Promenade mathématique au pays du Sudoku

Transcription

Présentation
Résolution
humaine
bestiale
AVERTISSEMENT
Autres grilles
Carré latin
Carré gréco-latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Ce document est le support visuel de l’exposé présenté
aux Rencontres Mathrice
qui ont lieu à Tours du 13 au 15 mars 2007.
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Ce document n’est pas auto-suffisant.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Promenade mathématique
au pays du Sudoku
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Gérard GRANCHER,
Laboratoire de Mathématiques Raphaël Salem
CNRS-Université de Rouen
Cryptologie
Littérature
Références
mars 2007
Nipponnerie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Nipponnerie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
suji wa dokushin ni kagiru
Nipponnerie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Chaque chiffre doit être unique.
Nipponnerie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Nipponnerie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
SU
DOKU
Nipponnerie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
SU
DOKU
chiffre célibataire
Nipponnerie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
SU
DOKU
chiffre célibataire
Au Japon, « Sudoku »est un mot déposé par Nikoli.
Ainsi, ce jeu y est souvent dénommé numberplace.
L’énigme
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Une grille carrée est composée de 81 cases
regroupées en 9 blocs de 9 cases.
L’énigme
Chaque case doit comporter un chiffre de 1 à 9.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
1
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
8
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
1
9
5
L’énigme
Présentation
Résolution
humaine
Chaque chiffre doit être utilisé une fois, et une seule,
dans chaque ligne,
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
2
3
1
5
6
4
8
9
7
L’énigme
Présentation
Résolution
humaine
dans chaque ligne, chaque colonne
bestiale
Autres grilles
Carré latin
7
Carré magique
1
Combinatoire
du shidoku
4
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
2
3
1
5
6
4
8
2
5
9
3
6
9
7
L’énigme
Présentation
Résolution
humaine
dans chaque ligne, chaque colonne et chaque bloc.
bestiale
Autres grilles
Carré latin
7
Carré magique
1
Combinatoire
du shidoku
4
du sudoku
Usages
Statistique
2
3
1
Code correcteur
5
6
4
8
2
Cryptologie
Littérature
5
Références
3
1
2
9
6
4
5
3
9
7
8
6
9
7
L’énigme
Présentation
Résolution
humaine
dans chaque ligne, chaque colonne et chaque bloc.
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
1
2
3
4
5
6
7
8
9
4
5
6
7
8
9
1
2
3
7
8
9
1
2
3
4
5
6
2
3
1
5
6
4
8
9
7
5
6
4
8
9
7
2
3
1
8
9
7
2
3
1
5
6
4
3
1
2
6
4
5
9
7
8
6
4
5
9
7
8
3
1
2
9
7
8
3
1
2
6
4
5
L’énigme classique
Présentation
Résolution
Certaines cases sont dévoilées, il s’agit de déterminer les autres.
humaine
bestiale
5
3
Autres grilles
Carré latin
6
9
Carré magique
2
Combinatoire
du shidoku
6
9
du sudoku
5
8
Usages
8
6
7
Statistique
4
2
9
9
1
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
7
Références
5
6
8
3
6
4
L’énigme classique
Présentation
Résolution
Certaines cases sont dévoilées, il s’agit de déterminer les autres.
humaine
bestiale
5
3
Autres grilles
Carré latin
6
9
Carré magique
2
Combinatoire
du shidoku
6
9
du sudoku
5
8
Usages
8
6
7
Statistique
4
2
9
9
1
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
7
Références
5
6
8
3
6
4
Implicitement, il n’existe qu’une solution !
Historique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Ce type d’énigme est apparu en France à la fin du XIXe
siècle.
Historique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
siècle.
• Le Su Doku a été popularisé par Wayne GOULD à partir de
1999.
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Wayne GOULD
(1945- )
Historique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
siècle.
1999.
• Les sudokus sont apparus fin 2004 dans la presse
anglo-saxone, et dès 2005 dans la presse française.
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Wayne GOULD
(1945- )
Historique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
siècle.
1999.
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Wayne GOULD
(1945- )
La sudokumania est sans limite !
Historique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
siècle.
1999.
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Wayne GOULD
(1945- )
La sudokumania est sans limite !
Résolution manuelle
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
5
5
8
6
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
7
?
5
6
8
3
6
4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
5
5
8
6
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
7
?
5
6
8
3
6
4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
5
5
8
6
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
?
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
7
5
6
8
3
6
4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
5
5
8
6
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
?
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
7
5
6
8
3
6
4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
5
6
5
8
9
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
7
5
6
8
3
? 6
4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
5
6
5
8
9
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
7
5
6
8
3
? 6
4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
? 5
6
5
8
9
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
3
? 5
6
5
8
9
9
Carré latin
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
8
du sudoku
6
7
Usages
4
2
9
9
1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
3
bestiale
Autres grilles
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
6
8
9
6
7
Usages
Statistique
4
2
9
9
1
?
Code correcteur
Littérature
5
8
du sudoku
Références
5
9
Carré latin
Cryptologie
9
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
3
bestiale
Autres grilles
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
6
8
9
6
7
Usages
Statistique
4
2
9
9
1
?
Code correcteur
Littérature
5
8
du sudoku
Références
5
9
Carré latin
Cryptologie
9
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
3
bestiale
Autres grilles
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
du sudoku
8
Statistique
6
8
9
6
4
2
9
9
1
9
Code correcteur
Littérature
5
? 7
Usages
Références
5
9
Carré latin
Cryptologie
9
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
3
bestiale
Autres grilles
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
du sudoku
8
Statistique
6
8
9
6
4
2
9
9
1
9
Code correcteur
Littérature
5
? 7
Usages
Références
5
9
Carré latin
Cryptologie
9
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
3
bestiale
Autres grilles
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
du sudoku
8
Statistique
6
8
9
6
4
2
9
9
1
9
Code correcteur
Littérature
5
? 7
Usages
Références
5
9
Carré latin
Cryptologie
9
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
3
bestiale
Autres grilles
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
du sudoku
8
Statistique
6
8
9
6
4
2
9
9
1
9
Code correcteur
Littérature
5
? 7
Usages
Références
5
9
Carré latin
Cryptologie
9
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
Résolution
humaine
3
bestiale
Autres grilles
2
Carré magique
Combinatoire
6
9
du shidoku
du sudoku
8
Statistique
6
8
9
6
4
2
9
9
1
9
Code correcteur
Littérature
5
? 7
Usages
Références
5
9
Carré latin
Cryptologie
9
9
7
5
6
8
3
9
6
4
Présentation
3
Résolution
9
5
6
8
9
humaine
9
bestiale
Autres grilles
2
Carré latin
6
5
9
Carré magique
Combinatoire
8
6
du shidoku
6
7
4
2
9
9
1
du sudoku
9
Usages
Statistique
Code correcteur
9
7
Cryptologie
Littérature
5
6
Références
8
3
9
6
4
et ainsi de suite ...
Techniques de résolution
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Techniques élémentaires :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Seule valeur possible dans une case.
Dans une case, seul le chiffre x est possible.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Seule case possible pour une valeur.
Dans une composante (ligne, colonne ou bloc), il n’y a
qu’une case qui puisse contenir le chiffre x.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Techniques avancées :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Paire cachée.
Dans une composante (ligne, colonne ou bloc), il n’y a que
deux cases qui puissent contenir les valeurs x ou y. Donc les
autres valeurs sont exclues de ces 2 cases.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Paire cachée.
• Paire identifiée.
Dans deux cases d’une composante (ligne, colonne ou bloc),
les valeurs x ou y sont les seules possibles. Donc ces deux
valeurs sont exclues des autres cases de la composante.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Paire cachée.
• Triplet caché.
Dans une composante (ligne, colonne ou bloc), il n’y a que
trois cases qui puissent contenir les valeurs x, y ou z. Donc
les autres valeurs sont exclues de ces 3 cases.
• Triplet identifié.
Dans trois cases d’une composante (ligne, colonne ou bloc),
les trois valeurs x, y ou z sont les seules possibles. Donc
ces trois valeurs sont exclues des autres cases.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Paire cachée.
• Quadruplet caché.
• Quadruplet identifié.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Paire cachée.
Techniques sophistiquées :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Paire cachée.
Techniques sophistiquées :
• X-Wing
• XY-Wing
• Swordfish (poisson-scie)
• etc.
Résolution assistée par
ordinateur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Il s’agit uniquement de visualiser les contraintes imposées par les
cases dévoilées.
Résolution assistée par
ordinateur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Il s’agit uniquement de visualiser les contraintes imposées par les
cases dévoilées.
Utilisation du logiciel choco-sudoku proposé par :
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Narendra JUSSIEN
(1973- )
N. Jussien est enseignant à l’École des Mines de Nantes.
http://njussien.e-constraints.net/sudoku/jouer.html
Problème difficile I
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
9
7
6
Autres grilles
6
3
Carré latin
8
Carré magique
9
1
4
8
7
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
5
7
Usages
Statistique
1
3
7
9
9
2
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
5
Références
2
6
3
6
Étape 0 : 24 cases dévoilées
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
1
5
6
3
7
8
6
8
4
5
2
9
7
4
1
3
7
6
8
7
9
6
8
4
1
5
3
5
2
6
9
Autres grilles
7
6
3
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
9
1
7
du shidoku
du sudoku
8
Usages
Statistique
9
2
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
6
3
Quelques étapes plus tard : 42 cases connues
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
1
5
6
3
7
x
7
8
9
6
8
4
5
2
9
7
4
1
3
7
6
7
9
6
8
x
8
4
1
5
3
5
2
6
9
Autres grilles
6
3
x
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
1
7
du shidoku
du sudoku
8
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
2
x
6
3
Un Xwing de 2, colonnes 5 et 7
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
9
1
5
4
6
3
2
7
8
6
8
4
5
2
9
7
4
1
3
7
6
8
7
6
3
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
9
1
7
8
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
7
9
6
8
4
1
5
3
5
2
6
9
2
6
Avez-vous une idée ?
3
Problème difficile II
Présentation
Résolution
8
humaine
bestiale
Autres grilles
6
7
9
4
Carré latin
5
Carré magique
4
6
9
5
3
Combinatoire
du shidoku
3
du sudoku
7
6
Usages
8
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
7
Littérature
Références
8
2
9
4
2
9
5
3
8
9
5
2
7
6
Problème 77 de N. Jussien
3
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
5
9
8
7
6
1
9
5
4
6
9
9
3
4
Carré latin
5
Carré magique
Combinatoire
8
5
7
3
8
9
du shidoku
du sudoku
3
9
7
6
4
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
3
7
1
8
2
5
9
4
6
2
8
9
5
9
7
5
1
2
3
3
1
8
7
6
4
Après quelques réflexions
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
5
9
8
7
6
1
9
5
4
6
9
9
3
4
Carré latin
Carré magique
5
?
Combinatoire
8
5
7
3
8
9
du shidoku
du sudoku
3
9
7
6
4
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
3
7
1
8
2
5
9
4
6
2
8
9
5
9
7
5
1
2
3
3
1
8
7
6
4
? 6= 7 (donc ? = 1), car sinon ...
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
5
9
8
7
7
x
9
x
3
8
2
5
9
5
9
4
6
x
9
3
x
1
9
5
3
7
6
1
4
8
5
7
7
6
4
3
8
9
4
6
2
8
9
5
9
7
5
1
2
3
3
1
8
7
6
4
Double Xwing de 1 et 6 dans les colonnes 1 et 4,
cette grille possèderait au moins deux solutions.
Problème difficile III
Présentation
Résolution
Problème proposé sur le site www.sodokudan.com
humaine
bestiale
6
Autres grilles
Carré latin
1
5
4
2
9
7
8
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
2
7
5
Usages
4
8
7
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
9
1
3
Références
4
9
6
2
5
1
3
8
2
Présentation
Résolution
Après quelques réflexions, on obtient.
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
8
6
3
2
7
1
9
2
6
8
3
1
9
5
4
7
2
7
6
1
8
9
3
7
3
1
6
4
7
9
8
6
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6
2
7
3
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
5
1
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
6
6
5
Présentation
Situation de XY -Wing.
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
8
6
3
2
7
1
9
2
6
8
3
1
9
5
4
7
2
7
a
6
1
8
9
7
3
1
6
7
9
8
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6 b
2
7
3
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
5
1
3
c
4
6
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
9
6
6
d 5
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
8
6
3
2
7
1
9
2
6
8
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
3
1
9
5
4
7
2
7
a
6
1
8
9
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
5
1
7
3
c
3
1
6
7
9
8
7
1
3
2
8
7
4
6
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
4
2
5
7
8
6
4
4
9
5
1
6 b
2
7
3
9
6
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
8
6
3
2
7
1
9
2
6
8
3
1
9
5
4
7
2
7
a
6
1
8
9
5
1
7
3
1
6
7
9
8
3
c
4
6
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6 b
2
7
3
9
6
Cryptologie
Littérature
Références
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
a = 8 =⇒ b = 9 =⇒ d = 4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
8
6
3
2
7
1
9
5
4
7
2
6
8
c
4
3
1
9
2
7
a
6
1
8
9
7
3
1
6
7
9
8
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6 b
2
7
3
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
5
3
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
1
9
6
6
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
a = 8 =⇒ b = 9 =⇒ d = 4
a = 2 =⇒ c = 9 =⇒ d = 4
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
8
6
3
2
7
1
9
5
4
7
2
6
8
c
4
3
1
9
2
7
a
6
1
8
9
7
3
1
6
7
9
8
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6 b
2
7
3
5
1
9
6
3
6
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
Dans tous les cas, d = 4. On parle de construction disjonctive.
Présentation
Résolution par back-tracking humain
Résolution
humaine
bestiale
8
6
3
2
7
1
9
2
6
8
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
3
1
9
5
4
7
2
7
a
6
1
8
9
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
5
1
7
3
c
3
1
6
7
9
8
7
1
3
2
8
7
4
6
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
4
2
5
7
8
6
4
4
9
5
1
6 b
2
7
3
9
6
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
8
6
3
2
7
1
9
2
6
8
3
1
9
5
4
7
2
7
a
6
1
8
9
7
3
1
6
7
9
8
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6 b
2
7
3
5
1
9
6
3
c
4
6
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
d = 9 =⇒ {b = 8 et c = 2} =⇒ {a 6= 8 et a 6= 2}
Présentation
Résolution
humaine
8
6
3
2
7
1
9
2
6
8
bestiale
Autres grilles
3
1
9
5
4
7
2
7
a
6
1
8
9
7
3
1
6
7
9
8
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6 b
2
7
3
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
5
3
c
4
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
1
9
6
6
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
d = 9 =⇒ {b = 8 et c = 2} =⇒ {a 6= 8 et a 6= 2}
et il n’y a plus de valeur possible pour a,
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
8
6
3
2
7
1
9
5
4
7
2
6
8
c
4
3
1
9
2
7
a
6
1
8
9
7
3
1
6
7
9
8
4
2
5
7
1
7
8
6
4
3
2
4
9
5
1
8
7
6 b
2
7
3
5
1
9
6
3
6
6
d 5
a ∈ {2, 8}, b ∈ {8, 9}, c ∈ {2, 9} et d ∈ {4, 9}.
donc d 6= 9 d’où d = 4. C’est un raisonnement par l’absurde !
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Principe : essai-erreur.
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• On ordonne les cases à découvrir.
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• On choisit 1 pour la première case, puis 2 pour la prochaine,
ainsi de suite tant qu’aucune contradiction n’apparaı̂t.
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• À l’apparition d’une contradiction, on essaie une autre valeur
pour la case
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
pour la case
• Une fois toutes les possibilités épuisées pour cette case, on
« revient sur ses pas » et on recommence en modifiant la
valeur de l’avant-dernière case.
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
pour la case
En fait, on explore un arbre à la recherche d’une (la) solution.
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
pour la case
C’est la version informatique de la technique :
crayon + gomme + mémoire
Backtracking
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
pour la case
C’est la version informatique de la technique :
crayon + gomme + mémoire
Donald Knuth a proposé une programmation plus efficace de cet
algorithme (dancing links, meilleure gestion de la mémoire).
Algorithmes pour Sudoku
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Il existe d’autres méthodes de résolution :
• Programmation linéaire
• Recuit simulé
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
• Recuit simulé
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Vous allez échapper à la présentation de ces techniques !
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
• Recuit simulé
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Autres questions :
• Comment concevoir un problème de Sudoku ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
• Recuit simulé
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Autres questions :
• Comment évaluer la difficulté d’un problème de Sudoku ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
• Recuit simulé
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Autres questions :
• Comment s’assurer qu’il est minimal ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
• Recuit simulé
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Autres questions :
• Comment s’assurer qu’il est minimal ?
Vous allez y échapper un peu !
Carré latin
• Un carré latin est une grille carrée.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Chaque chiffre est utilisé une fois, et une seule,
dans chaque ligne, et chaque colonne.
3 2 1
2 1 3
1 3 2
Carré latin
3 2 1
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
2 1 3
1 3 2
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
• Deux carrés latins n × n, notés a(i,j) et b(i,j) , sont dits
orthogonaux si tous les couples (a(i,j) , b(i,j) ) sont distincts.
du shidoku
du sudoku
Usages
3 2 1
(3, 2) (2, 3) (1, 1)
2 3 1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
2 1 3 ⊥ 1 2 3
car
(2, 1) (1, 2) (3, 3)
Littérature
Références
1 3 2
3 1 2
(1, 3) (3, 1) (2, 2)
Carré latin
3 2 1
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
2 1 3
1 3 2
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
• Deux carrés latins n × n, notés a(i,j) et b(i,j) , sont dits
orthogonaux si tous les couples (a(i,j) , b(i,j) ) sont distincts.
du shidoku
du sudoku
Usages
3 2 1
(3, 2) (2, 3) (1, 1)
2 3 1
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
2 1 3 ⊥ 1 2 3
car
(2, 1) (1, 2) (3, 3)
Littérature
Références
1 3 2
3 1 2
• Deux carrés latins orthogonaux
(1, 3) (3, 1) (2, 2)
cβ
bγ
aα
bα
aβ
cγ
aγ
cα
bβ
constituent un carré gréco-latin.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Leonhard EULER
(1707-1783)
L. Euler en 1782 : [La] question rouloit sur une assemblée de 36
officiers, de six différens grades et tirés de six régiments différens qu’il
s’agissoit de ranger dans un quarré de manière que sur chaque ligne,
tant horizontale que verticale, il se trouvât six officiers tant de différens
caractères que de régimens différens. Or, après toutes les peines qu’on
s’est données pour résoudre ce problème, on a été obligé de reconnoı̂tre
qu’un tel arrangement est absolument impossible, quoique on ne puisse
en donner une démonstration rigoureuse.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Leonhard EULER
(1707-1783)
Euler conjectura qu’il n’existe pas de carré gréco-latin n × n pour
n = 4k + 2.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Leonhard EULER
(1707-1783)
Gaston Tarry
(1843-1913)
Euler conjectura qu’il n’existe pas de carré gréco-latin n × n pour
n = 4k + 2.
Gaston Tarry (1901) prouve l’inexistence de carré gréco-latin 6 × 6.
• La conjecture d’Euler est fausse.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• En 1959, R. C. Bose, S. S. Shrikhande, E. T. Parker prouvent
l’existence de carrés gréco-latins de toutes les tailles, sauf
2 × 2 et 6 × 6.
Carré magique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Melancolia 1514
Albrecht DÜRER
(1471-1528)
Carré magique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Melancolia 1514
Albrecht DÜRER
(1471-1528)
Carré magique
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
16
3
2
13
5
10 11
8
9
6
7
12
4
15 14
1
Cryptologie
Littérature
Références
Melancolia 1514
Albrecht DÜRER
(1471-1528)
Carré magique
Présentation
Le carré magique 6 × 6 de Xian (Chine) :
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
28
4
3
31 35 10
Carré latin
Carré magique
36 18 21 24 11
1
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
7
23 12 17 22 30
8
13 26 19 16 29
5
20 15 14 25 32
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
27 33 34
6
2
La somme de chaque ligne, colonne et diagonale vaut 111.
9
Carré magique
Construction à partir de 2 carrés latins orthogonaux diagonaux :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Carré magique
Présentation
Résolution
humaine
1 0 2 3
11 03 20 32
1 3 0 2
bestiale
Autres grilles
3 2 0 1
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
⊥
0 2 1 3
0 1 3 2
2 0 3 1
2 3 1 0
3 1 2 0
car
30 22 01 13
02 10 33 21
23 31 12 00
Carré magique
Présentation
Résolution
humaine
1 0 2 3
11 03 20 32
1 3 0 2
bestiale
Autres grilles
3 2 0 1
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
⊥
0 2 1 3
0 1 3 2
2 0 3 1
2 3 1 0
3 1 2 0
car
02 10 33 21
23 31 12 00
du sudoku
Usages
Statistique
Ré-écriture de la base 4 en base 10.
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
5
30 22 01 13
3
8
14
12 10
1
7
2
4
15
9
11 13
6
0
Carré magique
Présentation
Résolution
humaine
1 0 2 3
11 03 20 32
1 3 0 2
bestiale
Autres grilles
3 2 0 1
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
⊥
0 2 1 3
0 1 3 2
2 0 3 1
2 3 1 0
3 1 2 0
car
30 22 01 13
02 10 33 21
23 31 12 00
du sudoku
Usages
Statistique
Ré-écriture de la base 4 en base 10.
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
5
3
8
14
12 10
1
7
2
4
15
9
11 13
6
0
Tout carré magique n’est pas associé à un carré gréco-latin.
Quelques questions
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Combien existe-t-il de grilles de Sudoku ?
Quelques questions
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Combien existe-t-il de grilles de Sudoku vraiment
différentes ?
Quelques questions
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
différentes ?
• Quel est le nombre minimal de cases dévoilées d’un
problème de Sudoku ?
Quelques questions
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
différentes ?
• Quel est le nombre minimal de cases dévoilées d’un
problème de Sudoku ?
Cryptologie
Littérature
Références
Vous n’y échapperez pas complètement !
Un cas (trop) simple
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Ceci est un sudoku.
Un cas moins simple
Le shi doku :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Un cas moins simple
Le shi doku :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Le nombre de carrés latins 4 × 4 vaut : 4! × 3! × 4 (= 576).
Un cas moins simple
Le shi doku :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Il existe 4! × 12, soit 288, shidokus.
Un cas moins simple
Le shi doku :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Le nombre minimal de cases dévoilées vaut 4.
Le shi doku :
Un cas moins simple
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
1
Références
2
3
3
Un cas moins simple
Le shi doku :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
4
3
4
3
1
2
Un cas moins simple
Le shi doku :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
1
2
3
4
3
4
2
1
2
1
4
3
4
3
1
2
Il existe seulement 2 shidokus vraiment distincts.
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
1
2
4
3
2
1
4
3
2
1
2
1
4
3
4
3
2
1
2
1
4
3
3
4
1
2
4
3
2
1
2
1
4
3
3
4
1
2
2
1
4
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
4
3
1
2
4
3
1
2
3
4
2
1
3
4
2
1
2
1
4
3
3
4
2
1
2
1
4
3
4
3
1
2
3
4
2
1
2
1
4
3
4
3
1
2
2
1
4
3
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
1
2
4
3
2
1
4
3
2
1
2
3
4
1
4
1
2
3
2
4
1
3
3
1
4
2
4
1
2
3
2
3
4
1
3
1
4
2
2
4
1
3
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
4
3
2
1
2
1
4
3
2
1
4
3
4
3
2
1
3
4
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
4
3
1
2
3
4
2
1
2
1
4
3
2
1
4
3
3
4
2
1
4
3
1
2
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
4
3
2
1
2
3
4
1
2
4
1
3
4
1
2
3
3
1
4
2
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
1
2
3
4
3
4
1
2
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
4
3
1
2
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
2
1
4
3
3
4
2
1
1
2
3
4
3
4
1
2
2
3
4
1
4
1
2
3
Références
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
1
2
3
4
3
4
1
2
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
4
2
3
1
4
3
1
2
3
1
4
2
1
4
2
3
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
2
1
4
3
2
3
3
4
2
1 ⇔ 1
4
1
2
3
4
3
4
1
2
2
3
4
1
4
1
2
3
Références
Rotation d’un quart de tour.
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
1
2
3
4
3
4
1
2
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
2
1
4
3
4
3
2
1
1
2
3
4
4
2
3
1
4
3
1
2
3
1
4
2
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
2
1
4
3
2
3
1
4
3
4
2
1 ⇔ 1
4
2
3
1
2
3
4
4
2
3
1
3
4
1
2
3
1
4
2
2
3
4
1
2
3
1
4
4
1
2
3 ⇔ 1
4
2
3
Rotation d’un quart de tour.
Références
Échange 1 ↔ 4
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
1
2
2
1
4
3
2
3
4
1
4
3
2
1
4
1
2
3
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Ce sont deux shidokus « vraiment différents ».
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
1
2
2
1
4
3
2
3
4
1
4
3
2
1
4
1
2
3
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Théorème (lemme de Burnside)
Soit G groupe fini opérant sur un
ensemble X . Pour chaque g ∈ G, soit X g
l’ensemble des éléments de X qui restent
fixes par g : X g = {x ∈ X ; gx = x}.
Notons |X /G| le nombre d’orbites alors :
|X /G| =
1 X g
|X |
|G|
g∈G
William BURNSIDE
(1852-1927)
Liste des shidokus
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
1
2
3
4
1
2
3
4
3
4
1
2
3
4
1
2
2
1
4
3
2
3
4
1
4
3
2
1
4
1
2
3
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Théorème (lemme de Burnside)
Soit G groupe fini opérant sur un
ensemble X . Pour chaque g ∈ G, soit X g
l’ensemble des éléments de X qui restent
fixes par g : X g = {x ∈ X ; gx = x}.
Notons |X /G| le nombre d’orbites alors :
|X /G| =
William BURNSIDE
(1852-1927)
1 X g
|X |
|G|
g∈G
Ce théorème est dû à A. Cauchy (1845) ou Frobenius (1887).
Combien existe-t-il de grilles
de Sudoku ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
de Sudoku ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Majoration très approximative : moins de (9!)9 ' 1, 09 × 1050 .
de Sudoku ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Nombre de carrés latins 9 × 9 :
9! × 8! × 221 × 32 × 5 231 × 3 824 477 ' 5, 525 × 1027
de Sudoku ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
9! × 8! × 221 × 32 × 5 231 × 3 824 477 ' 5, 525 × 1027
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Théorème (B. Felgenhauer et F. Jarvis (2005))
Le nombre de grilles de sudoku distinctes vaut
9! × (3!)4 × 29 × 27 704 267 971,
soit exactement 6 670 903 752 021 072 936 960
et approximativement 6, 671 × 1021 .
de Sudoku ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
9! × 8! × 221 × 32 × 5 231 × 3 824 477 ' 5, 525 × 1027
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Théorème (B. Felgenhauer et F. Jarvis (2005))
Le nombre de grilles de sudoku distinctes vaut
9! × (3!)4 × 29 × 27 704 267 971,
soit exactement 6 670 903 752 021 072 936 960
et approximativement 6, 671 × 1021 .
Théorème (F. Jarvis, E. Russell)
Il existe 5 472 730 538 grilles de sudoku différentes (aux
symétries près).
Grille irréductible
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Une grille de problème de sudoku est dite irréductible si la
suppression d’une des cases dévoilées rend la complétion
non unique (plusieurs solutions).
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Quelle est le nombre minimal de cases dévoilées d’une grille
irréductible ?
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
irréductible ?
• Conjecture : 17 (on connaı̂t plus de 65 000 grilles
irréductibles à 17 dévoilées)
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
irréductible ?
• Conjecture : 17 (on connaı̂t plus de 65 000 grilles
irréductibles à 17 dévoilées)
Remarque : dans une grille irréductible, au plus un chiffre est
absent.
Présentation
Résolution
Les grilles proposées ne sont pas toujours irréductibles :
humaine
bestiale
Autres grilles
9
Carré latin
8
Carré magique
du sudoku
9
Statistique
Cryptologie
2
9
5
8
Usages
Code correcteur
1
2
Combinatoire
du shidoku
7
8
4
1
1
3
1
5
4
8
2
7
6
6
1
4
3
4
3
2
9
9
5
Littérature
Références
7
1
7
2
1
4
8
3
2
4
2
7
9
Paris-Normandie, 30 décembre 2006 : 45 dévoilées
Présentation
Résolution
9
8
3
humaine
8
bestiale
7
2
9
1
Autres grilles
5
2
Carré latin
6
4
Carré magique
5
8
7
6
Combinatoire
9
du shidoku
du sudoku
Usages
4
1
1
3
4
3
2
9
5
Statistique
1
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
7
Références
1
4
8
3
2
4
2
7
38 dévoilées auraient suffi
et même moins !
9
Présentation
Résolution
Cela est devenu un problème pour expert !
humaine
bestiale
8
Autres grilles
Carré latin
8
Carré magique
du shidoku
5
du sudoku
Usages
1
6
4
7
6
9
Statistique
Cryptologie
5
2
Combinatoire
Code correcteur
9
7
4
3
3
2
9
Littérature
1
Références
3
2
4
1
4
7
Je n’ai pas su faire mieux !
26 cases dévoilées !
Grille à 17 cases dévoilées
Présentation
Résolution
Exemple dû à Gordon Royle :
humaine
1
bestiale
Autres grilles
Carré latin
4
2
Carré magique
Combinatoire
5
du shidoku
du sudoku
4
8
Usages
3
Statistique
Cryptologie
Littérature
Références
9
1
Code correcteur
3
4
5
2
1
8
6
7
Grille à 17 cases dévoilées
Présentation
Résolution
Exemple dû à Gordon Royle :
humaine
1
bestiale
Autres grilles
Carré latin
4
2
Carré magique
Combinatoire
5
du shidoku
du sudoku
4
8
Usages
3
Statistique
Cryptologie
Littérature
Références
9
1
Code correcteur
3
4
5
2
1
8
Ce problème n’est pas très difficile.
6
7
Usages des carrés latins
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Bernard Ycart, Mathématiques et perplexité. Transdisciplines vol.
2, 2-6 (1992).
Un mathématicien du siècle dernier s’était flatté de travailler sur
les carrés latins qui, selon lui, n’auraient jamais aucune utilité. Ils
sont de nos jours couramment employés de façon très concrète
pour construire des plans d’expériences et sont enseignés dans
les cours de statistique.
http://ljk.imag.fr/membres/Bernard.Ycart/polys/
perplex.ps
Usage des carrés latins
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Innovation :
François Cretté de Palluel [1788]
Mémoire sur les avantages et l’économie que procurent les racines
employées à l’engrais des moutons à l’étable.
Mémoires d’Agriculture. pp 17-23.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Innovation :
• Popularisation :
Planification d’une expérience en vue d’une analyse de la variance.
Sir R.A. Fisher [1935]
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
Ronald A. FISHER
(1890-1962)
Frank YATES
(1902-1994)
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Innovation :
• Popularisation :
Planification d’une expérience en vue d’une analyse de la variance.
Sir R.A. Fisher [1935]
Planification d’une
expérience
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
On souhaite évaluer, comparer, tester le rendement de 4 variétés
de blé (A, B, C, D) dans différentes conditions de culture,
• 4 niveaux de pesticides,
• 4 compositions d’apport d’engrais.
expérience
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
La réalisation de tous les croisements possibles (4 variétés × 4
pesticides × 4 engrais) exige la réalisation de 64 expériences.
expérience
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
L’usage des carrés latins permettra de réduire à 16 le nombre
d’expériences.
expérience
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
d’expériences.
Littérature
pe1
pe2
pe3
pe4
en1
A
B
C
D
en2
C
D
A
B
en3
D
C
B
A
en4
B
A
D
C
Références
expérience
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
d’expériences.
Littérature
pe1
pe2
pe3
pe4
en1
A
B
C
D
en1
112 132 110 116
en2
C
D
A
B
en2
89
94
98
110
en3
D
C
B
A
en3
90
81
115
94
en4
B
A
D
C
en4
120 105
72
84
Références
pe1
pe2
pe3
pe4
Analyse de la variance
Présentation
• Le modèle
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Xij(k) = vk + pi + ej + ε
ε ∼ N (0, σ 2 )
v , p et e pour respectivement variété, pesticide et engrais.
Pour que le problP
ème ne soit
Pnpas indéterminé, nous avons
n
les contraintes : i=1 pi = j=1 ej = 0
Présentation
• Le modèle
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
ε ∼ N (0, σ 2 )
Pour que le problP
ème ne soit
n
• La solution
On estime les paramètres par leur valeur qui minimisent
X
(xij(k ) − vk − pi − ej )2
i,j
Références
v̂k = x..(k)
p̂i = xi.(.) − x̄
êj = x.j(.) − x̄
Présentation
• Le modèle
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
ε ∼ N (0, σ 2 )
Pour que le problP
ème ne soit
n
• La solution
On estime les paramètres par leur valeur qui minimisent
X
(xij(k ) − vk − pi − ej )2
i,j
v̂k = x..(k)
p̂i = xi.(.) − x̄
êj = x.j(.) − x̄
• En conclusion
On sait évaluer l’influence des variétés, des pesticides et des
engrais sans faire toutes les expériences, ...
mais on ne pourra pas remettre en cause le modèle additif.
Décomposition de la variance
Présentation
Dans toute la suite n = 4.
Résolution
humaine
bestiale
X
Autres grilles
Carré latin
(xij(k ) − x̄)2
i,j
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
=n
X
k
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
(x..(k) − x̄)2 + n
+
X
(xi.(.) − x̄)2 + n
i
X
i,j
X
j
2
(xij(k) − v̂k − p̂i − êj )
(x.j(.) − x̄)2
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
X
Autres grilles
Carré latin
(xij(k ) − x̄)2
i,j
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
=n
X
k
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
(x..(k) − x̄)2 + n
+
X
(xi.(.) − x̄)2 + n
i
X
X
j
2
(xij(k) − v̂k − p̂i − êj )
i,j
Cryptologie
Littérature
Références
Test de l’absence d’effet variétés : vA = vB = vC = vD
(x.j(.) − x̄)2
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
X
Autres grilles
Carré latin
(xij(k ) − x̄)2
i,j
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
=n
X
k
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
(x..(k) − x̄)2 + n
+
X
(xi.(.) − x̄)2 + n
i
X
X
(x.j(.) − x̄)2
j
2
(xij(k) − v̂k − p̂i − êj )
i,j
Cryptologie
Littérature
Références
On rejette au seuil de 5% quand :
P
n(n − 2) k (v̂k − x̄)2
P
Fobs =
> F(n−1,(n−1)(n−2)),5%
2
i,j (xij(k) − v̂k − p̂i − êj )
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
X
Autres grilles
Carré latin
(xij(k ) − x̄)2
i,j
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
=n
X
k
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
(x..(k) − x̄)2 + n
+
X
(xi.(.) − x̄)2 + n
i
X
X
(x.j(.) − x̄)2
j
2
(xij(k) − v̂k − p̂i − êj )
i,j
Cryptologie
Littérature
Références
On rejette au seuil de 5% quand :
P
n(n − 2) k (v̂k − x̄)2
P
Fobs =
> F(n−1,(n−1)(n−2)),5%
2
i,j (xij(k) − v̂k − p̂i − êj )
où F(n−1,(n−1)(n−2)),5% est lu dans la table de Fisher.
Test de Fisher
Présentation
Plan d’expériences
Résultats
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
A
B
C
D
112 132 110 116
C
D
A
B
89
94
98
110
D
C
B
A
90
81
115
94
B
A
D
C
120 105
72
84
Test de Fisher
Présentation
Résultats
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
A
B
C
D
112 132 110 116
C
D
A
B
89
94
98
110
D
C
B
A
90
81
115
94
B
A
D
C
120 105
72
84
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
x̄ = 101.375
v̂A = 102.25 v̂B = 119.25 v̂C = 91 v̂D = 93
Test de Fisher
Présentation
Résultats
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
A
B
C
D
112 132 110 116
C
D
A
B
89
94
98
110
D
C
B
A
90
81
115
94
B
A
D
C
120 105
72
84
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
x̄ = 101.375
v̂A = 102.25 v̂B = 119.25 v̂C = 91 v̂D = 93
Littérature
Références
Fobs =
F(3,6),5% = 4.76
4 × 2 × 498, 0625
= 8.00
498
Test de Fisher
Présentation
Résultats
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
A
B
C
D
112 132 110 116
C
D
A
B
89
94
98
110
D
C
B
A
90
81
115
94
B
A
D
C
120 105
72
84
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
x̄ = 101.375
v̂A = 102.25 v̂B = 119.25 v̂C = 91 v̂D = 93
Littérature
Références
Fobs =
4 × 2 × 498, 0625
= 8.00
498
F(3,6),5% = 4.76
On rejette donc, au seuil de 5%, l’hypothèse d’absence d’effet
variétés.
Les carrés latins magiques
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Ce sont des carrés latins particuliers qui sont découpables
en un certain nombre de blocs, rectangulaires ou carrés, qui
contiennent chacun une fois et une seule chacun des objets
qui sont comparés.
Présentation
Résolution
A
B
E
C
F
D
C
F
A
D
E
B
D
E
B
F
C
A
B
A
F
E
D
C
E
D
C
A
B
F
F
C
D
B
A
E
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
A
B
E
C
F
D
C
F
A
D
E
B
D
E
B
F
C
A
B
A
F
E
D
C
E
D
C
A
B
F
F
C
D
B
A
E
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Walter T. FEDERER
(1915- )
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
A
B
E
C
F
D
C
F
A
D
E
B
D
E
B
F
C
A
B
A
F
E
D
C
E
D
C
A
B
F
F
C
D
B
A
E
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Walter T. FEDERER
(1915- )
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Les grilles de Sudoku sont donc un cas particulier de carrés
latins magiques !
Code correcteur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• La transmission d’un mot de longueur n pris dans un
alphabet de taille q se fait de manière imparfaite.
Code correcteur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• On veut détecter les erreurs (si elles sont peu nombreuses)
et éventuellement les corriger.
Code correcteur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• La solution : Seule une partie C des q n mots possibles est
autorisée.
Code correcteur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• La solution : Seule une partie C des q n mots possibles est
autorisée.
• Question comment choisir C ?
Code correcteur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
•
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
•
du sudoku
Usages
Statistique
•
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
•
On veut détecter les erreurs (si elles sont peu nombreuses)
La solution : Seule une partie C des q n mots possibles est
autorisée.
Question comment choisir C ?
Un exemple avec n = 4 et q = 3, qui corrige quand il y a une
erreur sur une seule lettre et détecte toute erreur portant sur
deux lettres.
Code correcteur
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
•
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
•
du sudoku
Usages
Statistique
•
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
•
On veut détecter les erreurs (si elles sont peu nombreuses)
La solution : Seule une partie C des q n mots possibles est
autorisée.
Question comment choisir C ?
Un exemple avec n = 4 et q = 3, qui corrige quand il y a une
erreur sur une seule lettre et détecte toute erreur portant sur
deux lettres.
Seule une partie de chaque mot sera significative, l’autre
permettra le contrôle et la correction de l’erreur.
Code correcteur
On choisit deux carrés latins orthogonaux :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
A
B
C
B
C
A
C
A
B
A
C
B
B
A
C
C
B
A
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Code correcteur
Présentation
Résolution
A
A
A
B
B
B
C
C
C
A
B
C
B
C
A
C
A
B
A
C
B
B
A
C
C
B
A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Code correcteur
Présentation
Résolution
A
A
A
A
A
B
B
B
A
C
C
C
B
A
B
C
B
B
C
A
B
C
A
B
C
A
C
B
C
B
A
C
C
C
B
A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Code correcteur
Présentation
Résolution
A
A
A
A
A
B
B
B
A
C
C
C
B
A
B
C
B
B
C
A
B
C
A
B
C
A
C
B
C
B
A
C
C
C
B
A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Seuls 9 mots sont autorisés.
Code correcteur
Présentation
Résolution
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
A
B
B
B
A
C
C
C
A
C
C
C
B
A
B
C
B
A
B
C
B
B
C
A
B
B
C
A
B
C
A
B
B
C
A
B
C
A
C
B
C
A
C
B
C
B
A
C
C
B
A
C
C
C
B
A
C
C
B
A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Code correcteur
Présentation
Résolution
A
A
A
A
A
A
A
A
A
B
B
B
A
B
B
B
A
C
C
C
A
C
C
C
B
A
B
C
B
A
B
C
B
B
C
A
B
B
C
A
B
C
A
B
B
C
A
B
C
A
C
B
C
A
C
B
C
B
A
C
C
B
A
C
C
C
B
A
C
C
B
A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Pourquoi est-ce plus efficace que
le redoublement des deux premiers caractères ?
Codage d’un message
• Méthode de Jules César :
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
A → B,
B → C,
C → D,
... Z → A
Présentation
Résolution
A → B,
B → C,
C → D,
... Z → A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• On généralise en choisissant une permutation quelconque.
Présentation
Résolution
A → B,
B → C,
C → D,
... Z → A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• On généralise en codant les paires de lettres par une
permutation sur l’ensemble des paires.
Présentation
Résolution
A → B,
B → C,
C → D,
... Z → A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
A
B
C
D
R
A
AA
BD
CB
DR
RC
B
BB
CR
DC
RA
AD
C
CC
DA
RD
AB
BR
D
DD
RB
AR
BC
CA
R
RR
AC
BA
CD
DB
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
A → B,
B → C,
C → D,
... Z → A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
A
B
C
D
R
A
AA
BD
CB
DR
RC
B
BB
CR
DC
RA
AD
C
CC
DA
RD
AB
BR
D
DD
RB
AR
BC
CA
R
RR
AC
BA
CD
DB
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
ABRACADABRAABRACADABRA
devient BDRRCCDDADAAADCBDRBDRR.
Présentation
Résolution
A → B,
B → C,
C → D,
... Z → A
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
A
B
C
D
R
A
AA
BD
CB
DR
RC
B
BB
CR
DC
RA
AD
C
CC
DA
RD
AB
BR
D
DD
RB
AR
BC
CA
R
RR
AC
BA
CD
DB
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
ABRACADABRAABRACADABRA
devient BDRRCCDDADAAADCBDRBDRR.
• Il est préférable de choisir un carré gréco-latin !
Oulipo
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Ouvroir de Littérature Potentielle
• Littérature sous contraintes mathématiques
Oulipo
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Georges Pérec : la vie mode d’emploi.
Prix Médicis 1978
Oulipo
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Georges Pérec
(1936-1982)
• Georges Pérec : la vie mode d’emploi.
Prix Médicis 1978
Cahier des charges de VME
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
une pièce = une case = un chapitre
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Polygraphie du cavalier
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
21 paires de 2 critères à 10 modalités chacun.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
1
2
3
4
5
6
7
(Critère A, Critère B)
(Position, Activité)
(Nombre, Rôle)
(Murs, Sols)
(Style, Meubles)
(Âge et sexe, Animaux)
(Tissu-matière, Couleurs)
(Lectures, Musiques)
8
9
10
11
12
13
14
(Boissons, Nourriture)
(Sentiments, Peintures)
(Fleurs, Bibelots)
(1er d’un couple, 2nd d’un couple)
(Citation 1, Citations 2)
(3e secteur, Ressort)
(Époque, Lieu)
15
16
17
18
19
20
21
(Longueur, Divers)
(Vêtements, Tissu-nature
(Accessoires, Bijoux)
(Tableaux, Livres)
(Petits meubles, jeux-jouets)
(Surfaces, Volumes)
(Manque en, Faux en)
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
1
2
3
4
5
6
7
(Nombre, Rôle)
(Murs, Sols)
(Style, Meubles)
8
9
10
11
12
13
14
(Fleurs, Bibelots)
(Époque, Lieu)
15
16
17
18
19
20
21
(Longueur, Divers)
(Tableaux, Livres)
(Surfaces, Volumes)
du shidoku
du sudoku
Usages
Les modalités pour les 2 critères de la première paire :
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Code
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Position
un bras en l’air
agenouillé
descendre ou accroupi
à plat ventre
assis
debout
plus haut que le sol
entrer
sortir
couché sur le dos
Code
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Activité
manger
peindre
entretien
toilette
érotique
classer, ranger
se servir d’un plan
réparer
lire ou écrire
tenir un bout de bois
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
1
2
3
4
5
6
7
(Nombre, Rôle)
(Murs, Sols)
(Style, Meubles)
8
9
10
11
12
13
14
(Fleurs, Bibelots)
(Époque, Lieu)
15
16
17
18
19
20
21
(Longueur, Divers)
(Tableaux, Livres)
(Surfaces, Volumes)
du shidoku
du sudoku
Usages
Les modalités pour les 2 critères de la première paire :
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Code
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Position
un bras en l’air
agenouillé
descendre ou accroupi
à plat ventre
assis
debout
plus haut que le sol
entrer
sortir
couché sur le dos
Code
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Activité
manger
peindre
entretien
toilette
érotique
classer, ranger
se servir d’un plan
réparer
lire ou écrire
tenir un bout de bois
Un carré gréco-latin par paire, tous différents !
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Le carré gréco-latin pour la première paire de critères :
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
1-1
8-7
9-6
0-5
2-0
4-9
6-8
3-2
5-3
7-4
7-8
2-2
8-1
9-7
0-6
3-0
5-9
4-3
6-4
1-5
6-9
1-8
3-3
8-2
9-1
0-7
4-0
5-4
7-5
2-6
5-0
7-9
2-8
4-4
8-3
9-2
0-1
6-5
1-6
3-7
0-2
6-0
1-9
3-8
5-5
8-4
9-3
7-6
2-7
4-1
9-4
0-3
7-0
2-9
4-8
6-6
8-5
1-7
3-1
5-2
8-6
9-5
0-4
1-0
3-9
5-8
7-7
2-1
4-2
6-3
2-3
3-4
4-5
5-6
6-7
7-1
1-2
8-8
9-0
0-9
3-5
4-6
5-7
6-1
7-2
1-3
2-4
9-9
0-8
8-0
4-7
5-1
6-2
7-3
1-4
2-5
3-6
0-0
8-9
9-8
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1-1 7-8 6-9 5-0 0-2 9-4 8-6 2-3 3-5 4-7
8-7 2-2 1-8 7-9 6-0 0-3 9-5 3-4 4-6 5-1
9-6 8-1 3-3 2-8 1-9 7-0 0-4 4-5 5-7 6-2
0-5 9-7 8-2 4-4 3-8 2-9 1-0 5-6 6-1 7-3
2-0 0-6 9-1 8-3 5-5 4-8 3-9 6-7 7-2 1-4
4-9 3-0 0-7 9-2 8-4 6-6 5-8 7-1 1-3 2-5
6-8 5-9 4-0 0-1 9-3 8-5 7-7 1-2 2-4 3-6
3-2 4-3 5-4 6-5 7-6 1-7 2-1 8-8 9-9 0-0
5-3 6-4 7-5 1-6 2-7 3-1 4-2 9-0 0-8 8-9
7-4 1-5 2-6 3-7 4-1 5-2 6-3 0-9 8-0 9-8
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1-1 7-8 6-9 5-0 0-2 9-4 8-6 2-3 3-5 4-7
8-7 2-2 1-8 7-9 6-0 0-3 9-5 3-4 4-6 5-1
9-6 8-1 3-3 2-8 1-9 7-0 0-4 4-5 5-7 6-2
0-5 9-7 8-2 4-4 3-8 2-9 1-0 5-6 6-1 7-3
2-0 0-6 9-1 8-3 5-5 4-8 3-9 6-7 7-2 1-4
4-9 3-0 0-7 9-2 8-4 6-6 5-8 7-1 1-3 2-5
6-8 5-9 4-0 0-1 9-3 8-5 7-7 1-2 2-4 3-6
3-2 4-3 5-4 6-5 7-6 1-7 2-1 8-8 9-9 0-0
5-3 6-4 7-5 1-6 2-7 3-1 4-2 9-0 0-8 8-9
7-4 1-5 2-6 3-7 4-1 5-2 6-3 0-9 8-0 9-8
9 autres carrés sont les orbites de ce carré initial de l’action d’un groupe
cyclique d’ordre 10 qui permutent les colonnes sans point fixe.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
1-1 7-8 6-9 5-0 0-2 9-4 8-6 2-3 3-5 4-7
8-7 2-2 1-8 7-9 6-0 0-3 9-5 3-4 4-6 5-1
9-6 8-1 3-3 2-8 1-9 7-0 0-4 4-5 5-7 6-2
0-5 9-7 8-2 4-4 3-8 2-9 1-0 5-6 6-1 7-3
2-0 0-6 9-1 8-3 5-5 4-8 3-9 6-7 7-2 1-4
4-9 3-0 0-7 9-2 8-4 6-6 5-8 7-1 1-3 2-5
6-8 5-9 4-0 0-1 9-3 8-5 7-7 1-2 2-4 3-6
3-2 4-3 5-4 6-5 7-6 1-7 2-1 8-8 9-9 0-0
5-3 6-4 7-5 1-6 2-7 3-1 4-2 9-0 0-8 8-9
7-4 1-5 2-6 3-7 4-1 5-2 6-3 0-9 8-0 9-8
9 autres carrés sont les orbites de ce carré initial de l’action d’un groupe
cyclique d’ordre 10 qui permutent les colonnes sans point fixe.
9 autres carrés sont les orbites de ce carré initial de l’action du même
cyclique qui permutent les lignes.
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
C’est la transformation du boulanger
(pâte feuilletée)
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
C’est la transformation du boulanger
(pâte feuilletée)
Inacceptable : ce n’est pas une quenine !
quenine = généralisation de sixtine.
Raymond QUENEAU
(1903-1976)
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
D
H
A
E
I
B
F
J
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
C
G
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
D
H
A
E
I
B
F
J
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
C
G
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
D
H
A
E
I
B
F
J
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
C
G
Références
C’est la réciproque du « battage des cartes ».
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
D
H
A
E
I
B
F
J
C
G
H
E
B
J
G
D
A
I
F
C
E
J
D
I
C
H
B
G
A
F
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
G
E
C
A
J
H
F
D
B
G
C
J
F
B
I
E
A
H
D
C
F
I
A
D
G
J
B
E
H
F
A
G
B
H
C
I
D
J
E
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
D
H
A
E
I
B
F
J
C
G
H
E
B
J
G
D
A
I
F
C
E
J
D
I
C
H
B
G
A
F
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
I
G
E
C
A
J
H
F
D
B
G
C
J
F
B
I
E
A
H
D
C
F
I
A
D
G
J
B
E
H
F
A
G
B
H
C
I
D
J
E
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
C’est un carré latin !
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
A
B
C
D
E
F
G
H
I
J
B
D
F
H
J
A
C
E
G
I
D
H
A
E
I
B
F
J
C
G
H
E
B
J
G
D
A
I
F
C
E
J
D
I
C
H
B
G
A
F
J
I
H
G
F
E
D
C
B
A
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Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
C’est un carré latin !
Maintenant à vous de lire le roman de G. Pérec,
La vie mode d’emploi.
Bibliographie I
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Christian BOYER.
Les ancêtres français du Sudoku.
Pour La Science, 244 :8–11, 89, juin 2006.
Autres grilles
Carré latin
Jean-Paul DELAHAYE.
Le tsunami du Sudoku.
Pour La Science, 238 :144–149, décembre 2005.
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Narendra JUSSIEN.
Précis du Sudoku.
Hermès, 2006.
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Charles F. LAYWINE et Gary L. MULLEN.
Discrete Mathematics Using Latin Squares.
Wiley, 1998.
Littérature
Georges PÉREC.
Références
La vie : mode d’emploi.
Hachette, 1978.
Willy WAUQUAIRE.
Un roman à contraintes mathématiques : la vie mode d’emploi.
Tangente HS, 28 :128–133, 2006.
Bibliographie II
S. F. BAMMEL et J. ROTHSTEIN.
Présentation
The number of 9 × 9 Latin Squares.
Discrete Mathematics, 11 :93–95, 1975.
Résolution
R. C. BOSE, S. S. SHRIKHANDE, et E. T. PARKER.
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Further Results on the Construction of Mutually Orthogonal Latin Squares and the Falsity of Euler’s Conjecture.
Canadian Journal of Mathematics, 12 :189–203, 1960.
Leonhard EULER.
Recherches sur une nouvelle espèce de quarrés magiques.
Verh. Zeeuwsch Gennot. Weten Vliss, 9 :85–239, 1782.
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Walter T. FEDERER.
Experimental design : theory and application.
Mac Millan Compagny, 1955.
Hans HARTJE, Bernard MAGNÉ et NEEFS Jacques.
Cahier des charges de « La vie : mode d’emploi » de Georges Pérec.
Zulma, 2003.
Cryptologie
Littérature
Références
Brendan D. McKAY et Ian M. WANLESS.
On the Number of Latin Squares.
Annals of Combinatorics, 9 :335–344, 2005.
Renaud SIRDEY.
Sudokus et algorithmes de recuit.
Quadrature, 62 :10–13, 2006.
Renaud SIRDEY.
Sudokus et programmation linéaire.
Quadrature, 63 :7–10, 2007.
Gaston TARRY.
Le problème des 36 officiers.
Ass. Franç. Avancement des Sciences, 29, 1900.
Webographie
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
•
Autres grilles
Carré latin
•
Carré magique
Combinatoire
•
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
•
•
•
•
wikipedia
fr.wikipedia.org/wiki/Sudoku
fr.wikipedia.org/wiki/Mathematiques_du_Sudoku
shidoku
theory.tifr.res.in/˜sgupta/sudoku
mathematica
mathworld.wolfram.com/Sudoku.html
mathworld.wolfram.com/LatinSquare.html
Sudokus minimaux
people.csse.uwa.edu.au/gordon/sudokumin.php
Énumération des sudokus
www.afjarvis.staff.shef.ac.uk/sudoku/ hypo.ge-dip.etat-ge.ch/www/math/html/amch103.html
Programmation par contraintes
http://njussien.e-constraints.net/sudoku/ia-sudoku.html
oulipo
http://www.reunion.iufm.fr/Recherche/IREM/telecharger/Articles/littmath.pdf
Remerciements
Présentation
Résolution
humaine
bestiale
Autres grilles
Carré latin
Carré magique
Combinatoire
du shidoku
du sudoku
Usages
Statistique
Code correcteur
Cryptologie
Littérature
Références
• Claude DELLACHERIE
• Abdel Ali ED-DBALI
• Sylvie HAOUY-MAURE
• Élise JANVRESSE
• Thierry de la RUE
• Martine YASSEF

Promenade mathématique au pays du Sudoku

Transcription

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