Correction détaillé concours blanc N2 UE4

Correction détaillé concours blanc N2 UE4
66) On est dans le cas de séries appariées, on mesure la même variable X : le taux de
glycémie , chez un même sujet avant et aprè s le traitement.Il faut donc définir une nouvelle
variable : δ = Xavant - Xaprè s.
On est alors dans le cas de la comparaison d’une moyenne mδ à une référence μR = 0.nδ =
10 < 30 et on ne connait pas la vraie variance de δ, on effectue donc un test t.
Comme n<30 on utilise un test de student qui a en fait la même formule que le test z
Après application numérique, on trouve une statistique de test de 1,47.
(Attention, dans la formule m et S^2 représentent la moyenne et la variance de la nouvelle
variable δ !!! )
(mδ =0,2etSδ =0,43.)
On veut savoir si le traitement fait diminuer le taux de glycémie, soit si μavant > μaprè s donc
si μδ >0.On doit donc faire un test unilatéral.
On trouve dans la table de Student t(n−1; 2.α) où α = 0,05, donc t(n−1;2.α) =t(9;10%) =1,833.
1,47<1,833
t(obs) < t(n−1; 2.α)
Donc on ne rejette pas Ho, on ne peut pas dire que le taux de glycémie aprè s traitement
soit inférieur au taux de glycémie avant traitement
67)
A. VRAI : On est dans le cas d’une comparaison de deux proportions. On a de grands effectifs (n1
et n2 > 30), donc on utilise un test z.
B. VRAI : Il n’y a pas d’indication d’unilatéralité ici (on ne cherche pas à montrer que la pilule Y
est plus ou moins efficace que la pilule X, juste à « comparer » leurs efficacités), donc le test est
bilatéral. On a donc zα = z10% = 1,645.
C. FAUX :
On pose nos deux hypothèses :
H0 : π1 = π2
H1 : π1 ≠ π2
On calcule la proportion commune p et q :
On calcule ensuite la valeur zobs du test :
On a zobs < zlim, donc on rejette H1.
L’efficacité de la pilule Y n’est pas différente de celle de la pilule X.
D. FAUX : On rejette H1 dans ce cas, mais cela ne veut pas dire qu’on accepte H0 ! Un autre essai
clinique un an plus tard avec un plus grand effectif démontrera peut-être que la pilule Y a une
efficacité différente de celle de la pilule X, et H0 serait alors rejetée (mais elle aura été fausse
tout le temps, on ne l’aura juste pas démontré jusque-là). De même, peut-être que si on avait
pris un α plus grand on aurait pu rejeter H0. C’est pourquoi on n’affirme jamais H0.
68)
1. VRAI : P(AUB) = P(A) + P(B) – P(A inter B) = P(A) + P(B) - P(A) x P(B) car A et
sont indépendants.
B
2. FAUX : P(A/B) = P(A)
3. FAUX : P(A/B) = P(A inter B) / P(B) = 0 / P(B) = 0
4. VRAI : voir question 3.
5. VRAI : formules à connaître.
69)
A. FAUX
Le test de KHI² permet de comparer des proportions mais pour le calcul on utilise les effectifs
B. FAUX
La condition d’application de ce test est que tous les effectifs théoriques soient supérieurs ou égaux
à 5, pas de conditions concernant les effectifs observés.
C. VRAI
Contrairement au KHI² d’indépendance qui permet de comparer 2 ou plusieurs distributions
observées.
D. FAUX
On prend effectivement n-1 ddl mais on prend toujours α, on n’a pas les notions d’unilatéral ou
bilatéral dans le KHI².
70)
A. Faux
La loi Binomiale est une loi de probabilité discrète.
B. Vrai
C’est la définition !
C.Faux
L’espérance
C’est la variance
D. Vrai
Conditions : np> 10 ; nq> 10 ; n> 30.
71)
Soit les évènements :
X+ : avoir déclaré X et X- : ne pas avoir déclaré X
V+ : être vacciné et V- : ne pas être vacciné
D’après l’énoncé, on sait que P(V+) = 0,25 ; P(X+/V-) = 0,85 et P(X+/V+) = 0,18.
1. 63,75% des malades ne sont pas vaccinés.
VRAI
Cette proposition correspond à chercher P(X + ∩V−).
P(X + ∩V−) = P(X + /V−).P(V−) = 0,85 x 0,75 = 0,6375
2. La probabilité pour qu’une personne de la population déclare X est de 0,6897. FAUX
On veut P(X+).
D’après l’axiome des probabilités totales :
P(X+) = P(X + ∩V+) + P(X + ∩V−)
par définition : P(X+) = P(X + /V+).P(V+) + P(X + /V−).P(V−) , avec P(V−) = 1− P(V+)
D’où : P(X+) = 0,18 × 0,25 + 0,85 × (1− 0,25) = 0,6825
3. La probabilité pour qu’une personne ayant déclaré X ne soit pas vaccinée est de 0,934.
VRAI
On veut P(V−/X+).
Par définition, on sait que P(V − /X+) = = 0,934.
4. La probabilité qu’une personne soit vaccinée alors qu’elle a déclaré X est de 0,05. FAUX
On veut P(V + /X+).
Par définition, on sait que P(V + /X+) = 1− P(V − /X+) = 1− 0,934 = 0,066.
Donc : Réponse C
72)
1)Vrai, les tests ne permettent que d’étudier des échantillons, il reste donc toujours une
part d’incertitude sur la vraie valeur de la population
2)Faux, le risque de première espèce est le risque de conclure une différence alors qu’il
n’y en pas. Le risque de conclure à l’absence de différence alors qu’elle existe est le
risque de second espèce ou risque ß
3)Vrai
4)Faux, on ne peut jamais conclure Ho, il s’agit d’un non rejet, d’une réponse temporaire
5)Faux, on ne connaît pas la vraie valeur et on prend une décision à partir d’une
estimation du paramètre
Réponse A
73)
A) Faux
Par définition :
La variance est une espérance. En effet
(où E est l’espérance).
D’après le cours,
, Var(X) est donc la moyenne de la somme des carrés des écarts à la moyenne.
B) Faux
2
La dimension de la variance est la même que la dimension de x (ex : si x est en mètre, σ éch
est en m)
C) vrai
la variance correspond au carré de la distance entre xi et la moyenne de x. Si l’on fait la
moyenne de tous ces carrés de distance, on réalise bien une mesure de la dispersion des
valeurs autour de la moyenne.
D) Vrai
E) Faux
Var(X Y) Var(X) Var(Y) Cov(X,Y) donc l égalité proposée dans la réponse 5 n’est
vraie que si Cov(X,Y) est nulle, ce qui n’est pas toujours le cas.
74)
A) Vrai
Les conditions à remplir pour pouvoir utiliser un test du X² sont : tous les eij > 5.
On obtient le tableau avec les eij :
S
P
(93x85)/200 = 39.525
S-
(93x115)/200 =
53.475
93
Les conditions sont donc respectées.
P(107x85)/200 =
45.475
(107x115)/200 =
61.525
107
85
115
200
B) Faux
X²obs = = (58-39.525)²/39.525 + (27-45.475)²/45.475 + (35-53.475)²/53.475 + (80-
61.525)²/61.525 = 28.07
C) Faux
Ddl = (I-1) X (J-1) = (2-1) x (2-1) = 1
D)Vrai
On pose les hypothèses :
Ho : le nombre de succès ne diffère pas avec prise d’une prépa au risque α = 5%
H1 : le nombre de succès diffère avec la prise de prépa au risque α = 5%
On calcule les effectifs théoriques (cf question A).
On calcule le X²obs (cf question B).
On cherche dans la table de la loi de Pearson X²0.05 ; 1ddl = 3.841
Donc X²obs > X²0.05 ; 1ddl
Donc rejet de Ho, le nombre de succès diffère donc en fonction de la prise d’une prépa au risque α
= 5%
75)
1) Faux. Le test Khi 2 Mac Nemar concerne les echantillons appariés.
2) Vrai
3) 4) On cherche les effectifs de références, grâce aux données de l'exercice et à partir de l'effectif
total.
Effectif total : 94 + 98 + 21 = 213
Les effectifs de reférences (les eij)
1) 50 / 100 * 213 = 106.5
2) 43/100 *213 = 91.59
3) 7/100*213 = 14.91
Anomalie
Effectifs observés
Effectifs de reférences
Atrésie tricuspide
94
106.5
Syndactylie
98
91.59
Anencéphalie
21
14.91
On effectue le test X2 :
X2 obs = (94-106.5)^2/ 106.5 +
(98-91.59)^2/91.59
+ (21-14.91)^2/14.91
= 1.467136 + 0.448609 + 2.4874647
= 4.4032
On cherche le nombre de degré de liberté :
3-1 = 2 ddl
On cherche les X2 seuil à l'aide de la table
Le X2 seuil à 5% et 2 ddl vaut : 5.99
Le X2 seuil à 10% et 2 ddl vaut : 4.61
On compare
On a donc X2 obs inférieur au 2 X2 seuil, donc on ne peut pas rejeter H0.
Les propositions 3 et 4 sont fausses.
Reponse E