2A : DM3 - pour le 5 janvier 2015

2A : DM3 - pour le 5 janvier 2015
EXERCICE 1 La courbe C représente la fonction définie sur R par : f (x) = 2x 2 − 4x − 6.
1. Vérifier que :
a) f (x) = 2 (x − 1)2 − 8
b) f (x) = 2 (x − 3) (x + 1)
2. Parmi le trois expressions de f (x), choisissez la plus appropriée pour répondre aux questions suivantes :
µ
¶
1
a) Le point de coordonnées ; 8 appartient-il à C ? Justifier.
3
b) Calculez les coordonnées des points à l’intersection de C et de l’axe des
ordonnées. Quels sont ces points sur le graphique ?
c) Calculez les coordonnées des points à l’intersection de C et de l’axe des
abscisses. Quels sont ces points sur le graphique ?
d) Calculez les antécédents de 4 par f .
e) Résolvez l’équation f (x) = −8 et trouvez les coordonnées de A.
p
f ) Calculez l’image de 2 3 par f.
3. La droite (d ) d’équation y = 2 coupe C en E et F . Calculez les coordonnées
des points E et F .
EXERCICE
2 Factorisation - simplification d’expressions rationnelles - résolution d’équations
1. Factoriser les expressions suivantes :
a) D(s) = (s − 4)(2s + 7) − 3s(3s − 12)
b) F (u) = u 2 − 1 − (u − 1)2
c) H (x) = 50x 2 − 140x + 98
2. Simplifier les expressions suivantes :
a) A(x) =
2x
x2 + x
+
1
x +1
b) B (x) =
3
4
−
x x −2
6x + 1 2x + 5
8x + 13
=
( prouvez d’abord que cela revient à résoudre :
= 0)
3x − 2
x +3
(3x − 2)(x + 3)
EXERCICE 3
Les résultats d’un contrôle de vitesse dans une agglomération ( vitesse Vitesse en KM/H
limitée à 50 km ḣ −1 ) sont consignés dans le tableau ci-contre.
[20; 50[
1) Expliquer pourquoi les gendarmes ont choisi de grouper les données
[50; 70[
avec les classes indiquées dans le tableau.
[70; 80[
[80; 90[
2) On suppose que, dans chaque classe, les éléments sont répartis de
[90; 100[
manière uniforme.
[100; 130[
a) estimer la vitesse moyenne enregistrée.
3. Résoudre :
Effectif
104
54
13
7
5
2
b) Calculer les E.C.C puis tracer le polygone des effectifs cumulés.
c) Déterminer graphiquement la vitesse médiane ainsi que les vitesses quartiles.
3) Écrire un algorithme qui programme le radar pédagogique situé en amont du radar :<50km/h :merci >50km/h :ralentir.
4) Après avoir rechercher les amendes qu’encourent ceux qui roulent à trop grande vitesse, écrire un algorithme qui affiche les conséquences d’une vitesse excessive en fonction de la vitesse mesurée.
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Correction : DM3
EXERCICE
1
¡
¢
1. a) Développons : 2 (x − 1)2 − 8 = 2 x 2 − 2x + 1 − 8 = 2x 2 − 4x − 6 = f (x)
¡
¢
b) Développons : 2 (x − 3) (x + 1) = 2 x 2 − 2x − 3 = 2x 2 −4x−6 = f (x).Donc : f (x) = 2 (x − 1)2 − 8 = 2 (x − 3) (x + 1)
2. La forme 2 (x − 1)2 − 8 est la forme canonique de f (x).
µ ¶
µ
¶µ
¶
µ ¶
1
1
1
−8 4 −64
1
avec la forme factorisée : f
= 2 −3
+1 = 2·
· =
6= 8. Donc, ce point
a) Calculons f
3
3
3
3
9 3
27
n’appartient pas à C .
b) Les points à l’intersection de C et de l’axe des ordonnées ont une abscisse nulle.Or, calculé avec la forme
développée : f (0) = −6. cela correspond aux coordonnées du point B sur le graphique.
c) Mes points à l’intersection de C et de l’axe des abscisses ont une ordonnée nulle. Il faut donc résoudre
avec la forme factorisée : f (x) = 0 ⇔ 2 (x − 3) (x + 1) = 0 D’après : A × B = 0 ⇔ A = 0 ou B = 0 Soit :x − 3 =
0 ou x + 1 = 0 ⇔ x = 3 ou x = −1.Cela correspond aux points de coordonnées C (−1;O) et D (3;O) .
d) Calculez les antécédents de£4 par f revient
à résoudre,
avec
la
forme canonique
: f (x) = 4 ⇔ 2 (x − 1)2 −8 =
p
p
¢
¡
¢
¤
¡
4 ⇔ 2 (x − 1)2 − 12 = 0 ⇔p2 (x − 1)2 − 6p= 0 ⇔ 2 x − 1 − 6 x − 1 + 6 = 0. D’aprèsp: A × B =
p0 ⇔ A =
0 ou B = 0. D’où :x = 1 + 6 ou x = 1 − 6. Donc, les antécédents de 4 par f sont :1 + 6 et 1 − 6.
e) En utilisant la forme canonique : f (x) = −8 ⇔ 2 (x − 1)2 − 8 = −8 ⇔ 2 (x − 1)2 = 0 ⇔ x = 1 . Cela correspond
aux coordonnées du point d’ordonnée −8 : A (1; −8).
p
p
p
¡ p ¢2
¡ p ¢
f ) Calculons
l’image
de
2
3
avec
la
forme
développée
de
f
:
f
(2
3)
=
2
2
3
2
3
−6
=
24−8
3−6 =
−4
p
p
p
18 − 8 3. L’image de 2 3 par f est donc 18 − 8 3
3. L’intersection de (d ) d’équation et de C ( E et F ) ont donc pour ordonnée
2. On ¤doit donc¡ résoudre,
la p ¢
p ¢avec
¡
£
2
2
2
forme canonique : f (x) = 2 ⇔ 2 (x − 1) −8 = 2 ⇔ 2 (x −
0 ⇔ 2¢ x − ¡1 − p5 x¢− 1 + 5 =
p1) −10 = 0 ⇔
p2 (x − 1) −¡5 =p
0. D’après : A × B = 0 ⇔ A = 0ouB = 0. D’où :x = 1 + 5 ou x = 1 − 5. Donc : E 1 + 5; 2 et F 1 − 5; 2 .
EXERCICE
2
1. a) D(s) = (s−4)(2s+7)−3s(3s−12) = (s−4)(2s+7)−3s×3(s−4) = (s−4)(2s+7)−9s(s−4) = (s−4) [(2s + 7) − 9s] =
(s − 4) (−7s + 7) = −7 (s − 4) (s − 1)
b) F (u) = u 2 − 1 − (u − 1)2 = (u − 1) (u + 1) − (u − 1) (u − 1) = (u − 1) [(u + 1) − (u − 1)] = 2 (u − 1)
¡
¢
c) H (x) = 50x 2 − 140x + 98 = 2 25x 2 − 70x + 49 = 2 (5x − 7)2
2. a) A(x) =
b) B (x) =
2x
x2 + x
+
1
1×x
2
1×x
3
1
2x
2x
=
+
=
+
=
+
=
x + 1 x (x + 1) x + 1 x (x + 1) x (x + 1) (x + 1) x (x + 1)
(x + 1)
3
4
3 (x − 2) − 4x
−x − 6
−
=
=
x x −2
x (x − 2)
x (x − 2)
6x + 1 2x + 5
=
. Si on suit l’organigramme du cours, il faut d’abord définir l’ensemble de réso3x − 2
x +3
2
lution de cette équation en cherchant les valeurs interdites : les dénominateurs s’annulent pour x = et
3
2
2
x = −3. et −3 sont des valeurs interdites. On résout donc sur R \ { ; −3}.
3
3
On écrit ensuite : expression =0.
6x 2 + 19x + 3 − 6x 2 − 11x + 10
6x + 1 2x + 5
6x + 1 2x + 5
(6x + 1) (x + 3) − (2x + 5) (3x − 2)
=
⇔
−
=0⇔
=0⇔
=
3x − 2
x +3
3x − 2 x + 3
(x + 3) (3x − 2)
(x + 3) (3x − 2)
0
8x + 13
A
13
13
⇔
= 0. D’après : = 0, B 6= 0 ⇔ A = 0 ⇔ 8x + 13 = 0 ⇔ x = − .
S = {− }
B
8
8
(x + 3) (3x − 2)
3. Résoudre :
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EXERCICE 3
1) Les vitesses sont regroupées en classes choisies car à chacune d’entre elles
correspond une sanction différente, voir aucune pour la première.
2) a) Pour le calcul de la moyenne, on utilise, les éléments étant répartis de
manière uniforme, le centre de chaque classe. Ainsi, pour la première
20 + 50
) et comme effectif 104.
classe, on prendre comme valeur 35 ( =
2
Donc : x̄ =
35 × 104 + 60 × 54 + · · · · · · + 115 × 2
' 49, 5.
104 + 54 + · · · · · · + 2
Vitesse
[20; 50[
[50; 70[
[70; 80[
[80; 90[
[90; 100[
[100; 130[
E.C.C
104
158
171
178
183
185
La vitesse moyenne est d’environ 49, 5km ḣ −1 .
b) graphique construit sur geogebra :
c) voir ci-dessus.
3) :INPUT "vitesse :",V
:IF V<= 50
:THEN
:DISP "MERCI"
:ELSE
:DISP "RALENTIR ! !"
:END
4) Après avoir rechercher les amendes qu’encourent ceux qui roulent à trop grande vitesse, écrire un algorithme qui affiche les conséquences d’une vitesse excessive en fonction de la vitesse mesurée.
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