automates d`états finis

Transcription

5. Equivalences d’automates
5.1.
5.2.
5.3.
5.4.
5.5.
Anne Berry,
Le problème du déterminisme
Différentes sortes d’AEF
Déterminisation d’un AEF
Déterminisation d’un AEF avec -transitions
Minimisation d’un AEF déterministe
Cours de Théorie des Langages Partie 1 : 5. Equivalences d’automates
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5. Equivalences d’automates
♣ il existe plusieurs types d’Automates d’Etats Finis
♠ ils sont équivalents
Anne Berry,
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5.1. Le problème du déterminisme
La définition d’un automate d’états finis
n’interdit pas les ”conflits”.
L = aab ∗ a + ab ∗ b
Comment doit-on interpréter δ(q0 , a) ?
Anne Berry,
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Le choix est non-déterministe.
Anne Berry,
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Définition
Un automates d’états finis déterministe (AEFD)
(en anglais : Deterministic Finite Automaton (DFA) )
est un automate d’états finis tel que, de chaque état q∈Q,
il part |Σ| transitions, une pour chacune des lettres
de l’alphabet Σ.
1
dans la pratique, les transitions absentes partent vers l’état
poubelle, qui souvent est implicite.
2
pas d’-transition !
Anne Berry,
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Exemple d’automate déterministe :
Anne Berry,
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5.2. Différentes sortes d’AEF
On définit 3 sortes d’automates d’états finis :
1
les automates d’états finis déterministes
2
les automates d’états finis non-déterministes avec -transition
(NFA-)
3
les automates d’états finis non-déterministes sans -transition
(NFA-W, W pour”Without”)
Anne Berry,
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5.2. Différentes sortes d’AEF
Théorème
La classe des langages reconnus par :
- les automates d’états finis déterministes
- les automates d’états finis non-déterministes sans -transition
- les automates d’états finis non-déterministes avec -transition
est la même : celle des langages rationnels.
Preuve : constructive
(algorithmes de passage d’un type d’AEF à un autre)
Anne Berry,
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5.3. Déterminisation d’un AEF sans -transition
♦ On part d’un AEF non déterministe
A1 = (Q, Σ, δ, q0 , F ) sans -transition.
♣ On calcule un automate d’états finis déterministe
A2 = (Q 0 , Σ, δ 0 , Q00 , F 0 ), avec Q00 = {q0 }
Anne Berry,
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Principe : On construit les états et la table de transition de δ 0 :
1 On construit la table de transition de δ (qui comporte des
ensembles d’états)
2 Initialisation de δ 0
- on commence par Q00 ={q0 }
- on applique chaque caractère x de Σ à Q00
- on obtient un ensemble d’états qui est sera état de Q 0
Anne Berry,
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3 Construction de δ 0
- on choisit un état Q 0 de Q 0 non encore traité
- on applique chaque caractère x de Σ chaque état de Q 0
avec δ
- on obtient un ensemble d‘états
1
si cet ensemble ne correspond pas à un été déjà défini de
Q 0 , on crée un nouvel état (final) de Q 0
4 les états finaux de A2 sont ceux qui contiennent au moins un
état de F
Anne Berry,
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Algo DETERMINISATION
Donnee : un automate A1 = (Q, Σ, δ, q0 , F )
Resultat : un automate déterministe A2 = (Q 0 , Σ, δ 0 , Q00 , F 0 ).
Initialisation : Q00 ← {q0 };ATRAITER ← Q00 = {q0 } ; Q 0 ← {Q00 } ;
tant que ATRAITER 6= ∅ faire
CHOISIR Q 0 dans ATRAITER ; ATRAITER ← ATRAITER - Q 0 ;
pour chaque caractère x de Σ faire
pour chaque état Q de Q 0 faire
δ 0 (Q 0 , x) ← δ 0 (Q 0 , x) ∪ δ(Q, x) ;
si δ 0 (Q 0 , x) n’est pas un état de Q 0 alors
Q 00 ← δ 0 (Q 0 , x) ; Q 0 ← Q 0 + {Q 00 } ;
ATRAITER ← ATRAITER + {Q 00 } ;
pour chaque état Q 0 de Q 0 contenant un état de F faire
AJOUTER Q 0 à F 0 ;
Retourner((Q 0 , Σ, δ 0 , Q00 , F 0 )).
Anne Berry,
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Exemple :
L = {ab, ac}
δ
q0
q1
q2
q3
q4
Anne Berry,
a
{q1 ,q3 }
{∅}
{∅}
{∅}
{∅}
b
{∅}
{q2 }
{∅}
{∅}
{∅}
c
{∅}
{∅}
{∅}
{q4 }
{∅}
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Initialisation : Q00 = {q0 }
δ 0 (Q00 , a) = {q1 , q3 } : on crée un nouvel état Q10 = {q1 , q3 }
δ 0 (Q00 , b) = {∅} ; δ 0 (Q00 , c) = {∅}
Anne Berry,
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On a un état Q10 = {q1 , q3 } qui n’est pas traité :
δ 0 (Q10 , a) = ∅
δ 0 (Q00 , b) = {q2 } : on crée un nouvel état Q20 = {q2 }
δ 0 (Q00 , c) = {q4 } : on crée un nouvel état Q30 = {q4 }
Anne Berry,
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On traite l’état Q20 = {q2 } : δ 0 (Q20 , a) = δ 0 (Q20 , b) = δ 0 (Q20 , c) = ∅
On traite l’état Q30 = {q4 } : δ 0 (Q30 , a) = δ 0 (Q30 , b) = δ 0 (Q30 , c) = ∅
Etats finaux : Q20 parce qu’il contient q2 , et Q30 parce qu’il contient
q4 .
Anne Berry,
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A la fin, on obtient :
δ
q0
q1
q2
q3
q4
δ0
Q00 ={q0 }
Q10 ={q1 ,q3 }
Q20 =q2
Q30 =q4
Anne Berry,
a
{q1 ,q3 }=Q10
{∅}
{∅}
{∅}
a
{q1 ,q3 }
{∅}
{∅}
{∅}
{∅}
b
{∅}
{q2 }=Q20
{∅}
{∅}
b
{∅}
{q2 }
{∅}
{∅}
{∅}
c
{∅}
{∅}
{∅}
{q4 }
{∅}
c
{∅}
{q4 }=Q30
{∅}
{∅}
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Remarque :
Etant donné un AEF non déterministe à k états, l’AEF
déterministe correspondant peut avoir 2k états.
Anne Berry,
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5.4. Déterminisation d’un AEF avec -transitions
On étend la technique de déterminisation en étendant la fonction
de transition δ 0 (Qi , x) à une fonction donnée par les mots ∗ x∗ .
Anne Berry,
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Définition
On appelle -fermeture d’un état q l’ensemble des états qi
atteignables à partir de q par un chemin étiqueté uniquement par
le mot vide .
Définition
On appelle -fermeture d’un ensemble Q d’états l’union des
-fermetures des états appartenant à Q.
Anne Berry,
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Exemple :
a∗ b ∗ c ∗
-fermeture(q0 ) = {q0 , q1 , q2 }
-fermeture(q1 ) = {q1 , q2 }
-fermeture(q2 ) = {q2 }
Anne Berry,
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Principe de déterminisation :
Pour un état Q 0 de l’AEF déterministe en cours de calcul :
1
On part de l’-fermeture de Q 0 .
2
On calcule δ(Q 0 )
3
On calcule l’-fermeture de δ(Q 0 )
4
On obtient un état du nouvel automate
Les états finaux du nouvel automate sont ceux qui contiennent au
moins un état de l’automate de départ.
Anne Berry,
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Exemple :
δ
q0
q1
q2
a
{q0 }
{∅}
{∅}
b
{∅}
{q1 }
{∅}
c
{∅}
{∅}
{q2 }
{q0 ,q1 ,q2 }
{q1 ,q2 }
{q2 }
Construction de δ 0 , Q00 =-fermeture(q0 )={q0 ,q1 ,q2 }
Anne Berry,
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δ0
= {q0 , q1 , q2 }
Q10 = {q1 , q2 }
Q20 = {q2 }
Q00
Anne Berry,
a
{q0 } → Q00
{∅}
{∅}
b
{q1 } → {q1 ,q2 }=Q10
{Q10 }
{∅}
c
{q2 } → {q2 }=
{Q20 }
{Q20 }
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Tous les états sont finaux, on obtient l’automate :
Anne Berry,
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5.5. Minimisation d’un AEF déterministe
Théorème
(de Nérode - Myhill) :
Pour un langage rationnel donné L, il existe un automate d’états
finis déterministe canonique (uniquement défini), et qui comporte
un nombre minimum d’états, reconnaissant L.
Il existe un algorithme très efficace de minimisation.
Anne Berry,
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Principe de minimisation d’un automate d’états finis déterministe :
utilise le principe algorithmique d’éclatement de partitions.
Anne Berry,
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Rappel : une partition d’un ensemble est la définition d’un
ensemble de classes, tel que l’union de toutes les classes est
l’ensemble de départ et l’intersection de deux classes est vide
(une partition correspond à une relation d‘’équivalence)
Principe algorithmique d’éclatement de partitions
(ou d’affinement de partitions)
1
on part d’une (ou plusieurs) (grandes) classes
2
on a un critère qui permet de partitionner un classe en
plusieurs classes plus petites
3
on arête quand chaque classe obtenue est non-partitionnable
Anne Berry,
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Pour minimiser un AEF déterministe :
1
on retire les états non atteignables ;
2
on partitionne l’ensemble des états en deux classes :
1
2
Anne Berry,
les états finaux
les états non finaux (y compris l’état poubelle ∅)
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Etape d‘éclatement d‘une classe Ci :
1
appliquer à Ci une transition par un caractère x de ∈ Σ ;
2
séparer les éléments de Ci qui n’aboutissent pas à la même
classe
Anne Berry,
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On répète jusqu’à ce qu’il n’y ait plus d’éclatement possible.
A la fin, on a pour toute classe Ci obtenue :
∀x ∈ Σ, ∀q, q 0 ∈ Ci , δ(q, x) = δ(q 0 , x)
On obtient la description d’un nouvel AEF déterministe,
dont l’état initial est l’état contenant q0
et dont les états finaux sont les états contenant un état final de de
l’automate de départ.
Anne Berry,
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Exemple : L = {ab, ac}
On part de C1 = {q3 , q4 } et C2 = {q0 , q2 , ∅}
(C1 , a)
∅, (C1 , b)
∅, (C1 , c)
∅,
(C2 , a)
C2
C2 , b : (q0 , b)
∅ ∈ C2 , (q2 , b)
C1 , (q2 , c)
C1
On sépare C2 = {q0 , q2 } en C20 = {q0 , ∅} et C200 = {q2 }
etc. On obtient un automate d’états finis déterministe à trois
états :
Anne Berry,
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Algo MINIMISATION
Donnee : un automate déterministe A1 = (Q, Σ, δ, q0 , F )
Resultat : l’automate déterministe minimum
A2 = (Q 0 , Σ, δ 0 , Q00 , F 0 ).
Initialisation : C ← {Q − F , F } ; b ← 1 ;
SUPPRIMER de A1 les états non atteignables ;
tant que b=1 faire
b ← 0;
pour chaque classe C de C faire
pour chaque caractère x de Σ faire
si par δ on n’aboutit pas dans une même classe de C alors
REMPLACER C dans C par les classes obtenues ; b ← 1 ;
δ 0 ← fonction de passage d’une classe de C à une autre ;
F 0 ← ensemble des classes de C classes contenant au moins un
état de F ;
Retourner(C , Σ, δ 0 , q0 , F 0 ).
Anne Berry,
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Théorème
Pour un langage rationnel L donné, il existe un unique automate
d’états fini déterministe minimum engendrant L.
Conséquence fondamentale :
Les langages rationnels sont non ambigüs.
Anne Berry,
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