المعارف الحرة الرجاء و مدارس Exercices de révision de Maths

‫مدارس الرجاء و المعارف الحرة‬
EC O LES PR IV EES ELMA A R IF & ER R AJ A
Exercices de révision de Maths
Nombres complexes & suites numériques
7D
12.2016
Dans les exercices 1 à 4, pour chaque proposition, indique r si elle est vraie ou fausse et proposer une
démonstration pour la réponse indiquée. Dans le cas d'une proposition fausse, la démonstration
consistera à fournir un contre exemple.
EX ER CI C E 1
Soit z un nombre complexe non nul.

2
1. Si z  1 , alors z 2  z .
i

, alors z est imaginaire pur.
2
5. Si z  5  i(4  3i) , alors la partie réelle de z est 5
4. Si arg z  

2. Si z  2ie 3 , alors arg z   
3. Si z  3(sin   i cos ) , alors
z  3ei

.
3
i

i

6. Si z1  e 3 ; z 2  5 e 6 ; z 3  3 e
z1z2z3 est réel négatif.
-i

2
, alors le produit
EX ER CI C E 2
1
3
On considère la suite  un n définie par u0  0 , u1  1 et, pour tout n 
2
3
, un2  un1  un .
2
3
On définit les suites  vn n et  wn n par vn  un1  un et wn  un1  un .
1. La suite  vn n est arithmétique.
3. Pour tout n 
2. La suite  wn n est constante.
4. La suite  un n * n’a pas de limite finie.
3
5
, on a : un   wn  vn  .
EX ER CI C E 3
Soit (un) une suite géométrique de pre mie r terme u0 = 1 et de raison q  ]0 ; + [.
On note Sn = u0 + u1 + ... + un.
1. S'il existe n 
tel que un > 2000, alors q > 1.
2. Si q < 1, alors il existe n  tel que 0 < un < 2.
3. Si q > 1, alors lim Sn   .
n
EX ER CI C E 4
On considère une suite (un), définie sur
On définit alors la suite (vn) sur
1
4. Si lim Sn  2 , alors q  .
n
2
5. Si q = 2, alors S4 = 15.
6. Si q = 0,5 alors lim Sn  0 .
n
, croissante et de termes strictement positifs .
par vn 
1
.
un
1. Si lim un   , alors (vn) est convergente.
5. Les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
2. Si (un) est divergente, alors (vn) est divergente.
3. Si (un) est minorée par 5, alors (vn) est minorée
par −1.
4. Si (un) est géométrique, alors (vn) est
géométrique.
6. La suite (vn) est croissante et négative.
7. Si (un) est arithmétique, alors (vn) est
arithmétique.
8. La suite (un) est minorée .
n
1
http://maurimath.net/
Horma Hamoud
EX ER CI C E 5
1) On considère les équations suivantes dans
:
E1 :
z2  6z  25  0
E2 :
z2  8z  25  0
a) Résoudre E1 . On note z 1 et z 2 ses solutions avec Im(z1 )  0 .
b Résoudre E2 . On note z 3 et z 4 ses solutions avec Im(z3 )  0 .
c) Ecrire sous forme trigonométrique les nombres z1  z3 et z1  z3 .
2) Le plan complexe est rapporté à un repè re orthonormé (O;u,v) .
z  4  3i
.
z  3  4i
On considère les points A , B et C d’affixes respectives z A  3  4i , zB  4  3i et zC  4  4i .
Pour tout nombre complexe z tel que z  3  4i on pose : f(z) 
a) Placer les points A , B et C dans le repère.
b) Calculer et mettre sous forme algébrique le nombre complexe f(4  4i) . Interpréter
graphique ment.
c) Détermine r et représenter, dans le repère (O;u,v) , les ensembles de points M du plan d’affixe z
dans chacun des cas suivants :
1 tel que f(z)  1 .
 2 tel que f(z) soit imaginaire pur.
EX ER CI C E 6
1. Pour tout nombre complexe z on pose : P(z)  z3  z2  4z  6 .
a) Calculer P(3) .
b) Déterminer les réels a et b tels que pour tout z on a:
P(z)  (z  3)(z2  az  b) .
c) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexe, l’équation P(z)  0 .
2. On considère, dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé (O; u , v) , les points A , B , C et
D d’affixes respectives zA  3  2i , zB  1  i , zC  1  i et zD  3 .
a) Placer les points A , B , C et D dans le repère (O; u , v) .
b) Comparer l’affixe du milieu de  AC à celle du milieu de  BD .
c) En déduire la nature du quadrilatère ABCD .
d) Déterminer et construire l’ensemble des points M d’affixe z telle que z  3  z  1  i .
EX ER CI C E 7
1) Pour tout nombre complexe z on pose : P(z)  z3  10z2  33z  34 .
a) Calculer P(2) .
P(z)  (z  2)(z2  az  b) .
b) Déterminer les réels a et b tels que pour tout z on a:
c) Résoudre, dans l’ensemble des nombres complexe, l’équation P(z)  0 . On note z 0 ; z1 et z 2 les
solutions de  E  telles que Im(z 2 )  Im(z 0 )  Im(z1 ) .
2) Le plan complexe est rapporté à un repè re orthonormé direct  O;u, v  .
Soient les points A, B et C d’affixes respectives : z A  z1  3i, z B  z 2  i et z C  6  2i .
a) Vérifie r que z A  4  4i et z B  4 .
b) Ecrire les nombres z A et z B sous forme trigonométrique.
c) Placer les points A, B et C dans le repère.
3) Pour tout nombre z  4  4i on pose : f (z) 
z4
.
z  4  4i
a) Vérifie r que f (z C )  i et interpréter graphiquement.
2
http://maurimath.net/
Horma Hamoud
b) Déterminer et construire 1 l’ensemble des points M du plan d’affixe z tel que f(z)  1 .
c) Détermine r et construire  2 l’ensemble des points M d’affixe z tel que f(z) soit imaginaire pur.
4) Pour tout entie r naturel n, on pose z n   z A  et soit Mn le point d’affixe z n .
a) Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels le point Mn appartient à l’axe des abscisses.
b) Déterminer l’ensemble des entiers n pour lesquels on a OMn  2015 .
n
EXERCICE 8
z  1  6i
.
z  4 i
1) Calculer puis écrire sous forme algébrique chacun des nombres suivants:
P(1) ; P(3  6i) ; P(4  3i) .
2) Résoudre dans
l’équation :
P(z)  1  i ; écrire la solution sous forme algébrique .
 
3) On pose Z  P(3  6i) . On muni le plan complexe d’un repère orthonormal direct (O,u, v) . Soit
M 1 ; M n les points d’affixes respectives Z et Z n ; n  IN .


a) Montrer que Z  2 (cos  i sin ) .
4
4
n
b) Ecrire Z sous forme trigonométrique.
c) Déterminer et représenter dans le plan les points M 1 ; M 2 ; M 3 .
4) Montrer que le triangle OM1M 2 est rectangle isocèle en M 1 .
5.a) Pour quelles valeurs de n ; le point M n est situé sur l’axe Ox?
b) Montrer que les points O ; M4 ; M2008 sont alignés.
6) On pose Un  z n1  z n . Montrer que (U n ) est une suite géométrique. Déterminer sa raison et son
premier terme.
7) On pose Sn  M1M2  M2M3  ...  Mn Mn1 . Calculer S n en fonction de n puis calculer lim S n .
Dans l’ensemble
on pose : P(z) 
n 
7) Déterminer et représenter l’ensemble des points M d’affixe z dans les cas suivants :
P( z )  1 .
a) 1
b) 2
Le nombre P(z ) est réel.
EX ER CI C E 9
n2  n  1
.
n(n  1)
On considère la suite numérique (Un ) définie pour tout entier n  1 par :
Un 
1.a) Calculer U1 , U2 et U3 .
b) Justifier que la suite (Un ) :
1)N’est pas arithmétique ;
3)Est convergente.
2. Pour tout entier n  1 , on pose :
a) Montrer que : Un  Vn 1  Vn
b) En déduire l’expression de la somme
2) N’est pas géométrique ;
n2  1
Vn 
.
n
Sn  U1  U2 
 Un en fonction de n .
EX ER CI C E 10
On considère les suites numé riques (U n ) et (Vn ) définies pour tout n de IN par:
U1  1


n1
Un 1  5n Un
et
Vn 
1
U .
n n
1.a) Calculer U 2 , U 3 , V1 , V2
b) Montrer que (U n ) est positive.
3
http://maurimath.net/
Horma Hamoud
c) Montrer que (U n ) est décroissante et bornée. Que peut-on déduire ?
2.a) Montrer que (Vn ) est une suite géométrique convergente.
b) Exprimer Vn puis U n en fonction de n. Recalculer alors U 2 et U 3 .
3.a) Calculer en fonction de n la somme : Sn 
U1 U 2 U 3



1
2
3

Un
.
n
n(n  1)
2
b) Soit Pn  V1  V2  V3  ...  Vn . Montrer que Pn   1 
 5
c) Soit Qn  U1  U2  U3  ...  Un . Calculer Q n en fonction de n.
EX ER CI C E 11

 U0  0
On considère la suite numérique (U n ) définie par tout n de IN par: 

Un1  2  Un
1.a) Calculer U1 ,U2 .
b) Démontre r, à l'aide d'un raisonnement par récurrence, que, pour tout n , 0  Un  2
2) On considère la suite (Vn ) définie pour tout n par Vn  2  Un
V
1
a) Montrer que, pour tout entier n, 0  n1  . En déduire le sens de variation de (Vn ) puis celui de
Vn
2
(U n ) .
1
b) A l'aide d'un raisonnement par récurrence montrer que 0  Vn   
 2
c) En déduire la limite de la suite (Vn ) puis celle de la suite (U n ) .
EX ER CI C E 12
n 1
.
U1  1
On considère la suite numérique (U n ) définie par: 
2n
(3  Un ), n  IN
Un 1  3 

3(n  1)
7
puis calculer U3 ; U 4 .
3
2) On admet que la suite (U n ) est majorée par 3 (a démontrer facilement par récurrence).
1) Vérifier que U2 
n 3
(3  Un ) .
3(n  1)
b) Déduire le sens de variation de la suite (U n ) . Puis que la suite (U n ) est convergente.
a) Montrer que pour tout n de IN on a : Un 1  Un 
Vn  n(3  U n ) .
3) On pose pour tout n de IN :
a) Calculer V1 ; V2 et montrer que (Vn ) est une suite géométrique. Déterminer sa raison.
b) Exprimer Vn puis U n en fonction de n.
c) Montrer que la suite (Vn ) est convergente et calculer sa limite. En déduire la limite de (U n ) .
d) Calculer par une deuxième méthode la limite de (U n ) .
4) Calculer en fonction de n la somme : Sn  U1  2U2  3U3   nUn .
EX ER CI C E 13
On considère les suites (un) et (vn) définies par u0 = 0 ; v0 = 12 ; un1 
u  2vn
un  vn
et vn1  n
.
3
2
1. Démontre r que la suite (wn) définie par wn = vn − un est une suite géométrique convergente et que
tous ses termes sont positifs.
2. Montre r que la suite (un) est croissante puis que la suite (vn) est décroissante.
3. Déduire des deux questions précédentes que les suites (un) et (vn) sont adjacentes.
4
http://maurimath.net/
Horma Hamoud
4. On considère la suite (t n) définie par t n = 2un + 3vn. Montrer qu’elle est constante.
5. En dé duire les expressions de un et vn en fonction de n.
EX ER CI C E 14
On définit la suite numérique de terme général: Un 
n
n 1
e
; pour tout entier naturel n  1
1.Calculer U1 et U2 .
2.Démontrer que la suite (Un ) est décroissante et positive puis calculer lim Un .
n 
1
1
Un1  U n  n (*) .
e
e
4. Pour tout entier naturel n  1 on pose: Sn  U1  U2 
3. Démontrer que: n  IN* ;
a) En utilisant l’égalité (*) démontrer que: Sn 
b) Déduire de ce qui précède que: lim Sn 
n
 Un .
1
e2
1
Un 
(1  n ) .
2
e 1
(e  1)
e
e2
.
(e  1)2
EX ER CI C E 15
1) On pose pour tout nombre complexe z  6 , f(z) 
8z  3
.
z6
1
2
a) Donner la forme algébrique des nombres : z1  f(2i) , z 2  f (3  2i) , z 3  f ( )
b) Résoudre l’équation f(z)  z
8u  3
1
et un1  n
.
un  6
2
a) Calculer les valeurs exactes des termes u1 ,u2 et u3 .
2) On donne la suite  u n  définie par : u0 
b) Montrer par récurrence que pour tout entier n non nul , 1  un  3 .
c) Montrer que  u n  est croissante. En déduire qu’elle est convergente.
un  3
.
un  1
3) On définit pour tout n la suite  vn  par : vn 
a) Montrer que  v n  est une suite géométrique dont précisera la raison et le pre mier terme v0 .
b) Exprime r vn en fonction de n .
c) Exprimer un en fonction de vn puis en fonction de n .
d) Déterminer la limite de la suite  u n  .
EXERCICE 16
On considère la suite complexe (z n )n définie par z 0  i et, pour tout entier n, z n 1 
1 i
zn .
2
Pour n entie r naturel, on appelle Mn le point d’affixe zn.
1)Calculer z1 , z2 , z3 , z4 .
2) Montrer que pour tout n entier naturel, zn 
ie
i
n
4
 
2
n
.
3) En déduire que la suite Vn  zn est une suite géométrique . Donner son terme général et sa limite.
4) Montrer que quel que soit n entier naturel, les triangles OMn Mn 1 sont rectangles.
5
http://maurimath.net/
Horma Hamoud