Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes
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Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes
Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes HKBL Suites négligeables et équivalentes I Suite négligeable devant une autre 1.1 Définition Définition 1.1 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. On dit que la suite (un ) est négligeable devant la suite (vn ) si et seulement si il existe une suite (εn ) et un rang N tels que : 1. εn −→ 0 n→+∞ 2. ∀n ≥ N, un = εn vn On note alors : un ◦(vn ) = +∞ exemples : en cours Attention : à la notation un = ◦(vn ) ( dite notation de Landau) car ce n’est pas une vraie égalité ! +∞ Elle signifie juste que (un ) appartient à l’ensemble des suites négligeables devant (vn ). Ainsi si un = ◦(vn ) et wn = ◦(vn ) alors, en général, ∀n ∈ N, un 6= wn ... +∞ +∞ Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls on dispose d’une propriété plus pratique pour prouver qu’une suite est négligeable devant une autre : Propriété 1.2 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. si (vn ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang alors : un ◦(vn ) = +∞ ⇔ lim n→+∞ un =0 vn preuve : en cours exemples : en cours Remarques : – si une suite (un ) est négligeable devant la suite nulle, alors la suite (un ) est la suite nulle : un = ◦(0) ⇒ +∞ ∀n ∈ N, un = 0 – étant donné trois suites (un ), (vn ) et (wn ), alors on définit la somme vn + ◦(wn ) par : un = vn + ◦(wn ) ⇔ un − vn = ◦(wn ) +∞ +∞ 1.2 lien avec les limites Théoreme 1.3 Soient (un ) une suite réelle et k un réel. Alors : lim un = k n→+∞ ⇔ un = k + ◦(1) +∞ en particulier lim un = 0 n→+∞ ⇔ un = ◦(1) +∞ exemples : en cours preuve : en cours 2013/2014 1 l. garcia Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes HKBL II opérations sur les petits ”o” 2.1 le petit ”o” d’un petit ”o” est un petit”o” Propriété 2.1 : La relation ” ◦ ” est transitive, ce qui signifie que, si (un ), (vn ) et (wn ) sont trois suites réelles, alors : ( un = o(vn ) +∞ et vn = o(wn ) ) +∞ ⇒ un = o(wn ) +∞ exemples : en cours preuve : en cours 2.2 les petits ”o” absorbent les constantes multiplicatives Propriété 2.2 : Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles, alors : ∀λ ∈ R, ⇒ un = o(vn ) +∞ λun = o(vn ), +∞ ⇔ ∀λ ∈ R, λ.o(vn ) = o(λvn ) = o(vn ), +∞ +∞ exemples : en cours preuve : en cours 2.3 avec l’addition et la multiplication tout va bien Propriété 2.3 : Soient (un ), (vn ), (u0n ) et (vn0 ) quatre suites réelles. Alors 1. Avec l’addition tout va bien : ) un = o(vn )) +∞ u0n = o(vn ) ⇒ un + u0n = o(vn ) +∞ +∞ 2. Avec la multiplication tout va bien (1) : un = o(vn )) +∞ ⇒ un × u0n = o(vn × u0n ) +∞ 3. Avec la multiplication tout va bien (2) : un = o(vn )) +∞ u0n = o(vn0 ) ) ⇒ un × u0n = o(vn × vn0 ) +∞ +∞ exemples : en cours preuve : en cours 2013/2014 2 l. garcia Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes HKBL III petits ”o” usuels Propriété 3.1 : Soient α, β et a trois réel strictement positifs. Alors : 1. (ln n)β = o(nα ) 2. a>1 an = o(n!) 4. n! = o(nn ) +∞ 3. +∞ nα = o(an ) ⇒ +∞ +∞ et si α < β alors : 5. nα = o(nβ ) 6. (ln n)α = o (ln n)β +∞ +∞ preuve : partielle, en cours IV suites équivalentes 4.1 Définition Définition 4.1 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. On dit que la suite (un ) est équivalente à la suite (vn ) si et seulement si il existe une suite (ϕn ) et un rang N tels que : 1. ϕn −→ 1 n→+∞ 2. ∀n ≥ N, un = ϕn vn On note alors : ∼ un +∞ vn exemples : en cours Dans le cas où tous les termes de la suite sont non nuls on dispose d’une propriété plus pratique pour prouver que deux suites sont équivalentes : Propriété 4.2 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. si (vn ) ne s’annule pas à partir d’un certain rang alors : un ∼ +∞ vn un =1 n→+∞ vn ⇔ lim preuve : en cours exemples : en cours 4.2 signe de deux suites équivalentes Définition 4.3 Soient (un ) et (vn ) deux suites équivalentes. Alors : 1. (un ) et (vn ) sont de même signe à partir d’un certain rang. 2. si (un ) est non nulle à partir d’un certain rang alors (vn ) est aussi non nulle à partir d’un certain rang. preuve : en cours 2013/2014 3 l. garcia Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes HKBL 4.2 limite de deux suites équivalentes Définition 4.4 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. Alors : 1. Si un ∼ vn et si vn −→ l ∈ R alors +∞ n→+∞ un −→ l n→+∞ 2. si un −→ l ∈ R avec l 6= 0 alors n→+∞ un ∼ l +∞ preuve : en cours Attention : – dans la deuxième propriété il faut absolument avoir l 6= 0 – si (un ) ∼ (0) alors la suite (un ) est nulle à partir d’un certain rang. +∞ Définition 4.5 Soient (un ) et (vn ) deux suites équivalentes. Alors : 1. Les deux suites sont de même nature : elles convergent ou divergent toutes les deux 2. si un −→ l ∈ R n→+∞ alors vn −→ l ∈ R n→+∞ preuve : en cours 4.3 lien avec les petits ”o” Définition 4.6 Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles. Alors : un ∼ vn ⇔ +∞ un = vn + o(vn ) +∞ preuve : en cours Proprit́é 4.7 Soient (un ), (vn ) et (wn ) trois suites réelles. Si un ∼ vn et +∞ vn = o(wn ) +∞ Alors un = o(wn ) +∞ preuve : en cours 4.4 relation d’équivalence Définition 4.8 l’équivalence entre les suites est une relation d’équivalence, ce qui signifie qu’elle est : – réflexive : un ∼ un +∞ – symétrique : u n ∼ vn +∞ ⇒ vn ∼ un +∞ – transitive : (un ∼ vn +∞ 2013/2014 et vn ∼ wn +∞ 4 )⇒ un ∼ wn +∞ l. garcia Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes HKBL preuve : en cours V opérations sur les équivalents 5.1 avec la multiplication, la division et les puissances tout va bien Propriété 5.1 : Soient (un ), (vn ), (u0n ) et (vn0 ) quatre suites réelles. Alors 1. Avec la multiplication tout va bien (1) : u n ∼ vn ⇒ +∞ ( ∀k ∈ R, kun ∼ kvn ) +∞ 2. Avec la multiplication tout va bien (2) : un ∼ vn +∞ u0n ∼ vn0 ) ⇒ un × u0n ∼ vn × vn0 +∞ +∞ 3. Avec la division tout va bien : un ∼ vn ) +∞ u0n ∼ vn0 +∞ et vn0 6= 0 à partir d’un certain rang ⇒ vn un ∼ u0n +∞ vn0 4. Avec les puissances tout va bien : un ∼ vn +∞ et un > 0 à partir d’un certain rang ⇒ α ( ∀α ∈ R+ , uα n ∼ vn ) en particulier un ∼ vn +∞ et un > 0 à partir d’un certain rang ⇒ +∞ √ un ∼ +∞ √ vn exemples : en cours preuve : en cours Attention : l’équivalence entre deux suites n’est pas, en général, compatible avec l’addition 5.2 avec la composition à droite tout va bien Propriété 5.2 : Soient (un ) et (vn ) deux suites réelles, et soit ϕ une fonction de N dans N. Si : – un ∼ vn +∞ – lim ϕ(n) = +∞ n→+∞ Alors uϕ(n) ∼ vϕ(n) +∞ exemples : en cours Attention : l’équivalence entre deux suites n’est pas, en général, compatible avec la composition à gauche : Si un ∼ vn et si f une fonction de R dans R alors +∞ f (un ) et f (vn ) ne sont pas équivalentes 2013/2014 5 l. garcia Lycée Henri IV Chap 6 : suites négligeables et équivalentes HKBL VI équivalents usuels 6.1 polynômes Propriété 6.1 : Soit P une fonction polynôme à coefficients réels : p: R x → R 7 → ap xp + ap−1 xp−1 + ... + a1 x + a0 Alors la suite (P (n)) est équivalente à celle du terme de plus haut degré (ap np ) ap np + ap−1 np−1 + ... + a1 n + a0 ∼ ap np +∞ exemples : en cours preuve : en cours 6.2 la formule de Stirling Propriété 6.2 : n! ∼ +∞ n n √ e 2πn preuve : admis 6.3 équivalents usuels Propriété 6.3 : Soit (un ) une suite telle que lim un = 0, alors : n→+∞ 1. eun − 1 ∼ un 2. +∞ ln(1 + un ) − 1 ∼ un 3.∀α ∈ R, +∞ (1 + un )α − 1 ∼ αun +∞ preuve : dans le cours sur les développements limités remarque : on déduit de la formule 3. : – en prenant α = −1, 1 − 1 ∼ −un +∞ 1 + un – en prenant α = 1 , 2 √ 1 + un − 1 ∼ +∞ 1 un 2 exemples : en cours 2013/2014 6 l. garcia