Université d`Aix-Marseille 2012–2013 Mathématiques pour la

Université d’Aix-Marseille
2012–2013
Mathématiques pour la Biologie II
Feuille d’exercice
Tests sur les proportions.
Comparaison d’une proportion empirique à une valeur théorique.
Exercice 1. Estimation de π.
On tire au hasard N points X = (X1 , X2 ) dans un carré centré en (0, 0) et de côté 2, de manière uniforme.
C’est-à-dire que les deux coordonnées X1 et X2 suivent chacun la loi uniforme sur [−1, 1]. On compte le
nombre NC de points qui tombent à l’intérieur du cercle C de centre 0 et rayon 1 (sur le dessin N = 20 et
NC = 15). On calcule ensuite la fréquence empirique FN des points qui "tombent" dans le cercle C
FN =
NC
.
N
1. Expliquer pourquoi 4FN peut-être considéré comme une estimation de π.
2. Quelle est la loi suivie par la variable aléatoire NC .
3. Donner la variance et l’écart-type de la variable aléatoire FN . Quelle loi approchée peut-on lui associer
si N est suffisamment grand (N ≥ 30) ?
4. On a obtenu par des calculs une approximation de π ≈ 3, 1415927. On veut la tester statistiquement.
On tire N = 1000 points comme expliqué précédemment et on trouve FN = 0, 775. Cette expérience
confirme-t-elle la valeur trouvée précédemment (Test bilatéral au seuil de 5%) ?
5. On refait 200 fois l’expérience précédente, et on s’apercoit que l’hypothèse est rejetée 12 fois et acceptée
les autres. Cela vous paraît-il raisonnable ?
6. On tire maintenant N = 1 000 000 points et on trouve FN = 0, 785721. Reprendre la question 4.
7. Calculer l’intervalle de confiance pour π associé à l’expérience précédente.
8. Combien faudrait-il tirer de points pour que cet intervalle de confiance ait une longueur de 10−8 ?
Exercice 2. Sex-ratio à la naissance. Sur un échantillon de couples tirés au hasard dans la population
française, on a observé au cours d’une année 937 naissances de filles contre 973 garçons. L’hypothèse que
dans la population totale, la probabilité d’avoir une fille ou un garçon soit égale est-elle acceptable au seuil
de 5% ? Quelle est la p-valeur associée à ce test ?
Données imaginées, mais le sex-ratio à la naissance est réaliste pour la France (pas par contre pour la Chine).
Comparaison entre elles de deux proportions empiriques.
Exercice 3. Taux de fumeurs à la ville et à la campagne.
Dans une étude sur la proportion de fumeurs en fonction des conditions de vie, on a observé
– 22% de fumeurs sur 156 adultes citadins.
– 19.5% de fumeurs sur 107 adultes vivants à la campagne.
La différence observée est-elle significative au seuil de 2, 5%, pour un test unilatéral ?
Données inventées, mais la proportion globale de 24% est correcte.
Exercice 4. Taux de mortalité en unité de soins intensifs.
Chez 256 patients hospitalisés en unité de soins intensifs, on étudie l’association entre l’existence d’une
infection à l’admission et le décès en cours d’hospitalisation.
– Parmi les 108 patients infectés, on observe 37 décès.
– Parmi les 148 patients infectés, on observe 31 décès.
La différence entre les deux taux de mortalité est-elle significative, au seuil de 5% (test bilatéral) ?
Données issue de http: // lib. stat. cmu. edu/ DASL
Exercice 5. Utilisation des gants à l’hôpital.
1. Une observation a montré que 52% des 117 infirmières d’un hôpital portaient des gants lors de certaines
interventions à risque. Dans un second hôpital où les 97 infirmières ont suivi une formation spécifique,
ce taux est de 59%. La différence est-elle significative au seuil de 5% ?
2. Parmi les 97 infirmières du second hôpital, les effectifs se répartissent de la manière suivante :
– 28 des 42 infirmières avec moins de 3 ans d’expérience portent systématiquement leurs gants.
– 29 des 55 infirmières avec plus de 3 ans d’expériences ne portent pas systématiquement leurs gants.
La différence du taux d’utilisation des gants entre les deux populations d’infirmières est-elle significative
(Test bilatéral au seuil de 5%) ?
Même source que pour l’exercice précédent.
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