Discrétisation invariante des équations

Discrétisation invariante des équations différentielles
Colloque panquébécois de l’ISM
Francis Valiquette
13-15/06/05
Résumé
Étant donné un système d’équations différentielles possédant un groupe de symétries (ponctuelles),
je montrai comment il est possible de discrétiser celui-ci de manière à préserver toutes ses symétries.
1
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
1
Introduction
L’étude des symétries dans les équations aux différences finies est un domaine de recherche
récent. Deux articles, publiés en 1991, marquent le coup d’envoi de cette discipline, [3, 4]. Il est
étonnant de constater comment cette branche des mathématiques est récente comparativement
à ça contre-partie continue. Les premiers travaux portant sur les symétries des équations différentielles sont dûs au chercheur Norvégien Sophus Lie (1842–1899). Ce dernier était motivé par
l’idée de développer une théorie équivalente à celle de Galois (1811-1832) pour les équations
différentielles. De nos jours, les applications de la théorie des groupes de Lie aux problèmes
continues sont nombreuses. L’effort de recherche entammé en 1991 consiste à développer les
applications de la théorie des groupes de Lie aux équations aux différences finies en des outils
aussi efficaces que pour sa contre-partie continue.
Les symétries jouent un rôle important dans notre compréhension de la nature. Elles sont des
ingrédients importants de toutes théories physiques. Plusieurs de ces théories font intervenir des
équations différentielles non linéaires pour lesquelles il est difficile ou impossible d’obtenir des
solutions analytiques. Dans ces cas, on doit se tourner vers des méthodes numériques pour les
résoudre. Mais lors du processus de discrétisation on perd souvent les propriétés qualitatives et
géométriques du problème continu (perte des symétries). L’objectif de cet exposé est de montrer
comment il est possible de discrétiser des équations différentielles de manière à préserver les
symétries des équations originales. Pour illustrer la méthode nous l’appliquons à une équation
différentielle ordinaire du premier ordre linéaire non homogène et à l’équation de la chaleur en
(1+1) dimensions.
Avant d’entrer au coeur du sujet, rappelons quelques concepts relativement à l’étude des
symétries des équations différentielles. Le rappel est extrêmement sommaire et vise surtout
à établir la convention d’écriture. Pour un exposé complet et rigoureux nous réferrons aux
références [1, 2, 5, 6].
2
Symétries des équations différentielles
Définition 2.1. Un système S , de N équations différentielles d’ordre n, à p variables indépendantes, x = (x1 , . . . , xp ) ∈ X ⊂ Rp , et à q variables dépendantes, u = (u1 , . . . , uq ) ∈ U ⊂ Rq
est une application lisse du n-ième espace de jets, X × U (n) , vers l’espace euclidien RN
∆ : X × U (n) → RN ,
∆ν (x, u(n) (x)) = 0,
ν = 1, . . . , N, .
(2.1)
Le n-ième espace de jets, X × U (n) , est la variété différentielle formée du produit cartésien
de l’espace des variables indépendantes, dépendantes et de toutes les dérivées
uαJ =
∂ k uα (x)
,
∂xj1 ∂xj2 . . . ∂xjk
α = 1, . . . , q,
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
2
jusqu’à l’ordre n. Dans cette notation multi-indicielle, J = (j1 , · · · , jk ) est un vecteur à k
composantes non ordonnées d’entiers, avec pour composante 1 ≤ jk ≤ p, indiquant par rapport
à quelle variable on dérive. Nous notons par #J l’ordre de la dérivée uαJ .
Sans entrer dans les détails, l’action d’un groupe de transformations (ponctuelles et continues) à un paramètre agissant sur X × U définie un flot auquel on associe le champ de vecteurs
d v = g · (x, u),
g ∈ G
d =0
d = (Λ (x, u), Ω (x, u))
d =0
= (ξ(x, u), φ(x, u)).
(2.2)
Dans la discussion qui suit, lorsqu’on écrira explicitement les composantes du champ de vecteurs
(2.2) nous utiliserons la notation différentielle
p
q
X
X
∂
∂
i
ξ (x, u) i +
φα (x, u) α .
v=
(2.3)
∂x
∂u
α=1
i=1
Inversement, connaissant le champ de vecteurs (2.3), on retrouve le groupe à un paramètre en
intégrant le système d’équations différentielles ordinaires

de
xi


= ξ i (e
x, u
e), i = 1, . . . p,
d
(2.4)

uα
α
 de
= φ (e
x, u
e), α = 1, . . . q,
d
avec la condition initiale (e
x, u
e)|=0 = (x, u). Si un groupe de transformations G est de dimension
r alors le groupe de transformations admet r générateurs infinitésimals linéairement indépendants formant une algèbre de Lie L. La base de la l’algèbre de Lie L engendre r groupes de
transformations à partir desquels toutes transformations peuvent s’obtenir en composant des
éléments de groupe de transformations à un paramètre.
La transformation des variables x et u engendre naturellement une transformation des dérivées de u. En ce qui concerne cet exposé, la manière dont ces dernières ce transforment n’est
pas très importante.
Pour terminer cette section, répondons à la question : Qu’est-ce qu’un groupe de symétries
d’un système d’équations différentielles ?
Définition 2.2. Soient S∆ = {(x, u(n) ) : ∆ν (x, u(n) ) = 0, ν = 1, . . . , N }, la sous-variété
du n-ième espace de jets X × U (n) représentant l’espace des solutions du système d’équations
différentielles (2.1) et G un groupe de transformations (ponctuelles). G est un groupe de symétries de S∆ si
pr(n) g · S∆ = {(e
x, u
e(n) ) : ∆(e
x, u
e(n) ) = 0, ν = 1, . . . , N } = S∆ ,
pour tout g ∈ G.
(2.5)
En d’autres mots, l’action du groupe de transformations G est un automorphisme de l’espace
des solutions.
3
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
3
Discrétisation Invariante
La discrétisation d’un système d’équations différentielles consiste à échantillonner, dans
l’espace des variables indépendantes X, des points x libelés par des indices discrets :
xm = (x1m , . . . , xpm ),
m ∈ Zp .
(3.1)
La discrétisation des variables indépendantes engendre naturellement une discrétisation des
variables dépendantes, um .
La mise au point de schémas numériques invariants consiste à déterminer la façon dont il
faut échantillonner les points xm ainsi qu’à déterminer l’évolution de la solution um de telle
sorte que les symétries du problème continu soient conservées. Comme les transformations que
nous considérons agissent à la fois sur les variables dépendantes et indépendantes, les équations
du maillage doivent faire partie intégrante du schéma numérique. Pour modéliser adéquatement
le problème discret, nous considérons un système de p + q équations aux différences finies
Ek ({(xm+i , um+i )}i∈I ) = 0,
1 ≤ k ≤ q + p,
m ∈ Zp ,
(3.2)
où {0} ⊂ I ⊂ Zp . Le multi-indice m = (m1 , . . . , mp ) ∈ Zp , à valeurs entières, sert à identifier
les points discréts dans l’espace continu X × U . L’indice i qu’en à lui permet d’identifier les
points voisins de (xm , um ). Nous notons par #I la cardinalité de l’ensemble I et nous supposons
que #I < ∞.
Par choix, nous supposons que les p premières équations servent à spécifier le maillage tandis
que les q autres équations servent à approximer le système d’équations différentielles (2.1). Par
exemple, pour une équation différentielle ordinaire, un schéma numérique sera composé de
deux équations tandis que pour une équation différentielle aux dérivées partielles scalaire à
deux variables indépendantes nous en aurons trois. La quantité de points présents dans (3.2)
dépend de l’ordre du système d’équations différentielles ainsi que de la précision avec laquelle
nous approximons les dérivées. Dans la limite continue, nous imposons que les q dernières
équations du système (3.2) convergent vers le système d’équations différentielles original et que
les p premières tendent vers l’identité 0 = 0. Il reste juste à indiquer comment générer les p + q
équations invariantes (3.2).
Dans un premier temps, comme l’action du groupe à un paramètre engendré par (2.3) agit
ponctuellement sur l’espace X × U on doit définir la prolongation de l’action qui consiste à
étendre la transformation à tous les points de l’espace discret. Cependant, comme le nombre
de points intervenant dans le système d’équations aux différences finies (3.2) est fini, on peut
se limiter à définir la prolongation discrète de l’action en incluant seulement les points figurant
dans (3.2).
Définition 3.1. Soit G un groupe de transformations ponctuelles agissant sur X × U , la
prolongation discrète du groupe de transformations est définie comme
pr g · {(xm+i , um+i )}i∈I = {(Λg (xm+i , um+i ), Ωg (xm+i , um+i ))}i∈I .
(3.3)
4
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
On peut aussi définir la prolongation d’un générateur infinitésimal de transformations.
Définition 3.2. Soit
p
X
q
X
∂
∂
φα (x, u) α
ξ (x, u) j +
v=
∂x
∂u
α=1
j=1
α
un générateur infinitésimal de transformations. La prolongation discrète du champ de vecteurs
v est donnée par l’expression
#
" p
q
X X
X
∂
∂
(3.4)
pr v =
ξ j (xm+i , um+i ) j +
φα (xm+i , um+i ) α
∂u
∂x
m+i
m+i
j=1
α=1
i∈I
Pour qu’un système d’équations aux différences finies soit invariant sous un groupe de
transformations G celui-ci doit s’écrire en fonction d’une base d’invariants fonctionnellement
indépendants. Expliquons comment on obtient cette base. Premièrement, une quantité
Q({(xm+i , um+i )}i∈I )
est invariante sous un groupe à un paramètre G ⊂ G si
Q(pr g · {(xm+i , um+i )}i∈I ) = Q({(xm+i , um+i )}i∈I ).
(3.5)
En dérivant (3.5) par rapport au paramètre et en évaluant le résultat en zéro (à l’identité),
on obtient le critère d’invariance infinitésimal
pr v[Q] = 0.
(3.6)
Pour un groupe de transformations G, de dimension r, la condition (3.6) doit être satisfaite
pour tous les générateurs infinitésimaux formant une base de l’algèbre de Lie L
pr vk [Q] = 0,
k = 1, . . . , r.
(3.7)
C’est à partir de (3.7) que nous sommes en mesure d’obtenir une base d’invariants. Pour qu’une
quantité Q vérifie (3.7) elle faut d’abord qu’elle vérifie l’égalité pour v1 ,
pr v1 [Q] = 0.
(3.8)
L’équation (3.8) est une équation différentielle aux dérivées partielles qu’on résoud à l’aide de la
méthode des caractéristiques. Ce faisant, on trouve (p + q) × #I − 1 quantités fonctionnellement
indépendantes, Q1j , invariantes sous le groupe de transformations à un paramètre engendré par
v1 . La deuxième étape consiste à déterminer les quantités invariantes à la fois sous les groupes
à un paramètre engendrés par v1 et v2 . En appliquant le critère d’invariance pour v2 on a
pr v2 [Q(Q11 , . . . , Q1(p+q)×#I−1 )] = 0.
(3.9)
5
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
En exécutant une transformation pour que pr v2 s’exprime dans les variables Q1j , l’équation
(3.9) devient
(p+q)×#I−1
X
β j (Q11 , . . . , Q1(p+q)I−1 )∂Q1j Q(Q11 , . . . , Q1(p+q)×#I−1 )] = 0.
(3.10)
j=1
Cette dernière équation ce résoud, une fois de plus, par la méthode des caractéristiques. Ce faisant on obtient (p + q) × #I − 2 quatités invariantes, Q2j (Q11 , . . . , Q1(p+q)×#I−1 ). Par construction,
les quantités Q2j sont à la fois invariantes sous les groupes de transformations à un paramètre
engendrés par v1 et v2 . En continuant ainsi de suite pour tout les générateurs formant la base de
l’algèbre de Lie L, on trouve α quantités Qj invariantes sous tout le groupe de transformations
G. Le nombre α nous est donné par
α = (p + q) × #I − rang M,
où M est la matrice

1,2
1,1
, ξm+i
· · · φ1,q
{ξm+i
m+i }i∈I


..


.

r,1
r,2
{ξm+i
, ξm+i
(3.11)
· · · φr,q
m+i }i∈I
formée des coefficients des champs de vecteurs prolongés. Le rang de la matrice M est calculé
en un point générique de (xm , um ). Par construction, toute fonction E(Q1 , . . . , Qα ) vérifie le
critère d’invariance infinitésimal
pr vk [E] = 0,
1 ≤ k ≤ r.
Ainsi, une équation aux différences finies d’un système invariant doit être de la forme
E(Q1 , . . . , Qα ) = 0.
(3.12)
Une telle équation est dite fortement invariante. D’autres équations invariantes peuvent être
obtenues en déterminant les sous-variétés E({(xm+i , um+i )}i∈I ) = 0, sur lesquelles le rang de la
matrice M est inférieur au rang maximal et vérifiant
= 0,
k = 1, . . . , r.
(3.13)
pr vk [E]
E=0
De telles équations sont dites faiblement invariantes ou variétés invariantes. Dans les applications, il est souvent préférable de commencer par déterminer les variétés invariantes, car le
calcul des invariants sur ces variétés peut ce simplifier.
Comme les deux applications traitées dans cet exposé contiennent au plus deux variables
indépendantes et une variable dépendante, nous introduisons la convention d’écriture
(xm,n , tm,n , um,n ) ≡ (x, t, u),
(xm+1,n , tm+1,n , um+1,n ) ≡ (x̂, t̂, û),
(xm,n±1 , tm,n±1 , um,n±1 ) ≡ (x± , t± , u± ),
(xm+1,n±1 , tm+1,n±1 , um+1,n±1 ) ≡ (x̂± , t̂± , û± ),
(3.14)
6
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
m
6
-
n
(x̂+ , t̂+ , û+ )
(x̂, t̂,uû)
u
u
(x̂− , t̂− , û− )
u
(x+ , t+ , u+ )
u
(x, t, u)
u
(x− , t− , u− )
Fig. 1 – Schéma numérique.
permettant de simplifier la notation. Les variables x et t correspondent aux variables indépendantes et u à la variable dépendante. De plus, nous introduisons les pas
T+ = t+ − t,
τ = t̂ − t,
h± = ±(x± − x),
4
σ = x̂ − x,
ĥ± = ±(x̂± − x̂).
(3.15)
Exemples
Afin de rendre la procédure de discrétisation invariante plus tangible, nous nous proposons
de l’appliquer à deux problèmes particuliers.
4.1
Équation différentielle ordinaire linéaire inhomogène
Considérons l’équation différentielle ordinaire linéaire du premier ordre inhomogène
ux = a(x)u + b(x).
(4.1)
Les résultats discutés dans cette section sont tirés de [7]. Sans perte de généralité nous redéfinissons les fonctions a(x) et b(x) en posant a(x) = A0 (x) et b(x) = B 0 (x)eA(x) . Ainsi, l’équation
(4.1) devient
ux = A0 (x)u + B 0 (x)eA(x) .
(4.2)
La solution générale de (4.2) est
u(x) = (B(x) + k)eA(x) .
(4.3)
7
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
u−
uu
(x−− , t)
(x− , t)
(x, t)
u++
u
HH
HH
uu+ HH
u
uu
−−
(x+ , t)
(x++ , t)
Fig. 2 – Schéma à une variable discrète.
L’équation (4.2) admet une algèbre de symétries de dimension 2 engendrée par les champs de
vecteurs
v1 = eA(x) ∂u ,
v2 = u − B(x)eA(x) ∂u .
(4.4)
Vérifions cela. Tout d’abord, v1 engendre la transformation
ce qui induit la transformation
(e
x = x, u
e = u + eA(x) ),
u
exe = ux + A0 (x)eA(x)
(4.5)
(4.6)
pour la dérivée de u. En remplaçant les variables transformées dans (4.2)
ux + A0 (x)eA(x) = A0 (x)u + A0 (x)eA(x) + B 0 (x)eA(x)
on retrouve l’équation de départ après avoir annulé le terme A0 (x)eA(x) de chaque côté de
l’égalité. Donc u
e(e
x) est aussi une solution de (4.2) et par conséquant, v1 engendre bien une
transformation de symétrie. De même, pour v2 le groupe à un paramètre engendré est
(e
x = x, u
e = e u + B(x)eA(x) (1 − e ), u
exe = e ux + (B 0 (x) + B(x)A0 (x))eA(x) (1 − e )).
(4.7)
En remplaçant de nouveau les variables transformées dans (4.2) on trouve
e ux + (B 0 (x) + B(x)A0 )eA(x) (1 − e ) = A0 (x)(e u + B(x)eA(x) (1 − e )) + B 0 (x)eA(x) .
En simplifiant quelques termes on trouve
e ux = e (A0 (x)u + B 0 (x)eA(x) ),
ce qui redonne bien (4.2) après avoir simplifié les e .
Maintenant, le calcul des invariants de v1 et v2 dans l’espace {x, u, x+ , u+ }, figure 2, nous
donne
Q1 = x,
Q 2 = x+ .
(4.8)
Ces invariants ne sont pas suffisants pour générer un schéma numérique, cependant l’algèbre
de symétries admet la variété invariante
y+ e−A(x+ ) − ye−A(x) − B(x+ ) + B(x) = 0.
(4.9)
8
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
En définissant (4.9) sur le maillage
(4.10)
x+ − x = h
on obtient un schéma invariant de (4.2), où h est un paramètre. En substituant (4.3) dans (4.9)
on constate que (4.3) est la solution exacte du schéma invariant pour n’importe quelle valeur
de h.
4.2
Équation de la chaleur
Discrétisons l’équation de la chaleur
(4.11)
ut = uxx .
L’équation (4.11) admet une algèbre de symétries infinie engendrée par
v1 = ∂ x ,
v2 = ∂ t ,
v3 = u∂u ,
v4 = x∂x + 2t∂t ,
2
v5 = 2t∂x − xu∂u ,
v6 = 4tx∂x + 4t ∂t − (x2 + 2t)u∂u ,
vα = α(x, t)∂u
où αt = αxx .
(4.12)
(4.13)
Les groupes à un paramètre associés à ces générateurs de transformations sont
: (x + , t, u),
: (x, t + , u),
: (x, t, e u),
: (e x, e2 t, u),
: (x + 2t, t, u · exp[−x − 2 t]),
√
t
−x2
x
,
, u 1 − 4t · exp
),
G6 : (
1 − 4t 1 − 4t
1 − 4t
translation spatiale,
translation temporelle,
dilatation,
dilatations,
transformation galiléenne,
Gα : (x, t, u + α(x, t)),
principe de superposition.
G1
G2
G3
G4
G5
(4.14)
transformation projective
(4.15)
Le principe de superposition est une conséquance de la linéarité de l’équation différentielle.
Ce résultat nous rappel le fait bien connu que si l’on connait deux solutions d’une équation
différentielle linéaire alors leur somme est aussi une solution.
Dans ce qui suit, nous nous limitons à mettre au point un schéma invariant explicite. Avant
de calculer les invariants discrets de (4.12), mentionnons que
T+ = 0
(4.16)
est une variété invariante de cette algèbre. L’équation (4.16) sera l’une des trois équations
formant notre schéma numérique. Avec cette équation, les invariants discrets de (4.12) sont
calculés sur un maillage à couches temporelles plates, figure 3. Ainsi, une base des invariants
9
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
(x̂− , t̂, û− )
(x̂, t̂, û)
s
s
-6
ĥ−
(x̂+ , t̂, û+ )
s
ĥ+ -
τ
s
h−
(x− , t, u− )
-
s
(x, t, u)
σ-
?
h+
s
(x+ , t, u+ )
Fig. 3 – Schéma pour l’équation de la chaleur.
de l’algèbre de symétries (4.12) dans l’espace {x− , x, x+ , x̂− , x̂, x̂+ , t, t̂, u− , u, u+ , û− , û, û+ }
est
2
√
τ û
h+
h+ ĥ+
−σ
ĥ+
Q1 =
,
Q3 =
,
Q2 =
,
Q4 =
exp
,
h−
τ
h+ u
4τ
ĥ−
u+
h+
u−
h−
Q5 =
exp
(2σ − h+ ) ,
Q6 =
exp − (2σ + h− ) ,
(4.17)
u
4τ
u
4τ
"
#
"
#
ĥ+
û−
ĥ−
û+
exp
(2σ + ĥ+ ) ,
Q8 =
exp − (2σ − ĥ+ ) ,
Q7 =
û
4τ
û
4τ
Pour qu’un schéma numérique préserve le principe de superposition, il faut que le maillage soit
indépendant de u et il faut que l’équation d’évolution pour u soit linéaire en u.
En posant
Q3
3/2
T+ = 0,
Q1 = 0,
Q3 Q4 − Q3 = (Q5 + Q6 ) exp
− 2,
(4.18)
4
nous obtenons le schéma invariant
s
T+ = 0,
h+ = h− ≡ h,

h
i
1  ĥ
σ
û exp
− u =
τ
h
4τ
h
h
1
(2σ − h + ĥ) − 2u + u− exp − (2σ + h − ĥ) .
u+ exp
4τ
4τ
ĥh
(4.19a)
(4.19b)
(4.19c)
10
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
Les équations pour le maillage, (4.19a) et (4.19b), sont facilement résolues
t = γ(m),
x = α(m)n + β(m),
(4.20)
où γ(m), α(m) et β(m) sont des fonctions arbitraires. En imposant que le système (4.19c)
converge dans la limite continue vers l’équation de la chaleur, trouvons que la condition
σ
(4.21)
−−→ |R| < ∞,
τ τ →0
doit être vérifiée. L’équation (4.21) diminue quelque peu l’arbitrarité existant en (4.20). La
condition (4.21) implique que les rapports
α(m + 1) − α(m)
,
γ(m + 1) − γ(m)
β(m + 1) − β(m)
,
γ(m + 1) − γ(m)
ne doivent pas diverger lorsque γ(m + 1) → γ(m), c’est-à-dire quand les pas en t tendent vers
zéro. En demandant que (4.21) soit satisfait et que h et τ tendent vers zéro indépendemment
dans limite continue nous trouvons que τ , h et σ sont de la forme
τ = T (m),
h = δH(m),
σ = (δσ1 (m)n + σ2 (m)).
(4.22)
Les fonctions T (m), H(m), σ1 (m) et σ2 (m) peuvent être reliées aux fonctions γ(m), α(m) et
β(m) définies en (4.20). Les paramètres et δ sont variables et ce sont ces derniers que l’on fait
tendre vers zéro lorsque l’on prend la limite continue. Remarquons que dans le cas particulier
où σ = 0 le schéma (4.19) nous redonne la discrétisation standard
t = γ(m),
x = hn + x0 ,
u+ − 2u + u−
û − u
=
.
τ
h2
(4.23)
Cependant, il est important d’insister sur le fait que le schéma (4.23) n’est pas invariant sous
toute l’algèbre de symétries (4.12). Bien que σ = 0 soit une solution des schémas (4.19), ce
choix n’en est pas un qui soit invariant sous tout le groupe de transformations (4.14).
En préservant les symétries du problème nous pouvons utiliser la théorie des groupes pour
obtenir des solutions exactes du schéma invariants. Dans un premier temps, il est évidant que
la solution linéaire,
u(x, t) = ax + b,
(4.24)
sur le maillage orthogonal
t = γ(m),
x = hn + x0
(4.25)
est une solution exacte de (4.19). Plus particulièrement, nous pourrions prendre un maillage
rectangulaire en posant γ(m) = τ m + t0 .
11
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
En agissant avec les groupes à un paramètre (4.14), nous en concluons que
#
!
"
−24 e
2e
2
e
1
x
e
−
2
t
e
t
x
e
−
t
+
x
e
6
5
6
5
u
e(e
x, e
t) = p
,
f e−5
,
− 2 exp 3 −
e
e
e
1 + 46 t 1 + 46 t
1 + 46 t
1 + 46 e
t
e4 (x + 1 ) + 25 e24 t
,
x
e=
1 − 46 e24 (t + 2 )
e24 (t + 2 )
e
t=
,
1 − 46 e24 (t + 2 )
(4.26)
est aussi une solution. En particulier, à partir de la solution constante u = b 6= 0 il est possible
d’obtenir la solution fondamentale de l’équation de la chaleur. En agissant successivement avec
g6 = , g =ln(√/πb2 ) et g2 =1/(4) sur u = b et sur le maillage (4.25) nous trouvons que
3
u
e=
r
est un solution exacte sur le maillage
x
e=
x
,
1 − 4t
2
1
−e
x
exp
4πe
t
4e
t
e
t=
1
.
4(1 − 4t)
(4.27)
(4.28)
En prenant le rapport de x
e avec e
t nous remarquons que
x
e
= 4x.
e
t
En choisissant = 1/4 et γ(m) = 14 1 − mτ1+t0 , nous obtenons le maillage
x
e = (hn + x0 )(τ m + t0 ),
e
t = τ m + t0 ,
(4.29)
où h, x0 , τ et t0 sont des constantes. Une illustration de l’évolution du maillage est donnée à
la figure 4.
5
Conclusion
En préservant les symétries des équations différentielles nous trouvons des schémas numériques qui diffèrent des discrétisations standards. Les deux exemples considérés dans cet exposé
montrent que les schémas invariants admettent un ensemble de solutions exactes plus grande
que les schémas standards.
12
Colloque panquébécois de l’ISM (13-15/06/2005)
25
t
20
15
10
−10
−5
0
x
5
10
Fig. 4 – Maillage pour la solution fondamentale, h = 0.05, x0 = 0, τ = 0.005, t0 = 10.
Références
[1] Bluman G W and Anco S C, Symmetry and Integration Methods for Differential Equations,
Springer, New York, 2002.
[2] Bluman G W and Kumei S, Symmetries and Differential Equations, Springer New York,
1996.
[3] Dorodnitsyn V A, Transformation Groups in the Net Spaces, J. Sov. Math. 55 (1991),
1490–1517.
[4] Levi D and Winternitz P, Continuous Symmetries of Discrete Equations, Phys. Lett. A
152 (1991), 335–338.
[5] Olver P J, Applications of Lie Groups to Differential Equations, Springer Verlag, New
York, 1993.
[6] Olver P J, Equivalence, Invariants, and Symmetries, Cambridge University Press, New
York, 1995.
[7] Rodiguez M A and Winternitz P, Lie Symmetries and Exact Solutions of First Order
Difference Schemes, J. Phys. A : Math. Gen. 37 (2004), 6129–6142.