Brevet blanc janvier 2014 énoncé et corrigé

Brevet blanc
Mathématiques
Jeudi 23 janvier 2014
Le sujet comporte huit exercices indépendants :
Quatre points seront attribués au soin, aux unités et à la clarté de vos explications.
L’utilisation d’une calculatrice est autorisée.
Aucun prêt de matériel n’est autorisé.
Durée : 2 heures
Exercice 1 (5 points)
On donne le programme de calcul suivant.
• Choisir un nombre.
• Lui ajouter 3.
• Multiplier cette somme par 4.
• Enlever 12 au résultat obtenu.
1. Montrer que si le nombre choisi au départ est 2, on obtient comme résultat 8. (0,5pt)
2. Calculer la valeur exacte du résultat lorsque :
1
, (1pt)
3
√
(b) le nombre choisi est 5. (1pt)
(a) le nombre choisi est
3. (a) A votre avis, comment peut-on passer, en une seule étape, du nombre de départ au résultat
final ? (0,5pt)
(b) Démontrer votre réponse. (2pts)
Dans cette question, toute trace de recherche sera prise en compte dans l’évaluation.
Exercice 2 (3 points)
On rappelle que : (a+ b)2 = a2 + 2ab + b2
;
(a− b)2 = a2 − 2ab + b2
;
√
√
√
On donne les expressions suivantes : A = (3 2 + 5)2 et B = ( 7 + 3)( 7 − 3)
(a+ b)(a− b) = a2 − b2
.
Pour les deux questions suivantes, vous indiquerez toutes les étapes de calcul.
√
1. Ecrire A sous la forme a + b 2 où a et b sont des nombres entiers. (1,5pt)
2. Calculer B. (1,5pt)
Exercice 3 (4,5 points)
On donne les nombres :
• A=
3 2 21
− ×
7 7
8
3 × 102 × 1, 8 × 10−3
6 × 104
√
√
√
• C = 12 − 5 75 + 2 147
• B=
1. Calculer A et donner le résultat sous la forme d’une fraction irréductible. Ecrire toutes les étapes du
calcul. (1,5pt)
2. (a) Donner l’écriture décimale de B. (1pt)
(b) Exprimer B en écriture scientifique. (0,5pt)
√
3. Ecrire C sous la forme a 3, où a est un nombre entier. (1,5pt)
Exercice 4 (6 points)
1. Construire un triangle ABC tel que AB = 6 cm ; AC = 8 cm et BC = 10 cm. (1pt)
2. Démontrer que ce triangle est rectangle en A. (1,5pt)
3. On appelle O le centre du cercle circonscrit à ce triangle.
(a) Où se trouve le point O ? Justifier votre réponse. (1pt)
(b) En déduire le rayon de ce cercle. (0,5pt)
4. Construire le point D pour que le quadrilatère ABDC soit un rectangle. Le point D appartient-il au cercle
circonscrit au triangle ABC ? Justifier. (2pts)
Exercice 5 (4,5 points)
+
Un parc de jeu a une forme triangulaire. Il est représenté
sur la figure ci-contre où les dimensions ne sont pas respectées.
Les dimensions réelles de ce terrain sont :
DE = 12 m ; EF = 9 m ; DF = 15 m.
+
E
D
1. On veut construire ce triangle à l’échelle 1/200.
(a) Recopier et compléter le tableau ci-dessous : (1pt)
+
Dimensions réelles
Dimensions du dessin
DE
12 m
6 cm
EF
9m
DF
15 m
(b) Construire le triangle DEF.(1pt)
2. Montrer que le terrain de ce parc possède un angle droit.(1,5pt)
3. Calculer l’aire réelle de ce parc.(1pt)
Exercice 6 (4 points)
Un touriste veut connaı̂tre la hauteur du phare de la pointe Vénus situé dans la commune de Mahina.
Pour cela, il met à l’eau une bouée B, munie d’un drapeau d’une hauteur BB’ de 2 m.
Puis, il s’en éloigne jusqu’à ce que la hauteur du drapeau semble être la même que celle du phare.
Le touriste se trouve alors au point O.
La figure suivante représente la situation à cet instant.
′
P
+
1. Montrer que les droites (BB ′ ) et (P P ′ ) sont parallèles. (1pt)
2. Calculer la hauteur PP’ du phare. (3pts)
B′
+
2m
B
O
+
+
+
P
3m
48 m
F
Exercice 7 (3 points)
C
Le graphique ci-contre représente la courbe C
d’une fonction g.
Par lecture graphique, recopier et compléter :
−2
1
0
−1
1. L’image de 1 par la fonction g est . . . (0,5pt)
1
2
3
−1
2. Les antécédents de 0 par la fonction g sont . . . (1pt)
−2
3. g(2) = . . . (0,5pt)
4. Les nombres qui ont pour image -3 par la
fonction g sont . . . (1pt)
−3
−4
Exercice 8 (6 points)
Cet exercice est un questionnaire à choix multiples (QCM). Aucune justification n’est demandée.
Pour chacune des questions, trois réponses sont proposées, une seule d’entre elles est exacte. Une bonne réponse
rapporte un point. Une mauvaise réponse enlève 0, 25 point. L’absence de réponse ne rapporte ni n’enlève aucun
point. Si le total des points est négatif, la note globale attribuée à l’exercice est 0.
Pour chacune des six questions, indiquer sur la copie le numéro de la question et recopier la réponse exacte.
Questions
Réponse 1
Réponse 2
Réponse 3
Pour les questions 1, 2 et 3, on considère la fonction définie par : f (x) = (x − 1)(x + 3)
1
L’image de 2 par f est :
5
2(x + 3)
-3
2
Un antécédent de -4 par f est :
0
-1
-2
3
L’image de 1 −
√
2(1 − 2 2)
√
2+2 2
√
2+3 2
5 a pour image -2
par g
0 n’a pas d’image
par g
2 est l’image de -3
par g
0
1 et -1
2
5
3
6
√
2 par f est :
Les questions suivantes sont indépendantes
4
Soit g √la fonction telle que
g(x) = x − 1 alors :
5
Soit la fonction l définie par
l(x) = −2x2
-2 est l’image de :
6
Soit la fonction h : x 7→ 4 − x2 .
-1 a pour image :