BREVET BLANC – 26 Janvier 2006 Epreuve de mathématiques

BREVET BLANC – 26 Janvier 2006
Epreuve de mathématiques – Durée : 2 heures
Les calculatrices sont autorisées ainsi que les instruments usuels de géométrie.
Le respect de l’orthographe, la qualité de la rédaction et celle de la présentation
constituent des éléments d’appréciation de la copie qui seront notés sur 3 points.
Partie I : Activités numériques
Exercice 1.
1. Effectuer les calculs de A et B ; donner le résultat sous forme d’une fraction
irréductible en justifiant les calculs :
7
1 18
15 6 2
A=
- ×
et
B=
.
7
14 7 3
9
2. Donner l’écriture scientifique de C et D :
3 × 106 × 6 × 105
C=
et
15 × 107
3. Ecrire E sous la forme a
justifiant les calculs :
E=5
8–3
12 +
2 + b
27 -
D=
3 × 106 + 6 × 105
.
15 × 107
3, où a et b sont deux entiers relatifs, en
18 .
Exercice 2.
On considère l’expression F suivante F = (7x – 8)² - (3x+5)²
1. Développer et réduire F.
2. Factoriser F.
3. Calculer F pour x = 5. On donnera le résultat sous la forme a + b
sont deux entiers relatifs.
5, où a et b
Exercice 3.
1. Calculer le PGCD des nombres 372 et 775 en expliquant la méthode utilisée.
2. Un chef d’orchestre fait répéter 372 choristes hommes et 775 choristes
femmes pour un concert. Il veut faire des groupes de répétition de sorte que :
- le nombre de choristes femmes soit le même dans chaque groupe ;
- le nombre de choristes hommes soit le même dans chaque groupe ;
- chaque choriste appartienne à un groupe.
a . Quel nombre maximal de groupes pourra-t-il faire ?
b. Combien y aura-t-il alors de choristes hommes et de choristes femmes dans
chaque groupe ?
Partie II : Activités géométriques
Exercice 1.
(Voir feuille annexe)
Sur la figure de la feuille annexe, construire en rouge l’image de la figure
dans la symétrie de centre O, en vert dans la symétrie d’axe la droite (D)
et en bleu dans la translation de vecteur AB .
Exercice 2.
ABC est un triangle tel que :
AB=3,9 cm , AC=5,2 cm et BC=6,5 cm.
D et E sont respectivement les points des
segments [AC] et [BC] tels que DE=1,5 cm.
Les droites (DE) et (AC) sont perpendiculaires.
F est le point de la demi-droite [ED) tel que DF=2,4 cm.
La figure ci-contre n’est pas à refaire et les dimensions ne sont pas
respectées.
1.
2.
3.
4.
Montrer que le triangle ABC est un triangle rectangle.
Montrer que les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
Calculer les longueurs CD et DA.
Montrer que les droites (AF) et (EC) sont parallèles.
Exercice 3.
RIEN est un carré de 3 cm de côté. Dans la translation de vecteur RE ,
l’image du point I est P.
1. Faire une figure.
2. Quelle est la nature du quadrilatère PIRE ? (justifier)
3. Montrer que le point E est le milieu du segment [NP].
4. Construire le point U tel que IU = IP + IN . Quelle est la nature du
quadrilatère PUNI ? (justifier)
Partie III : Problème
PARTIE A
RAPPEL : La vitesse moyenne s’obtient par la formule
v =
d
.
t
Un professeur d’éducation physique et sportive fait courir ses élèves
autour d’un stade rectangulaire mesurant 90 m de long et 60 m de large.
1. Calculer, en mètres, la longueur d’un tour de stade.
2. Pour effectuer 15 tours en 24 minutes à la vitesse constante,
combien de temps un élève doit-il mettre pour faire un tour ? On
donnera la réponse en minutes et secondes.
3. Un élève parcours 6 tours en 9 minutes. Calculer sa vitesse en
m/min, puis en km/h.
PARTIE B
On a relevé le nombre de pulsations par minute de 32 élèves avant qu’ils
effectuent leurs tours de stade.
Les résultats obtenus sont les suivants :
57 61 55 67 59 52 59 63 62 65 59 54 59
57 62 54 61 65 63 61 63 55 66 63 61 59
62 63 58 61 59 63
1. Montrer que le nombre moyen de pulsations par minute est égal à
60,25.
2. Compléter le tableau de la feuille annexe.
3. Calculer l’étendue de cette série ?
4. Faire l’histogramme représentant le nombre de pulsations par
minute en fonction du nombre d’élèves.
Les unités choisies sont :
a. sur l’axe des abscisses, 1 cm pour représenter 1 pulsation par
minute ;
b. sur l’axe des ordonnées, 1 cm pour représenter 1 élève.
5. Combien d’élèves ont au moins 60 pulsations par minute ?
6. Quel est le pourcentage exact d’élèves ayant un nombre de
pulsations par minute inférieur à 60 ?
BREVET BLANC – Janvier 2006
Epreuve de mathématiques – A RENDRE AVEC LA COPIE
COPIE N° : …………………………………
Partie II : Activités géométriques – Exercice 1
Partie III : Problème
Nombre n
de pulsations
par minute
Effectif
Fréquence(en %)
arrondie
au dixième.
52 ≤ n < 56
5
56 ≤ n < 60
60 ≤ n < 64
64 ≤ n < 68
CORRECTION DU BREVET BLANC DU 26 JANVIER 2006
Partie I : Activités numériques
Exercice 1.
15 6 2 15 3 × 2 × 2 15 4 15 8
7 1
1.
A=
- × =
=
- =
=
=
14 7 3 14
7×3
14 7 14 14 14 2
18 7 11
7
1 18 18 18 18 11 9
11 × 9
11
=
=
=
× =
=
B=
7
7
7 18 7 2 × 9 × 7 14
9
9
9
3. C =
D=
3.
3 × 106 × 6 × 105 3 × 6 106 × 105 6 1011
=
×
= × 7 = 1,2 × 104
15 × 107
3×5
107
5 10
3 × 106 + 6 × 105 3 000 000 + 600 000
3 600 000
36
=
=
=
= 0,024 = 2,4×10-2
7
15 × 10
150 000 000
150 000 000 1 500
E=5
8–3
E=5
4×2–3
E = 10
E=7
2–6
2–3
12 +
27 -
4×3+
3+3
18
9×3–
3–3
9×2
2
3
Exercice 2.
1.
F = (7x – 8)² - (3x+5)²
F = [(7x)² - 2 × 7x × 8 + 8²] – [(3x)² + 2 × 3x × 5 + 5²]
F = [49x² - 112x + 64] – [9x² + 30x + 25]
F = 49x² - 112x + 64 –9x² - 30x – 25
F = 40x² - 142x + 39
2.
F = (7x – 8)² - (3x+5)²
3.
F = 40 ( 5)² - 142
5 + 39
F = [(7x-8) + (3x+5)] [(7x-8) - (3x+5)]
F = 40 × 5 – 142
F = (7x – 8 + 3x + 5) ( 7x – 8 – 3x – 5)
F = 200 – 142
5 + 39
F = (10x – 3) (4x – 13)
F = 239 – 142
5
5 + 39
Exercice 3.
1.
Pour calculer le PGCD de deux nombres, on peut utiliser l’algorithme d’Euclide.
775 = 372 × 2 + 31
31 < 372
372 = 31 × 12 + 0
0 < 31
Le PGCD est le dernier reste non nul trouvé. Donc PGCD(775 ; 372) = 31.
2.
a) Le chef d’orchestre peut faire au maximum 31 groupes.
b) 775 : 31 = 25 et 372 : 31 = 12
Dans chaque groupe, il y aura 25 choristes femmes et 12 choristes hommes.
Partie II : Activités géométriques
Exercice 1.
Exercice 2 .
1. Dans le triangle ABC, [BC] est le plus grand côté.
BC² = 6,5² = 42,25
AB² + AC² = 3,9² + 5,2² = 15,21 + 27,04 = 42,25
BC² = AB² + AC².
D’après la réciproque du théorème de Pythagore, ABC est rectangle en A.
2. ABC est rectangle en A donc les droites (AB) et (AC) sont perpendiculaires.
Ainsi, les droites (DE) et (AB) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AC).
Donc (DE) et (AC) sont parallèles.
3.
Calcul de CD : Les droites (BE) et (AD) sont sécantes en C.
Les droites (DE) et (AB) sont parallèles.
CE CD DE
D’après le théorème de Thalès, on a
=
=
d’où
CB CA AB
1,5 × 5,2
= 2 donc CD = 2 cm
CD =
3,9
CE CD 1,5
=
=
6,5 5,2 3,9
Calcul de DA :
D ∈ [AC]
donc DA = AC – CD = 5,2 – 2 = 3,2
DA = 3,2 cm.
3. Les droites (EF) et (AC) sont sécantes en D.
Les points E, D, F d’une part et les points C, D, A d’autre part sont alignés dans le
même ordre.
DE 1,5
DE DC
=
= 0,625
=
DF 2,4
DF DA
2
DC
=
= 0,625
DA 3,2
D’après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AF) et (EC) sont
parallèles.
Exercice 3.
1.
→
→
→
3.
Comme P est l’image de I par la translation de vecteur RE, on a RE = IP .
Donc PIRE est un parallélogramme.
4.
RIEN est un carré donc RI = NE.
→
→
PIRE est un parallélogramme donc RI = EP .
→
→
→
→
→
→
Comme RI = NE et RI = EP , on a NE = EP .
Donc E est le milieu de [NP].
4.
→
→
→
→
→
IU = IP + IN
D’après la règle du parallélogramme, PUNI est un parallélogramme.
D’autre part RIEN est carré donc EI = EN et (IU) et (PN) sont
perpendiculaires.
Ainsi, PUNI est un parallélogramme qui a ses diagonales perpendiculaires et de
même longueur.
Donc PUNI est un carré.
Partie III : Problème
PARTIE A
1. L = 2 × (90 + 60) = 300
La longueur d’un tour de stade est de 300 m.
2. t = 24 : 15 = 1,6 min
0,6 min = 0,6 × 60 = 36 s
L’élève met 1 minute et 36 secondes pour faire un tour.
d 6 × 300 1 800
=
=
= 200 m/min
t
9
9
200 m/min = 0,2 km/min = 0,2 × 60 km/h = 12 km/h
3. v =
PARTIE B
1. Pour calculer le nombre de pulsations par minute, on doit calculer la somme totale
des résultats obtenus puis diviser par le nombre d’élèves.
Nombre total des pulsations par minute : 1928
Nombre d’ élèves : 32
1928 : 32 = 60,25 donc le nombre moyen de pulsations par minute est de 60,25.
2.
Nombre n
de pulsations
par minute
52 ≤ n < 56
56 ≤ n < 60
60 ≤ n < 64
64 ≤ n < 68
Effectif
5
9
14
4
Fréquence(en %)
arrondie
au dixième.
15,6
28,1
43,8
12,5
3. 67 – 52 = 15
L’étendue de cette série est de 15.
4. Voir graphique
5. 14 + 4 = 18
18 élèves ont au moins 60 pulsations par minutes.
5+9
× 100 = 43,75
32
Le pourcentage exact d’élèves ayant un nombre de pulsations par minute inférieur à
60 est de 43,75 %.
6.