5.1 Volume de solides de révolution

5.1 Volume de solides de révolution
Méthode des disques
R
Volume du disque (cylindre) = π R2 E
E
On veut trouver le volume du solide engendré par la rotation de la région colorée en
brun autour de l’axe des x. Si on fait tourner le rectangle rouge, on obtient une partie
du volume recherché.
Axe de rotation
Si on couvre la surface avec quelques rectangles, on trouve une approximation du volume
recherché. Plus on prend de rectangles, plus on s’approche du volume recherché.
Représentation du volume calculé à l'aide
de 6 disques.
Représentation du volume calculé
à l'aide de 20 disques.
Pour obtenir le volume exact, on prend une infinité de disques, ce qui nous mène au calcul
d’une intégrale définie.
Cas où l’axe de rotation est appuyé sur la région
Exemple 1
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la région
délimitée par y = 3x, l’axe des x, entre x = 0 et x = 2, autour de l’axe des x.
R =y – 0 = y
E =Δx
y = 3x
V=
Exemple 2
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la région
délimitée par y = 3x, l’axe des y et y = 6, autour de l’axe des y.
R=x–0=x
E =Δy
y = 3x, alors y/3 = x
V=
Exemple 3
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la région
délimitée par y = 3x, y = -1, x = 0 et x = 2, autour de y = -1.
R =y – (-1) = y + 1
E =Δx
y = 3x
V=
Exemple 4
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la région
délimitée par y = 3x, y = 8, x = 0 et x = 2, autour de y = 8.
E =Δx
R =8 – y = 8 – 3x
V=
Cas où l’axe de rotation n’est pas appuyé sur la région
Exemple 5
Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation de la région
fermée délimitée par
et
, autour de y = -1.
r =y – (-1) = y + 1 = x/2 + 1
R =y – (-1) = y + 1 =
+1
E =Δx E =Δx
V