Cours 2 : Notions d`effectif et de fréquence - Clips-Imag
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Cours 2 : Notions d`effectif et de fréquence - Clips-Imag
Statistiques DIP, Université Stendhal, Grenoble III Cours 2 : Notions d’effectif et de fréquence 1 Effectif, effectif total, effectif cumulé croissant / décroissant ____________________ 1 2 Représentation graphique des effectifs ______________________________________ 1 2.1 Diagramme en bâtons ou en barre _______________________________________ 1 2.2 Histogramme _______________________________________________________ 2 2.3 Diagramme circulaire_________________________________________________ 3 3 Fréquence, fréquence cumulée croissante / décroissante________________________ 4 4 Exemple_______________________________________________________________ 5 Considérons une population P comprenant N individus. Soit X le caractère étudié et soient (x 1 , ... , x p ) les modalités (valeurs) de X. 1 Effectif, effectif total, effectif cumulé croissant / décroissant Définition 1 : L'effectif d'une modalité est le nombre d'individus de cette modalité. Généralement on note ni l'effectif de la modalité xi. Définition 2 : L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les classes n1 + n2 + ... + np = N ce qui peut s’écrire avec le signe sigma : Σ ni = N Définition 3 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, l'effectif cumulé croissant d'une valeur est la somme des effectifs des modalités qui lui sont inférieures ou égales. Définition 4 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, l'effectif cumulé décroissant d'une valeur est la somme des effectifs des modalités qui lui sont supérieures ou égales . 2 Représentation graphique des effectifs 2.1 Diagramme en bâtons ou en barre Définition 5 : Les diagrammes en bâtons, dits aussi diagrammes en barres si on donne une largeur aux bâtons, utilisent les valeurs de la variable en abscisse et les valeurs de l'effectif en ordonnée. Page 1 sur 5 ©Sandra Michelet [email protected] Statistiques DIP, Université Stendhal, Grenoble III Exemple 1 : Diagramme en bâton Le diagramme en bâton ci-dessous représente les effectifs d’une classe selon la taille en cm Exemple 2 : Diagramme en barre Après un examen de Science du Langage, l’enseignant dresse un tableau des notes obtenues par les étudiants : Note (/20) Nombre d’étudiants 5 4 6 1 8 3 9 4 10 1 11 2 12 4 13 2 14 4 15 4 17 1 18 3 19 1 Répartition des notes à l'examen de Science du Langage 4 3,5 3 2,5 Effectif 2 1,5 1 0,5 0 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 Notes 2.2 Histogramme Définition 6 : Un histogramme est constitué de rectangles côte à côte tel que : - les largeurs des rectangles sont celles des largeurs des classes les aires des rectangles sont proportionnelles aux effectifs des classes Comment tracer un histogramme ? : Page 2 sur 5 ©Sandra Michelet [email protected] Statistiques DIP, Université Stendhal, Grenoble III k = coefficient de proportionnalité à choisir selon la taille du graphe que l'on veut obtenir. Si les largeurs sont toutes égales, alors les hauteurs des rectangles sont proportionnelles aux effectifs : h1 = k.n1 Un tel histogramme est surtout une représentation graphique de la répartition des mesures. Son exploitation reste limitée. Exemple 3 : Soit S la série statistique quantitative continue dont les classes et les effectifs associés sont indiqués dans le tableau ci-dessous. L'histogramme associé à S est représenté ci-contre. Classe [0 ; 6[ [6 ; 8[ [8 ; 14[ [14 ; 18[ [18 ; 24[ [24 ; 32[ [32 ; 36[ [36 ; 43[ [43 ; 49[ 2.3 Effectif 5 6 5 8 9 6 1 4 9 Amplitude 6 2 6 4 6 8 4 7 6 Hauteurs proportionnelles à 5/6 3 5/6 2 3/2 3/4 1/4 4/7 3/2 Diagramme circulaire Définition 7 : Un diagramme circulaire est un diagramme tel qu’il existe un facteur de proportionnalité entre l’angle et l’effectif Page 3 sur 5 ©Sandra Michelet [email protected] Statistiques DIP, Université Stendhal, Grenoble III Exemple 4 : On s'intéresse à la deuxième langue vivante choisie par les 500 élèves d'un lycée : 150 élèves font de l'espagnol en première langue, 225 des élèves font de l'anglais, 75 de l’allemand, 25 de l'italien et enfin 25 aucune deuxième langue. A 500 on fait correspondre l'angle de mesure 360 °, donc à : 150 on fait correspondre 360x150/500 = 108° 225 on fait correspondre 360x225/500 = 162° 75 on fait correspondre 360x75/500 = 54° 25 on fait correspondre 360x25/500 = 18° 25 on fait correspondre 360x25/500 = 18° D’où le diagramme circulaire suivant : LV2 Anglais LV2 Espagnol LV2 Allemand LV2 Italien Pas de LV2 3 Fréquence, fréquence cumulée croissante / décroissante Définition 5 : La fréquence fi de la modalité xi est le rapport ni/N. Remarque : La fréquence est un nombre compris entre 0 et 1. On peut multiplier la fréquence par 100, ainsi on obtient une fréquence exprimée en %. Dans ce cas, la fréquence est comprise entre 0% et 100% Définition 6 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, la fréquence cumulée croissante d'une valeur est la somme des fréquences de cette valeur et de celles qui la précèdent. Définition 7 : Quand les valeurs du caractère sont rangées dans l'ordre croissant, la fréquence cumulée décroissante d'une valeur est la somme des fréquences de cette valeur et de celles qui la suivent. Propriété 1 : La somme des fréquences est égale à 1 autrement dit : Σ fi = 1 Démonstration : Σ fi = Σ (ni/N) = Σ ni / Σ N = Σ ni / N, or on sait que Σ ni = N, d’où =N/N =1 Page 4 sur 5 ©Sandra Michelet [email protected] Statistiques DIP, Université Stendhal, Grenoble III 4 Exemple Considérons les notes de 50 élèves d’une classe de seconde. Notes Effectif Effectif cumulé croissant Fréquence Fréquence cumulée croissante Page 5 sur 5 [0 ; 5[ 10 10 0,20 (=10/50) 0,20 [5 ; 8[ 8 18 0,16 0,36 [8 ; 12[ 12 30 0,24 0,60 [12 ; 15[ 11 41 0,22 0,88 [15 ; 20] 9 50 0,18 1 ©Sandra Michelet [email protected]