sujet

11 février 2012
BCPST 851
DS 5
La qualité de la rédaction fait partie des éléments évalués.
Merci de commencer chaque exercice sur une nouvelle page et d’encadrer vos résultats.
L’usage de la calculatrice est interdit.
Exercice 1
On considère l’application
f :
R+
→
x
7→
R



 exx−1


1
si x > 0
si x = 0
1. Montrer que f est C∞ sur R∗+ .
2. Montrer que f est continue sur R+ .
3. Déterminer la limite de f en +∞.
4. Déterminer l’expression de f 0 (x) pour x > 0.
√ √
5. On considère ϕ : R+ → R | x 7→ 1 − x e x .
a. Justifier que ϕ est continue sur R+ et C1 sur R∗+ .
b. Montrer que ϕ est C1 sur R+ et donner ϕ0 (0).
√ √
−1− xe x
−→ − 12 .
x
x→0+
x
x
limite de e −1−xe
quand
x2
√
c. En déduire que
d. En déduire la
e
x
x → 0+ .
6. Déduire de ce qui précède que f est de classe C1 sur R+ et préciser f 0 (0).
7. Déterminer le signe de f 0 sur R∗+ . On pourra passer par l’étude de g : x → e x − xe x − 1.
8. Dresser le tableau de variations de f en incluant les limites aux bornes.
Exercice 2
Un joueur décide de jouer aux machines à sous. Il va jouer sur deux machines A et B qui sont réglées de la façon suivante :
• la probabilité de gagner sur la machine A est de 51 ;
1
• la probabilité de gagner sur la machine B est de 10
.
Comme le joueur soupçonne les machines d’avoir des réglages différents mais ne sait pas laquelle est la plus favorable, il décide
d’adopter la stratégie suivante :
• il commence par choisir une machine au hasard ;
• après chaque partie, il change de machine s’il vient de perdre, il rejoue sur la même machine s’il vient de gagner.
On définit pour tout entier k > 1 les événements suivants :
• Gk : "Le joueur gagne la k-ème partie."
• Ak : "La k-ème partie se déroule sur la machine A.
Partie 1 : calculs élémentaires
1. Déterminer la probabilité de gagner la première partie.
2. Déterminer la probabilité que les trois premières parties se fassent toutes sur la machine A.
3. Déterminer la probabilité de gagner la deuxième partie.
4. Sachant que la deuxième partie a été gagnée, quelle est la probabilité que la première partoe ait eu lieu sur la machine A ?
Partie 2 : probabilité de gagner la k-ème partie
Soit k ∈ N.
1. Exprimer P(Gk ) en fonction de P(Ak ).
1
7
2. Montrer que P(Ak+1 ) = − 10
P(Ak ) +
9
10 .
3. En déduire P(Ak ) puis P(Gk ) en fonction de k.
n
P
4. Pour n ∈ N∗ , on pose S n =
P(Gk ). Calculer S n et déterminer la limite de
k=1
Sn
n
Sn
n
quand n → +∞.
représente la proportion moyenne de parties gagnées parmi les n premières en utilisant la stratégie du joueur.
Exercice 3
On note N l’ensemble des fonctions f : R+ → R+ vérifiant
• f est de classe C1 ;
• f (0) = 0 ;
• f 0 est positive et strictement croissante sur R+ .
Partie 1
Dans toute cette partie, f désigne un élément de N.
1. Quels sont les comportements possibles de f 0 (x) quand x → +∞ ?
2. On souhaite démontrer l’équivalence suivante :
f 0 (x) −→ +∞
⇔
x→+∞
f (x)
−→ +∞
x x→+∞
a. À l’aide du théorème des accroissements finis, montrer que l’on a f (x) 6 x f 0 (x) pour tout x de R+ , et que l’inégalité est
stricte si x > 0.
b. En déduire que la fonction g : x 7→
f (x)
x
est strictement croissante sur R∗+ .
c. Montrer que pour x ∈ R+ , on a x f 0 (x) 6 f (2x). On pourra s’intéresser à f (2x) − f (x).
d. Conclure.
3. Un exemple
Dans cette question, on pose f : R+ → R | x 7→ x arctan(x) − 12 ln(1 + x2 ).
a. Montrer que f est un élément de N.
b. Déterminer les limites de
f (x)
x
quand x → 0 et quand x → +∞.
Partie 2
On note N0 le sous-ensemble de N formé des fonctions f : R+ → R+ de classe C2 appartenant à N et vérifiant de plus :
• f 0 (0) = 0 ;
• f 0 (x) −→ +∞ ;
x→+∞
• f 00 (0) > 0 ;
• ∀x ∈ R∗+ , f 00 (x) > 0.
Dans toute cette partie, f désignera un élément de N0 .
1. Montrer que f 0 réalise une bijection de [0, +∞[ sur un intervalle J à déterminer. On note ϕ sa bijection réciproque.
Donner le tableau de variations de ϕ.
2. Justifier que ϕ est C1 sur R∗+ et exprimer ϕ0 en fonction de ϕ.
3. Soit t ∈ R+ . On définit la fonction wt : R+ → R | x 7→ tx − f (x).
À l’aide de la question 2 de la partie 1, déterminer la limite de wt (x) quand x → +∞.
4. Montrer que wt admet un maximum atteint en un unique réel xt . Montrer de plus que xt = ϕ(t).
5. Dresser le tableau de variations complet de wt .
6. On définit la fonction f ∗ : R+ → R | t 7→ wt (xt ).
a. Exprimer f ∗ en fonction de f et de ϕ.
b. En déduire que f ∗ est C1 sur R∗+ et déterminer ( f ∗ )0 (t) pour t > 0.
c. Montrer qu’en fait f ∗ est C1 sur R+ .
7. Exemples
a. Soient λ > 0 et f : R+ → R | x 7→ λx2 . Justifier que f ∈ N0 , puis déterminer f ∗ et en déduire qu’il existe une unique valeur
de λ pour laquelle on a f = f ∗ .
b. Soit g : R+ → R | x 7→ e x − x − 1. Montrer que g ∈ N0 , puis déterminer g∗ et montrer que (g∗ )∗ = g.
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