mathématiques

MATHÉMATIQUES
ère
1
ES/L
TRIMESTRE 1
Sylvie LAMY
PROGRAMME 2011
(v2.3)
Agrégée de Mathématiques
Diplômée de l’École Polytechnique
“Les Cours Pi” – 42-44 rue du Fer à Moulin – 75005 PARIS
Tél. : 01 42 22 39 46 – e-mail : [email protected]– site web : http://www.cours-pi.com
Quelques indications pour votre année de 1ère
Vous disposez d’un support de cours complet : prenez le temps de bien le lire, de le comprendre
mais surtout de l’assimiler. Vous disposez pour cela d’exemples donnés dans le cours et
d’ « exercices types » corrigés.
Vous pouvez rester un peu plus longtemps sur une unité mais travaillez régulièrement.
Conventions de lecture du cours

Les encadrés droits correspondent à des définitions ou à des résultats importants qu’il faut
connaître. Par exemple :
Une fonction numérique f permet d’associer à tout élément x…

Les encadrés arrondis correspondent à des conseils méthodologiques. Par exemple :
Méthode
On commence par chercher s’il existe un facteur commun (celui-ci
doit apparaître …

Certains paragraphes sont précédés du signe
. Ces paragraphes abordent des notions
mathématiques transversales (comme les ensembles, la logique, l’algorithmique) utiles pour
l’ensemble de la scolarité au lycée.
Calculatrice et informatique
Vous devez posséder pour l’enseignement scientifique au lycée d’une calculatrice graphique de type
CASIO GRAPH 25+ ou CASIO GRAPH 35+. Il faut apprendre à vous en servir (mais à bon escient,
comme il sera rappelé plus bas).
Par ailleurs, vous devez également apprendre à utiliser un tableur comme Microsoft Office Excel
(payant) ou Open Office Calc (gratuit à télécharger sur http://fr.openoffice.org/). Certains exercices
seront faits de préférence en utilisant l’un de ces logiciels (mais vous pourrez également utiliser la
calculatrice).
Les devoirs
Les devoirs constituent le moyen d’évaluer l’acquisition de vos savoirs (Ai-je assimilé les notions
correspondantes ?) et de vos savoir-faire (Est-ce que je sais expliquer une démarche, justifier,
conclure ?). Pour cette raison :
N’appelez pas votre professeur si vous ne savez pas faire un exercice !
Cela peut arriver, comme tout élève en classe, surtout au lycée ! Mais si, après avoir reçu la
correction, un exercice continue à vous poser problème, n’hésitez pas à le faire !
Même si vous avez obtenu une bonne note, lisez attentivement les remarques du professeur et le
corrigé (la correction peut éventuellement proposer une autre méthode que celle que vous avez
utilisée). Il est vivement recommandé d’attendre le retour des devoirs antérieurs avant de faire
le suivant : cela vous permettra d’éviter de faire les mêmes erreurs et de profiter pleinement des
remarques qui vous auront été faites.
© COURS PI
MA 1 ES/L  T1 (v2.3)
Voici maintenant quelques conseils pour composer vos devoirs…

Utilisez des copies doubles grand format (pour y insérer par la suite l’énoncé et le corrigé).

Présentez la copie correctement (Nom, Prénom, Classe, Matière, Numéro de devoir doivent
figurer sur chaque copie pour éviter toute erreur ou perte). Laissez de l’espace pour le
correcteur.

Faites les exercices dans l’ordre. Si une question n’est pas faite, il faut l’indiquer sur la copie.
Si la question est faite directement sur l’énoncé, il faut également l’indiquer.

Faites attention à l’orthographe !

Justifiez vos réponses même si l’énoncé ne le précise pas.

Mettez en valeur vos résultats (ce n’est pas au correcteur de chercher où sont les réponses !)
et répondez dès que possible aux questions en faisant des phrases complètes. Un lecteur
n’ayant pas lu l’énoncé doit pouvoir comprendre votre copie !

Vérifiez la cohérence de vos résultats.

Détaillez les calculs (remarque : on ne met pas d’unités dans une ligne d’opération, mais
seulement dans la conclusion !).

Un résultat « juste » en sciences physiques n’est pas forcément juste en mathématiques !
Évitez par conséquent d’utiliser la calculatrice en mathématiques, lorsque l’opération peut se
faire sans son aide Les résultats doivent être exacts, sauf indication contraire. Pensez qu’une
calculatrice vous donnera toujours une valeur approchée de

1
!
3
Utilisez correctement les notations mathématiques : une mauvaise notation rend un
raisonnement faux !
Rappelez-vous que la présentation et la rédaction comptent
dans les notes d’examen. Alors, prenez de bonnes habitudes!
Bon courage !
© COURS PI
MA 1 ES/L  T1 (v2.3)
Sommaire général
Trimestre 1
UNITE 1.
Pourcentages, le second degré
1. Pourcentages et évolutions
2. Le second degré
UNITE 2.
Fonctions
1. Généralités sur les fonctions
2. Fonctions usuelles
3. Résolution graphique d’équations et d’inéquations
Trimestre 2
UNITE 3.
Dérivation
1. Nombre dérivé, tangente en un point
2. Fonctions dérivées
3. Application de la dérivation
UNITE 4.
Suites
1.
2.
3.
4.
Généralités sur les suites
Représentation graphique d’une suite
Suites arithmétiques
Suites géométriques
Trimestre 3
UNITE 5.
Statistiques, Probabilités(I)
1. Statistiques
2. Probabilités, variables aléatoires
UNITE 6.
Probabilités (II), échantillonnage
1. Loi de Bernouilli, loi binômiale
2. Fluctuations d’une fréquence et prise de décision
© COURS PI
MA 1 ES/L  T1 (v2.3)
Sommaire du Trimestre 1
Unité 1.
1.
Pourcentages et évolutions ....................................................................................................... 1
A)
B)
C)
D)
2.
Pourcentages, généralités sur les fonctions............................................... 1
Pourcentage d’une partie par rapport a un tout ................................................................... 1
Pourcentage d’évolution ...................................................................................................... 4
Évolutions successives et réciproques ................................................................................ 5
Indices ................................................................................................................................. 7
Le second degré ............................................................................ Erreur ! Signet non défini.
A)
B)
C)
D)
Les formes du trinôme ............................................................... Erreur ! Signet non défini.
Résolution de l’équation ax2+bx+c=0 ....................................... Erreur ! Signet non défini.
Factorisation d’un polynôme du second degré .......................... Erreur ! Signet non défini.
Signe d’un polynôme du second degré ..................................... Erreur ! Signet non défini.
Éléments de logique (I).................................................................... Erreur ! Signet non défini.
Unité 2.
1.
Généralités sur les fonctions ........................................................... Erreur ! Signet non défini.
A)
B)
C)
D)
2.
Notion de fonction ...................................................................... Erreur ! Signet non défini.
Extrema d’une fonction .............................................................. Erreur ! Signet non défini.
Sens de variation ....................................................................... Erreur ! Signet non défini.
Opérations sur les fonctions ...................................................... Erreur ! Signet non défini.
Fonctions usuelles .......................................................................... Erreur ! Signet non défini.
A)
B)
C)
D)
E)
3.
Fonctions .................................................................. Erreur ! Signet non défini.
Fonctions linéaires et affines ..................................................... Erreur ! Signet non défini.
Fonction carrée , fonctions polynômiales de degré 2 ............... Erreur ! Signet non défini.
Fonction inverse, fonctions homographiques ............................ Erreur ! Signet non défini.
Fonction cube ............................................................................ Erreur ! Signet non défini.
Fonction racine carrée ............................................................... Erreur ! Signet non défini.
Résolution graphique d’équations et d’inéquations ........................ Erreur ! Signet non défini.
A)
B)
C)
Résolution graphique et résolution algébrique .......................... Erreur ! Signet non défini.
Résolution graphique d’équations ............................................. Erreur ! Signet non défini.
Résolution graphique d’inéquations .......................................... Erreur ! Signet non défini.
Algorithmique (I) .............................................................................. Erreur ! Signet non défini.
© COURS PI
MA 1 ES/L  T1 (v2.3)
UNITE 1.
POURCENTAGES,
LE SECOND DEGRE
1. POURCENTAGES ET EVOLUTIONS
A) POURCENTAGE D’UNE PARTIE PAR RAPPORT A UN TOUT
Soit A un ensemble contenant
éléments.
nA éléments inclus dans un ensemble E contenant nE
La proportion du nombre d’éléments de
A à celui de E est le quotient :
n
p A
nE
Cette proportion est un nombre compris entre 0 et 1. Elle s’exprime généralement sous
forme d’un pourcentage a:
p  p  100 %  a % (a  p  100)
Le pourcentage de A par rapport à celui de
E est a%.
Exemple 1 : Dans un lycée de 680 élèves, il y a 493 demi-pensionnaires. Quel est le
pourcentage de demi-pensionnaires dans ce lycée ? Parmi les demi-pensionnaires, 40%
sont des filles. Quel est le pourcentage de filles demi-pensionnaires dans ce lycée ?
Réponse : E est l'ensemble des élèves, A est l'ensemble des demi-pensionnaires, B est
l'ensemble demi-pensionnaires filles.
p
nA 493

 0,725 soit a  0,725 100  72,5
nE 680
72,5% des élèves sont donc demi-pensionnaires.
La proportion de filles demi-pensionnaires est :
p
nB nB nA
 
 40%  72,5%  0,4  0,725  0,29  29%
nE nA nE
29% des élèves sont donc des filles demi-pensionnaires.
Exemple 2 : 24% des habitants d’un village de 1500 habitants ont moins de 18 ans.
Combien d’habitants sont mineurs ?
Réponse : p  24%  0,24
nA  p  nE  0,24 1500  360
360 habitants sont mineurs.

Une proportion peut donc s’exprimer avec un nombre décimal, une fraction ou
un pourcentage.
Exemple:
© COURS PI
1
;0, 25;25% correspondent à la même proportion.
4
MA 1 ES/L  U2 (v2.3)
1
Exercices
Exercice 1
Donner
a)
b)
c)
pour chaque expression la proportion en pourcentage que l’on prend d’une quantité si :
On la divise par 4.
On en prend la moitié.
On en prend les trois quarts.
d) On la multiplie par
1
.
5
e) On la multiple par 0,7.
f) On en prend 12% de 30%.
Exercice 2
Dans une entreprise de 500 salariés, il y a 34% de femmes. Combien l’entreprise emploie-t-elle
d’hommes ?
Exercice 3
Saint-Martin dispose de deux bureaux de vote.
Le candidat X a obtenu 312 voix dans le premier bureau où il y a eu 654 votants, et 513 voix dans le
second où 989 personnes ont voté. Où a-t-il obtenu son meilleur score en pourcentage ? Sera-t-il élu
sachant qu’il lui faut la majorité absolue ?
Exercice 4
Dans une classe, il y a 65% de filles dont 20% sont externes. Sachant que 30% des élèves de la
classe sont externes, quel est le pourcentage de garçons qui sont externes ?
Exercice 5
Une boisson contient 15 % d’alcool. On voudrait obtenir, à partir d’un litre de cette boisson, un
mélange ne contenant que 5 % d’alcool. Quelle quantité d’eau doit-on rajouter ?
Exercice 6
Voici quelques données démographiques (année 2000) :
Hommes
48,7%
moins de 15 ans
20%
moins de 15 ans
18%
Femmes
51,3%
Hommes
de 15 à 64 ans
67%
plus de 64 ans
13%
Femmes
de 15 à 64 ans
64%
plus de 64 ans
18%
Remplissez le tableau suivant (on donnera les résultats en pourcentages de la population totale, au
dixième près).
moins de 15 ans
de 15 à 64 ans
plus de 64 ans
Total
Hommes
Femmes
Total
© COURS PI
MA 1 ES/L  U2 (v2.3)
2
Exercice 7
Les élèves de Terminale d’un lycée étudient l’anglais, l’allemand ou l’espagnol en première langue
vivante. Parmi ces élèves :
• 45 % sont des garçons,
• 70 % étudient l’anglais,
• 20 % des garçons étudient l’allemand,
• 40 % de ceux qui étudient l’anglais sont des garçons,
• il y a autant de garçons que de filles qui étudient l’espagnol.
Remplir le tableau suivant en pourcentages du nombre d’élèves de Terminale (on a indiqué
quelques données):
Garçons
Anglais
Allemand
Espagnol
Total
Filles
45%
Total
70%
100%
Exercice 8
Dans un village, 45 % des habitants ont un chat, et 32 % ont un chien.
1) Peut-on affirmer que 77 % des habitants ont un animal de compagnie (chien ou chat) ?
2) Si 61 % des habitants ont un chien ou un chat, quel est le pourcentage d’habitants ayant un
chat et un chien ?
© COURS PI
MA 1 ES/L  U2 (v2.3)
3
B) POURCENTAGE D’EVOLUTION
Une quantité évolue de la valeur Q1 à la valeur Q2.
Le taux d’évolution (ou la variation relative) de Q1 à la valeur Q2 vaut :
Q2  Q1
Q1
L’évolution s’exprime généralement sous forme d’un pourcentage.
Q2  Q1
t%
Q1
 Le taux d’évolution peut être positif ou négatif.

Si le taux est positif on parle d’augmentation.

Si le taux est négatif on parle de diminution.
Exemple : La population française est passée entre 2000 et 2010, de 58,8 à 62,8 millions
d’habitants. Quel est le taux d’évolution en pourcentage ?
Réponse :
62,8  58,8
 0,068 soit t  0,068 100  6,8
58,8
La population française a augmenté d’environ 6,8%.

Augmenter une quantité Q de t % revient à la multiplier par 1  t % .
Q '  Q (1  t%)

Diminuer une quantité Q de t % revient à la multiplier par 1  t % .
Q '  Q (1  t%)
1  t % et 1  t % sont appelés coefficients multiplicateurs.
Exemple 1 : Un objet coûte 350 €. Le commerçant fait une remise exceptionnelle de 20%.
Quel est le prix après remise ?
Réponse : Q '  350(1  20%)  350(1  0,2)  350  0,8  280
Le nouveau prix est donc 280€.
Exemple 2 : Un objet coûte 350 € TTC. Quel est son prix HT (hors taxe) sachant que la TVA
est de 19,6% (on applique la TVA au prix HT pour obtenir le prix TTC)?
Réponse : 350  Q(1  19,6%)  Q(1  0,196)  Q 1,196
Q
350
 292,64 Le prix HT est donc 292,64€.
1,196
Attention ! Il ne faut pas diminuer le prix final de 19,6% !
© COURS PI
MA 1 ES/L  U2 (v2.3)
4
C) ÉVOLUTIONS SUCCESSIVES ET RECIPROQUES
Une quantité Q subit successivement un taux d’évolution de t1 % puis de t 2 % .
La quantité après ces deux évolutions vaut :
Q '  Q (1  t1%)(1  t2 %)
Dans cette formule, les signes des taux peuvent être positifs ou négatifs.

Les taux d’évolution ne s’ajoutent pas !
Exemple : Un objet coûte 350 €. Il subit une première augmentation de 10%, puis une
seconde de 20%. Calculez le taux d’augmentation global et le prix final de l’objet.
Réponse : Le coefficient multiplicateur vaut : (1  10%)(1  20%)  1,11,2  1,32
Ce coefficient correspond à une augmentation de 32% (et non de 10%+20%=30% !)
Le nouveau prix est donc : 350 1,32  462 €.
Une quantité évolue de la valeur Q1 à la valeur Q2 avec un taux t%.
Le taux d’évolution réciproque de t% appelé t’%, permettant de passer de
Q1 satisfait à la relation :
Q2 à la
(1  t%)(1  t '%)  1
Dans cette formule, les signes des taux peuvent être positifs ou négatifs.
 Les taux d’évolution réciproques sont de signes contraires. Ils n’ont
jamais la même valeur !
Démonstration :
Q2  Q1 (1  t %) et Q1  Q2 (1  t '%)
d'où Q2  Q2 (1  t '%)(1  t %)
(1  t %)(1  t '%)  1
Exemple
Un commerçant veut « offrir la TVA » à ses clients. Quel taux de remise doit-il appliquer aux
prix TTC ? (La TVA est de 19,6%.)
Réponse :
On cherche le taux réciproque à celui correspondant à l’application de la TVA.
(1  19,6%)(1 t '%)  1 t '% 
1
 1  0,164
1,196
Le commerçant doit appliquer une remise de 16,4%.
© COURS PI
MA 1 ES/L  U2 (v2.3)
5
Exercices
Exercice 9
Donner le coefficient multiplicateur correspondant à :
a) Une augmentation de 5%
b) Une réduction de 23%
c) Une augmentation de 200%
d) Une baisse de 50%
Exercice 10
Compléter ces phrases sur les coefficients multiplicateurs.
a)
b)
c)
d)
1,01 correspond à une ……………. de ………%.
2,5 correspond à une ……………. de ………%.
Diviser par 2 correspond à une ……………. de ………%.
0,24 correspond à une ……………. de ………%.
Exercice 11
1) La population du monde est passée de 3 à 7 milliards en 40 ans. Quel est son pourcentage
d’augmentation ?
2) Un magasin propose 4 paquets de gâteaux pour le prix de 3. Quelle est la réduction ?
3) Le prix TTC d’un congélateur est 350€. Quel est son prix HT (la TVA est de 19,6%) ?
Exercice 12
Un article augmente de 15%, puis baisse de 5%. A-t-il augmenté de 10%, de plus de 10% ou de
moins de 10% ?
Exercice 13
a) Deux hausses successives de 5% et 12% équivalent à une ……………. de ………%.
b) Deux baisses successives de 20% et 30% équivalent à une ……………. de ………%.
c) Une baisse de 10% suivie d’une hausse de 20% équivalent à une ……………. de ………%.
Exercice 14
Le cours de la bourse a baissé de 20%. De combien doit-il augmenter pour retrouver son niveau
initial ?
© COURS PI
MA 1 ES/L  U2 (v2.3)
6
D) INDICES
On étudie l’évolution d’une grandeur Q .
A la valeur initiale Q1 , on associe un indice base 100 I1  100 .
Si Q1 évolue avec un taux t% vers la valeur Q2 , l’indice I2 associé à la valeur Q2
évolue avec le même taux.
Si Q2  Q 1(1  t %) alors :
I 2  I 1(1  t%)  100  t
Relation :
Q2 I 2
I

 2
Q 1 I 1 100

soit : I 2  100
Q2
Q1
L’utilisation des indices permet d’obtenir très rapidement des pourcentages d’évolution.
Exemple :
On étudie l’évolution de la population d’un pays (en millions d’habitants). On prend base
100 en 1900.
année
population
indice
(on applique la relation : I 2  100
1900
21,2
100
1950
25,6
121
2000
30,5
144
Q2
).
Q1
On voit que la population a augmenté de 44% entre 1900 et 2000.
Exercices
Exercice 15
Voici la production d’un fabricant de cabanes de jardin.
Année
Production
1990
2520
1995
3610
2000
3860
2005
2760
2010
2980
1) Construire le tableau d’indices (base 100 en 1990).
2) Quel a été le taux d’évolution de la production entre 1990 et 2010 ?
Faire le Devoir U1D1
© COURS PI
MA 1 ES/L  U2 (v2.3)
7