II STATIQUE DES FLUIDES 1. Définitions et équations

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Université Paul Sabatier - FSI
L2 Mécanique / Mathématiques
II
STATIQUE DES FLUIDES
Après avoir étudié les propriétés générales des fluides, nous abordons ici le domaine des
fluides en équilibre statique, ou encore des fluides au repos.
(pas d’écoulement dans ce chapitre).
1. Définitions et équations
La statique des fluides est l’étude des fluides au repos (ou en équilibre statique).
L’étude de la statique des fluides se ramène généralement à la question suivante:
Quelle est la pression qui s’exerce en tout point du fluide au repos ?
a) Pression
On a vu au chapitre I qu’un fluide (gaz ou liquide) est un corps dont les molécules sont sans
cesse en déplacement et assimilé à un corps continu, sans rigidité, pouvant s’écouler et se
déformant sous l’action d’une force extérieure.
La présence d’une paroi dans le volume du fluide provoque de nombreux chocs entre les
molécules du fluide et la paroi.
Considérons un fluide homogène enfermé dans une enceinte, en l’absence de forces pesanteur
r
Les molécules constituant ce fluide génèrent des forces désordonnées f i uniformément
réparties. Le fluide exerce alors une force de surface, dirigée du fluide vers la paroi qui
dépend de la nature du fluide et de son état de mouvement relativement à la paroi.
Mécanique des fluides
Manuel Marcoux
II - 1
Considérons un point M sur la paroi, et dS l’élément de surface autour de ce point.
r
En moyenne, la force résultante df des efforts exercés sur dS est normale à dS .
Par définition, la pression P qui s’exerce sur dS est égale au quotient du module df par la
surface dS :
P=
df
dS
(scalaire)
On peut alors écrire que dans le cas d’un fluide au repos, sur un élément de surface dS autour
r
du point M traité, s’exerce la force élémentaire df telle que :
uur
r
df = p n dS
où
r
n est la normale sortante à la paroi.
P est la pression exercée par le fluide sur la paroi en M
Remarque :
En réalité, il existe une pression en tout point d’un fluide, même en l’absence de paroi, liée
aux forces de pression qui s’exercent à sa surface et aux forces de volume (poids …)
b) Unités
La pression P correspond à une force par unité de surface, elle s’exprime dans le système
international en N m 2 ou Pascals (Pa)
Dans le système international, on a :
Manuel Marcoux
II - 2
[P] = [F 2]
[L]
=
N
kg.m.s −2
=
= kg.m.s − 2 = Pa
2
2
m
m
Remarques :
•
1 Pa correspond à une pression très faible
→ On utilise couramment le bar : 1bar = 105 Pa (ou encore l’hPa, en météo =100 Pa)
•
La pression atmosphérique de l’air varie ordinairement de 0.9 à 1.2 bars.
→ Sa valeur moyenne à la surface de la Terre est 1.01325 bar = 1 atm
•
La mesure de la pression atmosphérique à l'aide de manomètres à colonne de mercure
reste une méthode courante → autre unité utilisée : 1.01325 bar = 760 mmHg ou Torr
(pression exercée par une colonne de mercure de 1mm, cf. paragraphe suivant)
Autres unités :
•
le PSI (Pound per Square Inch), ou livre par pouce carré, unité anglo-saxonne, très
utilisée en aéronautique : 1 PSI = 6895 Pa
•
le mCE (mètre de colonne d’eau),
1 mCE = pression exercée par 1 m de colonne d’eau, à 4°C et sous 1 atm = 9807 Pa
Le mCE est très commode lorsque le fluide est l’eau (chauffage, réseau d’eau potable,
hydraulique…) mais ne se justifie pas pour les autres liquides.
Remarque : Toutes ces unités sont proportionnelles.
c) Equation fondamentale
En présence d’autres forces, la pression devient variable. Le champ de pesanteur en particulier
fait varier la pression en fonction de l’altitude.
Relation exprimant les variations de pression en fonction de z dans le champ de pesanteur
(vertical, /z, et orientée vers le bas):
dp
= −ρ g
dz
Relation fondamentale de la statique des fluides (RFSF), en 1D
Démonstration :
Manuel Marcoux
II - 3
Equilibre d’un élément de liquide dans le champ de pesanteur
Remarques :
•
Le signe – traduit le fait que la pression diminue quand l’altitude augmente
•
Dans les problème que nous traiterons, le champ de pesanteur sera généralement orienté
r
r
vers le bas et uniforme : g = − g ez , avec g = cste
Généralisation
De manière générale (configuration tridimensionnelle) lorsque le champ de pesanteur est
orienté de manière quelconque, celle-ci s’écrit :
r
r
r
F pesanteur = ∫∫∫ ρ g dV
(= m g si ρ et g sont constants)
V
où V est le volume fluide.
Par ailleurs on a P = P ( x, y , z ) , et la force élémentaire de pression s’écrit :
r
⎛ ∂P r ∂P r ∂P r ⎞
df = −⎜⎜
ex +
ey +
e z ⎟⎟ = −Grad P dV
∂
x
∂
y
∂
z
⎝
⎠
La résultante des forces de pression exercées sur un système Σ de volume V limité par la
surface S vaut alors :
r
ou
r
r
df
F pression = ∫∫∫
dV = − ∫∫∫ Grad P dV = − ∫∫ P n dS
V dV
V
S
L’équilibre du système se traduit par :
r
r
(théorème d’Ostrogradsky)
r
∑F = 0 ⇔ F
pression
r
r
+ Fpesanteur = 0
r
r
⇒ − ∫∫∫ Grad P dV + ∫∫∫ ρ g dV = 0
V
V
Soit encore, localement, dans l’élément de volume dV :
uuuuuur
r r
−Grad p + ρ g = 0
Relation fondamentale de la statique des fluides en 3D
(Le cas précédent, 1d, est un cas particulier de celui-ci)
Manuel Marcoux
II - 4
2. Statique des fluides incompressibles
Dans le cas où le volume du fluide est peu influencé par les conditions externes (pression,
température) il est alors considéré incompressible, et on a ρ ≈ cste .
C’est le cas de la plupart des liquides.
Les résultats présentés dans cette partie concernent donc des liquides en équilibre statique
dans le champ de pesanteur, et en présence de parois ou d’interfaces.
a) Variations de pression
Dans le cas des fluide incompressibles ( ρ = cste ), la RFSF en 1D donne :
dP
= − ρ g = Cste
dz
En intégrant cette relation /z, on obtient alors le théorème de Pascal :
P ( z ) = − ρ g z + Cste
La pression augmente donc linéairement avec la profondeur
Remarques :
•
Ce résultat est à l’origine du principe de fonctionnement des manomètres et baromètres
(variation linéaire → il est facile de faire une échelle graduée de pression / référence)
•
Ce résultat n’est pas vrai en présence d’autres forces, pour ρ ≠ Cste ou pour un fluide
compressible
•
Entre deux points A et B situées à des hauteurs de différence h,; la variation de pression
s’exprime alors simplement par :
PB − PA = ρ g h
Exemple : cas de l’eau, ρ = 1000 kg .m −3 , et g = 9.81 m.s −2
Si Δz = 1 mm → ΔP = 9.81 Pa ≈ 10 −4 Patm (négligeable)
Si Δz = 10 m → ΔP = 98100 Pa ≈ 1bar = Patm ⇒ la pression augmente de 1 bar tous les 10m
(cf plongée …)
Manuel Marcoux
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Conséquence : Principe de Pascal
Un liquide au repos transmet parfaitement toute variation de pression
→ Utilisation dans la transmission de forces (presse hydraulique, piston, circuit de freins,
vérins …)
b) Liquide à surface libre
Considérons un liquide contenu dans un récipient sans couvercle, dont la surface est en
contact avec l’air extérieur (surface libre) à la pression atmosphérique.
On note z la verticale descendante.
L’application du théorème de Pascal entre un point de la surface et un point M dans le
récipient, de profondeur h par rapport à la surface libre:
PM − Patm = ρ g h = Pr
Pr est ce que l’on appelle pression hydrostatique (ou relative).
PM est la pression absolue ou totale (pression par rapport à une situation de vide parfait, où la
pression est nulle)
Remarques :
•
Elle est indépendante de la forme du récipient
cf. expérience du « crève-tonneau » de Pascal, 1650
•
la plupart des manomètres mesurent Pr et non la pression absolue
Application : Baromètre au mercure (Torricelli, 1643)
Le tube de Torricelli, baptisé par la suite baromètre, est un tube en U, fermé d’un coté et
ouvert vers l’air atmosphérique de l’autre, et contenant du mercure.
Manuel Marcoux
II - 6
Le système en équilibre présente un dénivelé h entre les deux surfaces libres de mercure qui
dépend de la pression extérieure Patm .
L’application du résultat précédent à ce système, la pression étant nulle au fond du tube fermé
(vide), donne :
Patm = ρ mercure g h (variation linéaire)
Une graduation de référence permet donc de mesurer la différence de pression à partir des
différences de niveau entre les deux surfaces libres du mercure.
Remarque :
Pour la pression atmosphérique standard, Patm = 1 atm = 101325 Pa , on obtient h = 760 mm .
Ceci correspond à la définition de l’unité de mesure de pression appelée le Torr (de Torricelli)
1 Torr = pression exercée par h=1mm de mercure,
1 atm = 760 Torr ⇒ 1Torr = 133.322 Pa
3. Principe d’Archimède
a) Corps immergé
Considérons un corps de volume V, délimité par la surface fermée S plongé dans un fluide de
r
masse volumique ρ et soumis au champ de pesanteur g .
Manuel Marcoux
II - 7
Définition :
La résultante de toutes le forces de pression exercées par le liquide sur le corps immergé est :
r
r
df
Π A = ∫∫∫
dV = − ∫∫∫ Grad P dV
V dV
V
r
Or d’après l’équilibre hydrostatique : Grad P = ρ l g , avec ρ l constant
r
r
r
⇒ Π A = − ρ l V g = −ml g
Théorème d’Archimède
« Tout corps plongé dans un fluide en équilibre est soumis de la part de celui-ci à une poussée
verticale dirigée de bas en haut, égale au poids du volume de fluide déplacé, et appliqué au
centre de masse de ce volume (centre de carène) »
(découverte due à Archimède, 250 ans avant JC).
Application : Montgolfière
Quelle taille doit avoir une montgolfière sphérique remplie d’Hélium pour soulever une masse
de 2 tonnes ?
( ρ He = 0.17 kg .m −3 et ρ air = 1.3 kg .m −3 à température et pression ambiante)
Conditions d’équilibre
Soit un corps immergé dans un fluide au repos.
r
r r
Son comportement est donné par le poids apparent : Pap = P + Π A
r
En projetant / ez no obtient : Pap = − P + Π A
•
si Pap > 0 , le corps s’élève
•
si Pap = 0 , le corps reste immobile (équilibre)
•
si Pap < 0 , le corps chute, s’enfonce
b) Flottaison
Soit un objet (surface fermée S, volume V) immergé à l’interface entre deux fluides 1 et 2 (eau
et air par exemple)
V peut alors être décomposé 2 en parties : V1 en contact avec 1 et V2 en contact 2
Manuel Marcoux
II - 8
Définition :
La résultante des forces de pression qu’exercent 1 et 2 sur V s’écrit dans ce cas.
uuuuuur
uuuuuur
uuuuuur
r
Π A = − ∫∫∫ Grad p dv = − ∫∫∫ Grad p1 dv1 − ∫∫∫ Grad p2 dv2
V
V1
V2
D’où d’après le principe d’Archimède appliqué à chacun des 2 fluides
r
r
r
r
Π A = Π A1 + Π A2 = −(m1 + m2 ) g
les masse m1 et m2 étant respectivement les masses des fluides 1 et 2 déplacées par les parties
du corps immergé en contacte avec celles-ci.
Application :
Dans le cas d’un corps flottant sur l’eau (interface air-eau), comme ρeau ≈ 1000ρair , le poids de
l’air déplacé peut être négligé.
r
r
⇒ Π A = −meaudéplacée g
Remarque :
r
La poussée d’Archimède Π A est appliquée au centre d’inertie des fluides déplacés, appelé
centre de carène, noté C, et non au centre de masse G du corps flottant
⇒ Problème lorsque C est en dessous du centre de masse G du solide : position instable
(cf. bateaux avec une coque triangulaire, TP)
Manuel Marcoux
II - 9
4. Forces de pression sur une paroi
Définition
On appelle torseur des forces de pression sur une paroi de surface S le torseur des actions
mécaniques sur cette paroi, [F ( P → S )] , défini par la résultante des forces appliquées et le
moment de ces forces en un point : (cf. mécanique du solide)
r
⎧⎪ R( P → S ) ⎫⎪
[F ( P → S )] = ⎨ r
⎬
⎩⎪M A ( P → S )⎭⎪ A
r
r
r
avec : R( P → S ) = ∫∫ df = ∫∫ P n dS
S
r
M A (P → S ) =
S
∫∫
S
r
r
AM ∧ d f = − ∫∫ AM ∧ P n dS
S
A étant le point où s’applique le moment.
Ceci permet de déterminer les forces de pression auxquelles doit résister un récipient rempli
de liquide par exemple
Définition :
Le point d’application de la résultante des forces de pression est le point C pour lequel le
r
r
moment résultant est nul : M C ( P → S ) = 0
r
(Comme pour le centre de gravité G, qui est point d’application du poids résultante m g sur
r
r
le volume V : M G ( g → V ) = 0 )
Application : Réservoir ou barrage à paroi plane
Considérons une paroi rectangulaire verticale, de largeur L et de hauteur h, séparant un liquide
masse volumique ρ de l’air à pression atmosphérique.
Manuel Marcoux
II - 10
•
Quelle est la résultante des forces qu’exerce le liquide sur cette paroi ? R =
•
Quel est le point d’application ? d =
1
ρ g Lh 2
2
2
h
3
Particularité : Pression sur le fond d’un réservoir
Considérons un récipient de forme quelconque à fond plat de surface S rempli d’un liquide de
masse volumique ρ jusqu’à une hauteur h.
Dans ce cas, la résultante de forces de pression exercées par le liquide sur le fond (z=0)
s’écrit :
r
r
r
r
R( P → S ) = − ∫∫ P( z = 0) n dS , avec P ( z = 0) = cste = ρ g h et n = −e z
S
r
r
⇒ R = R e z , avec R = ρ g h S
Cette pression ne dépend que de la surface d’appui, et non de la forme du récipient,
contrairement au poids
Manuel Marcoux
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5. Hydrostatique en référentiel non galiléen
Si le référentiel dans lequel le fluide est au repos n’est pas galiléen (accélération, rotation …)
il faut ajouter les forces d’inertie d’entraînement et de Coriolis dans le bilan des forces.
La RFSF devient alors :
r
r r
F
F
0
+
=
∑
ie
r
r
F
∑ = −m ae
ou
Rappel : composition des accélérations (mécanique du point, rappel de L1)
Dans l’étude du mouvement d’un point matériel M, si on considère deux référentiel R et R’ en
mouvement quelconque l’un par rapport à l’autre, la dérivation de la loi de composition des
vitesses donne :
r
r
r
r
a ( M R) = a ( M R ' ) + ae ( R' R) + ac
avec
r
r
r
dω ( R ' R )
r
r
a e ( M R ') = a e (O ' R ') +
∧ O' M + ω ( R' R) ∧ ω ( R' R) ∧ O' M
dt
r
r
r
ac = 2 ω ( R' R) ∧ V ( M R')
(
)
r
où ω ( R' R) est le vecteur rotation entre les 2 repères R et R’
Applications : Détermination de la forme de la surface libre dans des récipients en
mouvement
Celle-ci est obtenue à partir des isobares (lignes de même pression) obtenues par résolution de
la RFSF en référentiel non galiléen
•
Fluide en accélération horizontale : z = −
•
Fluide en rotation uniforme (vortex) : z =
γ
g
x + cste → plan incliné
1 ω2 2
r + cste → paraboloïde
2 g
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6. Statique des fluides compressibles
Contrairement aux liquides, les gaz et vapeurs sont généralement très compressibles.
Dans ce cas le volume (et la masse volumique) est variable, et varie fortement en fonction de
la pression et de la température.
Dans le cas fréquent où ils ont un comportement de type gaz parfait, ils vérifient l‘équation
d’état :
PV = n R T =
Dans ce cas, sa masse volumique s’écrit : ρ =
Ce qui peut encore s’écrire, ρ = ρ 0
m
RT
M
m PM
,
=
V
RT
P T0
g , en fonction d’un état de référence ( P0 , V0 , T0 )
P0 T
(cf chapitre I)
L’application de la RFSF donne :
dP
P T
= −ρ0
g
dz
P0 T0
Si T varie peu ou en situation isotherme, T = cste = T0 , alors
dP
P
= −ρ0
g
dz
P0
On obtient donc, après intégration :
P( z ) = P0 e
⎛ ρ0
⎞
⎜ − g ( z − z0 ) ⎟
⎜ P
⎟
⎝ 0
⎠
(variation exponentielle, et non linéaire)
Application : dans l’air, avec ρ 0 = 1 kg .m −3 et P0 = 10 5 Pa
Si Δz = 10 m , cela donne P1 = 99902 Pa , et
ΔP
< 1%
P
⇒ on peut considérer que P et ρ restent quasiment uniformes pour des systèmes ayant des
dimensions de l’ordre de la dizaine de mètres (faux pour un liquide, cf. paragraphe 2)
Remarque :
En toute rigueur, dans l’air atmosphérique, g n’est pas constant, g = g (z )
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En fait g varie peu (0.3 % entre le niveau d la mer et 10 km d’altitude)
⎛ −z ⎞
⎜
⎟
⇒ résultat acceptable : P1 ≈ 10 5 e ⎝ 8000 ⎠
(à T = 0°C, au niveau de la mer : ρ 0 = 1.293 kg .m −3 et P0 = 101325 Pa )
Manuel Marcoux
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