Automates Propriétés des langages réguliers

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Automates
Propriétés des langages réguliers
Damien Nouvel
Plan
●
Lois sur les opérateurs de langage
●
Démonstrations sur les langages
●
Langages réguliers
●
Expressions régulières et automates
Licence Informatique –L1
Damien Nouvel
Automates
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Plan
●
●
●
Langages réguliers
●
Damien Nouvel
Automates
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●
●
Union
●
Commutative : L+M = M+L
●
Associative : (L+M)+N = L+(M+N)
●
Idempotente : L+L = L
●
Opérateur identité Ø : L+Ø = L
Concaténation
●
Non-commutative : L.M ≠ M.L
●
Associative : (L.M).N = L.(M.N)
●
Non-idempotente : L.L ≠ L (=L2)
●
Distributive par rapport à l'union : L.(M+N) = L.M+L.N
●
Opérateur identité ε : L.ε = L, annulateur Ø : L.Ø = Ø Licence Informatique –L1
Damien Nouvel
Automates
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●
Propriétés de la fermeture
●
(L*)* = L*
●
Ø* = ε
●
ε* = ε
●
L+ = L.L* = L*.L
●
L* = L++ε
●
L? = L+ε
Damien Nouvel
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Plan
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●
●
Langages réguliers
●
Damien Nouvel
Automates
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●
●
Déterminer si deux langages sont équivalents
●
Par les expressions régulières « concrètes »
●
Par les automates
●
Raisonnement par récursivité sur la longueur du mot
●
Raisonnement par décomposition du mot
●
Invalidation par un contre-exemple
Passage aux expressions régulière « concrètes »
●
●
Suppression des variables, remplacées par des symboles
Equivalence entre L et M suppose
●
Quelque soit w ∈ L alors w ∈ M
●
Quelque soit w ∈ M alors w ∈ L
Damien Nouvel
Automates
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●
Par exemple, prouver que (L+M)* ↔ (L*M*)*
●
Expressions régulières concrètes : (a+b)* = (a*b*)*
●
Implication →
●
–
Soit w ∈ (a+b)* alors nous décomposons : w = w1w2...wn
–
Pour tout i, wi = a ou wi = b, dans tous les cas wi ∈ (a*b*)
–
Alors w = w1w2...wn ∈ (a*b*)*
Implication ←
–
Soit w ∈ (a*b*)* alors nous décomposons : w = w1w2...wn
–
Pour tout i, wi = ajbk = x.y tels que x ∈ (a+b)* et y ∈ (a+b)*
–
Ainsi x.y ∈ (a+b)*.(a+b)* = (a+b)*
–
Alors w = w1w2...wn ∈ ((a+b)*)* = (a+b)*
Damien Nouvel
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Plan
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●
●
Langages réguliers
●
Damien Nouvel
Automates
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Langages réguliers
●
●
Langage régulier
●
Langage régulier reconnu par un automate
●
Langage régulier reconnu par une expression régulière
La combinaison de langages réguliers est régulier
●
Union
●
Concaténation
●
Fermeture
●
Intersection
●
Complémentaire
●
Diférence
●
Homomorphisme
Damien Nouvel
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Langages réguliers
●
Union, concaténation, fermeture
●
Soit L un langage régulier défni par l'expression régulière E et
M un langage régulier défni par l'expression régulière F, par
défnition des opérateurs « ∪ », « . » et « * » :
L ∪ M = L(E+F)
L . M = L(EF)
L* = L(E)* = L(E*)
●
Alors « L ∪ M », « L . M » et « L* » sont représentés par des
expressions régulières et sont donc des langages réguliers
Damien Nouvel
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Langages réguliers
●
Intersection
●
Soient L et M deux langages réguliers, représentés par les
automates déterministes :
AL = (QL, ΣL, δL, q0L, FL)
AM = (QM, ΣM, δM, q0M, FM)
●
Construisons l'automate déterministe AN défni comme suit
AN = (QN, ΣN, δN, q0N, FN)
ΣN = ΣL ∪ ΣM
QN = QL × QM = {qi, qj | qi ∈ QL, qj ∈ QM }
q0N = {q0L, q0M}
FN = FL × FM = {qi, qj | qi ∈ FL, qj ∈ FM }
Damien Nouvel
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Langages réguliers
●
Intersection (suite)
●
La fonction de transition de l'automate AN est défnie selon
celle des automates AL et AM - pour chaque élément (qi, qj) de
QN et pour chaque symbole a ∈ ΣN
δN({qi, qj}, a) = {δL(qi, a), δM(qj, a)}
●
L'automate accepte un langage reconnu par AL et par AM
–
Supposons w = x.a tel quel δN({qi, qj}, x) = {δL(qi, x), δM(qi, x)}
–
Alors par défnition de l'automate déterministe
δN({qi, qj}, x.a ) = δN( δN({qi, qj}, x), a ) = δN( {δL(qi, x), δM(qj, x)}, a )
–
Et par construction de l'automate AN
δN({qi, qj}, x.a ) = {δL(δL(qi, x), a), δM(δM(qj, x), a)}
δN({qi, qj}, x.a ) = {δL(qi, x.a), δM(qj, x.a)}
Damien Nouvel
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Langages réguliers
●
Intersection (suite)
●
L'automate accepte un langage accepté par AL et par AM
–
Ainsi, la fonction de transition étendue défnissant le langage
L = {w | δL(q0L, w ) ∈ FL }
M = {w | δM(q0M, w ) ∈ FM }
–
Nous avons pour l'automate AL
N = {w | δN(q0N, w ) ∈ FN }
N = {w | δN({q0L, q0M}, w ) ∈ {qi, qj | qi ∈ FL, qj ∈ FM } }
N = {w | {δL(q0L, w), δM(q0M, w)} ∈ {qi, qj | qi ∈ FL, qj ∈ FM } }
N = {w | δL(q0L, w) ∈ FL, δM(q0M, w) ∈ FM } }
●
L'intersection de deux langages peut-être représentée par un
langage et est donc un langage régulier
Damien Nouvel
Automates
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Langages réguliers
●
Complémentaire
●
●
Soit L un langage régulier défni sur un alphabet Σ, alors le
complémentaire correspond à Σ* - L
On considère l'automate reconnaissant L
AL = (QL, ΣL, δL, q0L, FL)
●
Nous construisons l'automate
AM = (QL, ΣL, δL, q0L, QL – FL)
Même automate, sauf que les états acceptants deviennent nonacceptants, et vice-versa
●
Tout mot accepté par AL ne l'est pas par AM et inversement :
M = { w | δL(q0L, w) ∉ FL}
●
Le langage est accepté par un automate et est régulier
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Langages réguliers
●
Diférence
●
On remarque que la diférence entre deux langages L et M
peut-être réalisée en utilisant l'intersection et le
complémentaire
L–M =L∩M
●
Le passage au complémentaire et l'intersection de langages
réguliers donnent un langage régulier
Damien Nouvel
Automates
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Langages réguliers
●
Homomorphisme
●
Ou « morphisme de groupes » : application qui « préserve la
structure des groupes », par ex. pour des opérateurs * et ∘ :
h(x∗y) = h(x) ∘ h(y)
●
●
Par exemple pour les langages :
–
Conversion de caractères alphabétiques → numériques
–
Suppression des voyelles
–
Remplacement des espaces par des sauts de lignes
–
…
Formellement pour les langages
h(x.y.z) = h(x).h(y).h(z)
h(L) = { h(w) | w ∈ L }
Damien Nouvel
Automates
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Langages réguliers
●
Homomorphisme (suite)
●
Application d'un homomorphisme à une expression régulière
–
●
Chaque symbole de l'expression
Soit un langage L représenté par l'expression régulière E
h(L(E)) = L(h(E))
●
Preuve par récursivité
–
Pour un symbole simple E = a alors L(h(a)) = h(a) = h(L(a))
–
Selon la forme de l'expression régulière
●
Si E = F+G, en supposant L(h(F)) = h(L(F)) et L(h(G)) = h(L(G)) alors
L(h(E) = L(h(F+G)) = L(h(F) + h(G)) = L(h(F)) ∪ L(h(G))
h(L(E) = h(L(F+G)) = h(L(F) ∪ L(G)) = h(L(F)) ∪ h(L(G))
Par induction : h(L(E) = L(h(E)
Damien Nouvel
Automates
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Langages réguliers
●
Homomorphisme (suite)
●
Preuve par récursivité (suite)
–
Selon la forme de l'expression régulière (suite)
●
●
Si E = F.G, en supposant L(h(F)) = h(L(F)) et L(h(G)) = h(L(G)) alors
h(E) = h(F.G) = h(F).h(G)
L(E) = L(F).L(G)
L(h(E)) = L(h(F.G)) = L(h(F).h(G)) = L(h(F)).L(h(G))
h(L(E)) = h(L(F).L(G)) = h(L(F)).h(L(G))
Par induction, L(h(E)) = h(L(E))
Si E = F*, en supposant L(h(F)) = h(L(F))
h(E) = h(F*) = h(F)*
L(h(E)) = L(h(F)*) = L(h(F))*
h(L(E)) = h(L(F*)) = h(L(F))*
Par induction, L(h(E)) = h(L(E))
●
Un langage, lors de sa transformation par homomorphisme
reste reconnu par une expression régulière et est régulier
Damien Nouvel
Automates
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Plan
●
●
●
Langages réguliers
●
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Automates
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●
Langages des expressions régulières et des automates
●
Théorème : pour tout automate, il existe une expression
régulière reconnaissant le même langage
–
●
Théorème : pour toute expression régulière, il existe un
automate reconnaissant le même langage
–
●
Possibilité de transformer un automate en expression régulière
Possibilité de transformer une expression régulière en automate
Passage par une représentation « intermédiaire »
●
Procédure précise pour réaliser la transformation
●
Ressemble aux automates (noeuds = états, arcs = transitions)
●
Transitions notées comme des expressions régulières
●
Ce n'est plus un automate au sens DFA / FNA / ε-NFA
Damien Nouvel
Automates
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●
Automate → expression régulière
●
Remplacement des « , » par des « + » sur les transitions
●
Élimination des états « intermédiaires » (sauf initial / fnaux)
–
Pour un état, déterminer l'expression régulière des transitions qui
« passent » par cet état :
A
B
C
AB
AC
C
AB*C
B
A
A
Damien Nouvel
B
AB+C
C
Automates
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●
Automate → expression régulière (suite)
●
Dans le cas général :
B
C
A
●
AB*C+D
D
Cas particulier :
A
BC*D+A
C
B
D
Damien Nouvel
Automates
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●
On considère toutes les paires d'états entrants / sortants :
D
EC*G+H
G
G
*
G
E
BC
H
A+BC*D
BC*G
B
A
C
EC *
D
●
F+EC*G
F
Damien Nouvel
Automates
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●
●
Pour terminer, ne sont conservés que l'état initial et les états
fnaux, sous la forme générale :
A
C
B
(A+BC*D)*BC*
D
●
Pour chaque état fnal, on supprimer les autres états fnaux,
puis on fait la disjonction entre les expressions obtenues :
C
A
Damien Nouvel
B
D
E
G
((A+EF*G)+BC*D)*BC*
+
((A+BC*D)+EF*G)*EF*
F
Automates
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●
Expression régulière → automate
●
●
Séparer les parties de l'expression régulière pour créer les
nœuds de l'automate
–
Il faut une procédure dans laquelle à chaque étape les nœuds au
départ / à la fn de l'expression régulière sont identifés
–
L'utilisation des transitions ε permet de décomposer l'expression
régulière de manière automatique
Au départ, on considère l'expression régulière entière comme
une seule transition :
Si A = b*c+d :
A
Damien Nouvel
b*c+d
Automates
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●
Expression régulière → automate
●
On décompose récursivement les parties de l'expression
régulière, en prenant garde au parenthèses et à la précédence
des opérateurs :
AB
A
ε
ε
A+B
ε
A
B
A
A
ε
*
Damien Nouvel
ε
B
ε
ε
ε
ε
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