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AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL DE TRANSCONDUCTANCE
REALISATION D’UN FILTRE PASSE-BANDE ACCORDABLE ELECTRIQUEMENT1
On étudiera dans la première partie un amplificateur opérationnel de transconductance à
transistors bipolaires dont le courant à la sortie est proportionnel à la tension appliquée entre les entrées
différentielles. Dans la deuxième partie, il sera associé à un amplificateur opérationnel conventionnel
pour réaliser un filtre passe-bande accordable électriquement.
1 - ETAGE D’ENTREE DE L’AMPLIFICATEUR
L’entrée de l’amplificateur correspond au sous-ensemble (B) de la figure 1. Il utilise deux
transistors NPN au silicium T1 et T2 rigoureusement identiques tels que :
• Gain en courant : β = 250 (avec un courant de base négligeable) à T = 25 °C
•
Résistance interne : rce infinie.
•
Les deux générateurs de courant
I0
sont semblables et idéaux.
2
+ VCC = +15 V
I3
T7
T8
I7
I8
I4
T3
IS
I5
T4
+
I6
T6
T5
VBB
J0
I1
Sous-ensemble A
+
- V EE = -15 V
B1
T1
E
V1
-
I2
E1
T2
I
R
E2
B2
V2
I0/2
Sous-ensemble B
I0/2
- V EE = -15 V
Figure 1 : schéma complet de l’amplificateur de transconductance
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Ph.ROUX©2009
http://rouxphi3.perso.gegetel.net
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L’étage d’entrée est excité par une tension différentielle continue : E = V1 - V2.
1.1)
a) Rechercher la relation liant la tension différentielle d’entrée E à R, I et ∆VBE = VBE1 - VBE2.
b) Montrer que lorsque les courants de collecteur I1 et I2 varient du fait de E, on a toujours :
I1 +I2 = I0
c) Déterminer l’expression de la différence I1 -I2 en fonction de I0, ∆VBE et UT.
V
On rappelle que : IC = I SBC exp( BE ) avec le même courant ISBC pour T1 et T2.
UT
d) Déterminer également l’expression de la différence I1 -I2 en fonction de E, R et ∆VBE.
Au repos lorsque E = 0 V, ∆VBE = 0 V entraînant alors : I1 = I2 = I0 /2. Au fur et à mesure de
l’accroissement de tension E, ∆VBE augmente aussi, mais reste très inférieure à E à condition de
donner à la résistance R une valeur convenable.
1.2) Calculer dans le cas le plus défavorable c’est-à-dire pour Emax = 10 V, la valeur à donner à R de
manière à obtenir ∆VBEmax = 0,1 V. On donne par ailleurs : I0 /2 = 500 µA.
En déduire alors l’expression approchée simple liant la différence (I1 – I2) à E et R.
Cet étage est maintenant excité par une tension sinusoïdale e = v1 - v2 d’amplitude faible.
1.3) Dessiner le schéma équivalent du sous-ensemble (B) aux petites variations et aux fréquences
moyennes en utilisant le schéma en « β ib » avec rce infinie.
1.4) Rechercher en fonction de R, β et rbe, la transconductance différentielle g0 de l’étage définie par :
i −i
g0 = 1 2 . Montrer que g0 est sensiblement égale à 2/R. Faire l’application numérique.
e
1.5) Calculer l’expression de la résistance d’entrée différentielle Re vue par la tension e. Faire
l’application numérique.
2 - ETAGE DE SORTIE DE L’AMPLIFICATEUR DE TRANSCONDUCTANCE
Pour améliorer la transconductance de l’amplificateur complet et aménager une sortie
asymétrique, on utilise un montage amplificateur de courant dont le schéma correspond au sousensemble (A) de la figure 1. Les transistors NPN T3, T4, T5 et T6 sont identiques à T1 et T2, à la même
température, leur courant de base est négligeable devant le courant de collecteur. Il en est de même des
transistors PNP T7 et T8 formant un miroir de courant simple.
2.1) Sachant que la tension VBB est un potentiel fixe, écrire l’équation de la maille contenant les quatre
VBE des transistors T3 à T6 . En déduire la relation simple : I3 I4 = I5 I6.
A partir de la relation précédente et compte tenu du résultat de la question 1.1b, calculer la valeur
des gains en courant I5/I3 et I4/I6 en fonction de J0 et I0.
a c a+c
On rappelle la relation mathématique : = =
b d b+d
2
On considère maintenant l’amplificateur de transconductance complet avec ses sous-ensembles
(A) et (B) excité par une tension continue E < 10 V.
2.2) Calculer l’expression de la transconductance G1 de cet ensemble définie par : G1 = IS/E en
fonction de J0, I0 et R. On donne J0 = 4 I0 , faire l’application numérique.
PARTIE 2 : FILTRE PASSE-BANDE ACCORDABLE ELECTRIQUEMENT
Pour réaliser un filtre passe-bande avec un amplificateur opérationnel ordinaire supposé idéal,
on exploite le montage de la figure 2. L’entrée est une tension sinusoïdale ve.
R’
R
L
C
ve
vs1
Figure 2 : Filtre passe-bande
1) Déterminer l’expression du gain A =
vs1
du montage de la figure 2 en faisant intervenir l’impédance
ve
du circuit oscillant série.
Un tel filtre ne peut pas être accordé électriquement sur une fréquence donnée tout en conservant
le même coefficient de qualité Q. Pour assurer l’accord électrique d’un amplificateur passe-bande, on
constitue un intégrateur nommé INT1 suivant le schéma de la figure 3 qui associe :
• L’amplificateur de transconductance TR1 étudié dans la première partie, délivrant, en régime
sinusoïdal, un courant de sortie is = g1 e1. Sa résistance d’entrée sera supposée infinie.
• L’amplificateur opérationnel classique A1 supposé idéal
is
C0
e1
vs1
INT 1
Figure 3 : montage intégrateur
2) Sachant que TR1 est attaqué par une tension sinusoïdale e1, rechercher l’expression de la tension de
sortie vs1 du montage intégrateur INT1 complet en fonction de g1,, C0 et e1.
3
Le montage intégrateur précédent INT1 est associé à un deuxième montage intégrateur identique
INT2 suivant le schéma de la figure 4.
R2
+
R1
u
e1
INT 1
-
ve
INT 2
vs2
vs1
+
-
e2
Figure 4 : Association de deux intégrateurs
3) Ecrire les relations qui existent entre les diverses tensions du montage : ve, u, e1, vs2, e2 et vs1.
En déduire l’expression du gain A1 = vs 1/ve et l’organiser sous une forme semblable à celle de la
question 1 de la 2° partie.
4) On désire que ce montage possède les mêmes propriétés que celui de la figure 2. Ecrire alors en
fonction de R1, R2 g1 et C0, les expressions :
• Des résistances R et R'.
• De l’inductance L et de la capacité C équivalentes.
• De la fréquence de résonance f0 et du coefficient de qualité Q.
Indiquer de quelle manière il est possible d’assurer un réglage électrique de la fréquence de la
résonance du filtre. Que pensez-vous de son coefficient de qualité ?
5) On donne : R1 = 1 kΩ, R2 = 10 kΩ, C0 = 1 nF. Aux variations on prendra pour la transconductance
du montage : g1 = G1 de la question 2.2.
Faire les applications numériques de la question 4 et tracer la courbe de réponse en fréquences du
module de A1 en dB.
4
CORRECTION 2
PARTIE 1 : AMPLIFICATEUR OPERATIONNEL DE TRANSCONDUCTANCE
1.1)
a) Maille d’entrée : E = VBE1 + RI − VBE 2 = RI − ∆VBE (1).
b) I1 =
I0
+I
2
I2 =
I0
−I
2
soit : I1 + I2 = I0 (2).
c) Expression de la différence (I1-I2) en fonction de I0, ∆VBE et UT .
V
V
I1 = I SBC exp( BE1 )
I2 = I SBC exp( BE 2 )
UT
UT
Soit en faisant le rapport :
I1
∆V
= exp( BE ) (3)
I2
UT
L’exploitation des relations (2) et (3) permet d’obtenir les expressions des courants I1 et I2 :
I2 =
I0
1 + exp(
∆VBE
)
UT
I1 =
∆V
1 + exp( BE )
UT
I0 exp(
∆VBE
)
UT
∆VBE
) −1
UT
I1 − I2 = I0
(4)
∆V
exp( BE ) + 1
UT
exp(
d) Expression de la différence I1 -I2 en fonction de E, R et ∆VBE.
I1 − I2 = 2 I
soit avec la relation (1) : I1 − I2 =
2
( E − ∆VBE ) (5)
R
1.2) Emax = 10 V, ∆VBEmax = 0,1 V et I0 /2 = 500 µA.
La relation (4) permet de calculer (I1-I2) = 964 µA.
La relation (5) donne alors : R = 20,5 kΩ.
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5
Avec une erreur relative de 1 %, on obtient : I1 − I2 =
2
E (6)
R
1.3) Schéma équivalent du sous-ensemble (A) aux petites variations et aux fréquences moyennes en
utilisant le schéma en « β ib » avec rce infinie.
rbe
e
E1
E1
B1
B2
R
ib1
rbe
ib2
βib2
βib1
i2
i1
i1 − i2
.
e
On remarque que le courant qui circule dans R conduit à la relation : ib1 = -ib2.
La tension e est alors telle que : e = ib1 (rbe + R(β + 1))
1.4) Transconductance différentielle g0 de l’étage : g0 =
Avec : i1 = βib1 et i2 = βib 2 = −βib1 , il vient :
g0 =
Avec rbe = β
β
i1 − i2
=2
(7)
e
rbe + R(β + 1)
UT
= 12, 5 kΩ << βR = 5,12Mohms
I1
g0 =
2
= 48, 68µS
R
1.5) Expression de la résistance d’entrée différentielle Re vue par la tension e.
e = ib1 (rbe + R(β + 1))
Re =
e
= rbe + R(β + 1) ≈ Rβ = 5,12 MΩ
ib1
2 - ETAGE DE SORTIE DE L’AMPLIFICATEUR DE TRANSCONDUCTANCE
2.1) Equation de la maille contenant les quatre VBE des transistors T3 à T6 . En déduire la relation
simple : I3 I4 = I5 I6.
VBE 3 − VBE 5 = VBE 6 − VBE 4
I 3 = I SBC exp(
VBE 3
)
UT
I5 = I SBC exp(
VBE 5
)
UT
soit :
I3
V −V
= exp( BE 3 BE 5 )
I5
UT
6
De même on obtient la relation suivante :
I6
V −V
= exp( BE 6 BE 4 )
I4
UT
Compte tenu de la relation précédente reliant les tensions VBE :
I5 I 4
=
(8)
I 3 I6
Valeur des gains en courant I5/I3 et I4/I6 en fonction de J0 et I0. La relation (8) conduit à :
I5 I 4 I5 + I 4 J0
= =
=
(9)
I 3 I6 I 3 + I6 I0
2.2) Expression de la transconductance G1 de l’ensemble.
I S = I 7 − I 4 . Les transistors T7 et T8 forment un miroir de courant de telle sorte que : I 7 = I8 .
Sachant que : I8 = I5 , on en déduit I S = I5 − I 4 .
J
J
Utilisons la relation (9) : I S = 0 ( I 3 − I6 ) soit encore : I S = 0 ( I1 − I2 )
I0
I0
Compte tenu de la relation (6) :
G1 =
2 J0
= 390µS (10)
R I0
PARTIE 2 : FILTRE PASSE-BANDE ACCORDABLE ELECTRIQUEMENT
1) Expression du gain A =
vs1
du montage de la figure 2.
ve
v
R′
A = s1 = −
(11)
1
ve
R + jωL +
jωC
2) Expression de la tension de sortie vs1 du montage intégrateur INT1 complet.
g
jωC0
vs1 = − 1 e1 soit : e1 = −
vs1 (12)
jωC0
g1
3) Mise en équations du montage.
g
vs2 = − 1 vs1 (13)
jωC0
u = e1 + vs2 (14)
ve − u vs1 − u
+
=0
soit :
R2 (ve − u ) + R1 (vs1 − u ) = 0 (15)
R1
R2
Les équations précédentes conduisent à :
7
vs1
R2
=−
(16)
C
1 g1
ve
R1 + ( R1 + R2 )( jω 0 +
)
g1 jω C0
4) La comparaison entre les équations (11) et (16) accèdent aux relations :
A1 =
R’ = R2
R =R1
Self inductance : L =
( R1 + R2 )
C0
g1
f0 =
Fréquence de résonance :
Condensateur : C =
1
2π LC
Q=
Coefficient de qualité :
=
C0
( R1 + R2 )g1
g1
2πC0
Lω0 ( R1 + R2 )
=
R
R1
La fréquence de la résonance du filtre est ajustable par l’intermédiaire du courant continu J0. Le
coefficient de qualité Q est par contre fixe.
5) Applications numériques :
g1
C
L
fo
Q
390µS 233 pF 28.2 µH 62 kHz 11
20
15
10
A1 (dB) 5
0
5
10
1 10
4
1 10
5
f (Hz)
1 10
6
8