8. Résoudre les équations de Maxwell

8. Résoudre les équations de Maxwell
Nous quittons le cas simple des ondes planes monochromatiques se propageant selon
un axe de coordonnée.
Ce chapitre introductif à la seconde partie a pour objectif de préparer la suite du
cours :
– Présenter les méthodes de résolution des équations de Maxwell dans le vide.
– Rappeler les diverses solutions élémentaires aux équations de Maxwell dans le vide.
– Introduire aux méthodes de résolution des équations en présence de sources.
8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie
8.1.1. Les équations de Maxwell dans le vide
Expression des équations
Les équations de base de l’électromagnétisme dans le vide sont les quatre équations
de Maxwell à laquelle s’ajoute la force de Lorentz qui s’exerce sur une charge électrique
en mouvement :
ρ
ε0
~
div B = 0
~ =
div E
~
∂B
−→ ~
rot E = −
∂t
~
∂E
−→ ~
rot B = µ0~j + µ0 ε0
∂t
~ + ~v × B
~
F~L = q E
(8.1)
(8.2)
(8.3)
(8.4)
(8.5)
La relation qui exprime la conservation locale de la charge électrique se déduite ce ces
équations :
∂ρ
+ div ~j = 0.
∂t
(8.6)
En l’absence de charge électrique et de courant électrique, ces équations prennent la
forme suivante :
77
A savoir
Retrouver cette équation de conservation à
partir des équations de
Maxwell
78
8. Résoudre les équations de Maxwell
~ = 0
div E
~ = 0
div B
−→
rot
−→
rot
(8.7)
(8.8)
~
~ = − ∂B
E
∂t
~
~ = µ0 ε0 ∂ E
B
∂t
(8.9)
(8.10)
Ondes électromagnétiques dans le vide
Les équations de Maxwell-Ampère et Maxwell-Faraday sont des équations aux dérivées
~ et le champ magnétique
partielles du premier ordre qui couplent le champ électrique E
~
B. L’élimination de l’un des champ conduit à obtenir pour le second une équation du
second ordre :
A savoir
Démontrer ces équations de propagation à
partir des équations de
Maxwell
~
∂2E
= 0,
∂t2
2~
~ − µ0 ε0 ∂ B = 0.
∆B
∂t2
~ − µ0 ε0
∆E
(8.11)
(8.12)
Ces équations sont des équations de D’ Alembert : le champ électromagnétique se
propage dans le vide à la célérité c.
c= √
1
ε0 µ0
(8.13)
Énergie électromagnétique
Le champ électromagnétique transporte de l’énergie. La densité locale d’énergie électromagnétique U est :
U = ε0
2
~
E 2
+
2
~
B 2µ0
.
(8.14)
~ :
Le courant d’énergie est donné par le vecteur de Poynting Π
~
~
~ = E × B.
Π
µ0
A savoir
Retrouver cette équation à partir des équations de Maxwell
(8.15)
La relation de conservation locale s’écrit :
∂U
~ = 0.
+ div Π
∂t
(8.16)
Exercice
Que devient cette équation en présence de
charges et de courants ?
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8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie
79
La puissance P qui traverse une surface S est le flux du vecteur de Poynting à travers
cette surface :
x
~ · dS.
~
P=
Π
(8.17)
Σ
8.1.2. Les potentiels
Existence des potentiels
Dans de nombreuses situations, les problèmes d’électromagnétisme sont grandement
simplifiés par l’utilisation de champs supplémentaires : les potentiels scalaire V (~r, t)
~ (~r, t). L’existence de des deux champs auxiliaires est une conséquence des
et vecteur A
équations de Maxwell flux et Maxwell-Faraday. Ces deux équations ne font pas intervenir
la matière (contrairement aux deux autres). Elles peuvent être comprises comme deux
contraintes imposées à la structure des champs électrique et magnétique.
L’équation de Maxwell-flux impose au champ magnétique d’avoir une divergence nulle :
~ = 0.
div B
(8.18)
~ solution
C’est une condition nécessaire et suffisante pour qu’il existe un champ vectoriel A
à l’équation :
→~
~ =−
B
rot A.
(8.19)
~ est appelé potentiel vecteur.
Le champ A
~ en fonction du potentiel vecteur A
~ peut
Cette expression du champ magnétique B
être reportée dans l’équation de Maxwell-Faraday :
~
∂B
−→ ~
rot E = −
.
∂t
(8.20)
Ceci conduit à l’équation suivante,
−→
rot
~
~ + ∂A
E
∂t
!
= 0.
(8.21)
Cette nouvelle équation est elle même une condition nécessaire et suffisant à l’existence
d’un champ scalaire V solution de :
~
−→
~ + ∂ A = −−
grad V.
E
∂t
(8.22)
Ce champ V est appelé potentiel scalaire.
Les potentiels en électrostatique et magnétostatique
Lorsque les distributions de charge ρ et de courant ~j ne dépendent pas du temps, le
champ électrique et le champ magnétique ne sont pas couplés.
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80
8. Résoudre les équations de Maxwell
Le potentiel scalaire prend un sens particulier. Puisque le champ magnétique est indépendant du temps, le rotationnel du champ électrique est nul :
−→ ~
rot E = 0.
(8.23)
~ est conservatif. Il est le gradient du potentiel scalaire V
Autrement dit le champ E
−→
~ = −−
E
grad V.
(8.24)
V prend alors un sens énergétique. L’énergie potentielle électrostatique Ep d’une charge
électrique placée dans le champ électrique est alors :
Ep = q V.
(8.25)
Si l’on reporte l’équation qui définit le potentiel scalaire V dans l’équation de MaxwellGauss on obtient une relation directe entre ce potentiel et la distribution de charge :
Exercice : Retrouver
cette équation
∆V = −
ρ
ε0
(8.26)
Il s’agit de l’équation de Poisson dont une solution s’écrit sous forme intégrale :
V (~r, t) =
1 y ρ (~r1 ) 3
d ~r1 .
4πε0
|~r1 − ~r|
(8.27)
V
Le potentiel vecteur
vérifie lui aussi une équation de Poisson :
Exercice : Retrouver
cette équation
~ = −µ0 ~j,
∆A
(8.28)
y ~j (~r )
1
~ (~r, t) = µ0
d3~r1 .
A
4π
|~r1 − ~r|
(8.29)
dont une solution est :
V
Les transformations de jauge
~ sont définis comme étant solutions des deux
Les potentiels scalaire V et vecteur A
équations suivantes :
→~
~ = −
B
rot A,
(8.30)
~
−→
∂A
~ = −−
E
grad V −
.
∂t
(8.31)
Les équations de Maxwell-flux et Maxwell-Faraday assurent que ces équations ont une
~ ,V ) vérifient ces
solution. Celle-ci n’est pas unique. Toute une famille de couple ( A
équations et conduisent aux mêmes champs électrique et magnétique.
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8.1. Les équations de Maxwell : champs, potentiels, énergie
81
~ 0 , V0 solution de ces équations à un autre couple soluLe passage d’un couple A
~ V est appelé transformation de jauge. Il s’écrit de manière simple en faisant
tion A,
intervenir un champ scalaire ϕ appelé jauge.
−→
~ = A
~0 + −
A
grad ϕ,
(8.32)
∂ϕ
V = V0 −
,
(8.33)
∂t
pour l’étude de certains problèmes, il peut être utile de choisir parmi tous les potentiels
possibles ceux qui sont le plus adapté, que ce soit pour des raisons techniques ou des
raisons plus physiques comme la covariance en relativité. Ce choix se fait en imposant une
condition supplémentaire au potentiels appelée condition de jauge. Cette condition porte
en général sur la divergence du potentiel vecteur. Deux jauges sont plus particulièrement
utilisées :
La jauge de Lorentz :
~ + 1 ∂V = 0
div A
(8.34)
c2 ∂t
La jauge de Coulomb :
~=0
div A
(8.35)
Un peu plus loin avec les potentiels
En mécanique classique, lorsque l’on écrit les équations du mouvement des particules,
~ et
la dynamique des particules chargées est déterminée par les champs électrique E
~
magnétique E. Il faut toutefois noter que dans des formulations plus avancées de la mécanique telle que la formulation Lagrangienne, ce sont les potentiels qui interviennent
citons comme exemple le Lagrangien L d’une particule chargée dans un champ électromagnétique :
1
~
L = mv 2 − q V − ~v · A
(8.36)
2
En mécanique quantique (dont la formulation est issue du formalisme lagrangien ou
hamiltonien de la mécanique classique), les potentiels ont un rôle central. La dynamique
d’une particule, décrite ici par l’équation de Schrödinger, fait intervenir les potentiels et
non les champs :
2
∂ψ
1 ~ − qA
~ ψ + qV ψ
ih̄
=
−ih̄∇
(8.37)
∂ψ
2m
Cette intervention directe des potentiel est observable expérimentalement lorsque l’on
fait interférer des particules. Il s’agi de l’effet Aharonov-Bohm.
8.1.3. Propagation des potentiels dans le vide
Déterminons les équation d’évolution des potentiels en reportant l’expression du champ
électrique et du champ magnétique en fonction de ces grandeurs dans les équations de
Maxwell-Gauss et Maxwell-Ampère.
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Exercice : Montrer
que ces deux couples
conduisent aux mêmes
champs électrique et
magnétique.
82
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Commençons par Maxwell-Gauss :
~
−−→
∂A
div −grad V −
∂t
soit
∆V +
!
=
ρ
ε0
(8.38)
∂
~=−ρ.
div A
∂t
ε0
(8.39)
Poursuivons avec Maxwell Ampère
1 ∂
−→ −→ ~ rot rot A = µ0~j + 2
c ∂t
~
−−→
∂A
−grad V −
∂t
!
ou encore
−−→ ~ − ∆A
~ = µ0~j + 1 ∂
grad div A
c2 ∂t
~
−−→
∂A
−grad V −
∂t
(8.40)
!
,
(8.41)
soit
Exercice : Quelles sont
les équations vérifiées
par les potentiels en
jauge de Coulomb ?
~ −−→ 1 ∂
1 ∂2A
~
~
∆A − 2 2 − grad
V + div A = −µ0~j.
(8.42)
c ∂t
c2 ∂t
Les équations que nous obtenons ne sont pas particulièrement simples. Nous avons toutefois le loisir d’imposer un choix de jauge qui simplifiera ces équations. Nous choisirons
dans ce cours de travailler en jauge de Lorentz et d’imposer :
~ + 1 ∂V = 0
div A
c2 ∂t
(8.43)
Avec ce choix de jauge, les potentiels vérifient les équations suivantes :
ρ
1 ∂2V
= − ,
(8.44)
2
2
c ∂t
ε0
2~
~ − 1 ∂ A = −µ0~j.
∆A
(8.45)
2
c ∂t2
En l’absence de charge et de courant, il s’agit d’équations de D’Alembert. Tout comme
les champ électrique et magnétique, les potentiels sont des champs libres qui se propagent
à la célérité de la lumière. Rappelons que les deux potentiels ne sont pas indépendants
car ils sont reliés par la jauge de Lorentz.
∆V −
Les potentiels retardés
Une solution de ces équations en présence de sources est
r 0 −~
r|
0 , t − |~
y
ρ
~
r
c
1
V (~r, t) =
d3~r0 ,
0
4πε0
|~r − ~r|
V
0
~j ~r0 , t − |~r −~r|
y
c
~ (~r, t) = µ0
A
d3~r0 .
0
4π
|~r − ~r|
(8.46)
(8.47)
V
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8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide
83
Dans le régime statique, ces expressions redonnent les expressions habituelles. Dans le
régime dynamique, elles signifient que les champs se propagent des sources jusqu’au point
d’observation et qu’un changement de densité ou de courant à un instant se fait sentir
plus tard en un point éloigné. Le délai est le temps que met la lumière pour se propager
de la source au détecteur. On reconnait aussi dans le second membre une somme d’ondes
sphériques.
8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide
L’objectif de cette section est de rappeler un certain nombre de points de repère. Il
ne s’agit ni d’être exhaustif, ni de démontrer des résultats déjà connus pour la plupart
8.2.1. propagation d’un champ scalaire
Avant de nous intéresser au champ électromagnétique qui est composé de deux champs
~ et B.
~ Rappelons les solutions de l’équation de propagation pour un champ
vectoriels E
scalaire. Nous considérerons dans cette section un champ scalaire ϕ qui se propage la
célérité c :
1 ∂2ϕ
∆ϕ − 2 2 = 0
(8.48)
c ∂t
L’objectif de cette section n’est pas d’être exhaustif mais de rappeler un certain nombre
de solutions
Propagation à 1 dimension : Ondes planes progressives
Lorsque le champ ne dépend que d’une variable spatiale, la coordonnée z par exemple,
l’équation de propagation prend une forme particulièrement simple :
1 ∂2ϕ
∂2ϕ
−
=0
∂z 2
c2 ∂t2
(8.49)
Les solutions de cette équation sont
ϕ (z, t) = f (z − ct) + g (z + ct) .
(8.50)
La solution f correspond à une onde qui se propage sans se déformer vers les z croissants. La solution g est une onde qui se propage vers les z décroissants.
Propagation à trois dimensions : Ondes planes progressives
A trois dimensions les solutions sont beaucoup plus compliquées qu’à une dimension.
En particulier, il n’est pas possible de simplifier le problème à l’aide d’un changement
de variables.
On peut toutefois trouver des solutions particulières qui vérifient certaines propriétés
de symétrie.
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8. Résoudre les équations de Maxwell
Le champ ne dépend que d’une coordonnée. Il peut s’agir d’un axe, par exemple l’axe
z
Φ (x, y, z, t) = ϕ (z, t) ,
(8.51)
ou bien d’un axe quelconque de vecteur unitaire ~u
Φ (x, y, z, t) = ϕ (~u · ~r, t) .
(8.52)
Le champ Φ est constant sur des plans orthogonaux à la direction de propagation ~u.
Le champ ϕ (z, t) vérifie l’équation de propagation à une dimension dont nous connaissons toutes les solutions. Si l’on choisit de ne conserver que les solutions qui vont dans
la direction et le sens du vecteur unitaire ~u, les solutions en onde plane s’écrivent
Φ (x, y, z, t) = f (~u · ~r − ct) .
(8.53)
Propagation à trois dimensions : Ondes sphériques
Le champ ne dépend que de la distance r du point considéré avec l’origine
Φ (~r, t) = ψ (r, t) .
(8.54)
Pour une fonction qui ne dépend que de r le laplacien a une forme relativement simple :
∆Φ (~r, t) =
1 ∂2
(rψ (r, t)) .
r ∂r2
(8.55)
La fonction ψ verifie l’équation d’évolution suivante
∂2
1 ∂2
(rψ)
−
(rψ) = 0.
∂r2
c2 ∂t2
(8.56)
Par conséquent la fonction rψ vérifie l’équation de d’Alembert à une dimension dont
nous connaissons les solutions. Nous en déduisons la solution en ondes sphériques :
ψ (r, t) =
f (r − ct) g (r − ct)
+
.
r
r
(8.57)
Le premier terme (fonction f ) corrspond à une onde qui s’éloigne de l’origine. Cette onde
est appelée onde sortante. Le second correspond à une onde qui converge vers l’origine,
il s’agit d’une onde entrante.
Solutions stationnaires
Le théorème de superposition permet de construire une nouvelle solution comme combinaison linéaire de deux solutions. L’espace des solutions est ainsi un espace vectoriel.
Pour le connaitre, il suffit en fait de connaitre une base. Diverses méthodes permettent
de trouver de telles bases. Celles ci reposent sur l’utilisation de la transformée de Fourier
ou plus généralement de l’analyse harmonique. Il s’agit de trouver les solutions stationnaires.
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8.2. Les ondes électromagnétiques dans le vide
85
8.2.2. Ondes électromagnétiques monochromatiques
Ce sont les multiples conséquences du fait que les équations de Maxwell sont des
équations linéaires.
Les modes propres du champ électromagnétique ont un évolution sinusoïdale.
La réponse du champ électromagnétique à une excitation sinusoidale est elle même
sinusoidale.
L’utilisation combinée de la transformation de Fourier et du théorème de superposition
permet de décomposer toute onde électromagnétique en composantes de Fourier qui
correspondent à des ondes monochromatiques.
Onde scalaire, onde vectorielle
L’amplitude d’une onde monochromatique scalaire s’écrit
A (~r, t) = < A (~r) e−iωt
(8.58)
ce qui correspond à la grandeur réelle
A (~r, t) = A0 (~r) cos (ϕ0 (~r) − ωt)
A0 (~r) est l’amplitude de l’onde au point ~r et ϕ0 (~r) la phase de l’onde au point ~r.
Les surfaces ϕ0 (~r) = cste sont appelées surfaces d’onde. Lorsque ce sont des plans, on
parle d’onde plane, lorsque ce sont des sphères, d’onde sphérique.
Pour un champ vectoriel comme le champ électrique, chacune des composantes peut
s’écrire sous cette forme. Cela donne l’écriture compacte
~ (~r, t) = < E~ (~r) e−iωt .
E
(8.59)
Attention à ne pas se laisser emporter par la simplicité de cette écriture. Le champ réel
s’écrit
Ex (~r, t) = E0x (~r) cos (ϕx (~r) − ωt)
(8.60)
Ey (~r, t) = E0y (~r) cos (ϕy (~r) − ωt)
(8.61)
Ez (~r, t) = E0z (~r) cos (ϕz (~r) − ωt)
(8.62)
Les phases ϕx (~r) , ϕy (~r) et ϕz (~r) sont a priori différentes. C’est seulement lorsque ces
phases sont égales que l’on peut écrire le champ électrique sous la forme suivante :
~ (~r, t) = E
~ 0 (~r, t) cos (ϕ0 (~r) − ωt) .
E
(8.63)
Dans cette situation, la polarisation du champ électromagnétique est linéaire en chaque
point de l’espace.
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86
8. Résoudre les équations de Maxwell
Equation d’onde
Pour une onde monochromatique A (~r, t) , la dérivée temporelle est :
∂2
A (~r, t) = −ω 2 A (~r, t)
∂t2
(8.64)
Par conséquent l’équation de propagation devient
∆A (~r) +
ω2
A (~r) = 0
c2
(8.65)
Cette équation porte le nom d’équation de Dirichlet. On la retrouve en physique sous
de très nombreuses formes lorsque l’on s’intéresse aux solutions stationnaires : équation
de la chaleur (transfert thermique, diffusion), équation de Schrödinger.
Ondes planes progressives monochromatiques
On peut enfin s’intéresser aux ondes planes progressives monochromatiques de la forme
~
A (~r, t) = A0 ei(k·~r−ωt+ϕ0 )
= A0 exp i (kx x + ky y + kz z − ωt + ϕ0 ) .
(8.66)
(8.67)
~ en coordonnées cartésiennes est particulièrement simple
L’opérateur différentiel ∇
~ → i~k.
∇
(8.68)
Attention, cette relation n’est vraie que pour des ondes planes progressives monochromatiques.
Les différents opérateurs s’écrivent alors :
∂
A (~r, t)
∂t
−−→
grad A (~r, t)
div E~ (~r, t)
−→ ~
rot E (~r, t)
= −iω A (~r, t)
(8.69)
= i~k A (~r, t) ,
= i~k · E~ (~r, t) ,
(8.70)
= i~k × E~ (~r, t) .
(8.72)
(8.71)
Lorsqu’on les appliquent à des ondes planes progessives monochromatiques, les équations
de Maxwell deviennent
ρ
i~k · E~ =
,
(8.73)
ε0
~ = 0,
i~k · B
(8.74)
~
~
~
ik × E = iω B,
(8.75)
ω
~ = µ0~j − i E.
~
i~k × B
(8.76)
c2
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