı ).
z
M
K
~u
~k
~
O
y
J
~ı
I
x
A
B
Ainsi définis, on a M (x; y; z), A (x; y; 0) et B (x; 0; 0).
En appliquant le théorème de Pythagore dans les triangles OAB et OAM respectivement rectangles en B
et en A, on obtient OA2 = OB 2 + AB 2 et OM 2 = OA2 + AM 2 d’où OM 2 = OB 2 + AB 2 + AM 2 .
#»
# »
# »
# »
Or, OB = x #»
ı , AB = −y #»
 et AM = z k donc OB 2 = x2 , AB 2 = y 2 et AM 2 = z 2 d’où OM 2 = x2 +y 2 +z 2 .
4
Représentation paramétrique d’une droite de l’espace
Propositions Ä
#» ä
Dans un repère O; #»
ı , #»
 , k de l’espace, un point M de coordonnées (x; y; z) appartient à la droite D


x = xA + at
Ö è


a
#»
passant par A (xA ; yA ; zA ) et dirigée par u b si, et seulement si, il existe un réel t tel que y = yA + bt .

c

z = zA + ct
Preuve
Ö
x − xA
y − yA
z − zA
è
Ö è
a
et #»
u b sont colinéaires
c
# »
⇐⇒ ∃t ∈ R AM = t × #»
u



x − xA = at
⇐⇒ ∃t ∈ R y − yA = bt


z − zA = ct



x = xA + at
⇐⇒ ∃t ∈ R y = yA + bt


z = zA + ct
Remarque Le système de la proposition précédente est une représentation paramétrique de la droite D.
Il s’agit d’un critère d’appartenance à la droite D, c’est-à-dire une condition nécessaire et suffisante sur
les coordonnées d’un point permettant de savoir si celui-ci appartient ou non à la droite D.
# »
M (x; y; z) ∈ D ⇐⇒ AM