Chaines de Markov en temps continu

Chaines de Markov en temps continu
Michel Petitot
15 septembre 2010
1
Exercice
Un système clients-serveur reçoit en moyenne 1000 requêtes par seconde, arrivant selon
un processus de Poisson. Il dispose d’un unique serveur pouvant traiter en moyenne 2000
clients par seconde. On suppose que le temps de service d’un client est distributé selon la loi
exponentielle.
Q 1.1 – Calculer la probabilité que le temps de service dépasse 2 ms.
Q 1.2 – Quelle est le pourcentage de clients rejetés pour un système ne comportant pas de
file d’attente.
Q 1.3 – Même question pour un système comportant une file d’attente de 1 place. Calculer
le taux d’application du serveur.
Q 1.4 – Même question pour un système comportant une file d’attente de 2 places
Solution
λ
λ
1
0
λ
1
0
µ
µ
(a) M/M/1/1
2
µ
(b) M/M/1/2
Fig. 1 – File d’attente comportant 0 (resp. 1) place.
Q 1.1 – En choisissantt la milli–seconde comme unité de temps, on trouve λ = 1 client/ms
et µ = 2 client/ms. On pose a := µλ = 21 .
Le temps de service TS d’un client suit la loi exponentielle de paramètre µ donc
Prob {TS > t} = exp(−µt).
Pour t = 2, on trouve Prob {TS > 2} = exp(−4) = 0.0183 .
Q 1.2 – Le calcul de la distribution stationnaire de la chaine de Markov figurant en figure
1
1 (a) conduit à résoudre le système linéaire λ π0 = µπ1 et π0 + π1 = 1. Le calcul donne

1
2
µ


=
=
 π0 =
λ+µ
1+a
3
λ
a
1


=
=
 π1 =
λ+µ
1+a
3
Le pourcentage de clients rejetés est π1 = 33.3% .
Q 1.3 – Le calcul de la distribution stationnaire de la chaine de Markov figurant en figure
1 (b) conduit à résoudre le système linéaire λ π0 = µπ1 , λ π1 = µπ2 et π0 + π1 + π2 = 1. Le
calcul donne

4
1


=
π0 =

2

1+a+a
7



a
2
π1 =
=
1 + a + a2
7



2


1
a

 π2 =
=
1 + a + a2
7
Le pourcentage de clients rejetés est π2 et le taux d’occupation du serveur est π0 .
Q 1.4 – Le calcul de la distribution stationnaire de la chaine de Markov M/M/1/3 conduit
à résoudre le système linéaire λ π0 = µπ1 , λ π1 = µπ2 , λ π2 = µπ3 et π0 + π1 + π2 + π3 = 1.
Le calcul donne
ak
πk =
,
k = 0...3 .
1 + a + a2 + a3
Le pourcentage de clients rejetés est π3 =
2
1
15
et le taux d’occupation du serveur est π0 =
8
15
.
Exercice
Un système clients-serveur reçoit en moyenne 1000 requêtes par seconde, arrivant selon un
processus de Poisson. A titre expérimental, on envisage un système sans file d’attente mais
comportant plusieurs serveurs de front. Lorsque tous les serveurs sont occupés, les requêtes
sont rejetées.
Q 2.1 – Quelle est le pourcentage de clients rejetés pour un système comportant 1 serveur
traitant 4000 requêtes par seconde ?
Q 2.2 – Même question pour un système comportant deux serveurs traitant chacun 2000
requêtes par seconde.
Q 2.3 – Même question pour un système comportant quatre serveurs traitant chacun 1000
requêtes par seconde.
Solution
Q 2.1 – Un serveur traitant 4000 requêtes par seconde :
2
λ
λ
1
0
λ
1
0
µ
2
µ
(a) λ = 1, µ = 4
2µ
(b) λ = 1, µ = 2
Fig. 2 – Un serveur (a)
Deux serveurs (b)
La distribution stationnaire (voir figure 2 (a)) est
1
=
1+a
a
=
π1 =
1+a
4
5
1
5
π0 =
avec a = 14 . La proportion de clients rejetés est donc π1 =
1
5
.
Q 2.2 – Deux serveurs traitant chacun 2000 requêtes par seconde :
Le calcul de la distribution stationnaire donne (voir figure 2 (b))
π0 =
π1 =
π2 =
1
1+a+
a
a2
2
1+a+
a2
2
a2
2
1+a+
a2
2
=
8
13
=
4
13
=
1
13
avec a = 12 . La proportion de clients rejetés est donc π2 =
1
13
.
Q 2.3 – Quatre serveurs traitant chacun 1000 requêtes par seconde :
λ
λ
λ
1
0
µ
λ
3
2
2µ
4
3µ
4µ
Fig. 3 – Quatre serveurs, λ = 1, µ = 1
Le calcul de la distribution stationnaire donne (voir figure 3)
πk =
ak
k!
1+a+
a2
2!
+
a3
3!
+
a4
4!
,
k = 0...4
avec a = 1. La proportion de clients rejetés est donc π4 =
3
1
65
.