ezier ee the famous Cornu spirals in 1874, also

29/10/15 18:55
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sible conversions. [Google] [More] ⦿
C7 : Intégration sur un intervalle quelconque
better than Bezier
oothness. See the
[More] ⦿
proposed his famous Cornu
spirals
in de1874,
also
La spirale
de Cornu,
paramétrage
t
he desirable property that curves can
t 7−→ blend
e i u du
Z
2
0
so than Bezier curves canL’existence
blend de
into
straight
« points
limites lines.
» est liée
à
la
convergence de l’intégrale généralisée
Z +∞
t the characteristic kinks.
To
avoid them, one has to
iu
e
2
du.
0
s annoyed the designers of FF DIN Round (Albert-
ere is a need to broaden the palette of curves from
. The FF DIN Round designers "simulated" the
han normal, to trick the eye.
1
note a remarkble property of Bezier curves. If one
s on a line (the start point and two control points),
Intégrales s/ int. qcq (c7)
Les fonctions dont il est question dans ce chapitre sont définies sur un intervalle I de R, à valeurs dans R ou C. Il ne serait pas difficile d’étendre beaucoup
de définitions et résultats aux fonctions à valeurs dans un evn de dimension
finie.
I Intégrale d’une fonction sur [a, +∞[
On considère une fonction f définie sur [a, +∞[, continue par morceaux, à valeurs dans R ou C. On peut alors définir sur [a, +∞[ la fonction
Z x
F : x 7−→
f (t ) d t
a
qui est continue sur [a, +∞[.
I.1 Intégrale généralisée
Z
+∞
f est « convergente » lorsque
Z +∞
Z +∞
F a une limite finie en +∞. Cette limite est notée
f ou
f (t ) d t .
Définition On dit que l’intégrale « généralisée »
a
a
Autrement dit,
Z
+∞
a
x
µZ
f (t ) d t = lim
x→+∞
a
¶
f (t ) d t
a
lorsque cette limite existe.
Exemple
Z
+∞
Etudier la convergence des intégrales
0
dt
et
1+ t2
Z
0
+∞
t
dt
1+ t2
I.2 Intégrabilité
Z +∞
Définition On dit que f est « intégrable » sur [a, +∞[ lorsque l’intégrale
|f |
a
Z +∞
est convergente. On dit aussi que l’intégrale
| f | est absolument convera
2
Intégrales s/ int. qcq (c7)
gente.
I.3 Lien entre intégrabilité et existence d’une intégrale généralisée
Z
+∞
Proposition Si f est intégrable sur [a, +∞[, l’intégrale
f converge. Autrea
Z +∞
ment dit, si l’intégrale
f est absolument convergente, elle est convera
gente. Et on a dans ce cas :
¯Z
¯
¯
¯
+∞
a
¯ Z
¯
f ¯¯ ≤
+∞
a
|f |
Démonstration : Supposons d’abord f à valeurs réelles ; définissons, sur [a, +∞[,
les fonctions f + et f − par :
La réciproque est fausse !
Z
Il existe des fonctions f non intégrables sur [a, +∞[ telles que
+∞
f converge.
a
On parle parfois d’intégrale semi-convergente, voire même d’intégrale impropre
semi-convergente.
Un exemple classique :
sin t
sur [π, +∞[, et la convergence
Etudions l’intégrabilité de la fonction t 7→
t
Z +∞
sin t
de l’intégrale
dt.
t
π
La convergence est à bien comprendre, on retrouvera la méthode (intégration
par parties) bien souvent, parfois précédée d’un changement de variable.
3
Intégrales s/ int. qcq (c7)
I.4 Etude de l’intégrabilité et de l’existence d’une intégrale généralisée
Remarquons préalablement que, si f est à valeurs
Z réelles positives, f est inté+∞
grable sur [a, +∞[ si et seulement si l’intégrale
f converge.
a
Remarquons aussi que la divergence grossière des séries n’a pas son équivalent
pour les intégrales : une fonction peut être intégrable sur [a, +∞[ sans avoir une
limite nulleZ en +∞ (en revanche, bien sûr, si f a une limite non nulle en +∞,
+∞
f diverge).
l’intégrale
a
Remarquons enfin Zque, si b > a, si f est continue
Z +∞par morceaux sur [a, +∞[,
+∞
la convergence de
f équivaut à celle de
f . L’intégrabilité de f sur
a
b
[a, +∞[ équivaut à l’intégrabilité de f sur [b, +∞[.
a. Un exemple de référence : les intégrales de Riemann
Proposition Soit a > 0. La fonction t 7→ t α est intégrable sur [a, +∞[ si et seule1
ment si α < −1 ; ou encore, la fonction t 7→ β est intégrable sur [a, +∞[
t
(a > 0) si et seulement si β > 1
Z +∞
Proposition bis Soit a > 0. L’intégrale
t α d t converge si et seulement si
a
Z +∞
dt
α < −1 ; ou encore, l’intégrale
converge si et seulement si β > 1.
tβ
a
b. Un lemme pour les fonctions positives
Proposition Soit f continue par morceaux sur [a, +∞[, à valeurs réelles positives. Alors f est intégrable sur sur [a, +∞[ si et seulement si
Z x
F : x 7→
f (t ) d t est majorée sur [a, +∞[
0
4
Intégrales s/ int. qcq (c7)
c. Etude de l’intégrabilité par comparaison
Proposition Soit f , φ continues par morceaux, φ positive sur [a, +∞[ ; on sup¡
¢
pose f (x) = O φ(x) . Alors, si φ est intégrable sur [a, b[, f l’est.
x→+∞
Proposition Soit f , φ continues par morceaux sur [a, +∞[, φ à valeurs réelles
positives ; on suppose 0 ≤ | f | ≤ φ au voisinage de +∞. Alors, si φ est intégrable sur [a, +∞[, f l’est.
Proposition Soit f , φ continues par morceaux sur [a, +∞[, φ positive ; on sup¡
¢
pose f (x) = o φ(x) . Alors, si φ est intégrable sur [a, +∞[, f l’est.
x→+∞
La symétrie de la relation ∼ permet de dire plus :
Proposition Soient f , φ continues par morceaux, positives sur [a, +∞[. Si
f (x)
∼
x→+∞
φ(x), alors φ est intégrable sur [a, +∞[ si et seulement si f
l’est.
On sera donc amené, pour des études d’intégrabilité, à utiliser des équivalents,
des croissances comparées. . .les techniques utilisées étant similaires à celles
utilisées pour étudier la convergence des séries à termes réels positifs, ou l’absolue convergence des séries.
On notera que tous les résultats de comparaison qui viennent d’être vus concernent
l’intégrabilité, c’est-à-dire l’absolue convergence des intégrales étudiées. Comment fait-on donc si on cherche à montrer qu’une intégrale est semi-convergente
?
Z +∞
sin t
on utilisera généralement des intégrations par parties, comme pour
dt.
t
0
5
Intégrales s/ int. qcq (c7)
II Intégrale sur [a, b[, ]a, b], ]a, b[
II.1 Intégrale sur [a, b[, a et b réels
On suppose a, b réels, a < b. On peut alors réécrire le I. en remplaçant +∞ par
b, la seule différence concernant les intégrales de Riemann :
Proposition La fonction t 7→ (b − t )α est intégrable sur [a, b[ si et seulement si
1
est intégrable sur [a, b[ si et
α > −1 ; ou encore, la fonction t 7→
(b − t )β
seulement si β < 1
Z b
Proposition bis L’intégrale
(b − t )α d t converge si et seulement si α > −1 ;
Z ab
dt
converge si et seulement si β < 1.
ou encore, l’intégrale
β
a (b − t )
II.2 Intégrale sur ]a, b]
On considère une fonction f définie sur ]a, b], continue par morceaux, à valeurs
dans R ou C. a peut être réel ou −∞. b est un réel, a < b.
On définit sur ]a, b] la fonction
b
Z
F : x 7−→
f (t ) d t
x
qui est continue sur ]a, b].
a. Intégrale généralisée, intégrabilité
Z
b
f est « convergente » lorsque
Z b
Z b
F a une limite finie en a. Cette limite est notée
f ou
f (t ) d t .
Définition On dit que l’intégrale « généralisée »
a
a
Autrement dit,
b
Z
a
b
µZ
f (t ) d t = lim
x→a
lorsque cette limite existe.
6
¶
f (t ) d t
x
a
Intégrales s/ int. qcq (c7)
Z
b
Définition On dit que f est « intégrable » sur ]a, b] lorsque l’intégrale
| f | est
a
Z b
convergente. On dit aussi que l’intégrale
| f | est absolument convera
gente.
Z
b
Proposition Si f est intégrable sur ]a, b], l’intégrale
f converge, et
a
¯Z b ¯ Z b
¯
¯
¯
¯≤
f
| f |. La réciproque est fausse : il y a des intégrales conver¯
¯
a
a
gentes non absolument convergentes, dites semi-convergentes.
En revanche, si f est à valeurs réelles positives, f est intégrable sur ]a, b] si et
Z b
seulement si l’intégrale
f converge.
a
b. Intégrales de Riemann
Le résultat sur les intégrales de Riemann ressemble en −∞ à celui en +∞, à une
différence notable près : t α n’est pas défini sur R−
∗ pour n’importe quel réel α.
Voilà pourquoi on suppose ci-dessous les exposants entiers :
Proposition Soit b < 0. La fonction t 7→ t α (α ∈ Z) est intégrable sur ]−∞, b] si et
1
seulement si α < −1 ; ou encore, la fonction t 7→ β (β ∈ Z) est intégrable
t
sur ] − ∞, b] (b < 0) si et seulement si β > 1
Z b
Proposition Soit b < 0. L’intégrale
t α d t (α ∈ Z) converge si et seulement
−∞
Z b
dt
si α < −1 ; ou encore, l’intégrale
(β ∈ Z) converge si et seulement
β
−∞ t
si β > 1.
En revanche, les intégrales de Riemann en un point réel, c’est toujours la même
chose : on suppose dans les deux propositions suivantes que a < b, a et b réels.
Proposition La fonction t 7→ (t − a)α est intégrable sur ]a, b] si et seulement si
1
α > −1 ; ou encore, la fonction t 7→
est intégrable sur ]a, b] si et
(t − a)β
seulement si β < 1
7
Intégrales s/ int. qcq (c7)
b
Z
Proposition bis L’intégrale
Z
a
b
ou encore, l’intégrale
a
(t − a)α d t converge si et seulement si α < −1 ;
dt
(t − a)β
converge si et seulement si β > 1.
D’une manière générale, pour les intégrales
de Riemann,
Z 1
Z +∞ si on se souvient de la
dt
dt
convergence (absolue, d’ailleurs) de
, on risque peu de se
p et de
t2
t
0
1
tromper.
c. Un lemme pour les fonctions positives
Proposition Soit f continue par morceaux sur ]a, b], à valeurs réelles positives.
Z b
Alors f est intégrable sur sur ]a, b] si et seulement si F : x 7→
f (t ) d t
x
est majorée sur ]a, b]
d. Etude de l’intégrabilité par comparaison
Proposition Soit f , φ continues par morceaux, positives sur ]a, b] ; on suppose
¡
¢
f (x) = O φ(x) . Alors, si φ est intégrable sur ]a, b], f l’est.
x→a
Cas particuliers Soit f , φ continues par morceaux, positives sur ]a, b] ; si
¡
¢
f (x) = o φ(x) , ou si f (x) ≤ φ(x) au voisinage de a, et si φ est intégrable
x→a
sur ]a, b], f l’est.
Proposition Soient f , φ continues par morceaux, positives sur ]a, b]. Si
f (x) ∼ φ(x), alors φ est intégrable sur ]a, b] si et seulement si f l’est.
x→a
II.3 Intégrale sur ]a, b[
Définition Soit f continue par morceaux sur ]a, b[ (a ∈ R∪{−∞}, b ∈ R∪{+∞},
Z b
a < b). Soit c ∈]a, b[ (c réel, nécessairement). On dit que l’intégrale
f
a
8
Intégrales s/ int. qcq (c7)
Z
c
Z
f convergent. Et on défi-
a
nit alors
Z
b
a
Z
f =
c
a
b
f et
converge lorsque les deux intégrales
c
b
Z
f+
f
c
(on vérifie bien sûr que cette définition ne dépend pas de c).
Z b
On dit que f est intégrable sur ]a, b[, ou que
f est absolument convera
Z b
gente, lorsque
| f | converge. Toute intégrale absolument convergente
a
est convergente.
III Etude pratique de l’existence d’une intégrale
On considère le problème suivant : étudier l’intégrabilité de f sur I . Ou, ce qui
Z b
n’est pas la même chose, étudier l’existence de
f.
a
a. Position du problème
• Si I est un segment, il n’y a pas de problème.
• Il n’y a guère de problème non plus lorsque I est un intervalle borné sur lequel f est bornée, ce qui recouvre entre autres le cas où f se prolonge en une
fonction continue par morceaux à tout le segment I .
En effet, une fonction constante est intégrable sur un intervalle borné. Par comparaison, une fonction bornée est intégrable sur un intervalle borné.
1 − cos x
Ainsi, x 7→
, x 7→ sin2 (1/x) sont intégrables sur ]0, 1]. On dira simplex
ment « f , continue par morceaux et bornée sur l’intervalle I borné, est intégrable sur I ».
• Si I est un intervalle ouvert ]a, b[ (a réel ou −∞, b réel ou +∞), on étudie sépaZ c
Z b
rément l’existence de
f et
f (on « coupe le problème en deux »). On choia
c
sit c comme on veut dans ]a, b[. On ramène ainsi tous les cas à un problème de
convergence d’une intégrale (ou d’intégrabilité) sur un intervalle semi-ouvert.
9
Intégrales s/ int. qcq (c7)
b. Fonctions positives
Si la fonction considérée est positive, la convergence de l’intégrale de f équivaut à l’intégrabilité de f . La rédaction commencera par
« la fonction f : x 7→ . . . est continue par morceaux (ou
continue), positive, sur l’intervalle · · · »
Il est important de bien préciser l’intervalle. Si celui-ci est ouvert (]a, b[), on fera
en général deux études, en présentant les choses de la manière suivante :
Soit c un élément de ]a, b[ (on peut fixer c si on veut. Par exemple, si
]a, b[=]0, +∞[, on peut fixer c = 1. Cela n’a pas d’influence sur le raisonnement.)
• Etude de l’intégrabilité sur [c, b[ (. . .)
• Etude de l’intégrabilité sur ]a, c] (. . .)
Z
+∞
Exemple : Etudier l’existence de
t x−1 e −t d t
0
c. Fonctions non positives
. . .ni négatives.
Ici, sauf précision
Z de l’énoncé, deux questions différentes peuvent se poserZ : la
f et l’intégrabilité de f sur I (ou absolue convergence de
convergence de
I
f.
I
On s’orientera plus souvent vers la deuxième question : la semi-convergence
n’est pas un objectif du programme.
Z
+∞
Exemple : Etudier l’existence de
0
e −t sin(xt ) d t (x ∈ R).
Mauvaise rédaction :
¯Z
¯
¯
¯
0
y
e
−t
¯ Z
¯
sin(xt ) d t ¯¯ ≤
0
donc l’intégrale est absolument convergente.
Bonne rédaction :
10
y
e −t d t ≤ 1
Intégrales s/ int. qcq (c7)
IV Propriétés de l’intégrale
IV.1 Linéarité
Proposition Si I est un intervalle
quelconque de R, si f et g sont continues par
Z
R
morceaux sur I , si f et I g sont convergentes, si λ et µ sont dans K,
I
Z
alors (λ f + µg ) converge.
I
Proposition Si I est un intervalle quelconque de R, si f et g sont continues
par morceaux intégrables sur I , si λ et µ sont dans K, alors λ f + µg est
intégrable sur I .
Proposition Sous chacune des hypothèses précédentes,
Z
I
(λ f + µg ) = λ
Z
I
f +µ
Z
g
I
Reformulation L’ensemble des fonctions continues par morceaux dont l’intégrale sur I converge est un espace vectoriel ; l’ensemble des fonctions
Z
intégrables sur I en est un sous-espace vectoriel. L’application f 7−→
f
I
est une forme linéaire sur chacun de ces espaces vectoriels.
IV.2 Positivité
Z
Proposition Si f est continue par morceaux positive sur I , si f converge (en
I
Z
particulier si f est intégrable sur I ), alors f ≥ 0.
ZI
Proposition Si f est continue positive sur I , si f converge (en particulier si
I
Z
f est intégrable sur I ), et si f = 0, alors f = e
0 sur I .
I
Ce dernier résultat est faux si f n’est que continue par morceaux
11
Intégrales s/ int. qcq (c7)
IV.3 Relation de Chasles ; intégrale fonction d’une borne
Les définitions données précédemment de
b
Z
f
a
supposent a < b. Etendre ces définitions aux cas a = b et a > b ne pose pas de
difficulté. Il faut bien sûr être attentif au fait que la positivité de l’intégrale peut
se transformer en négativité. On obtient alors la relation de Chasles :
Z
b
c
Z
f (t ) d t ,
Si, parmi les intégrales
c
Z
f (t ) d t et
a
f (t ) d t , deux convergent
a
b
(a fortiori si f est intégrable sur deux des trois intervalles ]a, b[, ]a, c[, ]b, c[), la
troisième converge, et
c
Z
a
x
Z
f (t ) d t =
b
a
c
Z
f (t ) +
f (t ) d t
b
+∞
dt
comme on a dérivé jusqu’ici des intégrales
1+ t3
x
0 t
fonctions de leur borne supérieure, mais sur des segments ? la réponse est oui,
Z
Peut-on dériver
sin t
Z
,
3/2
assez simplement. Par exemple :
Z
+∞
Proposition Si f est continue sur [a, +∞[, si
f (t ) d t converge, alors
a
Z +∞
x 7−→
f (t ) d t est de classe C 1 sur [a, +∞[, de dérivée − f .
x
On peut bien sûr écrire des résultats analogues pour des intégrales qui posent
problème ailleurs qu’en +∞.
Démonstration 1
+∞
Z
x
Z
f (t ) d t =
+∞
a
x
Z
f (t ) d t −
f (t ) d t
a
Démonstration 2 Soit F une primitive de f sur [a, +∞[. . .Cette dernière manière de voir les choses est à retenir
12
Intégrales s/ int. qcq (c7)
V Changement de variable, intégration par parties
V.1 Changement de variable
Proposition Soit φ : ]α, β[→]a, b[ une bijection de classe C 1 (α, β, a, b sont
réels ou infinis). On a alors φ strictement monotone. Supposons
Z b
Z β
¡
¢
lim φ = a, lim φ = b. Alors les intégrales
f (t ) d t et
f φ(u) φ0 (u) d u
α
β
α
a
ont même nature. Et en cas de convergence, elles sont égales.
Remarque 1 On ne suppose pas a < b ni α < β : cela obligerait à énoncer le
résultat de manière différente suivant la croissance ou la décroissance de
φ.
Remarque 2 Si on n’est pas dans le cas lim φ = a, lim φ = b, on est dans le cas
α
β
lim φ = b, lim φ = a : l’hypothèse porte donc seulement sur les notations.
α
β
Remarque 3 « ont même nature » est très précis : cela signifie que si l’une des
deux intégrales est absolument convergente, l’autre aussi. Et que si l’une
des deux intégrales est semi-convergente, l’autre aussi.
Règle d’utilisation Le programme donne le droit d’appliquer ce résultat sans
justification dans les cas suivants : φ fonction affine, puissance, exponentielle, logarithme. On prendra quand même l’habitude d’écrire « changement de variable : t = φ(u), u = ψ(t ) ». Ce sera presque toujours suffisant.
Z +∞
Z +∞ −t
2
e
Exemple Trouver un lien entre l’intégrale
e −t d t et l’intégrale
p dt.
t
0
0
V.2 Intégration par parties
C’est plus délicat. Par exemple,
·
¸
Z +∞
Z +∞
sin t
cos t
− cos t +∞
−
dt =
dt
t
t
t2
0
0
0
n’est pas acceptable. On peut, en modifiant légèrement ce calcul, le rendre
néanmoins exact, et en déduire la surprenante relation
¶
Z +∞
Z +∞ µ
sin t
sin t 2
dt =
dt
t
t
0
0
13
Intégrales s/ int. qcq (c7)
(ce qui est encore plus surprenant, c’est que l’on a également
X sin2 n
sin n +∞
=
2
n=1 n
n=1 n
+∞
X
).
Le programme fait néanmoins remarquer à raison que, si f g a des limites finies
Z b
Z b
en a et en b, les intégrales
f 0 g et
f g 0 sont toutes les deux convergentes
a
a
ou toutes les deux non convergentes (en revanche, contrairement à ce qui se
passe pour le changement de variable, l’une peut être absolument convergente
et l’autre semi-convergente). Et dans le cas de convergence, on peut écrire la
formule
Z
b
a
0
£
f (t )g (t ) d t = f g
¤b
a−
Z
b
f 0 (t )g (t ) d t
a
On sera quand même nettement plus attentif pour la rédaction d’une intégration par parties que pour la rédaction d’un changement de variable.
Exemple : On définit, si x > 0,
Γ(x) =
+∞
Z
t x−1 e −t d t
0
Trouver une relation de récurrence entre Γ(n + 1) et Γ(n), en déduire Γ(n) pour
tout n ∈ N.
14
Intégrales s/ int. qcq (c7)
Table des matières
I
Intégrale d’une fonction sur [a, +∞[
2
I.1
Intégrale généralisée . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.2
Intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
I.3
Lien entre intégrabilité et existence d’une intégrale généralisée . .
3
I.4
Etude de l’intégrabilité et de l’existence d’une intégrale généralisée
4
a.
Un exemple de référence : les intégrales de Riemann . . . .
4
b.
Un lemme pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . .
4
c.
Etude de l’intégrabilité par comparaison . . . . . . . . . . .
5
II Intégrale sur [a, b[, ]a, b], ]a, b[
6
II.1 Intégrale sur [a, b[, a et b réels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
II.2 Intégrale sur ]a, b] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
a.
Intégrale généralisée, intégrabilité . . . . . . . . . . . . . . .
6
b.
Intégrales de Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7
c.
Un lemme pour les fonctions positives . . . . . . . . . . . .
8
d.
Etude de l’intégrabilité par comparaison . . . . . . . . . . .
8
II.3 Intégrale sur ]a, b[ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8
III Etude pratique de l’existence d’une intégrale
9
a.
Position du problème . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
9
b.
Fonctions positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
c.
Fonctions non positives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
10
IV Propriétés de l’intégrale
11
IV.1 Linéarité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
IV.2 Positivité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
11
IV.3 Relation de Chasles ; intégrale fonction d’une borne . . . . . . . .
12
V Changement de variable, intégration par parties
15
13
Intégrales s/ int. qcq (c7)
V.1 Changement de variable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
V.2 Intégration par parties . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
13
16