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Commande robuste - Approche polynomiale
Thao Dang
SLE, ENSIMAG
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Plan
• Introduction - systèmes linéaires, commande robuste
• Analyse de stabilité
– Un seul paramètre d’incertitude - Critère de valeurs propres
– Intervalle d’incertitude
– Polytope d’incertitude
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Systèmes linéaires
Systèmes linéaires
• La théorie de commande de systèmes linéaires est bien développée.
• Plusieurs outils de conception assistée par l’ordinateur.
• Voir un petit rappel.
Systèmes linéaires incertains
• Approche polynomiale : Basée sur l’algèbre linéaire et l’algèbre de
matrices polynomiales
Reference http://www.polyx.cz/frm-main-tutorials.htm
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Approche polynomiale
Une fonction de transfert peut être vue comme une fraction polynomiale
Exemple : un système mécanique
y : déplacement; u : force externe; k1 : coef de friction de viscosité; k2 :
constante de ressort; m : masse
G(s) =
y(s)
1
=
u(s) ms2 + k1s + k2
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Approche polynomiale
Généralisation aux matrices de polynômes.
(Do + D1s + D2s2)y(s) = Nou(s)
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Exemple : un circuit RLC
y1 : tension sur l’inducteur; y2 : courant passant l’inducteur; u : tension
de la source
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Exemple : un système de ressorts
M ẍ + C ẋ + Kx = 0
où n = 250, mi = 1, κi = 5, τi = 10, sauf κ1 = κn = 10 et τ1 = τn = 20
M =I
C = tridiag(−10, 30, −10)
K = tridiag(−5, 15, −5)
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Exemples : un pendule inversé
Linéarisation autour du la position verticale en haut
Avec J = mL2 /12, l = L/2, g = 9.8, M = 2, m = 0.35, l = 0.7, b = 4,
k = 1.
Plusieurs exemples d’ordre plus grand dans la modélisation aéroacoustique et en mécanique de fluides.
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Incertitude
Incertitude dans la modélisation
• Non-paramétrique
–
–
–
–
dynamique non-modélisée
modes avec des fréquences hautes tronquées
non-linéarité
effets de linéarisation, variations temporelles
• Paramétrique
– Paramètres physiques qui varient dans certaines bornes
Méthodes pour traiter l’incertitude
• commande prédictive
• commande adaptive
• commande robuste : On cherche une lois de commande valide
pour toutes les valeurs admissibles de l’incertitude
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Stabilité de polynôme
Un polynôme p(s) est stable si toutes ces racines sont dans une région spécifique du plan complexe
La région de stabilité dépend de la nature du système
• demi-plan à gauche (système en temps continu)
• le disque d’unité (système en temps discret)
La région de stabilité peut être plus compliquée afin d’assurer
• amortissement (parabole)
• comportement dominant (demi-plan ou disque décalé)
• bande passante (demi-plan ou disque décalé)
• commande par retour à petit gain qui préserve les comportements
fréquentiels (zones non-connexes).
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Stabilité des polynômes - Exemple
Un modèle linéarisé d’un système de grue à levage
Le polynôme caractéristique de la boucle dermée
g = 10, mC = 1000, l = 10
Si la masse mL n’est pas connue précisément et mL ∈ [50, 2395], la question
est :
Est-ce que le polynôme est stable pour toutes les valeurs
admissibles de mL ?
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Analyse de Stabilité
On visualise des racines (pôles) du polynôme (en divisant l’intervalle de
valeurs de mL en petits intervalles)
0.6 + 2s + (2.6 + 0.001mL)s2 + 2s3 + s4
Les racines (pôles) restent dans le demi-plan gauche, le système en boucle
fermée est alors robustement stable.
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Deux paramètres incertains
Si la longeur l est aussi incertaine
6 20
0.6l + 20 + 0.01mL 2
+ s+
s + 2s3 + s4
l
l
l
Les racines restent dans le demi-plan à gauche, le système en boucle fermée
est robustement stable.
Pourtant, le temps de calcul devient long et est exponentiel en nombre de
paramètres incertains ⇒ on a besoin des outils plus perfomants.
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Outils d’analyse de stabilité
On va étudier les cas suivants
• un seul paramètre incertain q ∈ [qmin, qmax]
• intervalle d’incertitude qi ∈ [qimin, qimax]
• polytopic uncertainty λ1q1 + . . . + λN qN
• multilinear uncertainty q0 + q1q2q3
On commence avec le cas avec un seul paramètre incertain et le critère
de valeurs propres.
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Un seul paramètre incertain
On considère un polynôme :
p(s, q) = p0(s) + qp1(s)
• p0(s) est un polynôme stable (nominal)
• p1(s) est un polynôme arbitraire
• q est un paramètre incertain dans l’intervalle [qmin, qmax]
Exemple : un système du premier ordre
P (s, q) =
1
,
s−q
|q| ≤ 2
La commande par retour C(s) = 1
Le polynôme de la boucle fermée :
p(s, q) = s + 1 − q
est robustement stable ?????
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Un seul paramètre incertain
On considère un polynôme :
p(s, q) = p0(s) + qp1(s)
• p0(s) est un polynôme stable nominal
• p1(s) est un polynôme arbitraire
• q est un paramètre incertain dans l’intervalle [qmin, qmax]
Exemple : un système du premier ordre
P (s, q) =
1
,
s−q
|q| ≤ 2
La commande par retour C(s) = 1
Le polynôme de la boucle fermée :
p(s, q) = s + 1 − q
est robustement stable ????? ⇒ NON, car la racine quitte le demi-plan
gauche quand q ≥ 1.
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Perte de stabilité
Les racines dépendent d’une manière continue des coefficients, donc
l’instabilité surgit quand les racines traversent la frontière de stabilité
(l’axe imaginaire dans le cas de temps continu).
L’instabilité peut arriver aussi quand le degré du polynôme change
p(s, q) = qs2 − s − 1,
q ∈ [0, 1]
• p(s, 0) = −(s + 1) ⇒ stable
• p(s, 1) = (s + 0.6180)(s − 1.6180) ⇒ instable
On va utiliser l’hypothèse d’invariance de degré.
Le critère est valide pour des régions de stabilité non-bornées
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Matrice de Hurwitz
On considère un polynôme :
p(s) = p0 + p1s + . . . + pn−1sn−1 + pnsn
avec pn > 0, on définit sa matrice de Hurwitz
Critère de Hurwitz : p(s) est stable ssi tous les mineurs principaux dominants de H(p) sont > 0
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Rappel: Mineurs principaux dominants
Pour une matrice


a11 . . . a1n

A = . . .
an1 . . . ann
Considérons les déterminants de n sous-matrices suivantes:
d1 = det( a11 )


a11 a12
)
d2 = det(. . .
a21 a22


a11 . . . a1n
)
dn = det( . . .
an1 . . . ann
Ces n déterminants sont appelés les mineurs principaux dominants de A.
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Critère Bialas
p(s, q) = p0(s) + qp1(s)
p0(s) stable avec des coefs positifs, et p1(s) tel que degp1(s) < degp0(s)
On cherche l’intervalle de stabilité la plus grande q ∈]qmin , qmax [ telque
p(s, q) est robustement stable.
Matrice d’Hurwitz
H(p) = H(p0(s) + qp1(s))
= H(p0(s)) + qH(p1(s))
= H0 + qH1
(1)
(2)
(3)
Notons que detH(p) = det[H0 + qH1 ].
Avec detH0 > 0, considérons det[q −1 + H0−1 H1 ] et il n’y a pas de ”root
crossing” à l’infini, on obtient le critère Bialas
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Critère Bialas (suite)
p(s, q) = p0(s) + qp1(s)
p0(s) stable avec des coefs positifs, et p1(s) tel que degp1(s) < degp0(s)
Notation:
• Pour une matrice A, λ+max(A) est la valeur propre réelle positive la plus
grande de A, et λ−
min est la valeur propre réelle negative la plus petite
de A.
• Pour le polynôme p(s, q) = p0(s) + qp1(s), H0 est la matrice de
d’Hurwitz de p0 et H0 est la matrice de d’Hurwitz de p1 .
Le critère Bialas donne les bornes sur la valeur de q :
qmax =
1
λ+max(−H0−1H1)
qmin =
1
λ−min(−H0−1H1)
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Matrice de Hurwitz
On considère un polynôme :
p(s, q) = p0(s) + qp1(s) + q 2p2(s) + . . . + q mpm(s)
avec p0 (s) stable and degp0 (s) > degpi (s) En utilisant des zéros (racine du
déterminante) de la matrice d’Hurwitz
H(p) = H(p0) + qH(p1) + q 2H(p2) + . . . + q mH(pm)
on peut montrer que
qmin = 1/λ−min(M )
qmax = 1/λ+max(M )
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D’autres régions de stabilité
Le critère de valeurs propres peuvent être utilisé pour le cas de temps
discret où la région de stabilité est le disque unitaire
• Pas de changement de degré à l’infini car la région est bornée
• Matrice de Jury
detJ(p) = αΠ1≤i<j≤n(1 − zizj )
• La stabilité est perdue à −1 et +1
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