Corrigé TD 7

Ecoulements multiphasiques
TD7: Singularités en mécanique des fluides : corrigé
UMPC. NSF16. 2009-2010
Jérôme Hoepffner & Arnaud Antkowiak
Ex2: Splash !
En exprimant des relations
de conservation simples, écrire
jeu d’équations permettant de déduire A2,V2,
62
D.Hun
. Peregrine
u2, h2, A3, u3, h3,V3, v1, d1, v2, d2 à partir des données initiales. On ne cherchera pas à résoudre le système
d’équations.
59
J. Fluid Mech. (1981), vo2. 106, p p . 59-50
Printed i n Great Britain
The fascination of fluid mechanics
By D. H. P E R E G R I N E
Ex1: Origine des gouttes satellites.
Proposer un scénario expliquant l’origine des gouttes satellites.
Peut-on les éviter ?
Lorsque l’on s’approche du détachement, l’étranglement
adopte une forme autosimilaire fortement asymétrique.
Cette forme est universelle, et va donc se manifester tôt
ou tard, même si la perturbation initiale du jet correspond
au mode le plus instable de Rayleigh-Plateau (perturbation
sinusoidale parfaite). L’asymétrie peut correspondre à un
évasement amont-aval, ou à un évasement aval-amont. Le
choix entre ces deux solutions va en pratique être dicté
par d’infimes variations dans les conditions initiales (bruit).
C’est cet agencement aléatoire d’évasement amont-aval ou
aval-amont qui est à la source de la formation des gouttes
primaires et des gouttes satellites. Autrement dit, la
structure microscopique du détachement impose une
structure macroscopique de la densité de probabilité de
tailles de gouttes bi-modale (bi-pic).
Peut-on éviter ce scénario ?
1) En considérant un fluide dont le détachement n’est pas
régi par les équations établies en cours (rhéologie
complexe, ou autre régime -autre choix dans le principe de
moindre dégénérescence- par exemple régime très
visqueux)
2) En injectant un champ d’ondes capillaires imposant un
seul type d’évasement (e.g. amont-aval). Cette idée n’a à
ma connaissance pas encore été exploitée.
School of Mathematics, University of Bristol, Bristol BS8 lTW, England
Two topics are discussed in order to illustrate the author’s own enjoyment of fluid
mechanics. The first and longer discourse is about splashes. It makes no attempt a t
completeness but includes a little new research. The second part deals briefly with
many variations on the theme of flow in pipes.
1. Prologue
\
\
\
\
\
~
\
f-
\
“2,
\
\
,
\
\
d,
CONTENTS
pege
2. Splashes
2.1. Breaking waves
2.3. A mathematical model of a splash from a thin layer of water
2.3. Viscous effects in the unsteady separation of a thin splashing layer
2.4. An exact solution of the Navier-Stokes equations
2.5. The weakest splashes
2.6. The projected water
3.7. Exploding water
2.8. Large splashes
\ 3.9.
\ An \
\
\ effect
\ of splashes
\
\
atmospheric
\
\
50
GO
61
61
65
68
68
69
71
73
72
---+
di
73
73
73
75
76
7e
3. , Pipe flows
01
3.1. Laminar and turbulent flow
FIGURE
1. One-dimensionalmodel of the splash of a ‘moving
waterfall
’ onto a thin layer
3.2. Shock waves
and vortex rings
3.3. Oscillating flows and mass transfer
of water, defining depths, d,, thicknesses, h,, velocities,
ui,Vj, and angles A i .
3.4. Blowing hot, cold and luminous
3.5. Other warm devices
4. Epilogue
77
This model is complete once relations are found between the three streams, a t the
1. Prologue a,re readily found once it is
impact point and the projection points. These relations
To be fascinated by something implies that one is attracted to it, possibly in spite
of some lessis
pleasant
features. For
of us who
in the domain
noted that a t each of these points the configuration
similar
tothosethat
ofworkthe
sym-of fluid dynamics the less pleasant features may be tedious time-consuming analysis or experiments,
or the difficulties one
meets in§trying
to understand
or predict fluid flows. This is
metrical impact of two plane jets (e.g. see Milne-Thomson
1960,
11.42,
interestingly
enough of the less pleasant side; difficult problems attract people by the challenge of
it is noted in 3 1I .40 that only the symmetric solution
is determinate).
theinterlude
reference
their existence.
Even tedious work can beIan
‘restful’
between more demanding tasks. This essay gives an indication, rather than an explicit account, of the ways
frame moving with the impact or projection point
flow in
that
neighbourhood is
whichthe
fluid mechanics
fascinates
its author.
What a person enjoys and is interested in is very much a matter of individual taste.
steady. Bernoulli’s theorem holds along stream lines
and
with
our
This shows
up 1-ery
clearly in
their neglect
choice of music of
(onegravity
aspect of fluid mechanics !).
reduces to constant velocity on surface streamlines. That is
3-2
and
u3 = v,-
v, = v3.
The flow into and away from these points must conserve mass and this reduces to
and
+ d,,
h,
= d,
h,
= dl+d,,
h, = d , + do.
(4)
(5)
(6)
Similarly the rate of flow of horizontal momentum is conserved, which simplifies to
-h,cosA, = d1--d,
and
(8)
Ex3: Gouttes affamées.
1) Décrire en un paragraphe l’expérience ci-dessus.
Sur la séquence, on observe la croissance d’une goutte de liquide. La goutte grossit et
semble s’approcher du point de détachement. Mais brusquement, la tendance s’inverse et
la goutte ‘avale’ littéralement le jet situé au-dessus, en continuant de grossir. Dans un
troisième temps, la goutte retombe et finit par se détacher.
2) Proposer une interprétation du phénomène
Il s’agit typiquement d’une illustration des effets de rhéologie complexe. On observe sur
la séquence le détachement d’une goutte d’un fluide non-newtonien (eau+polymère). Si la
phénoménologie semble initialement proche de la phénoménologie newtonienne,
l’hésitation de la goutte à tomber est la signature d’un comportement complexe. Proche
du point de rupture, les effets visco-élastiques empruntent plus à l’élasticité qu’à la
viscosité et la goutte remonte comme si elle était attachée à un élastique. L’analyse vue
en cours n’est donc plus valide ici et un traitement dédié est nécessaire.
Ex4: Splash ?
1) Décrire en un paragraphe l’expérience ci-dessous.
Différentes séquences d’impact d’une goutte sur un solide sont représentées. À pression
ambiante, l’impact est suivi d’un splash : une corolle de liquide est formée et éjectée. Mais
plus la pression ambiante baisse, plus l’intensité de cette corolle diminue. À faible pression
ambiante, le splash disparaît et la goutte ne fait que s’étaler sur la substrat.
2) Proposer une interprétation du phénomène
Cette expérience a fait grand bruit dans la communauté et continue de susciter de vifs
débats. Jusqu’ici, il était communément admis que l’influence de l’air dans l’impact était
négligeable ; une hypothèse clairement mise en défaut par cette expérience. L’idée est que
l’écoulement proche de la ligne de contact a une structure de type ‘chenille de tank’. Audelà d’une pression donnée, il peut y avoir un effet ‘coussin d’air’ et la ligne de contact
décolle littéralement, prélude de la formation d’une feuille liquide (le fameux splash
immortalisé par Harold Edgerton). À faible pression, cet effet disparaît et la goutte peut
s’étaler librement en restant en contact avec le solide. La question de la compressibilité de
l’air dans l’impact est également posée : dans une étude récente publiée en Janvier 2010,
des auteurs hollandais et espagnols ont montré qu’à la suite de l’impact d’un objet dans
l’eau, la cavité se referme telle une véritable buse liquide expulsant l’air à des vitesses
supersoniques même si l’impact est de l’ordre du mètre/seconde !
Ex5: Plouf ! (?)
1) Décrire ces expériences en un paragraphe
Sur ces deux séquences, on observe l’impact d’une bille apparemment
identique à vitesse fixée. À gauche (situation hydrophile), seule une petite
protubérance est visible à la surface de l’eau après l’impact alors qu’à
droite (situation hydrophobe) un splash très visible est observé.
2) Proposer une interprétation du phénomène
Il s’agit d’un phénomène très similaire au précédent. Dans la situation
hydrophile, l’eau mouille la bille très rapidement et l’embrasse littéralement
pendant l’impact. A contrario, dans la situation hydrophobe, la ligne de
contact décolle et laisse un ‘vide’ dans le sillage de la sphère : c’est le
splash. Il s’agit à nouveau d’une manifestation étonnante d’une petite cause
(revêtement microscopique de la bille) associée à un grand effet
(observation macroscopique, ou non, du splash). Cet effet a pour la
première fois été observé par Worthington qui avait enduit des boules de
suie afin de les rendre rugueuses et très hydrophobes.