Chapitre 2 Rayonnement du corps noir

Chapitre 2
Rayonnement du corps noir
2.1
2.1.1
Définition, propriétés du corps noir
Processus d’interaction rayonnement–matière
réfléchi
incident
tλ =
flux spectral transmis
= transmission
flux spectral incident
ρλ =
flux spectral réfléchi
= coefficient de réflexion
flux spectral incident
kλ =
flux spectral absorbé
= coefficient d’absorption
flux spectral incident
diffusé
émis
absorbé
transmis
émis
Conservation du flux spectral :
tλ + ρλ + kλ = 1 ∀λ
2.1.2
Définition du corps noir
Le corps noir 1 est un corps idéal qui, à toutes les longueurs d’onde, absorbe tout le
rayonnement incident, sans transmettre, sans réfléchir ni diffuser :
∀λ,
∀ϕ,
∀θ,
kλ (θ, ϕ) = 1
où kλ est le coefficient d’absorption du rayonnement (ou absorptivité) à la longueur d’onde λ.
En pratique, on réalise une bonne approximation du corps noir avec une enceinte solide isotherme fermée vide et imperméable au rayonnement ; on ménage un petit orifice dans l’enceinte
pour pouvoir mesurer ou utiliser le rayonnement du corps noir.
On montre que :
– le rayonnement du corps noir est indépendant de la nature et de la forme des parois ;
– la luminance spectrale du corps noir est uniforme (indépendante de la position du point
M considéré) ;
1. À la température ambiante, un tel corps ne réfléchit pas la lumière et n’émet pas dans le domaine visible,
il apparaît donc noir. Mais au fur et à mesure qu’il est porté à une température plus élevée, il émet d’abord
dans le rouge, puis dans tout le visible, ce qui lui donne un aspect blanc.
8
CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
– le rayonnement du corps noir est non polarisé et isotrope (indépendant de l’orientation
par rapport à ~n, la normale à la surface) ;
– la luminance spectrale du corps noir est une fonction universelle : Bλ ne dépend que de
la température absolue T et de la longueur d’onde λ : Bλ = Bλ (λ, T ).
En conséquence, le rayonnement du corps noir suit la loi de Lambert et
où θ est l’angle d’émergence
Iλ (θ) ∝ cos θ
Mλ = πBλ
2.1.3
∀λ donc M = πB = fct(T )
Loi de Kirchhoff – émissivité
Considérons l’équilibre thermodynamique entre un corps noir et un corps quelconque placé
dans la cavité du corps noir à température T .
Dans le vide, le seul processus d’échange d’énergie possible est le rayonnement et l’équilibre
radiatif entre les deux corps s’écrit : Φémise = Φ′absorbée . Si on note d5 Φλ et d5 Φ′λ les flux élémentaires respectivemement émis et absorbé par le corps dans le tube élementaire de lumière
d’étendue géométrique d4 U et dans le domaine spectral dλ, l’équilibre radiatif s’écrit :
ZZZZ Z
d5 Φλ − d5 Φ′λ = 0
U
λ
Or ces flux élémentaires s’expriment en fonction de la luminance spectrale Lλ du corps
quelconque et de celle Bλ du corps noir :
d5 Φλ = Lλ d4 U dλ et d5 Φ′λ = kλ Bλ d4 U dλ
où kλ est le coefficient d’absorption spectral et directionnel du corps quelconque.
Si on définit l’émissivité (spectrale et directionnelle) de ce corps comme le rapport de sa
luminance spectrale à celle du corps noir à la même température,
ελ (λ, θ, φ) =
Lλ (λ, θ, φ)
Bλ (λ, T )
l’égalité des températures des deux corps permet d’exprimer le flux émis en fonction de la
luminance du corps noir à T et d’écrire :
ZZZZ Z
ZZZZ Z
5
5 ′
d Φλ − d Φλ =
(ελ − kλ ) Bλ d4 U dλ = 0
U
λ
U
λ
ou encore, compte tenu du fait que la géométrie des corps est arbitraire,
Z
(ελ − kλ ) Bλ dλ = 0 ∀(θ, ϕ)
ou encore, compte tenu du fait que la température des corps est arbitraire,
ελ (λ, θ, φ) = kλ (λ, θ, φ) loi de Kirchhoff
Ainsi, pour un corps quelconque, l’émissivité spectrale et directionnelle est égale au coefficient
d’absorption spectral et directionnel. Ne pas croire qu’il en est forcément de même entre l’émissivité moyenne et absorption moyenne, sauf pour les corps gris à surface diffuse.
Dans le cas du corps noir, ελ = kλ = 1.
Pour un corps quelconque à la température T , ελ = kλ 6 1, donc Lλ 6 Bλ (λ, T ). À
température donnée, le corps noir est celui qui émet le plus !
Un corps pour lequel émissivité et coefficient d’absorption sont indépendants de la longueur
d’onde est qualifié de corps gris.
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9
UPMC-M1
2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIR
2.2
2.2.1
Luminance du corps noir
Loi de Planck : luminances spectrales Bλ (λ, T ) et Bν (ν, T )
Bλ (T ) =
dB
=
dλ
λ5
Bλ (T ) =
2hc2
hc
exp
−1
kλT
dB
=
dλ
λ5
(W m−2 sr−1 m−1 )
C
1 C2
exp
−1
λT
où
C1 = 2hc2
et C2 =
hc
k
et
h constante de Planck
h = 6, 626 × 10−34 J s
k constante de Boltzmann k = 1, 38 × 10−23 J K−1
c vitesse de la lumière
c = 3, 00 × 108 m s−1
Ainsi, C1 ≈ 1, 19 × 10−16 W m2 sr−1 , C2 ≈ 1, 44 × 10−2 m K.
Bν (T ) =
2.2.2
dB
= B(ν, T ) =
dν
c2
2hν 3
hν
−1
exp
kT
(W m−2 sr−1 Hz−1 )
Luminance et émittance énergétiques totales : loi de Stefan
B=
Z
∞
B(λ, T )dλ =
0
2h
B= 2
c
2h
B= 2
c
kT
h
4 Z
∞
0
Z
∞
0
Z
ν 3 dν
ehν/kT − 1
k4T 4
x3 dx
=
2
I
ex − 1
c2 h 3
MB = πB = σT 4
∞
B(ν, T )dν
0
où x =
où I =
où σ =
hν
kT
Z
∞
0
π4
x3 dx
=
ex − 1
15
2π 5 k 4
15 c2 h3
σ est la constante de Stefan : σ ≈ 5, 67 × 10−8 W m−2 K−4 .
MB = σT 4
UPMC-M1
loi de Stefan
10
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CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
Luminance spectrale du corps noir
10
14
T=50 K
T=100 K
T=300 K
T=1000 K
T=2000 K
T=6000 K
loi de Wien
6000 K
1012
Luminance spectrale en W.m−2.sr−1.m−1
2000 K
1010
1000 K
108
300 K
106
100 K
104
50 K
102
0.1
1
10
100
longueur d’onde (micromètres)
1000
Figure 2.1 – Luminance du corps noir à différentes températures
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11
UPMC-M1
−2
−1
−1
−1
10
13
10
12
10
11
10
10
−1
14
Luminance spectrale en W.m .sr .m
−2
Luminance spectrale en W.m .sr .m
2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIR
10
Corps noir à T=5800 K
10
9
10
2
10
8
10
1
0.1
longueur d’onde (micromètres)
1
10
100
10
7
10
6
10
5
10
4
10
3
1
longueur d’onde (micromètres)
10
100
1000
Figure 2.2 – Luminance du Soleil et de la planète Terre considérés comme corps noirs
UPMC-M1
12
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Corps noir à T=255 K
CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
2.2.3
Loi de Wien : déplacement du maximum de Bλ
d (1/Bλ )
C2
= 0 ⇒ 5λ4 eC2 /λT − 1 − λ5 2 eC2 /λT = 0
dλ
λT
C2
, l’abscisse du maximum x0 est définie par :
Si on pose x =
λT
e x0 =
5
5 − x0
dont la solution numérique est x0 ≈ 4, 965 (voir figure 2.3).
400
160
exp(x)
5/(5-x)
exp(x)
5/(5-x)
350
155
300
150
250
145
200
140
150
135
100
130
50
125
0
120
0
1
2
3
4
5
6
4.9
4.91
4.92
4.93
4.94
4.95
4.96
4.97
4.98
4.99
5
Figure 2.3 – Recherche graphique de x0 (loi de Wien)
λmax T = 2898 µm K loi de Wien
(2.1)
La densité spectrale de luminance à la longueur d’onde λmax du maximum ne dépend plus
que de la température :
B(λmax ) =
5C1 x40 T 5
C1 x50 T 5
=
= bT 5
C25 (ex0 − 1)
C25 ex0
où b ≈ 4, 1 × 10−6 W m−2 sr−1 K−5 m−1 .
Application : émission solaire et terrestre
Si on considère que la Terre et le Soleil émettent comme des corps noirs :
Soleil TS ≈ 5777 K λmax ≈ 0, 5 µm BS (λmax ) ≈ 2, 6 × 1013 W m−2 sr−1 m−1
Terre TT ≈ 288 K λmax ≈ 10 µm BT (λmax ) ≈ 8, 1 × 106 W m−2 sr−1 m−1
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13
UPMC-M1
2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIR
Le rapport des deux luminances maximales BS (λmax )/BT (λmax ) ≈ 3, 3 × 106 est tellement
grand qu’elle ne peuvent être comparées sans tenir compte du facteur (purement géométrique)
de dilution du flux solaire lorsqu’il est intercepté par la Terre.
2.2.4
Déplacement du maximum de Bν
Si on recherche la fréquence du maximum de densité spectrale de luminance du corps noir,
exprimée par unité de fréquence, on obtient une longueur d’onde λ′max plus grande que λmax .
dBν
=0
dν
⇒
h
3ν 2 ehν/kT − 1 = ν 3 ehν/kT
kT
hν
, l’abscisse du maximum x1 est définie par :
kT
Si on pose x =
e x1 =
3
3 − x1
dont la solution numérique est x1 ≈ 2, 82.
100
40
exp(x)
3/(3-x)
exp(x)
3/(3-x)
35
80
30
25
60
20
40
15
10
20
5
0
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
2.6
2.65
2.7
2.75
2.8
2.85
2.9
2.95
3
Figure 2.4 – Recherche graphique de x1
λ′max T =
UPMC-M1
C2
= 5100 µm K
x1
14
(2.2)
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CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
Application : émission solaire et terrestre
Si on considère que la Terre et le Soleil émettent comme des corps noirs :
Soleil TS ≈ 5777 K λ′max ≈ 0, 88 µm
Terre TT ≈ 288 K λ′max ≈ 17, 7 µm
2.2.5
Formes asymptotiques de la loi de Planck
Courtes longueurs d’onde : loi de Wien
Si λT ≪
hc
(i. e. hν ≫ kT ),
k
2hc2 − hc
e kλT
λ5
2hν 3 hν
B(ν, T ) ≈ 2 e− kT
c
hc
hc
L’écart est inférieur à 1 % si exp
> 4, 6
> 100, c’est à dire si
kλT
kλT
λT < 3100 µm K
B(λ, T ) ≈
donc cette expression approchée est utilisable jusqu’au maximum de B(λ, T ) donné par la loi
de Wien.
Grandes longueurs d’onde : loi de Rayleigh-Jeans
Si λT ≫
hc
(i. e. hν ≪ kT ),
k
ckT
2hc2 kλT
=
2
λ5 hc
λ4
3
2hν kT
kT
B(ν, T ) ≈ 2
= 2 2 ν2
c hν
c
B(λ, T ) ≈
L’écart est inférieur à 1 % si :
ex − x − 1
< 0, 01
x
que l’on peut traduire grossièrement par x/2 < 0, 01. Plus précisément, il faut vérifier x < 0, 018,
c’est à dire :
λT > 0, 8 m K
Donc le domaine de validité est restreint aux très grandes longueurs d’onde.
Terre T = 288 K λ > 2, 8 mm ondes radio
Exemples :
Soleil T = 5777 K λ > 138 µm IR lointain
2.2.6
Remarque concernant la loi de Kirchhoff
La loi de Kirchhoff établit l’égalité entre émissivité et coefficient d’absorption définis à partir
des luminances, donc de quantités dépendant à la fois de la longueur d’onde et de la direction :
ε(λ, θ, ϕ) = k(λ, θ, ϕ) 6 1 ∀λ, θ, ϕ
Ne pas croire que cette relation vaut systématiquement pour les quantités moyennées, que ce
soit sur la direction ou sur le spectre.
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UPMC-M1
2.2. LUMINANCE DU CORPS NOIR
Moyenne hémisphérique : ⇒ ε(λ) et k(λ)
RR
→
−
L(λ, Ω ) cos θ d2 Ω
M (λ)
Ω=2π
ε(λ) =
= RR
→
−
MB (λ)
B(λ, Ω ) cos θ d2 Ω
Ω=2π
→
−
−
→
→
−
L(λ, Ω )
Mais, B(λ, Ω ) est isotrope et vaut B(λ, T ). Or ε(λ, Ω ) =
, donc
B(λ, T )
ε(λ) =
RR
RR
RR
→
−
→
−
→
−
ε(λ, Ω ) cos θ d2 Ω
ε(λ, Ω ) cos θ d2 Ω
ε(λ, Ω )B(λ, T ) cos θ d2 Ω
Ω=2π
Ω=2π
RR
=
=
2Ω
π
B(λ,
T
)
cos
θ
d
cos(θ)d2 Ω
Ω=2π
Ω=2π
Ω=2π
RR
On procède de la même manière pour k(λ), mais k(λ, θ, ϕ) est défini par référence au rayonnement incident qui n’est pas forcément isotrope. Ainsi, en général,
ε(λ) 6= k(λ)
Les deux conditions suivantes sont cependant (chacune) suffisantes pour assurer l’égalité :
– la surface est diffuse et à la fois l’émissivité et le coefficient d’absorption sont indépendants
de la direction ;
– le flux incident est isotrope.
Moyenne sur le spectre
L’émissivité globale est obtenue par moyenne sur le spectre du corps noir, alors que le coefficient d’absorption est calculé en pondérant le coefficient d’absorption spectral par l’éclairement
incident.
M
=
ε=
MB
R
ε(λ)MB (λ) dλ
MB (T )
k=
R
k(λ)E ′ (λ) dλ
R
E ′ (λ) dλ
Comme la distribution spectrale de l’éclairement n’est pas en général celle du corps noir (ou
gris) à la même température que le corps qui émet, ε 6= k.
Les deux conditions suivantes sont cependant (chacune) suffisantes pour assurer l’égalité :
– l’éclairement est celui d’un corps noir (ou gris) à la même température que le corps qui
émet
– le corps considéré est un corps gris : ε(λ) = k(λ) sont indépendants de λ
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16
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CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
Exemple d’un corps sélectif froid
Considérons une surface diffuse : son
émissivité spectrale et son absorpsivité spectrale sont égales. Placée
dans l’espace loin de la Terre, on peut
considérer qu’elle est soumise au seul
rayonnement solaire : si elle possède
une émissivité grande en infra-rouge
et très faible dans le domaine UVvisible et très proche infra-rouge, son
émissivité spectrale présente l’allure
suivante.
1
émissivité
0.9
0.8
ε (λ) = k(λ)
0.7
0.6
0.5
0.4
0.3
0.2
0.1
0
0.1
1
10
100
λ (µm)
1
Conformément à la loi de Wien et
compte tenu des températures du Soleil et de la surface terrestre, le spectre
de l’éclairement solaire et de sa propre
émission se recouvrent très peu et
son coefficient d’absorption hémisphérique vis à vis du flux solaire est beaucoup plus faible (ksolaire ≈ 0) que son
émissivité hémisphérique (εsurf. ≈ 1).
éclairement solaire
émission propre
unités arbitraires
0.8
0.6
0.4
0.2
0
0.1
1
10
100
λ (µm)
2.3
Températures radiatives
On introduit la notion de température radiative pour caractériser le rayonnement émis par
rapport à celui du corps noir, soit de façon globale, soit en fonction de la longueur d’onde.
2.3.1
Température équivalente d’émission
Pour un corps quelconque, on définit la température équivalente d’émission (effective
en anglais) comme celle que devrait prendre le corps noir pour avoir la même émittance. Téqu.
est donc définie implicitement par :
M = MB (Téqu. )
Grâce à la loi de Stefan, on en tire :
Téqu. =
Comme l’émissivité globale est définie par :
ε=
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r
4
M
σ
M
MB (T )
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2.3. TEMPÉRATURES RADIATIVES
où T est la température réelle du corps considéré, et comme ε 6 1, Téqu. 6 T . L’égalité est
obtenue pour le corps noir.
2.3.2
Température monochromatique de brillance
Pour un corps quelconque, et pour chaque longueur d’onde et chaque direction d’émission,
on définit la température monochromatique de brillance comme celle que devrait prendre
−
→
le corps noir pour avoir la même luminance spectrale. Tbrill (λ, Ω ) est donc définie implicitement
par :
→
−
→
−
L(λ, Ω ) = B(λ, Tbrill (λ, Ω ))
En utilisant la formule de Planck, on en tire :
→
−
Tbrill (λ, Ω )) =
hc
2hc2
kλ ln 1 +
→
−
λ5 L(λ, Ω )
!
→
−
Comme le corps noir est celui qui émet le plus à une température donnée, Tbrill (λ, Ω ) 6 T .
La température monochromatique de brillance permet donc de caractériser dans des termes
faciles à comparer la luminance spectrale. En particulier, dans le cas de l’approximation des
grandes longueurs d’onde (Rayleigh-Jeans), la température monochromatique de brillance est
une fonction linéaire de la luminance spectrale :
→
−
−
→
λ4 L(λ, Ω )
Tbrill (λ, Ω ) ≈
2ck
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CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
Figure 2.5 – Courbes de Planck en échelles log-log (en haut) Incropera et DeWit (1996)
Courbes de Planck en échelles linéaires (en bas) Triplet et Roche (1986)
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2.3. TEMPÉRATURES RADIATIVES
Figure 2.6 – Courbes de Planck et absorption par l’atmosphère terrestre
– courbe de Planck normalisée Bλ (λ)/Bλ (λm ) en fonction de λ/λm (échelle linéaire)
– courbes de Planck du Soleil et de la Terre en λB(λ) avec échelle log en abscisse (aire sous la
courbe proportionnelle à l’intégrale)
– absorption par l’atmosphère (au-dessus de 11 km, puis jusqu’au niveau de la mer)
d’après Goody et Yung (1989)
UPMC-M1
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CHAPITRE 2. RAYONNEMENT DU CORPS NOIR
Table 2.1 – Tables de la loi de Planck et de son intégrale (Incropera et DeWit (1996))
colonne 1
λT en µm K
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colonne 2
Rλ
B(λ, T ) dλ
R 0∞
B(λ, T ) dλ
0
colonne 3
colonne 4
B(λ, T )
en µm−1 K−1 sr−1
σT 5
B(λ, T )
B(λm , T )
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