Chapitre 3

CHAPITRE 3 :
L’ABAQUE DE SMITH
I. PRESENTATION DE L’ABAQUE DE SMITH
 L’abaque de SMITRH permet de résoudre graphiquement la plupart des problèmes de
lignes.
 L’abaque de SMITH contient 2 informations : Γ(x) et Z(x), les 2relmiées, mais dont les
valeurs ne se lisent pas au même endroit :
o On lit Z(x) directement sur l’abaque, aux intersections des arcs de cercles, où
on obtient R et X. On notera : Z(x)=R + j X ; où R est la résistance et X la
réactance.
o Le vecteur reliant le centre de l’abaque au point Z(x) est la valeur de Γ(x) que
l’on trouve en considérant que l’abaque a un rayon 1 et que Γ(x)= Γ r+j Γi . On
décompose Γ(x) en ses parties réelle et imaginaire et à l’aide d’un compas et
l’échelle marquée A , on trouve |Γi| et |Γr|.
 La circonférence de l’abaque est graduée en longueur d’onde.
 Une demi-longueur d’onde sur la ligne correspond à une révolution complète sur
l’abaque.
II. EXEMPLE D’UTILISATION
1) Soit Z0=50 et ZL=50+j50, trouver le coefficient de réflexion.
Réponse :
En normalisant l’impédance, on a : zL=1+j. (point A). Le coefficient de
réflexion est donné par la longueur OA dont l’amplitude et la phase sont 0,45
et 1,11 radians (63degrés). On écrira : ΓL=0,45 ej1,11 = 0,2+j0,4
2) Trouver l’impédance à λ/4 avant la charge.
Réponse :
On fera une rotation de OA sur un cercle d’un angle 180° sur l’abaque.
L’impédance sera alors : 0,5-j0,5 (point B).
1
III. IMPEDANCE RAMENEE
On définit l’impédance en un point de côte x par : Z ( x) 
V ( x)
.
I ( x)
V0 e x  V0 e x
1  ( x )
 ZC
 x
 x
1  ( x )
V0 e  V0 e
Remarque : Généralement, on normalise l’impédance ramenée Z(x) par rapport à l’impédance
Z ( x) 1  L
caractéristique ZC. On définit ainsi l’impédance réduite notée z(x) telque : z ( x) 
.

ZC
1  L
On a alors : Z ( x)  Z C
Exercice d’application N°1 :
Pour le cas d’une ligne sans perte (R=G=0), on a :
V ( x)  V  e  jx  V  e  jx et I ( x)  I  e  jx  I  e  jx
ZL
Zin= ?
(ZC,β)
x=-l
x=0
x
1)
Z Z 
C
 :
Vérifier que l’expression du coeficient de réflexion e tension est :    L
 Z L  ZC 
2)
Vérifier que l’expression de Zin=Z(x=-l) est Z in 
3)
En déduire que : Z in  Z 0 
 Z L  jZ C tg l  



Z

jZ
tg

l
L
 C

Réponse :
Soit Zin : impédance vue d’entrée (donc, à x=-l)
A x=0, V (0)  V   V  et I (0) 
V  V 
Z0
2
 e jl  e  jl
V ( x  l )
 Z 0  jl
 jl
I ( x  l )
 e  e



De plus, V (0)  I (0).Z L . Donc, V   V   Z L
V  V 
ZC
Donc, Z 0 V   V    Z L V   V  
Donc, V  Z L  Z C   V  Z L  Z C 
 Z L  ZC
 Z L  ZC
Donc, V   V  

 Z  ZC
  V   , où    L

 Z L  ZC
Donc, V ( x)  V  e  jx  e  jx  et I ( x) 

 : coefficient de réflexion en tension


V   jx
e
 e  jx
ZC
 e jl  e  jl
V ( x  l )
 Z 0  jl
De même, Z in 
 jl
I ( x  l )
 e  e




 Z L  jZ C tg l  

 Z C  jZ L tg l  
Donc, Z in  Z 0 
Exercice d’application N°2 : Transformateur λ/4
2
Z
Choisir l=λ/4 et vérifier que : Z in  C
ZL
Réponse :
l 
2  

 4 2
 Z L  jZ C tg l   Z C 2
Z
 
Donc, Z in  lim Z C 
.Donc, Z in  C
ZL

 Z 0  jZ C tg l   Z L
l 
2
2
IV. ETUDE DES VARIATIONS DE LA TENSION LE LONG D’UNE
LIGNE
1) Ligne non adaptée
V.
VI.
VII.
VIII.
IX.
Pour une ligne sans pertes (α=0 pas d’affaiblissement), on a : V ( x)  V0 e  jx  V0 e  jx .
Comme au niveau de la charge, on a : (0) 
V0
  e j .
V0


V
On a alors : V ( x)  V0  e  jx  0 e  jx   V0 e  jx   e j e  jx
V0




Donc, V ( x)  V0 e  jx   e j e  jx  V0 . 1    2  cos 2z   
2
On peut voir que : V (x) a donc des variations périodiques, de période
d’ondes stationnaires, avec :
 Des ventres de tensions 1   V0 V max
3
 

. Il s’agit bien
 2

Des noeuds de tensions 1   V0  Vmin

Une période spatiale égale à

2
 On définit le rapport d’ondes stationnaires ROS par : ROS 
Vmax 1  

Vmin 1  
Définition d’une onde stationnaire :
Lorsque l'impédance de la charge à l'extrémité de la ligne n'est pas rigoureusement égale à celle de
l'impédance caractéristique de la ligne, l'onde directe incidente, d'amplitude Vi en provenance de la
source (émetteur) va se réfléchir à l'extrémité de la ligne et former une onde progressive réfléchie
d'amplitude Vr dirigée vers la source. L'interférence entre ces deux ondes provoque la mise en
vibration électrique de la totalité de la ligne avec formation d'une onde stationnaire.
Les extrema de l'onde résultante sont les suivants :


le maximum est atteint lorsque l'onde incidente et l'onde réfléchie produisent des interférences
constructives. On a donc Vmax = Vi + Vr ;
réciproquement, le minimum est atteint lorsque les deux ondes produisent des interférences
destructives. On a donc Vmin = Vi − Vr.
4
 Ainsi cette amplitude normalisée passe par des maxima et minima :
 Les minima et maxima se retrouvent tous les λ/2. Ils sont espacés entre eux de λ/4.
Rapport d’onde stationnaire : ROS

 D'où une nouvelle expression du ROS en fonction de  : ROS 
1  R
1  R

Vmax
Vmin
 ROS>1 (pour Vmax=Vmin ; donc : V ( x)  cte
Cas particulier 1 : ligne court-circuitée
X.
Pour une ligne court-circuitée, V0  V0
XI.
Donc : V ( x, t )  V0 e  jx  V0 e  jx e jt  V0 e  jx  V0 e  jx e jt  V0 2 sin( x)e jt .
XII.
XIII.




Donc : V ( x, t )  2 V0 sin( x) .
On remarque bien que pour x=0 (au niveau du court-circuit) : V (0, t )  0 : tension nulle.
5
Commentaires sur les courbes :
6
Les figures de a à p représentent la situation à des instants successifs le long de notre ligne.
En a, une pleine période du signal a déjà progressé le long de la ligne, nous somme dans la période
transitoire. En c, le signal atteint juste la fin de la ligne et rencontre le court-circuit. Sur les figures de d
à p, la courbe en trait plein représente l'onde directe, celle qui se déplace le long de la ligne de gauche
à droite. La ligne pointillée représente l'onde réfléchie, qui se déplace de droite à gauche. La courbe en
trait gras représente la somme des deux autres lignes à chaque instant, le long de la ligne, et ne se
déplace donc pas. C’est une onde stationnaire.
En d, l'onde directe a progressé et a rencontré le court-circuit. Que s'est-il passé ? Puisqu'il y a un
court-circuit en bout de ligne, la tension doit y être nulle. Si l'onde directe (trait plein) montre une
certaine valeur positive (point A) il faut qu'il y ait une onde réfléchie ayant la même valeur mais
négative (point B) à cet endroit, pour une somme nulle (train gras - point C). Gardons à l'esprit que
l'onde réfléchie (pointillé) se déplace le long de la ligne de droite a gauche. Notons aussi que sur toutes
les figures subséquentes, la somme de l'onde directe et de l'onde réfléchie, au point de court-circuit (en
bout de ligne) est toujours zéro. C’est un noeud de tension.
Une ligne en court circuit impose automatiquement un noeud de tension (tension nulle) à l’endroit du
court circuit auquel correspond un ventre de courant (courant maximum) à cet endroit. Voir la figure
8c). Ici, seule l’onde de tension est représentée.
En e, f, g et h, l'onde directe progresse vers la droite, et l'onde réfléchie vers la gauche. Le trait gras
représente la somme instantanée de ces deux ondes se déplaçant en sens opposés. De même, en i, j, k
et l.
Maintenant l'onde réfléchie a atteint la source, et le régime transitoire est terminé. Cependant, l'onde
directe continue son cheminement vers la droite et l'onde réfléchie vers la gauche (m, n, o et p). Notons
que la courbe en trait gras, qui est la somme des 2 ondes partielles voyageant en direction opposée,
représente la vraie tension mesurable en tout point de la ligne, et se trouve être toujours zéro au point
de court-circuit, ce qui est la moindre des choses!
L'examen de toutes ces courbes, met en évidence le fait que la courbe en trait gras passe d'un
minimum (m et o), à un maximum (n et p), mais aussi le fait que les maximas (tantôt positifs,
tantôt négatifs) le sont toujours au même endroit le long de la ligne. Il s'agit du phénomène d'onde
stationnaire.
Cas particulier 2 : ligne ouverte
XIV.
XV.
XVI.
XVII.
Pour une ligne ouverte, V0  V0




Donc : V ( x, t )  V0 e  jx  V0 e  jx e jt  V0 e  jx  V0 e  jx e jt  V0 2 cos( x)e jt .
Donc : V ( x, t )  2 V0 cos( x) .
On remarque bien que pour x=0 (au niveau de l’ouverture de la ligne) : V (0, t )  2 V0 :
tension maximale.
7
Commentaires sur les courbes :
Quand le signal arrive en bout de ligne (ouverte), il ne peut pas y être absorbé, et doit donc être
renvoyé vers la source. De plus, comme l'impédance en bout de ligne est infinie, la tension y est à un
maximum.
Comme pour le cas de la ligne en court-circuit, le signal en trait plein représente l'onde directe et se
déplace de gauche à droite, le signal en pointillé est le signal réfléchi qui se déplace de droite à gauche,
quant au signal en trait gras, c'est la somme instantanée des deux autres signaux, et il ne se déplace
donc pas, c'est l'onde stationnaire.
Le signal réfléchi ne peut pas subir d'inversion car alors la tension serait nulle en bout de ligne, ce qui
ne correspond pas au cas d'une ligne ouverte. Le signal est donc renvoyé sans inversion.
8
2) Ligne adaptée
XVIII.
Pour une ligne adaptée, il n’a pas de réflexion. Donc, V0 e  jx  0
XIX.
Donc : V ( x, t )  V0 e  jx e jt .
XX.
Donc : V ( x, t )  2 V0  cte .
XXI.
On remarque bien qu’il n’ y aura pas d’onde stationnaire, puisque V ( x, t )  2 V0  cte
3) Tableau récapitulatif
ZL
Coefficient
de réflexion
Ligne non adaptée Quelconque ≠0
0
Ligne court-circuitée
tend vers ∞
Ligne ouverte
ZC
Ligne adaptée
0<|Ґ|<1
|Ґ|=1
|Ґ|=1
Ґ=0
Rapport d’ondes
stationnaires
ROS>1
ROS tend vers ∞
ROS tend vers ∞
ROS=1
Exercice d’application N°1 :
On mesure le coefficient de réflexion au niveau de la charge, L  ( x  0) 
Vérifier en utilisant les expressions de et que :
1. Z R  Z c
1  R
1  R
2. En déduire que R 
Z R  Zc
Z R  Zc
Réponse :
Donc, ( x)  L e 2x
 V

V ( x)  Vi e x  Vr e x  Vi e x 1  r e  2x   Vi e x 1  ( x) 
 Vi

V e x
1
1  ( x)
De même, I ( x)  Vi e x  Vr e x   i
Zc
Zc
V ( x)
1  ( x )
 Zc
On a aussi, Z ( x) 
I ( x)
1  ( x )
1  L
Z  ZL
Donc, Z L  Z c
et aussi : L  L
1  L
ZL  ZL
Z ( x ) 1  ( x )
On a déjà introduit l’impédance réduite : z ( x) 
et aussi :

Zc
1  ( x )
Z ( x) z ( x)  1
( x ) 

Zc
z ( x)  1
9
Vr
Vi