2e SEMESTRE CORRECTION Exercice 1 (5 points)

INSTITUT SUPERIEUR d'ECONOMIE ET DE MANAGEMENT
Université de Nice-Sophia-Antipolis
ANNEE UNIVERSITAIRE 2010-2011
1ere SESSION - 2e SEMESTRE
FILIERE : ECO-GESTION
Année d'étude : L2
Intitulé précis de la matière : Statistiques et observations économiques 2
Durée : 1 heure 30
No de L'UNITE : 6
Nom de l'enseignant auteur du sujet : Julien Barré
Type d'épreuve : écrite
Nombre de sujets à traiter : tout
CORRECTION
Le sujet est le même pour les étudiants assidus en TD et ceux qui en sont dispensés.
Documents interdits, sauf les extraits de tables fournis ; calculatrices non programmables
autorisées. Il est demandé de soigner la rédaction et de justier clairement les réponses.
Le barème est indicatif et pourra être modié.
Exercice 1
(5 points)
1. On considère l'échantillon suivant, constitué de tirages suivant une loi normale d'espérance µ et d'écart-type σ = 2, N (µ, 4) :
9.2 12.5 8.7 9.8 7.7 11.4 10.1 10.9 9.9
Construire un intervalle de conance pour µ, au niveau de conance 90%. Expliquer les
étapes de votre démarche.
L'échantillon est petit, mais la loi des tirages est supposée normale. On peut donc
construire un intervalle de conance. L'écart-type est connu, donc on utilise la loi normale
pour le construire. La moyenne d'échantillon est 10.02, et l'écart-type (connu) σ = 2. La
marge d'erreur est donc donné par la formule
√
ε = zα/2 σ/ n
Avec α = 0.1. On utilise la table de la loi normale centrée réduite pour obtenir zα/2 = 1.65.
Donc
√
ε ' 1.65 ∗ 2/ 9 ' 1.10
L'intervalle de conance est donc
[8.92; 11.12]
√
On veut que la marge d'erreur ε soit inférieure à 0.5. ie 1.65σ/ n < 0.5 ; donc n > 6.62 .
Il faut donc un échantillon de taille n au moins égale à 44.
2. On considère l'échantillon suivant, constitué de tirages suivant une loi normale
d'espérance µ et d'écart-type σ inconnu, N (µ, σ) :
19.0 24.3 26.1 17.8 19.5 20.4 20.1 18.9 18.1
Construire un intervalle de conance pour µ, au niveau de conance 90%.. Expliquer
les étapes de votre démarche.
L'échantillon est petit, mais la loi des tirages est supposée normale. On peut donc
construire un intervalle de conance. L'écart-type est inconnu, donc on utilise la loi de
Student pour le construire. La moyenne d'échantillon est 20.47, et l'écart-type d'échantillon s donné par la formule
s2 =
(19.0 − 20.47)2 + . . . + (18.2 − 20.47)
8
On obtient s ' 2.85. La marge d'erreur est donc donné par la formule
√
ε = tα/2 σ/ n
Avec α = 0.1. On utilise la table de la loi de Student à 8 degrés de liberté pour obtenir
tα/2 ' 1.86. Donc
√
ε ' 1.86 ∗ 2.85/ 9 ' 1.76
L'intervalle de conance est donc
[18.70; 22.23]
(6 points)
L'emballage de boîtes de café indique une contenance de 500g. Un inspecteur de la répression des fraudes souhaite vérier que les boîtes contiennent eectivement au moins
500g. Dans le cas contraire, il demandera des sanctions. Il réalise donc le test d'hypothèse
suivant, en utilisant le seuil de signication α = 1% :
H0 : les boîtes contiennent un poids moyen de café supérieur ou égal à 500g.
Ha : les boîtes contiennent un poids moyen de café strictement inférieur à 500g.
1.a. Rappeler ce qu'est une erreur de première espèce et une erreur de seconde espèce. A
quoi correspondent-elles dans ce cas ?
1. b. Supposons que les boîtes contiennent en moyenne exactement 500g de café. Quelle
est la probabilité que l'inspecteur conclue qu'il faut rejeter H0 ?
2. L'inspecteur dispose d'un échantillon de 41 boîtes ; la moyenne d'échantillon est de
495g, et l'écart-type d'échantillon de 20g. Calculer la statistique de test, puis conclure en
expliquant votre démarche.
Exercice 2
1.a.
On commet une erreur de première espèce lorsque l'on accepte l'hypothèse Ha alors que
H0 est vraie.
On commet une erreur de seconde espèce lorsque l'on conserve l'hypothèse H0 alors que
Ha est vraie.
Ici, dans le cas d'une erreur de première espèce l'inspecteur engage des poursuites à tort ;
dans le cas d'une erreur de seconde espèce, il laisse passer des boîtes insusamment remplies.
b. Le seuil de signication d'un test est précisément la probabilité de commetre une erreur
de première espèce, lorsque l'hypothèse H0 est vraie avec égalité, c'est-à-dire que le poids
moyen des boîtes est exactement 500g. La probabilité de rejeter H0 dans ce cas est donc
égale à α = 0.01.
2. L'écart-type est inconnu, et échantillon est de taille inférieure à 100 : on utilise la
loi de Student pour le test (ici avec 40 degrés de liberté).
La statistique de test est
t=
√
41 ∗ (495 − 500)/20 ' −1.60
Il s'agit d'un test unilatéral inférieur ; on rejette donc H0 si la statistique de test est très
négative. La zone de rejet est, pour α = 1% (on lit ceci dans la table des lois de Student,
en faisant attention attention au fait qu'il ne s'agit pas d'iun test bilatéral) :
] − ∞, −2.42[
On ne rejette donc pas H0 .
3. L'inspecteur dispose d'un échantillon de 110 boîtes ; la moyenne d'échantillon est
de 495g, et l'écart-type d'échantillon de 20g. Calculer la statistique de test, puis conclure
en expliquant votre démarche.
L'écart type est inconnu ; on devrait utiliser une loi de Student à 109 degrés de liberté.
On considère que cette loi est très proche d'une loi normale centrée réduite (l'échantillon
est très grand, de taille supérieure à 100).
La statistique de test est
z=
√
110 ∗ (495 − 500)/20 ' −2.62
La zone de rejet, pour α = 0.01 est (lecture de la table de la loi normale centrée réduite)
] − ∞, −2.33[
z est donc dans la zone de rejet ; on rejette H0 .
Remarque : méthode de la valeur p
Comme |z| = 2.62 > 2.58, on voit à la lecture de la table de la loi normale centree réduite
que la valeur p est inférieure à 0.01/2 = 0.005. Elle est donc inférieure à α = 0.01, on
rejette donc H0 .
Exercice 3 (4 points)
Un référendum est prévu. Un chercheur se demande si la proportion d'électeurs qui envisagent de voter "oui" est plus importante dans la ville A que dans la ville B. On note pA
et pB ces deux proportions. Il fait réaliser une enquête, et recueille les données suivantes :
Echantillon d'habitants de A : taille nA = 400 ; nombre d'intentions de vote "oui" : 220.
Echantillon d'habitants de B : taille nB = 625 ; nombre d'intentions de vote "oui" : 300.
Construire un intervalle de conance pour pA − pB , au niveau de conance 95%.
On estime pA et pB par les proportions d'échantillons p̄A et p̄B :
p̄A = 220/400 = 0.55 ; p̄B = 300/625 = 0.48
Estimation de pA − pB : p̄A − p̄B = 0.07.
nA p̄A , nA (1 − p̄A ), nB p̄B , nB (1 − p̄B ) sont tous supérieurs à 5, donc on peut utiliser le
TCL. On utilise donc la formule du cours pour la marge d'erreur (zα/2 = 1.96 : lecture de
la table) :
p
ε = zα/2 ∗
p̄A (1 − p̄A )/nA + p̄B (1 − p̄B )/nB ' 0.063
L'intervalle de conance est donc
[0.007, 0.133]
(5 points)
Une marque de boisson vend quatre types des sodas : normal (N ), exotique (E ), light (L),
et super-light (S ). Sur l'ensemble du pays, les proportions des diérents types de sodas
dans les ventes de la marque sont les suivantes :
Exercice 4
N : 40% ; E : 10% ; L : 30% ; S : 20%
On a recueilli les données suivantes, sur une semaine de ventes dans un magasin particulier :
N E L S
48 10 50 42
Eectuer le test d'adéquation suivant, en détaillant les diérentes étapes :
H0 : dans le magasin testé, les proportions de ventes de sodas N , E , L et S sont respectivement 0.4 ; 0.1 ; 0.3 et 0.2.
Ha : dans le magasin testé, les proportions de ventes de sodas N , E , L et S ne sont pas
0.4 ; 0.1 ; 0.3 et 0.2.
On utilisera un seuil de signication α = 0.05.
On calcule d'abord les eectifs théoriques, en utilisant H0 . Le nombre total de vente est
150 ; on obtient les eectifs théoriques en multipliant 150 par les proportions théoriques
donnés par H0 . On obtient
N E L S
60 15 45 30
Les eetifs théoriques sont supérieurs à 5, l'eectif total est 150. On peut donc utiliser le
test d'adéquation du χ2 .
La statistique de test est
χcalc = 122 /60 + 52 /15 + 52 /45 + 122 /30 ' 9.42
On utilise la loi du χ2 à 3 degrés de liberté pour déterminer la zone de rejet ]7.82, +∞[. La
statistique de test est dans la zone de rejet, donc on rejette H0 : les ventes de la semaine
dans le magasin testé ne correspondent pas aux proportions nationales.
Remarque : méthode de la valeur p.
On a 7.82 < χcalc < 9.84. D'après la table de la loi du χ2 à 3 degrés de liberté, la valeur
p est donc comprise entre 0.02 et 0.05. Elle est inférieure à α = 0.05 donc on rejette H0 .
Extraits de tables
Loi normale centrée réduite : le tableau donne pour diérentes valeurs de
nombres zα/2 tels que P (|Z| > zα/2 ) = α, où Z est une v.a. de loi N (0, 1).
α les
0.4 0.2 0.1 0.05 0.02 0.01
0.84 1.28 1.65 1.96 2.33 2.58
α
zα/2
Lois de Student : le tableau donne pour diérentes valeurs de α et diérentes valeurs
de n les nombres tα/2,n tels que P (|Tn | > tα/2,n ) = α, où Tn est une v.a. de loi de Student
à n degrés de liberté.
α
tα/2,n=8
tα/2,n=9
tα/2,n=10
tα/2,n=19
tα/2,n=20
tα/2,n=21
tα/2,n=40
tα/2,n=50
0.2
1.40
1.38
1.37
1.33
1.33
1.32
1.30
1.30
0.1
1.86
1.83
1.81
1.73
1.72
1.72
1.68
1.68
0.05
2.31
2.26
2.23
2.09
2.09
2.08
2.02
2.01
0.02
2.90
2.82
2.76
2.54
2.53
2.52
2.42
2.40
0.01
3.56
3.25
3.17
2.86
2.85
2.83
2.70
2.68
Lois du χ2 : le tableau donne pour diérentes valeurs de α et diérentes valeurs de n les
nombres cα,n tels que P (Cn > cα,n ) = α, où Cn est une v.a. de loi du χ2 à n degrés de
liberté.
α
cα,n=2
cα,n=3
cα,n=4
cα,n=10
0.2
0.1
0.05 0.02 0.01
3.22 4.61 5.99 7.82 9.21
4.64 6.25 7.82 9.84 11.34
5.99 7.78 9.49 11.67 13.28
13.44 15.99 18.31 21.16 23.21